SKKN môn Toán THPT Phương pháp dựng thiết diện và các dạng toán liên quan tới thiết diện

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM  “ “ P P H H Ư Ư Ơ Ơ N N G G P P H H Á Á P P D D Ự Ự N N G G T T H H I I Ế Ế T T D D I I Ệ Ệ N N V V À À C C Á Á C C D D Ạ Ạ N N G G T T O O Á Á N N L L I I Ê Ê N N Q Q U U A A N N T T Ớ Ớ I I T T H H I I Ế Ế T T D D I I Ệ Ệ N N ” ” PHẦN I: MỞ ĐẦU TÊN ĐỀ TÀI:      VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN   I. Lý do thực hiện đề tài I.1. Cơ sở lý luận: Bài toán dựng thiết diện trong môn hình học không gian là bài toán khó đối với học sinh THPT bởi đây là môn học có phần trừu tượng. Dạng toán liên quan đến thiết diện cũng khá đa dạng và thường xuyên có mặt trong các đề thi đại học, cao đẳng hàng năm. Việc giải quyết một bài toán dựng thiết diện không hề đơn giản, yêu cầu người giải không chỉ nắm vững kiến thức cơ bản mà còn phải biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo và phải cần được thực hành nhiều. I.2. Cơ sở thực tiễn Khi học toán, học sinh thường thấy “sợ” khi nhắc đến hình học không gian, cho rằng rất khó thực hiện được, bằng chứng khi các em đi thi đại học, cao đẳng các em nói rằng bài toán hình không gian thường để cuối nếu có thời gian thì làm còn không còn thời gian thì thôi. Nguyên nhân là các em khó liên hệ giữa hình thật và hình biểu diễn, sự liên hệ logic giữa các yếu tố trong không gian yếu nên nhiều bài toán dễ thành khó đối với các em. Với mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng dạy và học chuyên đề hình học không gian, đem lại cho học sinh cách nhìn thấu đáo về bài toán thiết diện, giúp các em định hướng được đường hướng giải cho dạng bài tập này, tôi viết thành chuyên đề riêng về thiết diện và các dạng toán liên quan. I.3. Khảo sát thực tế trước khi thực hiện đề tài: Cho học sinh lớp 11 (48 em) làm bài tập sau: Cho hình chóp đều S.ABC đỉnh S chiều cao h, đáy là tam giác đều cạnh a. Qua AB dựng một mặt phẳng vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện theo a và h. (Đề thi ĐH giao thông vận tải năm 2001 khối A)  + 27,08% (13/48) học sinh kẻ đồng thời AH  SC, BK  SC rồi không biết kết luận thế nào, có em kết luận thiết diện là tứ giác AHKB. + 33,33% (16/48) học sinh kẻ AH  SC (hoặc BH  SC) rồi khẳng định tam giác AHB là thiết diện cần dựng mà không lí luận gì (không biết lí giải tại sao). + 18,75 % (9/48) học sinh kẻ BH  SC sau đó chứng minh CHB = CHA (cgc) suy ra AH  SC thiết diện là tam giác AHB. + 20,84 % (10/48) học sinh biết gọi M là trung điểm AB và chứng minh AB  (SMC) sau đó dựng MH  SC được thiết diện là tam giác AHB. Nguyên nhân: Ít em học sinh nghĩ đến việc gọi M là trung điểm AB để tạo ra mặt phẳng phụ chứng minh AB  SC từ đó kẻ MH  SC suy ra thiết diện bởi vấn đề thiết diện không được cung cấp kiến thức một cách bài bản để học sinh có định hướng phát hiện vấn đề (sách giáo khoa phần lí thuyết đề cập rất ít về vấn đề này). Vì những lý do trên nên tôi đã chọn đề tài này. II. Phƣơng pháp nghiên cứu: 1. Phương pháp nghiên cứu lí luận 2. Phương pháp điều tra lí luận thực tiễn 3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm 4. Phương pháp thống kê III. Đối tƣợng nghiên cứu Các bài toán dựng thiết diện giữa mặt phẳng và hình chóp, hình lăng trụ. Các bài toán tính toán liên quan đến thiết diện, các bài toán liên quan đến phân chia khối đa diện… IV. Bố cục đề tài Đề tài gồm hai phần nội dung chính: Cách dựng thiết diện Ở phần này, tác giả tập trung phân tích phương pháp dựng thiết diện trong trường hợp tổng quát, trong trường hợp có quan hệ song song, quan hệ vuông góc. Phương pháp được thể hiện qua một số ví dụ chọn lọc. : Một số bài toán liên quan đến thiết