Giáo án đại số & giải tích 11 GV: Lê thị Thanh Thảo Chương IV – GIỚI HẠN §1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Tên người soạn : Lê thị Thanh Thảo / Nhiệm sở : THPT Phú Ngọc Số tiết: 49+50+51 Đối tượng HS: Trung bình – Yếu. Tiết 49 I- Mục tiêu: 1. Về kiến thức : + Biết khái niệm giới hạn của dãy số thông qua những ví dụ cụ thể. + Biết vài giới hạn đặc biệt. + Biết áp dụng định lí về giới hạn hữu hạn để tính các giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương của hai dãy số. 2. Về kĩ năng: + Tìm được giới hạn của vài dãy số đơn giản. + Biết cách chứng minh một dãy số có giới hạn bằng 0. 3. Về tư duy, thái độ: + Rèn tư duy logic, cẩn thận, chính xác trong tính toán, lập luận. + Biết nhật xét và ĐG bài làm của bạn cũng như tự ĐGKQ học tập của bản thân. + Có tinh thần hợp tác trong học tập. II- Chuẩn bị của GV và HS: 1. GV: giáo án, SGK. 2. HS: đồ dùng học tập, đọc SGK. III- Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các phương pháp nhằm giúp HS chủ động, tích cực trong phát hiện, chiếm lĩnh tri thức như: trình diễn, thuyết trình, giảng giải, gợi mở vấn đáp, nêu vấn đề… Trong đó PP chính được sử dụng là gợi mở, vấn đáp. IV- Tiến trình bài học: 1. Ổn định tổ chức Kiểm tra sĩ số, KT sự chuẩn bị của HS cho bài học (sách, vở, dụng cụ, tâm thế…) 2. Bài mới: PHẦN 1: Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số. HĐTP 1: Tiếp cận định nghĩa. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng Cho dãy số ( ) n u với 1 n u n = . Hãy viết dạng khai triển của dãy số? Biểu diễn dãy ( ) n u trên trục số? Trả lời 2 câu hỏi a và b trong SGK/112. Khi n dần tới vô cực, dãy số n u nhỏ hơn một số dương bé tùy ý kể từ số hạng nào đó trở đi, ta nói ( ) n u có giới hạn là 0. Vậy dãy số có giới hạn là 0 khi nào? 1 1 1 1 1; ; ; ; ; ; 2 3 4 n Hs lên bảng biểu diễn. … Nếu kể từ số hạng nào đó trở đi, n u luôn nhỏ hơn I- Giới hạn hữu hạn của dãy số. 1. Khái niệm giới hạn 0. a) Ví dụ: Cho dãy số ( ) n u với 1 n u n = * ,n∈¥ . ♣ Nhận xét: + Khi n càng lớn thì khoảng cách từ n u càng nhỏ. + n u nhỏ tùy ý miễn là chọn * n∈¥ đủ lớn. Ta nói giới hạn của 1 n bằng 0 khi Trang 1 Giáo án đại số & giải tích 11 GV: Lê thị Thanh Thảo một số dương bé tùy ý. n → +∞ . HĐTP 2: Hình thành định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng Để đảm bào tính không âm của n u ta sử dụng n u . → Định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy số. Ghi nhận. b) Định nghĩa: (SGK/112) Kí hiệu: lim 0 n n u →+∞ = hay 0 n u → khi n → +∞ . Ta có thể viết tắt lim 0 n u = . VD: 1 lim 0 n n →+∞ = hay 1 lim 0 n = . HĐTP 3: Vd củng cố. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng Xét dãy số ( ) n u với ( ) 2 1 n n u n − = . Ta xét n u ? Giả sử 0,01 n u < thì n như thế nào? Từ đó cho biết kể từ số hạng thứ mấy của dãy số thì 0,01 n u < ? Nêu nhận xét về dãy số ở VD1? Tính đơn điệu, bị chặn? Nhận xét tương tự cho dãy số ở vd trên? → Lưu ý rằng, dãy ( ) n u có thể không đơn điệu và có thể dần về 0 từ bên trái hay bên phải, hoặc từ cả hai phía. ( ) 2 2 1 1 n n u n n − = = 2 1 0,01 0,01 n u n < ⇔ < 10n⇔ < vậy kể từ số hạng thứ 11 trở đi 0,01 n u < . Là dãy giảm, bị chặn dưới. Là dãy không tăng, không giảm, và không có tính bị chặn. VD: Chứng minh rằng dãy số ( ) n u với ( ) 2 1 n n u n − = có giới hạn bằng 0. Giải: Ta có: ( ) 2 2 2 1 1 0,01 100 n n u n n n − = = < ⇔ > vậy kể từ số hạng thứ 11 trở đi 0,01 n u < nên dãy số có giới hạn bằng 0. HĐTP 4: Giới hạn là số a. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng Từ định nghĩa giới hạn bằng 0, ta có định nghĩa giới hạn bằng a. Ghi nhận. 2, Giới hạn là số a. Định nghĩa: Dãy số ( ) n v có giới hạn là a (hay n v dần tới a) khi n → +∞ nếu ( ) lim 0 n n v a →+∞ − = . Kí hiệu: lim n n v a →+∞ = hay n v a→ khi n → +∞ . Trang 2 Giáo án đại số & giải tích 11 GV: Lê thị Thanh Thảo Cho HS làm vd. Dãy số có giới hạn bằng 2 khi nào? Vậy ta chứng minh ( ) lim 2 0 n n v →+∞ − = . Khi ( ) lim 2 0 n n v →+∞ − = . … VD: Cho dãy số ( ) n v với 2 1 n n v n + = . Chứng minh rằng lim 2 n n v →+∞ = . Giải: Ta có: ( ) 2 1 1 lim 2 lim 2 lim 0 n n n n n v n n →+∞ →+∞ →+∞ + − = − = = ÷ Vậy lim 2 n n v →+∞ = . HĐTP 5: Một vài giới hạn đặc biệt. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng Ta công nhận các giới hạn đặc biệt sau. Ghi nhớ. 3, Một vài giới hạn đặc biệt: Từ định nghĩa ta suy ra các giới hạn sau: • 1 lim 0 n = ; 1 lim 0 k n = với k ∗ ∈¥ . • lim 0 n q = nếu 1q < ; • limc c= với c là hằng số. VD: 1 1 lim lim 0 5 5 n n = = ÷ vì 1 1 5 < . lim 2 2= . PHẦN 2: Định lí về giới hạn hữu hạn. HĐTP1: Định lí. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng Việc tìm giới hạn bằng định nghĩa khá phức tạp nên ta thường áp dụng các công thức sau để tìm giới hạn. Ghi nhận. II- Định lí về giới hạn hữu hạn. Định lí: SGK/115. HĐTP 2: Ví dụ củng cố định lí. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng Áp dụng các công thức trên tính. GV hướng dẫn các bước làm cẩn thận cho HS nắm phương pháp tìm giới hạn. … Làm theo hướng dẫn của GV. VD: Tìm giới hạn sau: a. 2 2 3 lim 1 n n n − + ; b. 2 1 4 lim 1 2 n n + − . Giải: a. 2 2 2 2 2 1 3 3 lim lim 1 1 1 n n n n n n n − ÷ − = + + ÷ 2 1 3 lim 1 1 n n − = + 2 1 lim 3 3 1 lim 1 n n − ÷ = = + ÷ Trang 3 Giáo án đại số & giải tích 11 GV: Lê thị Thanh Thảo Vì 1 1 lim 3 lim3 lim 3 n n − = − = ÷ Và 2 2 1 1 lim 1 lim lim1 1 n n + = + = ÷ b. 2 2 2 1 4 1 4 lim lim 1 1 2 2 n n n n n n + ÷ + = − − ÷ 2 1 4 4 lim 1 1 2 2 n n + = = = − − − 3. Củng cố toàn bài: + Định nghĩa giới hạn 0 của dãy số? + Dãy số ( ) n v có giới hạn là a khi nào? 4. Hướng dẫn học bài ở nhà và