1. Cho m, n là những số nguyên dương thoả mãn: Chứng minh rằng: m chia hết cho 1979. 2. Hình l ă ng tr ụ có các m ặ t trên và m ặ t đ áy là các ng ũ giác A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 và B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 . M ỗ i c ạnh củ a hai ngũ giác và củ a 25 đoạ n A i B i được tô màu đỏ hoặc xanh. Mọi tam giác mà các đỉnh là đỉnh củ a hình lăng trụ , tất cả các cạnh c ủa nó đều được tô màu sẽ có hai cạnh đượ c tô màu khác nhau. Chứng minh rằng tất cả 10 cạnh của mặt trên và mặt dưới của hình lăng trụ được tô màu giống nhau. 3. Trong một mặt phẳng cho hai đường tròn giao nhau. A là một trong các giao điểm đó. Đồng thời bắt đầu từ A hai điểm di chuyển với tốc độ không đổi, mỗi một điểm di chuyển theo m ộ t đườ ng tròn và cùng h ướ ng. Hai đ i ể m tr ở l ạ i A cùng m ộ t lúc (t ứ c là sau m ộ t vòng). Ch ứ ng minh r ằ ng t ồ n t ạ i m ộ t đ i ể m c ố đị nh P trong m ặ t ph ẳ ng sao cho hai đ i ể m chuy ể n độ ng đó luôn cách đều P. 4. Cho mặt phẳng k, một điểm P trong k và một điểm Q ngoài k. Tìm tất cả các điểm R trong k sao cho tỷ số : lớn nhất. 5. Tìm tấ t cả các s ố thự c a sao cho tồn t ại các s ố thự c không âm x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 thoả mãn: 6. Cho A và E là hai đỉ nh đố i di ệ n củ a bát giác. M ột con ế ch b ắt đầ u nh ảy t ạ i đỉnh A. T ừ m ột đỉnh bất kì (khác E) nó nhảy tới một trong hai đỉnh liền kề. Khi tới E thì nó dừng lại. Cho a n là số đường đi khác nhau sau n bước nhảy kết thúc tại E. Chứng minh rằng: a 2n-1 = 0 . đỏ hoặc xanh. Mọi tam giác mà các đỉnh là đỉnh củ a hình lăng trụ , tất cả các cạnh c ủa nó đều được tô màu sẽ có hai cạnh đượ c tô màu khác nhau. Chứng minh rằng tất cả 10 cạnh của mặt. m ộ t đ i ể m c ố đị nh P trong m ặ t ph ẳ ng sao cho hai đ i ể m chuy ể n độ ng đó luôn cách đều P. 4. Cho mặt phẳng k, một điểm P trong k và một điểm Q ngoài k. Tìm tất cả các điểm