3.TÌM m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

Chuyên đề:PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN-TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆAN – 1 GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I - NGHỆ AN BÀI TẬP: TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM 1/ Xác định m để pt sau có nghiệm: m(  1 +  2 –  1  2 +2) = 2  1  4 +  1 +  2 –  1  2 (1) Hd: t = 1 +  2 – 1  2 đk: -1 x 1 thì 0 t  2 ,ta có t 2 = 2 - 21  4 nên 1  4 = 2 2 2 Pt trở thành : mt + 2m = 2 – t 2 + t Hay là f(t) =  2 ++2 +2 = m (2) -Tìm Max ,Min của f(x) trên  0;  2  .Đk Min f(x) m Max f(x) 2/ Tìm m để pt sau có 2 nghiệm phân biệt: 2 2 2 1x mx x    (1) Hd: x - 1 2 Bình phương hai vế viết pt thành: f(x) = 3 2 +41  = m (2) -Hàm số f(x) đồng biến với mọi x :  0  1 2  Do đó pt có 2 nghiệm khi m f(- 1 2 ) = 9 2 3/ Xác định m để pt sau có nghiệm thực : 2 4 3 1 1 2 1x m x x     (1) Hd: Đk x 1 - Chia hai vế pt cho  + 1 > 0 , được : 3(  1 +1 4 ) 2 + m = 2.  1 +1 4 - Đặt t =  1 +1 4 ta có 0 t 1 được phương trình f(t) = - 3t 2 + 2t = m (2) - Pt (1) có nghiệm t/mãn x 1 Khi pt (2) có nghiệm t/mãn: 0 t 1. Đkiện Minf(x)  Maxf(x) Ta thấy trên nửa đoạn  0; 1)  hàm số f(t) có Max= f( 1 3 ) và không có Min Do đó suy ra : f(1) m f( 1 3 ) Tức là : - 1 m 1 3 (chú ý với mọi x 1 thì 0 t 1) 4/ Cmr với m > 0, phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt 2 2 8 ( 2)x x m x    (1) Hd: Đk x 2 .Viết pt thành (x -2) 2 + 6(x-2) =   .  2       =  3 + 6=  =  2 0  (2) -P/trình (1) có hai nghiệm thực phân biệt thoả mãn x 2 khi p/trình (2) có 2 nghiệm thực t/mãn t 0 Vì ứng với mỗi giá trị t 0 cho ta một giá trị x = t 2 + 2 (Do t =  2 ) 5/ Xác định m để pt sau có nghiệm: 2 ( 1)(3 ) 2 3x x x x m     (1) Hd: Đkiện: – 1 x 3 .Viết p/trình thành   2 + 2+ 3 =  2 23 + 3m + 3 .Đặt t =   2 + 2+ 3 , Thì 0  2 Ph/trình trở thành : - t 2 + t = 3m + 3  f(t) = - 1 3 t 2 + 1 3 t - 1 = m (2) -P/trình (1) có nghiệm t/mãn – 1 x 3 khi và chỉ khi p/trình (2) có nghiệm t/mãn 0  2 - Ta có trên  0; 2  :Maxf(t) = f( 1 2 ) = - 11 12 ; Minf(t) = f(2) = - 5 3 .Do đó p/trình có nghiệm khi: - 5 3  m - 11 12 6/ Xác định m để pt sau có đúng 2 nghiệm : 22 4 5 4x x m x x     (1) Hd: txđ: R Viết p/trình thành: x 2 – 4x + 5 +  2 4+ 5 - 5 = m .Đặt t =  2 4+ 5 (*) , t 1. -Ta có p/trình : f(t) = t 2 + t – 5 = m (2) - P/trình (1) có hai nghiệm khi p/trình (2) có một nghiệm thoả mãn t 1.Vì với mỗi giá trị của t thoả mãn t 1 thay vào (*) ta được hai giá trị x thuộc R,(với t = 1 thì p/trình chỉ có một nghiệm x = 2).Từ đó suy ra : m f(1) = - 3  m - 3 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm . 7/ Xác định m để pt sau có nghiệm: 3 6 (3 )(6 )x x x x m       (1) Hd: Đkiện: – 3 x 6 Đặt t =  3 + +  6  thì 0 t  6 ; Ta có :   3 +   (6 ) =  2 9 2 . Do đó ta có pt : f(t) = 1 2 t 2 – t - 9 2 = m (2) -Để pt (1) có nghiệm : – 3 x 6 thì pt (2) phải có nghiệm t thoả mãn 0 t  6 Điều kiện m phải thuộc tập giá trị của hàm số ,với 0 t  6 .Tức là Minf(t) m Maxf(t) .Với 0 t  6 . Chuyên đề:PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN-TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆAN – 2 GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I - NGHỆ AN Ta có Minf(t) = f(1) = -5 và Maxf(t) = f(  6) = 32  6 2 .Như vậy để pt có nghiệm thì : -5 m 32  6 2 8/ Xác định m để pt sau có đúng 1 nghiệm : 4 4 13 1 0x x m x     (1) Hd: -Viết pt thành  4 13+  4 = 1 – x .