Vấn đề bảo toàn tính điều khiển được khi xét các hệ chịu nhiễu

Vấn đề bảo toàn tính điều khiển được khi xét các hệ chịu nhiễu

Mục lục Mở đầu iii 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Tính điều khiển được của hệ tuyến tính hữu hạn chiều . 1 1.2 Tính điều khiển được của hệ tuyến tính vô hạn chiều . . 9 1.3 Tính điều khiển được của hệ có ràng buộc điều khiển . . 26 2 Kết quả 40 2.1 Bán kính điều khiển được của hệ có ràng buộc với miền tham số điều khiển bị nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2 Bán kính điều khiển được của hệ tuyến tính dưới các nhiễu cấu trúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3 Kết luận 68 Tài liệu tham khảo 71 i Lời cảm ơn Dìu dắt tôi trên con đường toán học, luôn tạo ra những thử thách giúp tôi tự học hỏi, tìm tòi và sáng tạo, đó là những gì tôi may mắn được tiếp nhận từ người thầy đáng kính của tôi, GS. TSKH Nguyễn Khoa Sơn. Tôi xin gửi đến thầy lòng biết ơn sâu sắc nhất. Tôi xin gửi tới GS. TSKH Phạm Kỳ Anh, GS. TS Nguyễn Hữu Dư, Ban chủ nhiệm Khoa và các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN lòng biết ơn sâu sắc nhất, những người đã dạy dỗ và chỉ bảo tận tình tôi, đã giúp đỡ rất nhiều để tôi đến được con đường toán học như bây giờ. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Tin Ứng dụng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, các thầy cô trên Viện Toán học, những người luôn ủng hộ nhiệt tình và sẵn sàng giúp đỡ tôi trong thời gian này. Luận văn này được hoàn thành dưới sự động viên, chia sẻ, giúp đỡ của người thân, các bạn cùng lớp K7 Cử nhân Khoa học Tài năng và Cao học 0709. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả. Hà Nội, ngày 10 tháng 12 năm 2009 Tác giả ii Mở đầu Lý thuyết điều khiển được phát triển từ khoảng 150 năm trước đây khi sự thực hiện các điều khiển cơ học bắt đầu cần được mô tả và phân tích một cách toán học. Hiện nay lý thuyết điều khiển tiếp tục được phát triển mạnh mẽ và được xem là một lĩnh vực khoa học có nhiều ứng dụng trong thực tế. Một trong các khái niệm cơ bản của lý thuyết điều khiển là tính điều khiển được. Hệ điều khiển tuyến tính ˙x = Ax+Bu, A ∈ K n×n , B ∈ K n×m với K = R hoặc C được gọi là điều khiển được nếu cho trạng thái tùy ý ban đầu x(0) = x 0 và trạng thái mong muốn cuối cùng x 1 thì có tồn tại một số T > 0 và một hàm điều khiển đo được u(t) ∈ Ω ⊂ K m sao cho x(T ) = x 1 . Khi đó chúng ta sẽ gọi cặp ma trận (A, B) ∈ K n×n × K n×m là điều khiển được. Hiện nay, vấn đề đang được quan tâm là các hệ chịu ảnh hưởng của các "nhiễu nhỏ". Sự bảo toàn các tính chất định tính của các hệ dưới ảnh hưởng của nhiễu chẳng hạn như tính điều khiển được, tính ổn định . được gọi là sự bền vững. Một vấn đề được đặt ra là độ lớn của nhiễu như thế nào thì các hệ vẫn bảo toàn được các tính chất định tính của nó. Khóa luận này sẽ trình