ĐỀ THI HSG LỚP 7 HAY NHẤT

đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 7 Đề số 1: (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: a) 1 .16 2 8 n n = ; b) 27 < 3 n < 243 Bài 2. Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 + + + + Bài 3. a) Tìm x biết: 2x3x2 +=+ b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x20072006x + Khi x thay đổi Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng. Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC. Đề số 2: đề thi học sinh giỏi Môn Toán Lớp 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bi 1:(4 im) a) Thc hin phộp tớnh: ( ) ( ) 12 5 6 2 10 3 5 2 6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 A 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 = + + b) Chng minh rng : Vi mi s nguyờn dng n thỡ : 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + + chia ht cho 10 Bi 2:(4 im) Tỡm x bit: a. ( ) 1 4 2 3,2 3 5 5 x + = + b. ( ) ( ) 1 11 7 7 0 x x x x + + = 1 Bi 3: (4 im) S A c chia thnh 3 s t l theo 2 3 1 : : 5 4 6 . Bit rng tng cỏc bỡnh phng ca ba s ú bng 24309. Tỡm s A. a) Cho a c c b = . Chng minh rng: 2 2 2 2 a c a b c b + = + Bi 4: (4 im) Cho tam giỏc ABC, M l trung im ca BC. Trờn tia i ca ca tia MA ly im E sao cho ME = MA. Chng minh rng: a) AC = EB v AC // BE b) Gi I l mt im trờn AC ; K l mt im trờn EB sao cho AI = EK . Chng minh ba im I , M , K thng hng c) T E k EH BC ( ) H BC . Bit ã HBE = 50 o ; ã MEB =25 o . Tớnh ã HEM v ã BME Bi 5: (4 im) Cho tam giỏc ABC cõn ti A cú à 0 A 20= , v tam giỏc u DBC (D nm trong tam giỏc ABC). Tia phõn giỏc ca gúc ABD ct AC ti M. Chng minh: a) Tia AD l phõn giỏc ca gúc BAC b) AM = BC Đáp án đề 1toán 7 Bài 1. Tìm giá trị n nguyên dơng: (4 điểm mỗi câu 2 điểm) a) 1 .16 2 8 n n = ; => 2 4n-3 = 2 n => 4n 3 = n => n = 1 b) 27 < 3 n < 243 => 3 3 < 3 n < 3 5 => n = 4 Bài 2. Thực hiện phép tính: (4 điểm) 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 + + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 49) ( ). 5 4 9 9 14 14 19 44 49 12 + + + + + + + + + = 1 1 1 2 (12.50 25) 5.9.7.89 9 ( ). 5 4 49 89 5.4.7.7.89 28 + = = Bài 3. (4 điểm mỗi câu 2 điểm) a) Tìm x biết: 2x3x2 +=+ Ta có: x + 2 0 => x - 2. + Nếu x - 2 3 thì 2x3x2 +=+ => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn) 2 + Nếu - 2 x < - 2 3 Thì 2x3x2 +=+ => - 2x - 3 = x + 2 => x = - 3 5 (Thoả mãn) + Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x20072006x + Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > 4012 + 4013 = 1 => A > 1 + Nếu 2006 x 2007 thì: A = x 2006 + 2007 x = 1 + Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x 4013 Do x > 2007 => 2x 4013 > 4014 4013 = 1 => A > 1. Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 x 2007 Bài 4. Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng. (4 điểm mỗi) Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đờng thẳng, ta có: x y = 3 1 (ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ) và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ) Do đó: 33 1 11: 3 1 11 yx 1 y 12 x 1 12 y x == ===>= => x = 11 4 x)vũng( 33 12 ==> (giờ) Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một đờng thẳng là 11 4 giờ Bài 5. Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đờng cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC (4 điểm mỗi) Đờng thẳng AB cắt EI tại F 3 D B A H C I F E M ABM = DCM vì: AM = DM (gt), MB = MC (gt), ã AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM =>FB // ID => ID AC Và FAI = CIA (so le trong) (1) IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2) Từ (1) và (2) => CAI = FIA (AI chung) => IC = AC = AF (3) và E FA = 1v (4) Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB (5) Từ (3), (4) và (5) => AFE = CAB =>AE = BC Đáp án đề 2 toán 7 Bi 1:(4 im): a) (2 im) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4 6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 9 3 2 4 5 12 4 10 3 12 5 9 3 3 10 3 12 4 12 5 9 3 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2 5 .7 . 6 2 .3 .2 2 .3 .4 5 .7 .9 1 10 7 6 3 2 A = = + + + + = + + = = = b) (2 im) 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + + = 2 2 3 3 2 2 n n n n+ + + = 2 2 3 (3 1) 2 (2 1) n n + + = 1 3 10 2 5 3 10 2 10 n n n n ì ì = ì ì = 10( 3 n -2 n ) 4 Vậy 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − M 10 với mọi n là số nguyên dương. Bài 2:(4 điểm) a) (2 điểm) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 7 2 3 3 1 5 2 3 3 1 4 2 1 4 16 2 3,2 3 5 5 3 5 5 5 1 4 14 3 5 5 1 2 3 x x x x x x x x − = − =− = + = − =− + = − − + = − + ⇔ − + = + ⇔ − + =   ⇔ − = ⇔         ⇔ b) (2 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 10 7 7 0 7 1 7 0 x x x x x x x + + + − − − =   ⇔ − − − =   ( ) ( ) ( ) 1 10 1 10 7 0 1 ( 7) 0 7 0 7 ( 7) 1 8 7 1 7 0 10 x x x x x x x x x x +    ÷   + − = − − = − = ⇒ = − = ⇒ =   ⇔ − − − =     ⇔     ⇔   Bài 3: (4 điểm) a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. Theo đề bài ta có: a : b : c = 2 3 1 : : 5 4 6 (1) 5 và a 2 +b 2 +c 2 = 24309 (2) Từ (1) ⇒ 2 3 1 5 4 6 a b c = = = k ⇒ 2 3 ; ; 5 4 6 k a k b k c= = = Do đó (2) ⇔ 2 4 9 1 ( ) 24309 25 16 36 k + + = ⇒ k = 180 và k = 180− + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. + Với k = 180− , ta được: a = 72− ; b = 135− ; c = 30− Khi đó ta có só A = 72− +( 135− ) + ( 30− ) = 237− . b) (1,5 điểm) Từ a c c b = suy ra 2 .c a b= khi đó 2 2 2 2 2 2 . . a c a a b b c b a b + + = + + = ( ) ( ) a a b a b a b b + = + Bài 4: (4 điểm) a/ (1điểm) Xét AMC∆ và EMB∆ có : AM = EM (gt ) · AMC = · EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC∆ = EMB∆ (c.g.c ) ⇒ AC = EB Vì AMC∆ = EMB∆ · MAC⇒ = · MEB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . b/ (1 điểm ) Xét AMI∆ và EMK∆ có : AM = EM (gt ) · MAI = · MEK ( vì AMC EMB∆ = ∆ ) AI = EK (gt ) 6 K H E M B A C I Nờn AMI EMK = ( c.g.c ) Suy ra ã AMI = ã EMK M ã AMI + ã IME = 180 o ( tớnh cht hai gúc k bự ) ã EMK + ã IME = 180 o Ba im I;M;K thng hng c/ (1,5 im ) Trong tam giỏc vuụng BHE ( à H = 90 o ) cú ã HBE = 50 o ã HBE = 90 o - ã HBE = 90 o - 50 o =40 o ã HEM = ã HEB - ã MEB = 40 o - 25 o = 15 o ã BME l gúc ngoi ti nh M ca HEM Nờn ã BME = ã HEM + ã MHE = 15 o + 90 o = 105 o ( nh lý gúc ngoi ca tam giỏc ) Bi 5: (4 im) a) Chng minh ADB = ADC (c.c.c) suy ra ã ã DAB DAC= Do ú ã 0 0 20 : 2 10DAB = = b) ABC cõn ti A, m à 0 20A = (gt) nờn ã 0 0 0 (180 20 ) : 2 80ABC = = ABC u nờn ã 0 60DBC = Tia BD nm gia hai tia BA v BC suy ra ã 0 0 0 80 60 20ABD = = . Tia BM l phõn giỏc ca gúc ABD nờn ã 0 10ABM = Xột tam giỏc ABM v BAD cú: AB cnh chung ; ã ã ã ã 0 0 20 ; 10BAM ABD ABM DAB= = = = Vy: ABM = BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, m BD = BC (gt) nờn AM = BC Đề số 3: Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết: = = = x y a / ; xy=84 3 7 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : A = 1+x +5 B = 3 15 2 2 + + x x Câu 6: Cho tam giác ABC có Â < 90 0 . Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC. a. Chứng minh: DC = BE và DC BE b. Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy M sao cho NA = NM. Chứng minh: AB = ME và ABC = EMA 7 20 0 M A B C D c. Chứng minh: MA BC Đáp án đề 3 toán 7 Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết a 4 0 a 4 => a = 0; 1; 2; 3 ; 4 * a = 0 => a = 0 * a = 1 => a = 1 hoặc a = - 1 * a = 2 => a = 2 hoặc a = - 2 * a = 3 => a = 3 hoặc a = - 3 * a = 4 => a = 4 hoặc a = - 4 Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn 9 10 và nhỏ hơn 9 11 Gọi mẫu phân số cần tìm là x Ta có: 9 7 9 10 11x < < => 63 63 63 70 9 77x < < => -77 < 9x < -70. Vì 9x M 9 => 9x = -72 => x = 8 Vậy phân số cần tìm là 7 8 Câu 3. Cho 2 đa thức P ( ) x = x 2 + 2mx + m 2 và Q ( ) x = x 2 + (2m+1)x + m 2 Tìm m biết P (1) = Q (-1) P(1) = 1 2 + 2m.1 + m 2 = m 2 + 2m + 1 Q(-1) = 1 2m 1 +m 2 = m 2 2m Để P(1) = Q(-1) thì m 2 + 2m + 1 = m 2 2m 4m = -1 m = -1/4 Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết: = x y a / ; xy=84 3 7 => 2 2 84 4 9 49 3.7 21 x y xy = = = = => x 2 = 4.49 = 196 => x = 14 => y 2 = 4.4 = 16 => x = 4 Do x,y cùng dấu nên: x = 6; y = 14 x = -6; y = -14 = = 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x 8 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: + + = = = = = = 1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 => 2 2 5 12 y y x x = => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x = 2 vào trên ta đợc: 1 3 2 12 2 y y y + = = =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = 1 15 Vậy x = 2, y = 1 15 thoả mãn đề bài Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau : A = 1+x +5 Ta có : 1+x 0. Dấu = xảy ra x= -1. A 5. Dấu = xảy ra x= -1. Vậy: Min A = 5 x= -1. B = 3 15 2 2 + + x x = ( ) 3 123 2 2 + ++ x x = 1 + 3 12 2 +x Ta có: x 2 0. Dấu = xảy ra x = 0 x 2 + 3 3 ( 2 vế dơng ) 3 12 2 +x 3 12 3 12 2 +x 4 1+ 3 12 2 +x 1+ 4 B 5 Dấu = xảy ra x = 0 Vậy : Max B = 5 x = 0. Câu 6: a/ Xét ADC và BAF ta có: DA = BA(gt) AE = AC (gt) DAC = BAE ( cùng bằng 90 0 + BAC ) => DAC = BAE(c.g.c ) => DC = BE 9 XÐt AIE vµ TIC I 1 = I 2 ( ®®) E 1 = C 1 ( do DAC = BAE) => EAI = CTI => CTI = 90 0 => DC ⊥ BE b/ Ta cã: MNE = AND (c.g.c) => D 1 = MEN, AD = ME mµ AD = AB ( gt) => AB = ME (®pcm) (1) V× D 1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 180 0 ( trong cïng phÝa ) mµ BAC + DAE = 180 0 => BAC = AEM ( 2 ) Ta l¹i cã: AC = AE (gt) ( 3). Tõ (1),(2) vµ (3) => ABC = EMA ( ®pcm) c/ KÐo dµi MA c¾t BC t¹i H. Tõ E h¹ EP ⊥ MH XÐt AHC vµ EPA cã: CAH = AEP ( do cïng phô víi gPAE ) AE = CA ( gt) PAE = HCA ( do ABC = EMA c©u b) => AHC = EPA => EPA = AHC => AHC = 90 0 => MA ⊥ BC (®pcm) §Ò sè 4: C©u 1 ( 2 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh : a- ) 1 3 1 (:1 3 1 .3 3 1 .6 2 −−         +       −−       − b- ( ) 32 2003 23 12 5 . 5 2 1. 4 3 . 3 2       −       −       −       C©u 2 ( 2 ®iÓm) a- T×m sè nguyªn a ®Ó 1 3 2 + ++ a aa lµ sè nguyªn b- T×m sè nguyªn x,y sao cho x-2xy+y=0 C©u 3 ( 2 ®iÓm) a- Chøng minh r»ng nÕu a+c=2b vµ 2bd = c (b+d) th× d c b a = víi b,d kh¸c 0 10 [...]... Rút gọn A= x x2 x 2 + 8 x 20 Câu 2 (2đ) Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc 5 cây, Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh Biết rằng số cây mỗi lớp trồng đợc đều nh nhau Câu 3: (1,5đ) 102006 + 53 Chứng minh rằng là một số tự nhiên 9 Câu 4 : (3đ) 27 Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az của... khác 0) 0,25 0,5 0,5 Gọi số số hạng của tổng là n , ta có : n(n + 1) = 111a = 3. 