Thế vào 1 ta được: Ta chọn λ sao cho vế phải có dạng bình phương... Thế vào 1 ta được: Ta chọn λ sao cho vế phải có dạng bình phương.
Trang 1NHÓM 5
BÀI TẬP
Bài 1: Giải các phương trình trên R và trên C:
a/ 4x 3 – 36x 2 + 84x – 20 = 0 ( 1 )
* Trên R
( 1 ) ⇔ x3 – 9x2 + 21x – 5 = 0
⇔ (x – 5)( x2 – 4x + 1) = 0
x = 5
⇔
x2 – 4x + 1 = 0
x = 5
⇔
x = 2 - 3
x = 2 + 3
* Trên C
Đặt y = x – 3 ⇒ x = y + 3 Khi đó ta được :
( y + 3)3 – 9( y + 3)2 + 21( y + 3) – 5 = 0
⇔ y3 – 6y+ 4 = 0 ( 2 )
Đặt y = u + v Khi đó :
( 2 ) ⇔ ( u + v)3 – 6(u + v) + 4 = 0
⇔ u3 + v3 – 3uv( u + v) – 6( u + v) + 4 = 0 ⇔ u3 + v3 + 4 + ( u + v)( -3uv – 6) = 0
Tìm u, v thoả hệ: u3 + v3 = -4
-3uv – 6 = 0
u3 + v3 = -4
u3v3 = -8
⇒ u3, v3 là nghiệm của phương trình: t2 + 4t – 8 = 0
t = -2 + 2 3 u3 = -2 + 2 3
t = -2 - 2 3 v3 = -2 - 2 3
Chọn u1 = 3 − + 2 2 3 ⇒ u2 = εu1 ; u3 = ε2u1
v1 = 3 − −2 2 3 ⇒ v2 = ε2v1; v3 = εv1
Nghiệm của (2) là:
Trang 2y1 = u1 + v1 = 3 − + 2 2 3 + 3 − − 2 2 3
y2 = u2 + v2 = 3 − + 2 2 3 ( -1
2 + i 3
2 ) + 3 − −2 2 3 ( -1
2 - i 3
2 )
y3 = u3 + v3 = 3 − + 2 2 3 (-1
2 - i 3
2 ) + 3 − − 2 2 3 (-1
2 + i 3
2 ) Vậy nghiệm của ( 1 ) là :
x 1 = y 1 + 3 = 3 − + 2 2 3 + 3 − − 2 2 3 + 3
x 2 = y 2 + 3 = 3 − + 2 2 3 ( -1
2 + i 3
2 ) + 3 − − 2 2 3 ( -1
2 - i 3
2 ) + 3
x 3 = y 3 + 3 = 3 − + 2 2 3 (-1
2 - i 3
2 ) + 3 − − 2 2 3 (-1
2 + i 3
2 ) + 3
b) x3 −x− 6 = 0 (1)
Đặt x=u+v ta được (u+v) 3 − (u+v) − 6 = 0
⇔u3 +v3 − 6 + (u+v)( 3uv− 1 ) = 0
Ta tìm u,v thoả
=
= + 3
1 6
3 3
uv
v u
=
= +
⇔
27
16 3 3
3 3
v u
v u
Vậy u,v là nghiệm của phương trình 0
27
1 6
2 − t+ =
27
242
' =
∆ nên
−
=
+
=
27
242 3
27
242 3
t
t
−
=
+
=
⇒
27
242 3
27
242 3
3
3
v
u
ta chọn 3
1
27
242
3 +
=
2
27
242
3 −
=
u
1
2 u
u = ε , u3 = ε2u1 , 1
2
v = ε , v3 = εv1 trong đó
2
3 2
1
i
+
−
=
2
3 2
1
2 = − −i
nghiệm của phương trình (1) là:
−
− +
−
− + +
−
=
+
=
−
− +
+
− + +
−
=
+
=
− + +
= +
=
3 3
3 3
3
3
3
3 3
3 3
2
2
2
3 3
1 1 1
27
242 3
27
242 3
2
3 27
242 3
27
242 3
2 1
27
242 3
27
242 3
2
3 27
242 3
27
242 3
2 1
27
242 3
27
242 3
i v
u
x
i v
u
x
v u x
Trang 3d) x 3 + 3x 2 - 6x + 4 = 0 (1)
Đặt y = x + 1 ⇒ x = y – 1 Ta được
(y – 1)3 + 3(y – 1)2 – 6(y – 1) + 4 = 0 ⇔ y3 – 9y + 12 = 0 (2)