bày và giải quyết vấn đề bảo toàn tính điều khiển được khi xét các hệ chịu nhiễu. Trong chương 1, tôi trình bày vấn đề điều khiển được. Đầu tiên là iii tính điều khiển được của hệ tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều. Tiếp theo là tính điều khiển được của hệ tuyến tính trong không gian vô hạn chiều và cuối cùng là tính điều khiển được của hệ với điều khiển có ràng buộc. Trong chương 2, tôi trình bày các kết quả. Thứ nhất là kết quả về bán kính điều khiển được của hệ có ràng buộc với miền tham số điều khiển chịu nhiễu. Chúng tôi đưa ra định nghĩa khoảng cách giữa các nón để từ đó xây dựng nên công thức bán kính điều khiển được. Thứ hai là kết quả về bán kính điều khiển được của hệ tuyến tính dưới nhiễu cấu trúc của toán tử. Để giải quyết vấn đề này chúng tôi cần sử dụng lý thuyết các toán tử tuyến tính đa trị. Trong chương 3, tôi trình bày phần kết luận, các công trình, báo cáo liên quan đến luận văn và tài liệu tham khảo. iv Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính điều khiển được của hệ tuyến tính hữu hạn chiều Các kiến thức trong mục này được lấy từ phần I, chương 1 trong cuốn sách "Mathematical Control Theory: An Introduction" của Jerzy Zabczyk [1]. Bài toán điều khiển được xuất phát từ phương trình vi phân      dy dt = Ay(t) + Bu(t), y(0) = x ∈ R n , u(t) ∈ R m , (1.1) với A : R n → R n , B : R m → R n là các toán tử tuyến tính, u(t) là hàm khả tích địa phương, tức là u(t) ∈ L 1 [0, T ; R m ] với mọi T > 0. Ta đã biết phương trình (1.1) có nghiệm duy nhất y(t) = S(t)x +  t 0 S(t − s)Bu(s)ds, 1 ở đây S(t) = e At = ∞  n=0 A n n! t n là ma trận nghiệm cơ bản. Định nghĩa 1.1.1. Trạng thái b được gọi là đạt được từ trạng thái a trong thời gian T > 0 nếu tồn tại điều khiển u(t) xác định trong [0, T ] sao cho phương trình (1.1) có nghiệm y(t) thỏa mãn y(0) = a, y(T ) = b. Quy ước: Trạng thái a đạt được từ a trong thời gian T = 0. Định nghĩa 1.1.2. Trạng thái b được gọi là đạt được từ trạng thái a hay trạng thái a dịch chuyển được đến trạng thái b nếu b đạt được từ a trong thời gian T > 0 nào đó. Định nghĩa 1.1.3. Hệ (1.1) được gọi là điều khiển được trong thời gian T > 0 nếu b và a là hai trạng thái bất kì thì b có thể đạt được từ a trong thời gian T. Định nghĩa 1.1.4. Hệ (1.1) được gọi là điều khiển được nếu b và a là hai trạng thái bất kì thì b có thể đạt được từ a. Xét ma trận Q T =  T 0 S(r)BB ∗ S ∗ (r)dr, được gọi là ma trận điều khiển được. Dễ thấy Q T là ma trận đối xứng và xác định không âm. Bổ đề 1.1.1. Giả sử với T > 0 nào đó ma trận Q T không suy biến, khi đó với mọi a, b ∈ R n điều khiển u(s) = −B ∗ S ∗ (T −s)Q −1 T (S(T )a−b), s ∈ [0, T ] dịch chuyển từ a đến b trong thời gian T, tức là với điều khiển như trên hệ (1.1) có nghiệm y(t) thỏa mãn y(0) = a, y(T ) = b. 2 Chứng minh. Ta có y(t) = S(t)a +  t 0 S(t − s)Bu(s)ds = S(t)a −  t 0 S(t − s)BB ∗ S ∗ (t − s)Q −1 T (S(T )a − b)ds. Dễ thấy y(0) = S(0)a = a. y(T ) = S(T )a −   T 0 S(T − s)BB ∗ S ∗ (T − s)ds  Q −1 T (S(T )a − b) = S(T )a − Q T Q −1 T (S(T )a − b) = b. Bổ đề 1.1.2. Nếu mọi trạng thái b ∈ R n đều đạt được từ 0, khi đó ma trận Q T không suy biến với mọi T > 0. Chứng minh. Xét L T u =  T 0 S(r)Bu(T − r)dr. Suy ra L T u = y u (t) trong đó y u (t) là nghiệm của hệ (1.1) thỏa mãn y u (0) = 0. Đặt E T = L T (L 1 [0, T ; R m ]) là không gian véc tơ con của R n . Vì mọi b ∈ R n đều đạt được từ 0 nên ∪ T >0 E T = R n . Nếu T < T  thì E T ⊂ E T  , từ đó suy ra tồn tại T 0 sao cho E T = R n ,∀T ≥ T 0 . Với mọi T > 0, v ∈ R n , u ∈ L 1 [0, T ; R m ] ta có Q T v, v =    T 0 S(r)BB ∗ S ∗ (r)dr  v, v  =  T 0 B ∗ S ∗ (r)v 2 dr L T u, v =  T 0 u(r), B ∗ S ∗ (T − r)vdr. Vì thế nếu Q T v = 0 với v nào đó thuộc R n , T > 0 thì hàm B ∗ S ∗ (r)v đồng nhất bằng 0 trong [0, T ] cho nên suy ra E T vuông góc với v. Do 3 hàm f(r) = B ∗ S ∗ (r)v là hàm giải tích (có thể khai triển thành chuỗi Taylor vô hạn) và f(r) = 0 với mọi r ∈ [0, T ] cho nên f(r) phải bằng 0 với mọi r ∈ R + . Từ công thức biểu diễn của Q T suy ra Q T v = 0,∀T > 0, cụ thể Q T 0 v = 0 cho nên v vuông góc với E T 0 = R n . Suy ra v = 0. Vậy Q T là không suy biến với mọi T > 0. Xét ánh xạ l n : R m × R m . . . × R m → R n , l n (u 0 , . . . , u n−1 ) = n−1  j=0 A j Bu j , u j ∈ R m , j = 0, . . . , n− 1. Bổ đề 1.1.3. Im(L T ) = Im(l n ) với mọi T > 0. Chứng minh. ∀v ∈ R n , u ∈ L 1 [0, T ; R m ], u j ∈ R m , j = 0, 1 . . . , n − 1 ta có: L T u, v =  T 0 u(s), B ∗ S ∗ (T − s)vds, l n (u 0 , . . . , u n−1 ) = u 0 , B ∗ v + . . . + u n−1 , B ∗ (A ∗ ) n−1 v. Xét v nào đó, giả sử l n (u 0 , . . . , u n−1 ), v = 0,∀u 0 , . . . , u n−1 ∈ R m . Suy ra B ∗ v = . . . = B ∗ (A ∗ ) n−1 v = 0. Theo Định lý Caley - Hamilton (A ∗ ) n + a 1 (A ∗ ) n−1 + . . . + a n = 0. Suy ra (A ∗ ) n = − n  k=1 a k (A ∗ ) n−k = n−1  k=0 c k (A ∗ ) k . Bằng truy hồi thu được (A ∗ ) n+l = n−1  k=0 c l,k (A ∗ ) k , ∀l ≥ 0. 4 Từ đó suy ra B ∗ (A ∗ ) k v = 0,∀k ≥ 0. Do đó B ∗ S ∗ (t)v = B ∗ e A ∗ t v = ∞  k=0 B ∗ (A ∗ ) k v t k k! = 0, ∀t ≥ 0. Suy ra L T u, v =  T 0 u(s), B ∗ S ∗ (T − s)vds = 0,∀u ∈ L 1 [0, T ; R m ], ∀T > 0. Ngược lại, giả sử L T u, v = 0,∀u ∈ L 1 [0, T, R m ]. Suy ra B ∗ S ∗ (t)v = 0 với mọi t ∈ [0, T ]. Đặt f(t) = B ∗ S ∗ (t)v. Suy ra f (n) (0) = 0,∀n ∈ N. Suy ra B ∗ (A ∗ ) k v = 0,∀k ≥ 0. Do đó l n (u 0 , . . . , u n−1 ), v = 0, ∀u 0 , . . . , u n−1 ∈ R m . Vậy Im(L T ) ⊥ = Im(l n ) ⊥ , điều này tương đương với Im(L T ) = Im(l n ). Cho ma trận A ∈ R n×n và B ∈ R n×m . Kí hiệu [A|B] = [B, AB, . . . , A n−1 B]. Định lý sau đưa ra các điều kiện tương đương cho một hệ là điều khiển được. Định lý 1.1.1. Các điều kiện sau là tương đương. 1. Mọi trạng thái b ∈ R n đạt được từ 0. 