Hướng dẫn sử dụng Maple trong hình học

Để khai báo đường phân giác AE đi qua đỉnh A của tam giác ABC, ta nhập : ExternalBisectorAE, A, ABC; * Để xem chi tiết về đường phân giác ngoài AE, ta dùng lệnh detailAE; 3 CÁC ĐIỂM ĐẶC

c) Đường thẳng :

Để nhập phương trình của đường thẳng l : ax + by + c = 0, ta nhập

[> line(l,a*x +b*y + c = 0,[x,y]);

I TAM GIÁC VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

1) Khai báo một tam giác trong Maple

a) Tam giác có tên là ABC đi qua ba đỉnh A, B, C cho trước, ta nhập:

triangle(T, [l1, l2, l3]);

Ví dụ: Ba cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC có phương trình lần lượt là :

x + 21y – 22 = 0, 5x – 12y + 7 = 0 , 4x – 33y + 146 = 0 Khi đó, ta nhập

[> line(AB, x + 21*y -22 = 0,[x,y]),line(BC,5*x - 12*y +7 =

0,[x,y]),triangle(ABC,[AB,BC,AC]);

c) Tam giác khi biết độ dài ba cạnh

triangle(Tên tam giác , [cạnh 1, cạnh 2, cạnh 3]);

Ví dụ: Để nhập tam giác có độ dài ba cạnh là 3, 4, 5 Nếu tam giác này

có tên là ABC, ta nhập:

[> triangle(ABC,[3,4,5]);

ABC

d) Tam giác khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó

triangle(T, [cạnh 1, 'angle'= góc xen giữa hai cạnh, cạnh 2]) ;

Ví dụ: Để nhập tam giác có độ dài hai cạnh là 2, 1 và góc xen giữa hai

cạnh là π /2, ta nhập:

hay altitude(hA, A, ABC, H );

v Ở đây, H là chân đường cao

3 4

Use d1, d2, and d3 to define the parallelepiped pp

name of the object: pp

form of the object: parallelepiped3d

the 6 parallelogram faces of the object: [[[0, 0, 0], [4, 0, 0], [9, 5, 1], [5, 5, 1] \

v Để xem chi tiết về đường cao hA ta dùng lệnh detail(hA);

v Trong detail, nếu khai báo theo cách 1 ta sẽ biết được phương trình đường cao hA, còn nếu khai báo theo cách 2 ta sẽ biết được toạ độ chân đường cao H

Ví dụ: Viết phương trình đường cao hA của tam giác ABC với ba đỉnh A(0; 0), B(2; 0) và C(1; 3) Ta làm như sau:

Trong detail ta có phương trình đường cao hA1 là – x + 3y = 0

Chú ý: Trong detail [9/5,3/5] là toạ độ chân đường vuông góc H

B ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN

Để khai báo đường trung tuyến AM đi qua đỉnh A của tam giác ABC, ta nhập :

median(AM, A, ABC);

* Để xem chi tiết về đường trung tuyến AM, ta dùng lệnh detail(AM);

Ví duï : Viết phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC biết

A(5; 1), B(2; 3) và C(– 6; – 1)

[> triangle(ABC,

[point(A,5,1),point(B,2,3),point(C,-6,-1)]):median(AM,A,ABC);

AM

[> detail(AM);

assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y,

respectively

name of the object: AM

form of the object: line2d

equation of the line: 7-7*_y = 0

trong detail cho biết phương trình đường trung tuyến AM là 7 – 7y = 0

C ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG CỦA TAM GIÁC

Để khai báo đường phân giác trong AD đi qua đỉnh A của tam giác ABC,

ta nhập :

bisector(AD, A, ABC);

* Để xem chi tiết về đường phân giác trong AD, ta dùng lệnh

detail(AD);

Ví duï : Viết phương trình đường phân giác trong AD của tam giác ABC

biết A(1; 6), B(3; 4) và C(0; 1)