Đặt y = u + v, ta được (u + v)3 – 9(u + v) + 12 = 0
⇔ u3 + v3 + 12 + (u + v)(3uv – 9) = 0
u3 + v3 + 12 = 0
Ta tìm u, v thỏa
3uv – 9 = 0
u3 + v3 = -12 ⇒
u3v3 = 27
⇒ u3 ,v3 là nghiệm của t2 + 12t + 27 = 0
t = -9 u3 = -9
Có ∆’ = 9 ⇒
t = -3 v3 = -3
ta chọn u1 = - 3 9, v1 = - 3 3
u2 = ε.u1 , u3 = ε2.u1, v2 = ε2.v1, v3 = ε.v1 trong đó,
ε = -1
2 + i 3
2 , ε2 = -1
2- i 3
2
Khi đó, nghiệm của (2) là y1 = u1 + v1 , y2 = u2 + v2 , y3 = u3 + v3
và nghiệm của (1) là
x1 = y1 – 1 = -3 9 - 3 3 - 1
Trang 4x2 = y2 – 1 = -3 9 (-1
2 + i 3
2 ) - 3 3(-1
2 - i 3
2 ) – 1
x3= y3 – 1 = -3 9 (-1
2 - i 3
2 ) - 3 3(-1
2 + i 3
2 ) – 1
e) x3 − 6 x + = 9 0
Phương trình có nghiệm trong R là: x = -3
Phương trình có nghiệm trong C là :
3
2
2
x
i x
i x
= −
−
=
+
=
f) x3 + 9 x2 + 18 x + 28 0 =
Giải
3
2
2
3
2
2
x
x
i x
i x
+ =
=−
+
−
=
3 2
2
2
9 18 28 0
( 7)( 2 4) 0
7 0
2 4 0 7
1 3
1 3
x
x
+ + + =
⇔ + + + =
+ =
⇔ + + =
= −
⇔ = − +
= − −
Trang 5Phương trình có nghiệm trong R là: x=-7
Phương trình có nghiệm trong C là:
7
x
= −
= − −
= − +
g/ x 3 – 3x 2 – 3x + 11 = 0 ( 1 )
* Trên R : Tự giải
* Trên C :
Đặt y = x - 1 ⇒ x = y + 1 Thay vào ( 1 ) ta được : ( y + 1)3 – 3( y + 1)2 – 3( y + 1) + 11 = 0
⇔ y3 – 6y + 6 = 0 ( 2 )
Đặt y = u + v , ta được :
( u + v)3 – 6( u + v) + 6 = 0
⇔ u3 + v3 + 6 + ( u + v)( 3uv – 6) = 0
Tìm u, v thoả hệ:
u3 + v3 + 6 = 0 u3 + v3 = -6
⇔
3uv – 6 = 0 u3v3 = 8
⇒ u3, v3 là nghiệm của phương trình: t2 + 6t + 8 = 0
t = -2 u3 = -2
t = - 4 v3 = -4
u1 = -3 2 ; u2 = εu1 ; u3 = ε2u1
Chọn
v1 = -3 4 ; v2 = ε2v1; v3 = εv1
Nghiệm của ( 2 ) là:
y1 = u1 + v1 = -3 2 - 3 4
y2 = u2 + v2 = -3 2 ( -1
2 + i 3
2 ) -3 4 ( -1
2 - i 3
2 )
Trang 6y3 = u3 + v3 = -3 2( -1
2 - i 3
2 ) -3 4 ( -1
2 + i 3
2 ) Vậy nghiệm của ( 1 ) là :
x1 = y1 + 1 = -3 2 - 3 4 + 1
x2 = y2 + 1 = -3 2 ( -1
2 + i 3
2 ) -3 4 ( -1
2 - i 3
2 ) + 1
x3 = y3 + 1 = -3 2( -1
2 - i 3
2 ) -3 4 ( -1
2 + i 3
2 ) + 1
Bài 2 : Giải các phương trình trên R và trên C:
b x4 − 4 x3 + 3 x2 + 2 x − = 1 0 (1)
Đặt y x= −1 ⇒ x = +y 1 Ta được
( )4 ( )3 ( )2 ( )
⇔ y4 −3y2 + =1 0 (2)
Đặt t= y2 từ phương trình (2) ta được
t − + =t có ∆ = 5 nên
2
2
⇒
Vậy (2) có 4 nghiệm là
1
2
y = + ;
2
3 5 2
y = − + ;
3
3 5 2
y = − ;
4
3 5 2