diện. Trong phần này, tác giả đi vào hai bài toán liên quan đến thiết diện: - Tính diện tích thiết diện và bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện. - Tính tỉ số thể tích khối đa diện khi được phân chia bởi thiết diện. Phần này dùng để dạy cho học sinh lớp 12. V. Ứng dụng thực tế Dùng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh lớp 11, 12 học sinh ôn thi đại học, học sinh ôn thi học sinh giỏi. Thời gian nghiên cứu: 01 năm. PHẦN II: NỘI DUNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT 1. Khái niệm thiết diện (mặt cắt): Cho hình T và mặt phẳng (P). Phần mặt phẳng của (P) nằm trong T được giới hạn bởi các giao tuyến sinh ra do (P) cắt một số mặt của T được gọi là thiết diện (mặt cắt). 2. Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng nếu có cũng song song với hai đường thẳng ấy hoặc trùng với một trong hai đường thẳng ấy. 3. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng nếu có cũng song song với đường thẳng đó. 4. Các cách xác định mặt phẳng: + Biết ba điểm không thẳng hàng + Hai đường thẳng cắt nhau. + Một điểm nằm ngoài một đường thẳng. + Hai đường thẳng song song. 5. Một số lưu ý: - Giả thiết mặt phẳng cắt là (P), hình đa diện là T. - Dựng thiết diện là bài toán dựng hình nhưng chỉ cần nêu phần dựng và phần biện luận nếu có. - Đỉnh của thiết diện là giao của mặt phẳng (P) và các cạnh của hình T nên việc dựng thiết diện thực chất là tìm giao điểm của (P) và các cạnh của T. - Mặt phẳng (P) có thể không cắt hết các mặt của T. - Các phương pháp dựng thiết diện được đưa ra tùy thuộc dạng giả thiết của đầu bài. - Các bài toán liên quan tới thiết diện thường là: + Tính diện tích thiết diện + Tìm vị trí mặt phẳng (P) để thiết diện có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất + Thiết diện chia khối đa diện thành 2 phần có tỉ số cho trước (hoặc tìm tỉ số giữa 2 phần). - Các ví dụ được đánh thứ tự liên tục từ đầu cho đến hết chuyên đề. B. NỘI DUNG CHÍNH I. Một số phƣơng pháp dựng thiết diện I.1.        Ba    àng, hai    . 1. Phƣơng pháp giải Trước tiên ta tìm cách xác định giao tuyến của (P) với một mặt của T (thường được gọi là giao tuyến gốc). Trên mặt phẳng này của T ta tìm thêm giao điểm của giao tuyến gốc và các cạnh của T nhằm tạo ra thêm một số điểm chung. Lặp lại quá trình này với các mặt khác của T cho tới khi tìm được thiết diện. 2. Ví dụ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD, AB > CD). Gọi I, J là trung điểm SB, SC. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (AIJ). Giải: Ta có mặt phẳng cắt qua ba điểm không thẳng hàng A, I, J. Có 2 giao tuyến gốc là AI, IJ. Kéo dài AD cắt BC tại K, kéo dài IJ cắt SK tại E ta có E là điểm chung của (AIJ) và (SAD). Nối AE cắt SD tại F ta có AF, FJ là các đoạn giao tuyến tiếp theo. Thiết diện là tứ giác AIJF. F E I J K A D C B S Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ các điểm M, N nằm trong các đoạn thẳng AD, AB. Dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (MNC’). Giải: Ta có MN là đoạn giao tuyến gốc. Ta tìm thêm giao điểm của MN và các cạnh hình bình hành ABCD. Kéo dài MN cắt CB. CD tại E, F ta có thêm 2 giao điểm mới. Nối C’E cắt BB’ tại I, nối C’F cắt DD’ tại J. Ta được thiết diện là ngũ giác MNIC’J. J I E F B A C B' D' C' A' D M N Nhận xét: Trường hợp giao tuyến gốc chưa tìm thấy ngay, thì để dựng nó thường phải giải bài toán phụ: Tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng. Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằm trong các tam giác DAB, DBC, ABC. Dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (MNP). Giải: Chưa có giao tuyến gốc giữa mặt phẳng cắt và tứ diện. Mặt phẳng(MNP) có điểm chung P với mặt phẳng (ABC) nên để tìm điểm chung nữa ta tìm giao điểm O của MN với (ABC). Kéo dài DM cắt AB tại M 1 , kéo dài DN cắt BC tại N 1 mặt phẳng (DM 1 N 1 ) chứa MN cắt (ABC) theo giao tuyến M 1 N 1 nên O là giao điểm của MN và M 1 N 1  OP là giao tuyến gốc. Nối OP cắt AB. BC tại E, F. N 1 M 1 I N O M A B C D K E F P Hình a N 1 M 1 I E N O A B C D P F M Tùy theo vị trí OP trong tam giác ABC ta có thiết diện là tứ giác EFIK (hình a) hoặc tam giác EFI (hình b) Khi MN // M 1 N 1 thì giao tuyến gốc là đường thẳng qua P song song với M 1 N 1 . Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (ABCD) sao cho d song song với BD, M là trung điểm cạnh SA. Hãy xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (M, d) trong các trường hợp: a. Đường thẳng d không cắt cạnh nào của đáy ABCD. b. Đường thẳng d đi qua điểm C. Giải: Hình b a) d là giao tuyến gốc ta tìm thêm giao điểm của d với các cạnh tứ giác ABCD Gọi H, E, F là giao điểm của AB. AC, AD với d. Xét (M, d) và (SAB) có M, H chung nối MH cắt SB tại N ta có một đoạn giao tuyến MN. Tương tự nối ME cắt SC tại P, nối MF cắt SD tại Q. Thiết diện là tứ giác MNPQ. P N Q A H F S B D E M C b) Tương tự phần a. lúc này EC thiết diện là tứ giác MNCQ. E  C N Q A H F S B D M Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Gọi M, N là trọng tâm các tam giác SAB và SAD; E là trung điểm CB. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNE). Giải: Gọi I là trung điểm SA. Ta có M thuộc BI, N thuộc DI. Từ 1 // 3 IM IN MN BD IB ID    . Xét mặt phẳng (MNE) và mặt phẳng (ABCD) có E chung và MN // BD nên (MNE) cắt (ABCD) theo giao tuyến EF // BD (F  CD). G F E P K N M I A B C D S Q Ta có EF là giao tuyến gốc. Gọi G là giao điểm EF và AD ta có G là điểm chung của (MNE) và (SAD). Nối GN cắt SD, SA tại P, Q, nối QM cắt SB tại K, nối KE, PF. Ta có thiết diện là ngũ giác EFPQK. Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng tính chất: Nếu 2 mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó. I.2. Mặt phẳng (P) đƣợc cho bởi các tính chất song song I.2.1 d   l. 1. Phƣơng pháp Trên (P) mới có đường thẳng d, để (P) xác định ta dựng đường thẳng d’ cắt d và d’ // l. Cách dựng: Ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d sao cho giao điểm A của d và (Q) dựng được ngay. Trong mặt phẳng (Q) ta dựng d’ qua A và d’ // d khi đó (P) xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau d và d’. 2. Ví dụ Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình bình hành, H là điểm thuộc cạnh SC. Dựng thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) chứa AH và song song với BD. [...]... kẻ qua F đường thẳng và song song với AB cắt SB tại E Nối EN được thiết diện là tứ giác MNEF Nhận xét: Qua một số phương pháp giải và các ví dụ minh hoạ học sinh đã nắm được cách dựng thiết diện Tuy nhiên đề dựng được thành thạo học sinh cần phải thực hành nhiều II Các bài toán liên quan đến thiết diện II.1 Tính diện tích thiết diện, xác định vị trí mặt phẳng cắt để thiết diện có diện tích lớn nhất,... 3 3a 2 khi và chỉ khi x  8 4 3a 3 3a 2 Vậy giá trị lớn nhất của diện tích thiết diện bằng khi x  8 4 Ví dụ 25:(Tham khảo đề thi ĐH khối B 2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tìm điểm M thuộc AA’ sao cho mặt phẳng (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất Giải: A' D' Gọi O là tâm hình lập phương và E là tâm đáy ABCD Đặt AB = a Do các mặt đối diện của hình lập phương song... có IH  MN và IH = a 2 Vậy SIMN = 1 a2 IH MN  2 6 Ví dụ 22: (Học viện quan hệ quốc tế năm 1999 khối D) Cho tứ diện ABCD, M là điểm thuộc cạnh AB (P) là mặt phẳng qua M song song với AC và BD a Xác định thiết diện với tứ diện cắt bởi (P) b Xác định vị trí M để thiết diện là