[>

triangle(ABC,[point(A,1,6),point(B,3,4),point(C,0,1)]):bisector(AD,A,

ABC);

AD

[> detail(AD);

assume that the names of the horizontal and vertical axes are _x and _y,

respectively

Description

A parallelepiped is a polyhedron bounded by six parallelograms It can be defined from three given directed segments having a common initial point

To access the information related to a parallelepiped pp, use the

following function calls:

form(pp) returns the form of the geometric object

(that is, parallelepiped3d if pp is a parallelepiped)

See geom3d[form]

DefinedAs(pp) returns the list of three directed segments

defining pp See geom3d[DefinedAs]

detail(pp) returns a detailed description of the

parallelepiped pp See geom3d[detail]

This function is part of the geom3d package, and so it can be used in the form parallelepiped( ) only after executing the command with(geom3d) However, it can always be accessed through the long form of the command by using geom3d[parallelepiped]( )

Examples

> with(geom3d):

Define four points A, B, C, and E

> point(A,0,0,0), point(B,4,0,0), point(C,5,5,1), point(E,0,2,5):

Define three directed segments d1, d2, and d3 with initial point A and end points B, C, and E respectively

> dsegment(d1,[A,B]), dsegment(d2,[A,C]), dsegment(d3,[A,E]):

1) Các ký hiệu a ~ , b ~ ta hiểu là a và b phải thỏa điều kiện

mà ta đã đặt trong assume, tức là a > 0 và b > 0

2) Do a > 0 và b > 0, nên ta chỉ nhận a = b hay =1

b

a

Xác định lăng trụ

Cú pháp parallelepiped(pp, [d1, d2, d3]) xác định lăng trụ “pp” với ba

pp - name of the parallelepiped

d1, d2, d3 - three directed segments having a common initial point

name of the object: ba form of the object: line2d equation of the line: (5*8^(1/2)+2*26^(1/2))*_x+(2*26^(1/2)-8^(1/2))*_y-14*2 6^(1/2)+8^(1/2) = 0

D ĐƯỜNG PHÂN GIÁC NGOÀI CỦA TAM GIÁC

Để khai báo đường phân giác AE đi qua đỉnh A của tam giác ABC, ta nhập :

ExternalBisector(AE, A, ABC);

* Để xem chi tiết về đường phân giác ngoài AE, ta dùng lệnh detail(AE); 3) CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC

A TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, khi đó:

a) G được khai báo bởi lệnh centroid(G, ABC);

b) Toạ độ G được xác định bởi lệnh coordinates(G);

Ví du1:ï Cho tam giác ABC với A(2; 3), B(-2; 4), C( – 4; 7) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

Ví dụ2: Cho tam giác ABC với A(1; 2), B(2; 3), C(0; 7) Tìm toạ độ trọng

tâm G của tam giác ABC

Ta có thể làm gọn hơn như sau:

[> point(A,1,2),point(B,2,3),point(C,0,7);

, ,

A B C

[> coordinates(centroid(G,triangle(ABC,[A,B,C])));

[1 4, ]

B TRỰC TÂM CỦA TAM GIÁC

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, khi đó:

a) H được khai báo bởi lệnh orthorcenter(H, ABC);

b) Toạ độ H được xác định bởi lệnh coordinates(H);

Ví dụ: Các cạnh AB, BC, AC của tam giác ABC lần lượt có phương trình:

4x – y – 7 = 0, x + 3y – 31 = 0 , x + 5y – 7 = 0

Xác định trực tâm H của tam giác

[> line(AB,4*x- y -7 = 0,[x,y]),line(BC,x + 3*y -31 = 0,[x,y]),line(AC,x

Chú ý: lệnh map(coordinates,DefinedAs(ABC)); Cho ta xác định được

toạ độ của ba đỉnh A, B, C

4)TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG

Để khai báo l là trung trực của đoạn thẳng AB, ta dùnglệnh

b a

a~2y a~2z a~3 0

[> FindAngle(BA1C,DA1C);