y = − − s Vậy (1) có 4 nghiệm
1
1
2
x = + + ;
2
3 5 1
2
x = − + ;
3
3 5 1
2
x = + − ;
4
3 5 1
2
x = − −
Trang 7c) x4 + 2 x3+ 8 x2 + 2 x + = 7 0 (1) trên C
y x= + ⇒ = −x y Thế vào (1) ta được:
Ta chọn λ sao cho vế phải có dạng bình phương Tức là ∆ = 0
13 11
8 52 22 25 0
⇔ − − + ÷=
Giải phương trình chọn 1
2
λ = ta được:
2
5
0
0
+ = + − + =
+ = − − + + =
Giải ra có 4 nghiệm y là:
Ta lại có 1
2
x y= − nên suy ra các nghiệm x là:
Trang 81 1
2 2
3 3
4 4
1 1 2 1
1 1 2 1
1 1 2 6 1
1 6
1 1 2 6 1
1 6
i
i
i
i
+
= − = − =
−
= − = − = −
− +
= − = − = − +
− −
= − = − = − −
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm
1 2 3 4
1 6
1 6
=
= −
= − +
= − −
d) x4 + 2 x3 + 8 x2 + 2 x + = 7 0 (1) trên C
y x= + ⇒ = −x y Thế vào (1) ta được:
Ta chọn λ sao cho vế phải có dạng bình phương Tức là ∆ = 0
15 95
8 60 190 81 0
⇔ − − + ÷=
Giải phương trình chọn 1
2
λ = ta được:
Trang 99
0
0
Giải ra có 4 nghiệm y là:
Ta lại có 3
2
x y= − nên suy ra các nghiệm x là:
1 1
2 2
3 3
4 4
3 1 2 3
1
3 1 2 3
1
3 1 32 3
2 2 2
3 1 32 3
2 2 2
i
i
+
= − = − = −
−
= − = − = − −
− +
= − = − = − +
− −
= − = − = − −
Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm
1 2 3 4
1 1
2 2 2
2 2 2
x x
= −
= − −
= − +
= − −
e) x4 −2x3+2x2+4x− =8 0
Giải
Trang 10Đặt 1
2
x = +y suy ra:
+ − + + + + + − =
⇔ + + = + − + + +
Chọn λ sao cho vế phải là một dạng bình phương, tức là chọn λ sao cho ∆y = 0
2
4
λ = , vậy ta được:
2
2
4 0
1 0
y y
y y
− + =
⇔
+ − =
Trong R phương trình có nghiệm là :
5 2 5 2
x
x
=
=
Trang 11Trong C phương trình có nghiệm là:
2 15 2
2 15 2 5 2 5 2
i x
i x
x x
=
=
−
=
=
f) x4 −x3 −x2 + 2x− 2=0 (1)
Đặt y =x−41 suy ra x = y+14 Thế vào (1) ta được:
0 2 ) 4
1 ( 2 ) 4
1 ( ) 4
1 ( ) 4
1 (y+ 4 − y+ 3 − y+ 3 − y+ − =
64
131 8
11 8
11 2
) 16
11 ( 2 − + 2 = 2 − + 2 − +
Ta chọn λ sao cho vế phải có dạng bình phương Tức là
0 ) 64
131 8
11 (
2 ) 16
11
(
0 256
121 32
131 4
11
2 3 + 2 − + =
−
Giải phương trình trên chọn λ =81 ta được
64
131 8
1 8
11 ) 8
1 ( 8
11 8
1 2 )
8
1
16
11
(y2 − + 2 = y2 − y+ 2 − +
2 2
8
11 2
1 ( )
16
9
+
−
=
−
−
=
−
⇔
8
11 2
1 16
9
8
11 2
1 16
9
2
2
y y
y y
=
− +
= +
−
⇔
0 16
31 2
1
0 16
13 2
1
2
2
y
y
y
y
=
− +
= +
−
⇔
0 31 8 16
0 13 8 16 2