37. a Hay n(n+1) =2.3. 37. a 2 0,25 Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1 0 Chứng tỏ rằng:... tố Đề số 20: 22 3 3 + 7 13 Câu 1: a) Thực hiện phép tính: A = ; 11 11 2 ,75 2,2 + + 7 3 B = ( 251.3 + 281) + 3.251 (1 281) 0 ,75 0,6 + b) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000 Câu 2: a) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c M 17 nếu a - 11b + 3c M 17 (a, b, c Z) bz cy cx az ay bx = = a b c a b c Chứng minh rằng: x = y = z b) Biết Câu 3: ( 2 điểm) Bây giờ là 4 giờ 10 phút Hỏi sau ít nhất. .. FM Câu 5: (1 điểm) Cho 2n + 1 là số nguyên tố (n > 2) Chứng minh 2n 1 là hợp số Đề số 17: đề thi học sinh giỏi (Thời gian làm bài 120 phút) 1 1 1 1 (1 + 2 + 3 + + 99 + 100) (63.1,2 21.3,6) Câu 1: (2 điểm) Tính nhanh: 2 3 7 9 A= 1 2 + 3 4 + + 99 100 1 2 3 2 4 14 7 + 35 ( 15 ) B= 1 3 2 2 5 + 10 25 5 7 Câu 2: (2 điểm)a) Tính giá trị của biểu thức A = 3x 2 2 x + 1 với x = b) Tìm... 101 102 199 200 Đề số 18: 2 2 1 1 + 0,25 + 9 11 3 5 Câu 1: (2 điểm) a) Thực hiện phép tính: M = 7 7 1 1,4 + 1 0, 875 + 0 ,7 9 11 6 1 1 1 1 1 1 b) Tính tổng: P = 1 10 15 3 28 6 21 0,4 Câu 2: (2 điểm) 1) Tìm x biết: 2 x + 3 2 4 x = 5 2) Trên quãng đờng Kép - Bắc giang dài 16,9 km, ngời thứ nhất đi từ Kép đến Bắc Giang, ngời thứ hai đi từ Bắc Giang đến Kép Vận tốc ngời thứ nhất so với ngời... Đến lúc gặp nhau vận tốc ngời thứ nhất đi so với ngời thứ hai đi là 2: 5 Hỏi khi gặp nhau thì họ cách Bắc Giang bao nhiêu km ? Câu 3: (2 điểm) a) Cho đa thức f ( x) = ax 2 + bx + c (a, b, c nguyên) CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3 b) CMR: nếu a c 7 a 2 + 5ac 7b 2 + 5bd = = thì 2 (Giả sử các tỉ số đều có nghĩa) b d 7 a 5ac 7b 2 5bd Câu 4: (3 điểm) Cho tam... Bài 5: (1 điểm) Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn: 2 52 p + 19 97 = 52 p + q 2 Đề số 13: 5 5 1 3 1 13 2 10 230 + 46 4 27 6 25 4 Bài 1: (2 điểm)Tính: 3 10 1 2 1 + : 12 14 7 10 3 3 38 Bài 2: (3 điểm)a) Chứng minh rằng: A = 36 + 4133 chia hết cho 77 b) Tìm các số nguyên x để B = x 1 + x 2 đạt giá trị nhỏ nhất c) Chứng minh rằng: P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d có giá trị nguyên với mọi x... sao cho: 2n 1 chia hết cho 7 Bài 3: (2 điểm)a) Cho tỉ lệ thức Bài 4: (2 điểm) Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1 Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi APQ bằng 2 Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450 Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng: 3a + 2b M 17 10a + b M 17 (a, b Z ) Đề số 14: Bài 1: (2 điểm) a) Tìm số nguyên dơng a lớn nhất sao cho 2004! chia hết cho 7a 1 1 1 1 + + + + 3 b) Tính . .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 125 .7 5 .14 2 .3 8 .3 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2 5 .7 . 6 2 .3 .2 2 .3 .4 5 .7 .9 1 10 7 6 3 2 A = = + + + + . (2 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 10 7 7 0 7 1 7 0 x x x x x x x + + + − − − =   ⇔ − − − =   ( ) ( ) ( ) 1 10 1 10 7 0 1 ( 7) 0 7 0 7 ( 7) 1 8 7 1 7 0 10 x x x x x x x x x x +    ÷ . chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1< ;74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn ) Do đó n= 37 hoặc n+1 = 37 Nếu n= 37 thì n+1 = 38 lúc đó 70 3 2 )1( = +nn không thoả mãn Nếu n+1= 37 thì n = 36