ra bài tập về nhà Bài tập về nhà: Tìm các giới hạn sau: a) 2 2 4 1 lim 3 2 n n n − − + ; b) 2 2 3 1 lim 1 2 n n n + + − . Nhắc nhở HS về học bài chuẩn bị cho tiết tới. Trang 4 Giáo án đại số & giải tích 11 GV: Lê thị Thanh Thảo §1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tt) Tên người soạn : Lê thị Thanh Thảo / Nhiệm sở : THPT Phú Ngọc Số tiết: 49+50+51 Đối tượng HS: Trung bình – Yếu. Tiết 50 I- Mục tiêu: 1. Về kiến thức : + Hiểu rõ hơn cách tính vài giới hạn đơn giản. + Hiểu được công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. 2. Về kĩ năng: + Tính được tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. 3. Về tư duy, thái độ: + Rèn tư duy logic, cẩn thận, chính xác trong tính toán, lập luận. + Biết nhật xét và ĐG bài làm của bạn cũng như tự ĐGKQ học tập của bản thân. + Có tinh thần hợp tác trong học tập. II- Chuẩn bị của GV và HS: 1. GV: giáo án, SGK. 2. HS: đồ dùng học tập, đọc SGK. III- Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các phương pháp nhằm giúp HS chủ động, tích cực trong phát hiện, chiếm lĩnh tri thức như: trình diễn, thuyết trình, giảng giải, gợi mở vấn đáp, nêu vấn đề… Trong đó PP chính được sử dụng là gợi mở, vấn đáp. IV-Tiến trình bài học: 1. Ổn định tổ chức Kiểm tra sĩ số, KT sự chuẩn bị của HS cho bài học (sách, vở, dụng cụ, tâm thế…) 2. Kiểm tra bài cũ: Câu hỏi 1: Định nghĩa giới hạn là số a, nêu các giới hạn đặc biệt? Câu hỏi 2: Tính giới hạn sau: 2 2 4 1 lim 3 2 n n n n − − + + ? 3. Bài mới: PHẦN 3: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. HĐTP1: Tiếp cận công thức. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng Cho biết công bội của hai cấp số nhân trên? Chúng có đặc điểm chung gì? Hai dãy trên là những vd về cấp số nhân lùi vô hạn, vậy 1 cấp số nhân được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn khi chúng có đặc điểm gì? → Định nghĩa cấp số nhân lùi vô hạn. Nhắc lại công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân? Dãy 1 có 1 2 q = . Dãy 2 có 1 3 q = − . 1q < . Khi chúng có công bội 1q < . Cấp số nhân ( ) n u có công bội q và có số hạng III- Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. VD: Cho hai cấp số nhân sau: 1 1 1 1 ; ; ; ; ; 2 4 8 2 n ( ) 1 1 1 1 1; ; ; ; ; 1 ; 3 9 27 3 n n − − − Cấp số nhân vô hạn ( ) n u có công bội q , với 1q < được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Ta có: ( ) 1 1 1 1 1 1 1 n n n u q u u q S q q q − = = − − − − Trang 5 Giáo án đại số & giải tích 11 GV: Lê thị Thanh Thảo Ta có thể phân tích n S như sau. đầu 1 u có ( ) 1 1 1 n n u q S q − = − 1 1 lim lim . 1 1 n n u u S q q q = − ÷ − − 1 1 1 lim lim .lim 1 1 1 n u u q q q u q = − − − = − (Vì 1q < lim 0 n q⇒ = .) HĐTP2: Hình thành công thức. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng Lưu ý: với những cấp số nhân có 1q < ta nên sử dụng công thức trên sẽ dễ dàng hơn so với công thức đã được học. Và đặc biệt đây là công thức tính tổng của vô hạn số hạng chứ không còn là n số hạng đầu nữa. Ghi nhớ. Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và được kí hiệu là 1 2 n S u u u= + + + + Vậy 1 1 u S q = − , với 1q < HĐTP3: Củng cố công thức. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng Cho HS làm VD. Cho biết 1 u và q của cấp số nhân trên? Áp dụng công thức ta dễ dàng tính được S. Các số hạng của tổng có đặc điểm gì? Suy ra S. Vì 1 3 n n u = nên 1 1 1 , 3 3 u q= = Là các số hạng của 1 cấp số nhân có 1 1 1, 2 u q= = − . … VD1: (VD5 SGK/116) Giải: a. 1 3 n n u = . Suy ra 1 1 1 , 3 3 u q= = . Do đó: 1 1 1 3 1 1 2 1 3 u S q = = = − − b. Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với 1 1 1, 2 u q= = − . Do đó: 1 1 2 1 1 3 1 2 u S q = = = − + HĐTP4: Hệ thống hóa kiến thức. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng Cho HS làm vd củng cố kiến thức. VD2: a. Tính 3 3 2 2 3 1 lim n n n n − + − ; b. 3 5.4 lim 4 2 n n n n + + ; c. Tính 1 1 2 2 1 2 2 S = − + − + − Trang 6 Giáo án đại số & giải tích 11 GV: Lê thị Thanh Thảo Câu a, mời 1 HS lên trình bày. Đối với dạng toán này ta chia cả tử và mẫu cho số chứa mũ n mà cơ số là lớn nhất. Các số hạng của tổng có đặc điểm gì? Ta có thể phân tích 2,131313 α = thành tổng như sau: 2,131313 2 0,13 0,0013 0,000013 α = = + + + + Đưa về dạng phân số ta được như thế nào? Lưu ý các số hạng kể từ số hạng thứ 2 trở đi có gì đặc biệt? Suy ra tổng trên sẽ có kết quả? Suy ra α . … Ghi nhận. Là một cấp số nhân có 1 2 q = − nên lùi vô hạn. có thể tính S bằng công thức đã học. 13 13 13 2 100 10000 1000000 + + + + Là một cấp số nhân lùi vô hạn với 1 1 13 , 100 100 q u= = . 13 13 13 2 100 10000 1000000 13 13 100 1 99 1 100 + + + + = = − d. Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số 2,131313 α = Giải: a. 3 2 3 3 2 2 1 3 2 3 1 lim lim 3 1 1 n n n n n n n − + − + = = − − − b. 3 5 3 5.4 4 lim lim 5 4 2 1 1 2 n n n n n n + ÷ + = = + + ÷ c. Dãy số vô hạn 1 1 2; 2;1; ; ; 2 2 − − là một cấp số nhân với 1 2 q = − . Vì 1 1 1 2 2 q = − = < nên 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 u S q = = = − + + . d. Ta có: 2,131313 α = 2 3 2 0,13 0,0013 0,000013 13 13 13 2 100 10000 1000000 13 13 13 2 100 100 100 13 13 211 100 2 2 1 99 99 1 100 = + + + + = + + + + = + + + + = + = + = − Vì 2 3 13 13 13 ; ; ; 100 100 100 là một cấp số nhân lùi vô hạn với 1 1 13 , 100 100 q u= = . Vậy 211 99 α = . 