hình thoi c Xác định vị trí M để thiết diện có diện tích lớn nhất Giải: A a Mặt phẳng (ABC) là mặt phẳng chứa M và AC, qua M... giác ABC Xét mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với AA’ Đặt AM = x ( a 3 a 3 x ) 3 2 a Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P) b Tính diện tích thiết diện vừa dựng theo a và x Tìm x để thiết diện đó lớn nhất Giải: a Theo giả thiết M thuộc OA’ S Ta có SO  (ABC)  SO  AA’, tam giác ABC đều nên BC  AA’ Vậy (P) qua M song song với SO và BC G N H Xét (P) và (ABC) có M chung Do (P) // BC nên... a’ qua M Ta tìm thêm giao điểm của a’ với các cạnh của đa giác trong (R) Tiếp tục quá trình với các giao điểm mới cho tới khi dựng được thiết diện 2 Ví dụ Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB // CD) Điểm M thuộc cạnh BC không trùng với B và C Dựng thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P) qua M và song song với mặt phẳng (SAB) Thiết diện là hình gì? Giải: Ta có (ABCD) chứa M,... phẳng qua d và C’ a Thiết diện của hình lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) là hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a b Tính góc giữa (P ) và (ABCD) Giải: a Gọi I, J là giao điểm của d và CD, BC, D' C' M  d  JC ', N  d  IC ' A' Thiết diện là tứ giác AMC’N Ta có tứ giác AMC’N là hình bình hành và M, N là trung điểm của BB’, DD’ Từ đó suy ra AN=NC’ kết hợp AMC’N là hình bình hành nên thiết diện là hình... lấy các điểm M, N sao cho MB’ = ND’ = a Dựng thiết diện của hình lập phương cắt bởi 3 mặt phẳng (AMN) Tính thể tích mỗi phần của hình lập phương bị chia bởi thiết diện và tỉ số thể tích giữa 2 phần đó Giải: Gọi K  AM  A' B '; L  AN  A' D ' Đường thẳng KL cắt B’C’, C’D’ tại F, E Mặt phẳng (AMN) cắt hình lập phương theo thiết diện là ngũ giác AMFEN Gọi V, V1, V2 lần lượt là thể tích khối lập phương, ... nhất, nhỏ nhất 1 Một số lƣu ý: - Thiết diện là đa giác nằm trong mặt phẳng cắt nên tính diện tích thiết diện là tính diện tích đa giác trong mặt phẳng Vì vậy ta có thể áp dụng tất cả các phương pháp đã biết về tính diện tích đa giác trong mặt phẳng để tính - Công thức diện tích tam giác: 1 1 abc S  ah  ab sin C   pr  p  p  a  p  b  p  c  2 2 4R - Công thức diện tích tứ giác bất kì ABCD:... khối đa diện T1, T2 có thể có hình dạng phức tạp Để tính một trong 2 khối giả sử V1 ta thường là như sau: + Bổ sung vào T1 một số tứ diện để được một đa diện có thể tính được thể tích Khi đó V1 là hiệu số giữa thể tích đó và tổng các thể tích các tứ diện bổ sung cho T1 + Chia T1 thành các khối đơn giản tính thể tích từng khối rồi cộng lại Ví dụ 31: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên các cạnh... MF, EN A M Thiết diện là tứ giác MENF b Theo cách dựng thiết diện ở phần a) thiết diện là hình thang MENF (ME // NF) ta có 1 ME  BC nên để MENF là hình 2 1 bình hành thì NF  BC hay N là 2 F E D B N C trung điểm CD Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tứ diện, E là điểm thuộc cạnh BC Hãy dựng thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua EG và song song với AD Giải: A A F F M M G B E J J N . nghiên cứu Các bài toán dựng thiết diện giữa mặt phẳng và hình chóp, hình lăng trụ. Các bài toán tính toán liên quan đến thiết diện, các bài toán liên quan đến phân chia khối đa diện IV. Bố cục. bài toán liên quan đến thiết diện. Trong phần này, tác giả đi vào hai bài toán liên quan đến thiết diện: - Tính diện tích thiết diện và bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của diện. bài. - Các bài toán liên quan tới thiết diện thường là: + Tính diện tích thiết diện + Tìm vị trí mặt phẳng (P) để thiết diện có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất + Thiết diện chia khối đa diện