2. Hệ (1.1) là điều khiển được. 3. Hệ (1.1) là điều khiển được ở thời gian T > 0 nào đó. 4. Ma trận Q T là không suy biến ở T > 0 nào đó. 5. Ma trận Q T không suy biến với mọi T > 0. 5 6. rank[A|B] = n. Điều kiện 6 được gọi là điều kiện hạng Kalman. Chứng minh. Ta có 1 → 5: Áp dụng Bổ đề 1.1.2. 5 → 4: Hiển nhiên. 4 → 3: Q T không suy biến ở thời gian T > 0 nào đó. Áp dụng Bổ đề 1.1.1 suy ra hệ (1) là điều khiển được trong thời gian T. 3 → 2: Hiển nhiên. 2 → 1: Do hệ là điều khiển được nên mọi b ∈ R n đều đạt được từ 0. 3 → 6: Hệ (1.1) là điều khiển được ở thời gian T>0 nào đó. Suy ra L T là toàn ánh. Từ Bổ đề 1.1.3 suy ra l n là toàn ánh. Do đó rank[A|B] = n. 6 → 1: rank[A|B] = n. Suy ra l n là toàn ánh. Từ Bổ đề 1.1.3 suy ra L T là toàn ánh với mọi T > 0. Do đó ∀b ∈ R n đạt được từ 0. Nhận xét: Định lý trên vẫn đúng khi xét hệ trong không gian phức, tức là các ma trận A ∈ C n×n , B ∈ C n×m và điều khiển u ∈ C m . Ví dụ 1.1.1. Xét phương trình vi phân: d n dt n z + a 1 d n−1 dt n−1 z + . . . + a n z = u, với điều kiện ban đầu z(0) = ξ 0 , dz dt (0) = ξ 1 , . . . , d n−1 z dt n−1 (0) = ξ n−1 . Đặt y 1 = z, y 2 = dz dt , y n = d n−1 z dt n−1 , y = (y 1 , . . . , y n ) T . Khi đó phương trình vi phân trên được đưa về hệ phương trình vi phân cấp một: ˙y = Ay + Bu, 6 [...]... tương ứng với giá trị riêng thực λ0 dẫn đến điều mâu thuẫn với điều kiện 2 Vậy 0 ∈ int(Z) hay hệ (1.6) là điều khi n được địa phương Hệ quả 1.3.1 Cho Ω ⊂ Rn thỏa mãn 0 ∈ int(Ω) Khi đó, hệ (1.6) là điều khi n được địa phương khi và chỉ khi rank[A|B] = n Tiếp theo chúng ta xét đến tính điều khi n được toàn cục Định nghĩa 1.3.3 Hệ (1.6) được gọi là điều khi n được toàn cục nếu Z = Rn Định lý 1.3.3 Cho Ω... 1.3.4 Hệ (A, B, Ω) được gọi là điều khi n được toàn cục nếu Z = X, và được gọi là điều khi n được xấp xỉ toàn cục nếu Z = X Định nghĩa 1.3.5 Hệ (A, B, Ω) được gọi là điều khi n được địa phương nếu Z chứa một lân cận của 0, và được gọi là điều khi n được xấp xỉ địa phương nếu Z chứa một lân cận của 0 31 Cho M ⊂ X, kí hiệu M ∗ = {f ∈ X ∗ : f (x) ≥ 0, ∀x ∈ M } Định lý sau mở rộng tính điều khi n được địa... Triggiani [11] Điều kiện hạng Kalman còn được mở rộng cho tính điều khi n được chính xác trong không gian Banach bởi kết quả của V.I Korobov và R Rabah [35] sau 25 Định lý 1.2.11 Hệ (1.5) là điều khi n được chính xác trong [0, T ] khi và chỉ khi tồn tại n ≥ 0 sao cho span{BU, ABU, , An BU } = X 1.3 Tính điều khi n được của hệ có ràng buộc điều khi n Các kiến thức trong mục này được lấy từ các bài báo... không rỗng Khi đó hệ (A, B.Ω) là điều khi n được địa phương khi và chỉ khi 1 Hệ không có ràng buộc (A, B, U ) là điều khi n được toàn cục 2 ker(A∗ − λI ∗ ) (BΩ)∗ = {0} với mọi λ thuộc R Kí hiệu co(Ω) là bao lồi của Ω Định lý về tính điều khi n được xấp xỉ địa phương sau chỉ còn đúng cho điều kiện đủ, xem [14] Định lý 1.3.5 Cho Ω chứa 0 thỏa mãn int(co(Ω)) = ∅ Khi đó hệ (A, B, Ω) là điều khi n được xấp...  = n    cn−2,n−1   cn−1,n−1 Vậy bởi điều kiện hạng Kalman phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với hệ số hằng là điều khi n được Định lý 1.1.2 (Điều kiện hạng Hautus) Hệ (1.1) là điều khi n được khi và chỉ khi rank[A − λI, B] = n với mọi λ ∈ C Chứng minh Một cách tổng quát ta xét A ∈ Cn×n , B ∈ Cn×m Giả sử hệ (1.1) là điều khi n được Khi đó bởi điều kiện hạng Kalman suy ra BCm + ABCm + ... n=0 hệ không điều khi n được chính xác nhưng điều khi n được xấp xỉ Phần cuối của mục này, chúng tôi trình bày vấn đề mở rộng điều kiện hạng Kalman cho hệ điều khi n tuyến tính trong không gian Banach Xét hệ điều khi n   x = Ax + Bu, ˙ (1.5)  x(0) = a ∈ X, u ∈ U, ở đây A : X → X, B : U → X là các toán tử tuyến tính bị chặn, X và U là các không gian Bannach, u ≡ u(t) là điều khi n thuộc L1 [0, T ;... nghĩa 1.2.5 Hệ (1.3) được gọi là điều khi n được xấp xỉ ở a trong thời gian T > 0 nếu RT (a) = E Định nghĩa 1.2.6 Hệ (1.3) được gọi là điều khi n được về không trong thời gian T > 0 nếu một trạng thái tùy ý có thể dịch chuyển đến 0 trong thời gian T > 0 Nhận xét: Điều khi n được về 0 tương đương với Im(S(T )) ⊂ Im(LT ) Trong các định lý sau vẫn giả thiết là E và U là các không gian Hilbert tách được Định... thì điều kiện hạng Kalman để hệ (1.5) điều khi n được là rank[A|B] = rank[B, AB, , An−1 B] = n, hoặc tương đương với span{BU, ABU, , An−1 BU } = X Trong trường hợp tổng quát, X và U là các không gian Banach, chúng ta có định lý sau Định lý 1.2.10 Hệ (1.5) là điều khi n được xấp xỉ trong [0, T ] khi và chỉ khi span{An BU, n ≥ 0} = X 21 Chứng minh Điều kiện cần: giả sử hệ (1.5) là điều khi n được. .. trong Rm với đỉnh ở 0 có phần trong khác rỗng Khi đó hệ (1.6) là điều khi n được toàn cục khi và chỉ khi 1 Hệ không có ràng buộc x = Ax + Bu, u ∈ Rm là điều khi n được hoặc ˙ tương đương rank[A|B] = n 2 Không tồn tại véc tơ riêng f tương ứng với giá trị riêng thực λ của A∗ thỏa mãn f, Bu ≥ 0, ∀u ∈ Ω Chứng minh Vì Ω là một nón nên tập các trạng thái điều khi n được từ 0, Z cũng là một nón, tức là Z = λZ... I Khi đó, nếu Fα C ⊂ C, ∀α ∈ I thì tồn tại véc tơ khác không f ∈ C ∗ (nón liên hợp của nón C) sao cho Fα f = λα f với λα ≥ 0, ∀α ∈ I Sau đây chúng tôi sẽ trình bày kết quả chính về tính điều khi n được địa phương Định lý 1.3.2 Giả sử Ω là tập lồi chứa 0 với phần trong không rỗng Khi đó hệ (1.6) là điều khi n được địa phương khi và chỉ khi 1 Hệ không có ràng buộc x = Ax + Bu, u ∈ Rm là điều khi n được . 1.1 Tính điều khi n được của hệ tuyến tính hữu hạn chiều . 1 1.2 Tính điều khi n được của hệ tuyến tính vô hạn chiều . . 9 1.3 Tính điều khi n được của hệ. lý thuyết điều khi n là tính điều khi n được. Hệ điều khi n tuyến tính ˙x = Ax+Bu, A ∈ K n×n , B ∈ K n×m với K = R hoặc C được gọi là điều khi n được nếu