Đề học sinh giỏi toán 12-số 5

1. Chứng minh rằng tồn tại vô số các số nguyên dương m để n 4 + m không là số nguyên tố với mọi n nguyên dương. 2. Cho f(x) = trong đó a i là các hằng số thực, x là biến thực. Chứ ng minh rằng: Nế u f(x 1 ) = f(x 2 ) = 0 thì (x 1 - x 2 ) = k π , v ới k là một s ố nguyên. 3. V ới mỗi k = 1, 2, 3, 4, 5 tìm điề u kiện cầ n và đủ v ới a > 0 sao cho tồn t ại mộ t tứ diệ n có k cạnh chi ều dài a và các cạnh còn l ại có chiề u dài là 1. 4. C là một điểm n ằm trên nử a đường tròn đườ ng kính AB (ở giữ a A và B). D là chân đường vuông góc k ẻ từ C xuống AB. Đườ ng tròn K 1 nội ti ếp tam giác ABC, đường tròn K 2 tiếp xúc với CD, DA và nửa đường tròn đường kính AB. Đường tròn K 3 tiếp xúc với CD, DB và nửa đường tròn đường kính AB. Chứng minh rằng K 1 , K 2 , K 3 có chung một tiếp tuyến khác AB. 5. Cho n điểm nằm trong một mặt phẳng (n > 4), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có nhiều nhất tứ diện lồi có các đỉnh trong số n điểm trên. 6. Cho các số th ực x 1 , x 2 , y 1 , y 2 , z 1 , z 2 thoả mãn x 1 > 0, x 2 > 0, x 1 y 1 > z 1 2 và x 2 y 2 > z 2 2 . Chứ ng minh rằng: Đi ều ki ện cầ n và đủ để dấ u đẳ ng thức x ảy ra. . f(x 2 ) = 0 thì (x 1 - x 2 ) = k π , v ới k là một s ố nguyên. 3. V ới mỗi k = 1, 2, 3, 4, 5 tìm điề u kiện cầ n và đủ v ới a > 0 sao cho tồn t ại mộ t tứ diệ n có k cạnh chi ều dài. đường tròn đường kính AB. Chứng minh rằng K 1 , K 2 , K 3 có chung một tiếp tuyến khác AB. 5. Cho n điểm nằm trong một mặt phẳng (n > 4), trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng