Đề học sinh giỏi toán 12-số 26

1. Trong mặt phẳng có các điểm với toạ độ nguyên là đỉnh của các hình vuông đơn vị. Các hình vuông này được tô màu xen kẽ trắng - đen giống như trên bàn cờ. Với bất kì cặp số nguyên dương (m, n) xét tam giác vuông có các đỉnh có toạ độ nguyên và hai cạnh bên có độ dài là m, n nằm dọc theo các cạnh của các hình vuông. Gọi S 1 là t ổng diệ n tích phần đ en của tam giác, và S 2 là tổng diện tích phần trắng. Và đặt f(m, n) = |S 1 - S 2 |. (a) Tính f(m, n) v ớ i m ọ i s ố nguyên d ươ ng m, n mà ho ặ c là c ả 2 đề u ch ẵ n ho ặ c là c ả 2 đề u l ẻ . (b) Chứ ng minh rằng: f(m, n) v ới mọi m, n. (c) Chỉ ra không tồ n tại m ột hằng s ố C sao cho f(m, n) < C với m ọi m, n. 2. Cho tam giác AB C có góc A nh ỏ nh ấ t. Hai đ i ể m B, C c ủ a tam giác chia đườ ng tròn ngo ạ i ti ế p tam giác ra làm hai cung. G ọ i U là m ộ t đ i ể m n ằ m trong m ộ t cung gi ữ a B và C (cung không chứa A). Đường trung trực của AB và AC cắt AU tương ứng tại V và W. Các đường thẳng BV và CW cắt nhau tại T. Hãy chứng minh: AU = TB + TC. 3. Cho x 1 , x 2 , , x n là các số thực thoả mãn |x 1 + x 2 + x n | = 1 và |x i | với mọi i. Chứng minh rằng tồn tại một hoán vị y i của x i sao cho: |y 1 + 2y 2 + + ny n | . 4. Ma tr ận n x n được tạ o từ t ập S = {1, 2, , 2n -1} đượ c gọ i là ma trận Silver n ếu vớ i mỗ i i = 1, 2, , n tất c ả các ph ần tử ở c ột thứ i và hàng thứ i gộp l ại chứ a tấ t cả các ph ần tử của S. Hãy chứng minh r ằng: (a) Không tồ n tạ i ma trận Silver v ới n = 1997. (b) T ồn t ại vô số ma trận Silver. 5. Tìm t ất cả các cặ p (a, b) của các s ố nguyên dươ ng thoả mãn: . 6. V ớ i mỗ i s ố nguyên dươ ng n g ọ i f(n) là số cách bi ể u diễ n n theo t ổ ng các luỹ th ừ a củ a 2 với số mũ không âm (không xét sự hoán vị các số hạng). Ví dụ: f(4) = 4 vì 4 có thể biểu diến thành: 4, 2 + 2, 2 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1. Chứng minh rằng: với bất kì số nguyên n 3 thì: . . S 2 |. (a) Tính f(m, n) v ớ i m ọ i s ố nguyên d ươ ng m, n mà ho ặ c là c ả 2 đề u ch ẵ n ho ặ c là c ả 2 đề u l ẻ . (b) Chứ ng minh rằng: f(m, n) v ới mọi m, n. (c) Chỉ ra không tồ n