Đkiện : x 1 - Nâng luỹ thừa bậc 4 cả hai vế được : x 4 – 13x + m = x 4 – 4x 3 + 6x 2 – 4x + 1 Hay là f(x) = – 4x 3 + 6x 2 + 9x + 1 = m . (2) -Tính đạo hàm f ‘(x) = - 12x 2 +12x +9 = 0 khi x 1 = - 1 2 , x 2 = 3 2 … (Lập bảng biến thiên) - Suy ra :Để pt (1) có đúng một nghiệm thì m f(1) = 9 (lúc m f(1) = 9 mặc dù pt (2) có hai nghiệm nhưng chỉ có một nghiệm thoả mãn x 1) Vậy m 9 9/ Xác định m để pt sau có nghiệm :  2 2 +  = 3 - x Hd: Đkiện: x 3 Bình phương hai vế ,được pt tương đương : 2x 2 + mx = x 2 – 6x + 9  - x 2 - 6x + 9 = mx -Chia hai vế cho x 0 được pt : f(x) =  2 6+9  = m  f(x) = - x – 6 + 9  = m ,có f ‘(x)= -1- 9  2 0 với  3 0  Suy ra :Phương trình luôn có nghiệm ,với mọi m  R 10/ Xác định m để pt sau có nghiệm : mxxxx  11 22 Hd: Txđ : R .Tính đạo hàm ,lập bbt với hàm số f(x) =   2 + + 1 -   2 + 1 để suy ra kết quả mong muốn 11/ Xác định m để pt sau có nghiệm duy nhất : 3 22 1 2 1x x m    (1) Hd: Đkiện: – 1 x 1 .Đặt t = 1  2 6 thì 0 t 1 p/trình trở thành : f(t) = t 3 + 2t 2 = m (2) -Pt (1) có nghiệm thoả mãn – 1 x 1  pt (2) có nghiệm thoả mãn 0 t 1 . - Tính đạo hàm , lập bảng biến thiên để suy ra kết quả. 12/Xác định m để pt sau có nghiệm duy nhất : 3 4 1 2 (1 ) 2 (1 )x x m x x x x m       13/ Xác định m để pt sau có nghiệm:   +  9  =   2 + 9 + m (1) Hd: Đkiện: 0 x 9 Đặt t =   +  9  thì 0 t  3 .Vì t 2 = 9 + 2   2 + 9    2 + 9 =  2 9 2 Ta có ptrình : t =  2 9 2 + m . Hay là f(t) = -  2 2 + t + 9 2 = m (2) -Tìm m để pt (1) có nghiệm : 0 x 9 tương đương tìm m để pt (2) có nghiệm 0 t  3 -Đ/kiện : Minf(t) m Maxf(t) trên  0; 3  .Ta có Minf(t) = f(3) = 3 , Maxf(t) = f(1) = 5. Vậy 3 m 5 Thì pt đã cho có nghiệm . 14/ Xác định m để pt sau có nghiệm:(m – 4)9 x –2(m -2)3 x + m – 1=0 (1) Hd: Txđ : R . -Thấy x = 0 không phải là nghiệm của pt .Do đó viết pt thành : m = 4.9  4.3  +1 9  2.3  +1  m = (2.3 x 1) 2 (3 x 1) 2 .(*) Suy ra :- Đk cần : m 0 . -Đk đủ:Từ pt (*) có   = 2 + 1 3  1      = 2 + 1 3  1   =  2  1 3  1    3  =   1    2 3  =   +1   + 2   (vì 3  > 0  )      0;1    4 ;+∞)  0  - Vậy m   0 ;  + ∞) thì pt có nghiệm 15/Cho phương trình : 4  1 2 2 1  1 2 = m với m là tham số. (1) - Xác định m để phương trình đã cho có nghiệm. Hd: Đk : -1 x 1 Đặt t = 2  1 2 thì ta có 1 t 2 , phương trình trở thành: f(t) = t 2 - 2  = m (2) - Tìm m để pt (1) có nghiệm x thoả mãn -1 x 1 tương đương tìm m để pt (2) có nghiệm t thoả mãn 1 t 2 Điều này xẩy ra khi :Trên  1 ; 2  thì Minf(t) m Maxf(t) . Chuyên đề:PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN-TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ m ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM TRẦN ĐỨC NGỌC – YÊN SƠN ĐÔ LƯƠNG NGHỆAN – 3 GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I - NGHỆ AN – Ta có f ‘(t) = 2t + 2  2 0 với mọi t thuộc  1 ; 2  Suy ra Minf(t) = f(1) = - 1 Maxf(t) = f(2) = 3. -Vậy -13 thì pt có nghiệm 16/ Cho phương trình : 2 2+1  2 +3  2 = 0 (1) a)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt b)Giải phương trình với m=32 Hd: -Đặt t = 2 x , t 0 Viết pt thành f(t) = t 2 – 4t = m (2) – P/trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi pt (2) có 2 nghiệm dương phân biệt .Vì ứng với mỗi giá trị t 0 cho ta một giá trị x .( x = log 2  suy ra từ t = 2 x ) – Dựa vào đồ thị ( hoặc bbt ) ta có : f(2) = - 4 m 0 (Lúc đó đường thẳng y = m cắt đồ thị y = f(t) = t 2 – 4t tại hai điểm với hoành độ dương ) . t m m để pt (2) có nghi m 0 t  3 -Đ/kiện : Minf(t) m Maxf(t) trên  0; 3  .Ta có Minf(t) = f (3) = 3 , Maxf(t) = f(1) = 5. Vậy 3 m 5 Thì pt đã cho có nghi m . 14/ Xác định m để pt sau có. - Suy ra :Để pt (1) có đúng m t nghi m thì m f(1) = 9 (lúc m f(1) = 9 m c dù pt (2) có hai nghi m nhưng chỉ có m t nghi m thoả m n x 1) Vậy m 9 9/ Xác định m để pt sau có nghi m :  2 2 +. = 1 thì p /trình chỉ có m t nghi m x = 2).Từ đó suy ra : m f(1) = - 3  m - 3 thì phương trình đã cho có đúng hai nghi m . 7/ Xác định m để pt sau có nghi m: 3 6 (3 )(6 )x x x x m    