Đề học sinh giỏi toán 12-số 28

1. Tìm tất cả các tập hữu hạn S có ít nhất 3 điểm trong mặt phẳng sao cho với mọi 2 điểm khác nhau A và B thuộc S, đường trung trực của AB là trục đối xứng của S. 2. Cho trước số nguyên n 2. Tìm hằng số nhỏ nhất C sao cho với mọi số thực không âm x 1 , , x n ta có: . Dấ u đẳng thứ c xảy ra khi nào? 3. Cho một b ảng vuông n x n với n ch ẵn. Hai ô vuông khác nhau của b ảng đượ c gọi là kề nhau nếu chúng có chung m ột cạnh (nh ưng mộ t ô vuông không thể đượ c gọi là k ề với chính nó). Tìm số nhỏ nhất có th ể các ô vuông được đánh dấu sao cho m ỗi ô vuông (đ ánh dấu hoặ c không) là kề với ít nhất một ô vuông đánh dấu. 4. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (n, p) sao cho: p là một số nguyên tố, n 2p và (p - 1) n + 1 chia hết cho n p-1 . 5. Hai đường tròn C 1 và C 2 nằm trong đường tròn C và tiếp xúc với đường tròn C tương ứng tại M và N. Đường tròn C 2 đi qua tâm của đường tròn C 1 . Dây cung chung của C 1 và C 2 kéo dài cắt đường tròn C tại A và B. Đường thẳng MA, MB cắt C 1 tại điểm thứ hai là E và F. Chứng minh rằng đường thẳng EF tiếp xúc với C 2 . 6. Xác đị nh tất c ả các hàm f : R R sao cho f(x - f(y)) = f(f(y )) + xf(y) +f(x) - 1 vớ i mọi x, y R, (R - là tậ p các số th ực).