- Tính đạo hàm , lập bảng biến thiên để suy ra kết quả.
Trang 1Chuyên đề:PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN-TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
BÀI TẬP: TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
1/ Xác định m để pt sau có nghiệm:
m( 1 + 𝑥2 – 1 − 𝑥2 +2) = 2 1 − 𝑥4 + 1 + 𝑥2 – 1 − 𝑥2 (1)
Hd: t = 1 + 𝑥2 – 1 − 𝑥2 đk: -1 x 1 thì 0 t≤ 2 ,ta có t2= 2 - 2 1 − 𝑥4 nên 1 − 𝑥4 = 2−𝑡
2 2
Pt trở thành : mt + 2m = 2 – t2 + t Hay là f(t) = −𝑡
2 +𝑡+2 𝑡+2 = m (2) -Tìm Max ,Min của f(x) trên 0; 2 Đk Min f(x) m Max f(x)
2/ Tìm m để pt sau có 2 nghiệm phân biệt: x2 mx 2 2 x 1 (1)
Hd: x - 12 Bình phương hai vế viết pt thành: f(x) = 3𝑥
𝑥 = m (2) -Hàm số f(x) đồng biến với mọi x : 𝑥 ≠ 0
𝑥 ≥ −12 Do đó pt có 2 nghiệm khi m f(- 1
2) = 92 3/ Xác định m để pt sau có nghiệm thực : 3 x 1 m x 1 24x2 1 (1)
Hd: Đk x 1 - Chia hai vế pt cho 𝑥 + 1 > 0 , được : 3( 4 𝑥−1𝑥+1 )2 + m = 2 4 𝑥−1𝑥+1
- Đặt t = 4 𝑥−1𝑥+1 ta có 0 t 1 được phương trình f(t) = - 3t2+ 2t = m (2)
- Pt (1) có nghiệm t/mãn x 1 Khi pt (2) có nghiệm t/mãn: 0 t 1
Đkiện Minf(x)≤ 𝑚 ≤ Maxf(x) Ta thấy trên nửa đoạn 0; 1) hàm số f(t) có Max= f(1
3 ) và không có Min
Do đó suy ra : f(1) m f(13) Tức là : - 1 m 1
3 (chú ý với mọi x 1 thì 0 t 1) 4/ Cmr với m > 0, phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt x2 2 x 8 m x ( 2) (1)
Hd: Đk x 2 Viết pt thành (x -2)2 + 6(x-2) = 𝑚 𝑥 − 2 𝑓 𝑡 = 𝑡3+ 6𝑡 = 𝑚
𝑡 = 𝑥 − 2 ≥ 0 (2) -P/trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt thoả mãn x 2 khi p/trình (2) có 2 nghiệm thực t/mãn t 0
Vì ứng với mỗi giá trị t 0 cho ta một giá trị x = t2 + 2 (Do t = 𝑥 − 2 )
5/ Xác định m để pt sau có nghiệm: ( x 1)(3 x ) x2 2 x 3 m (1)
Hd: Đkiện: – 1 x 3 Viết p/trình thành − 𝑥2+ 2𝑥 + 3 = 𝑥2− 2𝑥 − 3 + 3m + 3 Đặt t = − 𝑥2+ 2𝑥 + 3 , Thì 0 ≤ 𝑡 ≤ 2 Ph/trình trở thành : - t2 + t = 3m + 3 f(t) = - 1
3 t2 + 13 t - 1 = m (2) -P/trình (1) có nghiệm t/mãn – 1 x 3 khi và chỉ khi p/trình (2) có nghiệm t/mãn 0 ≤ 𝑡 ≤ 2
- Ta có trên 0; 2 :Maxf(t) = f(12) = - 11
12; Minf(t) = f(2) = -
5
3 Do đó p/trình có nghiệm khi: -
5
3 ≤ m - 1112 6/ Xác định m để pt sau có đúng 2 nghiệm : x2 4 x 5 m 4 x x 2 (1)
Hd: txđ: R Viết p/trình thành: x2 – 4x + 5 + 𝑥2− 4𝑥 + 5 - 5 = m Đặt t = 𝑥2− 4𝑥 + 5 (*) , t 1
-Ta có p/trình : f(t) = t2 + t – 5 = m (2)
- P/trình (1) có hai nghiệm khi p/trình (2) có một nghiệm thoả mãn t 1.Vì với mỗi giá trị của t thoả
mãn t 1 thay vào (*) ta được hai giá trị x thuộc R,(với t = 1 thì p/trình chỉ có một nghiệm x = 2).Từ đó suy
ra : m f(1) = - 3 m - 3 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm
7/ Xác định m để pt sau có nghiệm: 3 x 6 x (3 x )(6 x ) m (1)
Hd: Đkiện: – 3 x ≤ 6 Đặt t = 3 + 𝑥 + 6 − 𝑥 thì 0 t 6 ; Ta có : 3 + 𝑥 (6 − 𝑥) =𝑡2−9
2
Do đó ta có pt : f(t) = 1
2 t
2
– t - 9
2 = m (2) -Để pt (1) có nghiệm : – 3 x ≤ 6 thì pt (2) phải có nghiệm t thoả mãn 0 t 6 Điều kiện m phải thuộc tập giá trị của hàm số ,với 0 t 6 Tức là Minf(t) m Maxf(t) Với 0 t 6
Trang 2Chuyên đề:PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN-TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
Ta có Minf(t) = f(1) = -5 và Maxf(t) = f( 6) = −3−2 6
2 Như vậy để pt có nghiệm thì : -5 m −3−2 6