4. Củng cố toàn bài: + Định nghĩa cấp số nhân lùi vô hạn? + Công thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn? 5. Hướng dẫn học bài ở nhà và ra bài tập về nhà Bài tập về nhà: Làm các bài tập 2, 3, 4, 5 và 6 SGK/121+122. Nhắc nhở HS về học bài chuẩn bị cho tiết tới. Trang 7 Giáo án đại số & giải tích 11 GV: Lê thị Thanh Thảo §1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tt) Tên người soạn : Lê thị Thanh Thảo / Nhiệm sở : THPT Phú Ngọc Số tiết: 49+50+51 Đối tượng HS: Trung bình – Yếu. Tiết 51 I- Mục tiêu: 1. Về kiến thức : + Hiểu giới hạn vô cực của dãy số. Biết vài giới hạn đặc biệt. + Biết sử dụng định lí vào việc tính giới hạn vô cực. 2. Về kĩ năng: + Tính được giới hạn của dãy số vô cực. 3. Về tư duy, thái độ: + Rèn tư duy logic, cẩn thận, chính xác trong tính toán, lập luận. + Biết nhật xét và ĐG bài làm của bạn cũng như tự ĐGKQ học tập của bản thân. + Có tinh thần hợp tác trong học tập. II- Chuẩn bị của GV và HS: GV: giáo án, SGK. HS: đồ dùng học tập, đọc SGK. III- Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các phương pháp nhằm giúp HS chủ động, tích cực trong phát hiện, chiếm lĩnh tri thức như: trình diễn, thuyết trình, giảng giải, gợi mở vấn đáp, nêu vấn đề… Trong đó PP chính được sử dụng là gợi mở, vấn đáp. IV- Tiến trình bài học: 1. Ổn định tổ chức Kiểm tra sĩ số, KT sự chuẩn bị của HS cho bài học (sách, vở, dụng cụ, tâm thế…) 2. Kiểm tra bài cũ: Câu hỏi 1: Công thức tính tổng các số hạng của cấp số nhân lùi vô hạn? Câu hỏi 2: Tính 2 2 2 2 3 9 27 S = − + − + − ? 3. Bài mới: PHẦN 4: Giới hạn vô cực. HĐTP1: Giới hạn vô cực. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng Tương tự giới hạn bằng 0, ta cũng có định nghĩa giới hạn vô cực. Lưu ý, điều trái ngược ở đây là n u lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Từ định nghĩa giới hạn −∞ trên ta có thể suy ra được ( ) lim lim n n u u= +∞ ⇔ − = −∞ Ghi nhận kiến thức mới. IV- Giới hạn vô cực. 1, Định nghĩa: Định nghĩa: (SGK/118) Kí hiệu: lim n u = +∞ hay n u → +∞ khi n → +∞ . ( ) lim lim n n u u= −∞ ⇔ − = +∞ . * Nhận xét: ( ) lim lim n n u u= +∞ ⇔ − = −∞ . HĐTP2: Củng cố khái niệm. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng Cho HS đọc VD 6 SGK/1188. Ghi nhớ. VD: (VD6 SGK/118) Trang 8 Giáo án đại số & giải tích 11 GV: Lê thị Thanh Thảo Giải thích khi cần thiết. HĐTP3: Một vài giới hạn đặc biệt. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng Ta thừa nhận các giới hạn đặc biệt sau. Ghi nhớ để áp dụng vào việc tìm giới hạn. Ghi nhớ. 2, Vài giới hạn đặc biệt. Ta thừa nhận các kết quả sau: a. lim k n = +∞ với k nguyên dương. b. lim n q = +∞ nếu 1q > . HĐTP4: Định lí. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng Ta thừa nhận định lí sau. Tương tự những bài trước ta chia tử và mẫu cho n, ta được? Tử số có kết quả, số có kết quả? Vậy 2 5 lim .3 n n n + =? Hướng dẫn HS làm câu b và c? Lưu ý cho HS trường hợp kết quả là +∞ hay −∞ . Ghi nhớ. 5 2 2 5 lim lim .3 3 n n n n n + + = 5 lim 2 lim 2 n + = , lim3 n = +∞ Bằng 0, vì mẫu bằng +∞ . … Ghi nhận. 3, Định lí. Định lí: (SGK/119). VD: Tính: a. 2 5 lim .3 n n n + ; b. ( ) 3 2 lim 2 1n n n+ − + ; c. ( ) 2 lim 5 2n n− + − . Giải: a. 5 2 2 5 lim lim .3 3 n n n n n + + = 5 lim2 lim 0 lim3 n n + = = Vì 5 lim 2 lim 2 n + = và lim3 n = +∞ . b. ( ) 3 2 lim 2 1n n n+ − + 3 2 3 2 1 1 lim 1n n n n = + − + ÷ = +∞ Vì 3 limn = +∞ , và 2 3 2 1 1 lim 1 1 0 n n n + − + = > ÷ nên 3 2 3 2 1 1 lim 1n n n n + − + = +∞ ÷ . Vậy ( ) 3 2 lim 2 1n n n+ − + = +∞ . c. ( ) 2 lim 5 2n n− + − ( ) 2 2 5 2 lim 1n n n = − − + ÷ Vì ( ) 2 lim n− = −∞ , 2 5 2 lim 1 1 0 n n − + = > ÷ nên ( ) 2 2 5 2 lim 1n n n − − + = −∞ ÷ Trang 9 Giáo án đại số & giải tích 11 GV: Lê thị Thanh Thảo Vậy ( ) 2 lim 5 2n n− + − = −∞ . HĐTP5: Hệ thống hóa. Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng Số mũ cao nhất của phân thức trên là? Chia cả tử và mẫu cho số 3 n ? Tử và mẫu có giá trị bằng? Tương tự cho câu b. Lưu ý: đối với lim của 1 phân thức, số mũ của tử lớn hơn mẫu thì giới hạn là ∞ , còn ngược lại số mũ của mẫu lớn hơn của tử thì giới hạn là 0. Cho HS nêu hướng làm rồi nhận xét và đưa ra cách giải chính xác. Một cách tương tự cho câu còn lại. Là 3. 2 3 3 5 1 3 lim 1 4 n n n n − + = + . 2 3 3 5 1 lim 3 3 0 1 4 lim 0 n n n n − + = > ÷ + = ÷ Ghi nhận. … Làm bài. VD: Tính các giới hạn sau: a. 3 2 3 5 1 lim 4 n n n − + + ; b. 2 2 3 lim 1 n n + − + ; c. ( ) 2 lim n n n− − ; d. ( ) 2 lim n n n− + . Giải: a. 3 2 3 2 3 5 1 3 3 5 1 lim lim 1 4 4 n n n n n n n − + − + = = +∞ + + Vì 2 3 3 5 1 1 4 lim 3 3 0,lim 0 n n n n − + = > + = ÷ ÷ b. 2 2 2 2 2 2 3 2 3 lim 2 3 lim lim 0 1 1 1 1 lim 1 n n n n n n n n + + ÷ + = = = − + − + − + ÷ Vì 2 2 3 lim 0 n n + = ÷ , 2 1 lim 1 1 n − + = − ÷ . c. ( ) 2 lim n n n− − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 lim n n n n n n n n n − − − + = − + 2 2 1 1 lim lim 2 1 1 1 n n n n n = = = − + − + . d. ( ) 2 1 lim lim 1 1n n n n n − + = − + = +∞ ÷ ÷ Vì lim n = +∞ , 1 lim 1 1 2 0 n − + = > ÷ ÷ . 4. Củng cố toàn bài: + Nêu công thức về tính chất của các số hạng của một cấp số nhân? + Công thức tính n số hạng đầu của một cấp số nhân? 5. Hướng dẫn học bài ở nhà và ra bài tập về nhà Bài tập về nhà: tất cả các bài tập còn lại trong SGK. Nhắc nhở HS về học bài chuẩn bị cho tiết tới. Trang 10 . giới hạn của dãy số thông qua những ví dụ cụ thể. + Biết vài giới hạn đặc biệt. + Biết áp dụng định lí về giới hạn hữu hạn để tính các giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương của hai dãy số. 2 cấp số nhân lùi vô hạn, vậy 1 cấp số nhân được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn khi chúng có đặc điểm gì? → Định nghĩa cấp số nhân lùi vô hạn. Nhắc lại công thức tính tổng n số hạng đầu của. đặc biệt đây là công thức tính tổng của vô hạn số hạng chứ không còn là n số hạng đầu nữa. Ghi nhớ. Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và được kí hiệu là 1 2 n S u