Đề học sinh giỏi toán 12-số 19

1. Cho p n (k) là số phép hoán vị của tập {1, 2, 3, , n} trong đó có k điểm cố định. Ch ứ ng minh r ằ ng: = n! (Hoán v ị f c ủ a t ậ p S là ánh x ạ 1 - 1 : S S. Ph ầ n t ử i c ủ a S đượ c g ọ i là c ố đị nh n ế u f(i) = i.) 2. Cho tam giác nhọ n ABC. Đường phân giác trong củ a góc A cắt BC tạ i L và cắt đường tròn ngoạ i tiếp tam giác t ại N. Gọi K, M l ần lượ t là chân đương vuông góc hạ từ L xu ống AB, AC. Ch ứ ng minh r ằ ng: di ệ n tích c ủ a t ứ giác AKNM và di ệ n tích c ủ a tam giác ABC là b ằ ng nhau. 3. Cho x 1 , x 2, x 3 , , x n là các số thực thoả mãn: x 1 2 + x 2 2 + + x n 2 = 1. Chứng minh rằng: với mọi số nguyên k 2 tồn tại các số nguyên a 1 , a 2 , , a n không đồng thời bằng 0 sao cho |a i | k -1 với mọi i, và |a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n | . 4. Chứ ng minh rằ ng không tồn t ại hàm f : R 1 R 1 , R 1 - là tậ p các số nguyên không âm, sao cho: f(f(n)) = n + 1987 vớ i mọi n. 5. Cho n là một s ố nguyên (n 3). Chứ ng minh rằ ng tồn t ại mộ t tập n đi ểm trong mặ t phẳng sao cho khoả ng cách giữa hai đi ểm bấ t kì là một sô vô t ỉ và m ỗi tậ p gồm 3 điể m xác đị nh một tam giác không suy thoái v ới diệ n tích là mộ t số h ữu tỉ . 6. Cho n là m ột số nguyên (n 2). Chứ ng minh rằng: n ếu k 2 + k + n là mộ t số nguyên t ố vớ i mọi số nguyên k thỏa mãn 0 k thì k 2 + k + n là một số nguyên tố với mọi k: 0 k n - 2. . tồn t ại hàm f : R 1 R 1 , R 1 - là tậ p các số nguyên không âm, sao cho: f(f(n)) = n + 198 7 vớ i mọi n. 5. Cho n là một s ố nguyên (n 3). Chứ ng minh rằ ng tồn t ại mộ t tập