2
y y
y y
Giải ra ta được 4 nghiệm y đó là :
4 11 2 11 403 0
Trang 123
8
4
1
i
y−=
16
2 16
4
3
+
−
=
16
2 16 4 3
−
−
=
y
Ta lại có x = y+14 nên suy ra các nghiệm x là :
4
1 16
3 8 4 4
1
1
1 =y + = + i +
x
4
1 16
3 8 4 4
1
2
2 =y + = − i +
x
4
1 16
2 16 4 4
1
3
3 =y + =− + +
x
4
1 16
2 16 4 4
1
4
4 =y + =− − +
x
g) x4 − 6x3 + 6x2 + 27x− 56 = 0 (1)
Đặt y=x−23 ⇒x=y+23 Thế vào phương trình (1) ta được:
0 56 ) 2
3 ( 27 ) 2
3 ( 6 ) 2
3 (
6
)
2
3
(y+ 4 − y+ 3 + y+ 2 + y+ − =
0 16
275 18
2
15 2
4
125 2
15 18
2 ) 2
15
( 2 − + 2 = 2 − + 2 − +
Ta chọn λ sao cho vế phải có dạng bình phương Tức là
) 4
125 2
15 ( 2 9
0 81 2
125 15
2 3 + 2 − + =
−
Giải phương trình trên chọn λ = 2 Ta được
4
81 18 4
)
2
4
15
(y2 − + 2 = y2 − y+
2 2
2
9 2 ( )
4
7
+
−
=
−
−
=
−
2
9 2
4
7
2
9 2
4
7
2
2
y y
y
y
=
− +
= +
−
⇔
0 25 8 4
0 11 8 4 2
2
y y
y y
Giải ra ta được 4 nghiệm y là :
4
7
2
4
1
i
4
7 2 4 2
i
y = −
4
116
4
3
+
−
=
4
116 4
3
−
−
=
y
Trang 13Ta lại có x= y+23 Ta suy ra các nghiệm x là:
2
3 4
7 2 4 2
3
1
1 =y + = + i +
x
2
3 4
7 2 4 2
3
2
2 =y + = − i +
x
2
3 4
116 4
2
3
3
3 =y + =− + +
x
2
3 4
116 4
2
3
4
4 =y + =− − +
x
h/ x 4 + 2x 3 – 2x 2 + 6x – 15 = 0 ( 1 )
* Trên C :
( 1 ) ⇔ x4 + 2x3 + x2 – 3x2 + 6x – 15 = 0
⇔ ( x2 + x)2 = 3x – 6x + 15
⇔ ( x2 + x)2 + 2( x2 + x)y + y2 = 3x2 – 6x + 15 + 2( x2 + x)y + y2
⇔ ( x2 + x + y)2 = ( 2y + 3)x2 + ( y – 3)2x +( y2 + 15) ( 2 )
Tìm giá trị của y sao cho vế phải của phương trình là một phương trình bậc 2: ( 2): ( y – 3)2 – ( 2y + 3)( y2 + 15) = 0
⇔ y2 – 6y + 9 – ( 2y3 + 3y2 + 30y + 45) = 0
⇔ y3 + y2 + 18y + 18 = 0 ( 3 )
Ta có nghiệm của ( 3 ) là y = -1.Thay vào ( 2 ) ta được :
( x2 + x – 1)2 = x2 – 8x + 16
⇔ ( x2 + x – 1)2 = ( x – 4 )2
x2 + x – 1 = x - 4 x2 = -3 = 3i2
x2 + x – 1 = - x + 4 x2 + 2x – 5 = 0
x1 = i 3
⇔ x2 = - i 3
x3 = -1 + 6
x4 = -1 - 6
Trang 14i) x4 − 2 x3 + + 4 x4 − 2 x + = 3 0
2
x= +y ta được:
0
y y y
Chọn λ sao cho vế phải có dạng bình phương, tức là chọn λ sao cho ∆y =0
2
λ = , vậy ta được
2
2
2 32
4 32 4
4
2 32
4 32 4
4
2 4
4
2 4
4
y y
y y
i
x i
x i
i x i y
⇔
+ + =
=
=
− +
Trong R phương trình vô nghiệm
Trang 15Trong C phương trình có bốn nghiệm là:
4
4
i x
i x
x i
x i
=
=
=
= −