2 8/ Xác định m để pt sau có đúng 1 nghiệm : 4x4 13 x m x 1 0 (1)
Hd: -Viết pt thành 𝑥4 4− 13𝑥 + 𝑚 = 1 – x Đkiện : x 1
- Nâng luỹ thừa bậc 4 cả hai vế được : x4 – 13x + m = x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1
Hay là f(x) = – 4x3 + 6x2 + 9x + 1 = m (2)
-Tính đạo hàm f ‘(x) = - 12x2 +12x +9 = 0 khi x1 = - 1
2 , x2= 3
2 … (Lập bảng biến thiên)
- Suy ra :Để pt (1) có đúng một nghiệm thì m f(1) = 9 (lúc m f(1) = 9 mặc dù pt (2) có hai nghiệm nhưng chỉ có một nghiệm thoả mãn x 1) Vậy m 9
9/ Xác định m để pt sau có nghiệm : 2𝑥2+ 𝑚𝑥 = 3 - x
Hd: Đkiện: x 3 Bình phương hai vế ,được pt tương đương : 2x2
+ mx = x2 – 6x + 9 - x2
- 6x + 9 = mx -Chia hai vế cho x 0 được pt : f(x) = −𝑥2−6𝑥+9
𝑥 = m f(x) = - x – 6 + 𝑥9 = m ,có f ‘(x)= -1- 𝑥92 0 với 𝑥 ≤ 3
𝑥 ≠ 0 Suy ra :Phương trình luôn có nghiệm ,với mọi m 𝜖 R 10/ Xác định m để pt sau có nghiệm : x2 x 1 x2 x 1 m
Hd: Txđ : R Tính đạo hàm ,lập bbt với hàm số f(x) = 𝑥2+ 𝑥 + 1 - 𝑥2− 𝑥 + 1 để suy ra kết quả mong muốn 11/ Xác định m để pt sau có nghiệm duy nhất : 1 x2 2 13 x2 m (1)
Hd: Đkiện: – 1 x ≤ 1 Đặt t = 1 − 𝑥6 2 thì 0 t 1 p/trình trở thành : f(t) = t3 + 2t2 = m (2)
-Pt (1) có nghiệm thoả mãn – 1 x ≤ 1 pt (2) có nghiệm thoả mãn 0 t 1
- Tính đạo hàm , lập bảng biến thiên để suy ra kết quả
12/Xác định m để pt sau có nghiệm duy nhất :
x 1 x 2 m x (1 x ) 24 x (1 x ) m3
13/ Xác định m để pt sau có nghiệm: 𝑥 + 9 − 𝑥 = −𝑥2+ 9𝑥 + m (1)
Hd: Đkiện: 0 x 9 Đặt t = 𝑥 + 9 − 𝑥 thì 0 t ≤ 3 Vì t2
= 9 + 2 −𝑥2+ 9𝑥 −𝑥2+ 9𝑥 = 𝑡2−9
2
Ta có ptrình : t = 𝑡2−9
2 + m Hay là f(t) = -𝑡2
2 + t +
9
2 = m (2) -Tìm m để pt (1) có nghiệm : 0 x 9 tương đương tìm m để pt (2) có nghiệm 0 t ≤ 3
-Đ/kiện : Minf(t) m Maxf(t) trên 0; 3 Ta có Minf(t) = f(3) = 3 , Maxf(t) = f(1) = 5 Vậy 3 m 5 Thì pt đã cho có nghiệm
14/ Xác định m để pt sau có nghiệm:(m – 4)9x –2(m -2)3x + m – 1=0 (1)
Hd: Txđ : R
-Thấy x = 0 không phải là nghiệm của pt Do đó viết pt thành : m = 4.9𝑥−4.3𝑥+1
9𝑥−2.3𝑥+1 m = (2.3x−1)2
(3x−1)2 (*) Suy ra :- Đk cần : m 0
-Đk đủ:Từ pt (*) có 𝑚 = 2 + 1
3𝑥−1
𝑚 = 2 + 3𝑥 −11
𝑚 = − 2 − 3𝑥 −11
3𝑥 = 𝑚 − 2 𝑚 −1
3𝑥 = 𝑚 + 2 𝑚 +1 (vì 3𝑥> 0 ∀𝑥 )
𝑚 𝜖 0;1 ∪ 4 ;+∞)
15/Cho phương trình : 4 1−𝑥2−21− 1−𝑥2= m với m là tham số (1)
- Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm
Hd: Đk : -1 x 1 Đặt t = 2 1−𝑥2thì ta có 1 t 2 , phương trình trở thành: f(t) = t2 - 2
𝑡 = m (2)
- Tìm m để pt (1) có nghiệm x thoả mãn -1 x 1 tương đương tìm m để pt (2) có nghiệm t thoả mãn
1 t 2 Điều này xẩy ra khi :Trên 1 ; 2 thì Minf(t) m Maxf(t)
Trang 3Chuyên đề:PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN-TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
– Ta có f ‘(t) = 2t + 2
𝑡2 0 với mọi t thuộc 1 ; 2 Suy ra Minf(t) = f(1) = - 1 Maxf(t) = f(2) = 3 -Vậy -1≤ 𝑚 ≤ 3 thì pt có nghiệm
16/ Cho phương trình : 22𝑥+1− 2𝑥+3− 2𝑚 = 0 (1)
a)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
b)Giải phương trình với m=32
Hd: -Đặt t = 2x, t 0 Viết pt thành f(t) = t2 – 4t = m (2) – P/trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt Vì ứng với mỗi giá trị t 0 cho ta một giá trị x ( x = log2𝑡 suy ra từ t = 2x
) – Dựa vào đồ thị ( hoặc bbt ) ta có : f(2) = - 4 m 0
(Lúc đó đường thẳng y = m cắt đồ thị y = f(t) = t2 – 4t tại hai điểm với hoành độ dương )