1

3π

Lưu ý: Đây là góc giữa hai mặt phẳng

2) Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hình

hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc toạ độ, B(a; 0; 0), D(0;

a ; 0), A’(0; 0; b) (a > 0, b > 0) Gọi M là trung điểm cạnh CC’

a) Tính thể tích khối tứ diện BD’M theo a và b

b) Xác định tỷ số

5) DIỆN TÍCH CỦA MỘT TAM GIÁC

Để tính diện tích của tam giác ABC ta dùng lệnh area(ABC);

Ví dụ: Tính diện tích tam giác ABC với A(2; – 3), B(3; 2) và C( – 2; 5)

* Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, ta dùng lệnh:

distance(M, d);

Ví dụ 1 Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3) đến đường thẳng

Ví dụ 2 : Ba cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC có phương trình lần lượt

là : x + 21y – 22 = 0, 5x – 12y + 7 = 0 , 4x – 33y + 146 = 0

Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến cạnh BC

[> line(AB, x + 21*y -22 = 0,[x,y]),line(BC,5*x - 12*y +7 =

* Hình chiếu của một điểm lên một đường thẳng

a) Để khai báo H là hình chiếu của điểm P lên đường thẳng l, ta dùng

lệnh:

projection(H, P, l);

b) Để tìm toạ độ hình chiếu H, ta dùng lệnh: coordinates(H);

Ví dụ : Tìm hình chiếu Q của điểm P(2; 3) lên đường thẳng

l : x + y + 1 = 0

[> point(P,2,3), line(l,x+y-1=0,[x,y]);

Bài 9 : (TN, 2000, 2 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có các phương trình tương ứng:

(P) 2x – 3y + 4z – 5 = 0 và (S) x2 + y2 + z2 + 3x + 4y – z + 6 = 0

a) Xác định toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)

b) Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) Từ đó suy ra rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta ký hiệu là (C) Xác định bán kính r và toạ độ tâm H của đường tròn (C)

Chú yù: Vì khoảng cách từ tâm O của (S) đến (P) bằng 0 nên điểm O

∈(P) Do đó, tâm của đường tròn giao tuyến chính là O và bán kính bằng bán kính của (S)

Bài 10 :(ĐH, CĐ toàn quốc, khối A, 2003)

1) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính số đo của góc phẳng nhị diện [B, A’C, D]

[> point(A,0,0,0),point(B,a,0,0),point(D,0,a,0),point(A1,0,0,a);

b) Viết phương trình của đường thẳng qua C và vuông góc với mặt

b) ) Để tìm toạ độ của Q, ta dùng lệnh: coordinates(Q);

Ví dụ : Tìm điểm M1 đối xứng với điểm M2(8; – 9) qua đường thẳng đi

qua hai điểm A(3; – 4) và B( – 1; – 2)

Lưu yù: Lệnh Equation(AB); cho ta phương trình của đường thẳng AB

* NHÓM LỆNH KIỂM TRA Sau khi đánh lệnh > with(geometry);

Ta được các lệnh, trong đó có các lệnh bắt đầu bằng Are hay Is

Các lệnh này nhằm kiểm tra tính đúng (true), sai (false) của một tính

chất hình học nào đó Sau đây là một số lệnh cơ bản:

AreCollinear AreCollinear(P, Q, R, cond) Kiểm tra tính thẳng hàng

của ba điểm P, Q, R

AreConcurrent AreConcurrent(l1, l2, l3, cond ) Kiểm tra tính đồng quy

của ba đường thẳng l 1 , l 2 ,

l 3 AreParallel AreParallel(l1, l2, cond) Kiểm tra tính song song

của hai đường thẳng l 1 ,

l 2 ArePerpendicular ArePerpendicular(l1, l2, cond) Kiểm tra tính vuông góc

của hai đường thẳng l 1 ,

l 2 AreTangent AreTangent(f, g) Kiểm tra sự tiếp xúc của

đường thẳng f và đường tròn g hay sự tiếp xúc của hai đường tròn f và g IsOnCircle IsOnCircle(f, c, cond) Kiểm tra xem điểm

(hoặc tập hợp các điểm)

f có nằm trên đường tròn

c hay không ? IsOnLine IsOnLine(f, l, cond) Kiểm tra xem điểm

(hoặc tập hợp các điểm)

f có nằm trên đường thẳng l hay không ? IsRightTriangle IsRightTriangle(ABC, cond ) Kiểm tra tính vuông góc

của tam giác ABC

Đây là phương trình tham số

Bài 8 : (TN, 1999, đợt 2, 3 điểm) Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật có các đỉnh A(3; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 5), O(0; 0; 0) và D là đỉnh đối diện với O

a) Xác định toạ độ đỉnh D Viết PTTQ của mặt phẳng (A, B, D)

1; ;

a) Viết PTTQ của mặt phẳng ( α )vuông góc đường thẳng OC tại C

Chứng minh rằng ba điểm O, B, C thẳng hàng Xét vị trí tương

đối của mặt cầu (S) tâm B, bán kính 2 với mặt phẳng ( α )

b) Viết PTTQ của đường thẳng g là hình chiếu vuông góc của

đường thẳng AB trên mặt phẳng ( α )

a) [> point(A,1,0,0), point(B,1,1,1), point(C,1/3,1/3,1/3),point(O,0,0,0);

13

[> plane(anpha,[C,v],[x,y,z]);

anpha

2) Khi kết thúc các lệnh này và nhấn Enter thì máy trả lời là

true (đúng) hoặc false (sai)

Ví dụ 1: Xét tính thẳng hàng của ba điểm A(1; 2), B(2; 3) và C(0; 7)

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC với A(1; m – 2), B(2; 3 + m), C(0; 7) Tìm m

để ABC là tam giác vuông

Trước hết ta dùng lệnh [> AreCollinear(A, B, C);

để kiểm tra tính thẳng hàng của ba điểm A, B, C [> AreCollinear(A, B, C);

AreCollinear: "hint: could not determine if -m+14 is zero"

FAIL máy báo không thể xác định nếu – m + 14 = 0, tức ba điểm A, B, C thẳng hàng khi – m + 14 = 0 hay m = 14

Lưu yù: Trong một số bài toán ta phải sử dụng lệnh assume(giả sử)

m không thỏa giá trị ở trên thì máy mới thực hiện tiếp bài toán Cụ thể,

trong bài này, ta phải giả sử m ≠ 14, tức là ta phải nhập :

{-76+26*m-2*m^2 = 0, -88+10*m = 0, 36-10*m = 0}"

Bây giờ ta dùng lệnh solve để tìm m

[> solve(-76+26*m-2*m^2 = 0,{m});

,{m = 13 − }2

[> solve(36-10*m = 0,{m});

{m = 18}5Vậy ta phải có :

5

185

4417

2

12

1317

2

12

13

=

=+

* Phương trình của đường thẳng qua một điểm cho trước và vuông góc

với một đường thẳng cho trước

Để viết phương trình của đường thẳng lp qua điểm P và vuông góc với

một đường thẳng l cho trước ta dùng lệnh:

c) [> plane(ABD,[A,B,D],[x,y,z]);

ABD

[> Equation(ABD);

= +

x2 y2 z2 7 3 x 6 y 2 z 0

[> detail(S);

name of the object: S form of the object: sphere3d name of the center: center_S_2 coordinates of the center: [3/2, 3, 1]

radius of the sphere: 1/2*21^(1/2) surface area of the sphere: 21*Pi volume of the sphere: 7/2*Pi*21^(1/2) equation of the sphere: x^2+y^2+z^2+7-3*x-6*y-2*z = 0

Trong không gian Oxyz với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A, B, C,

D xác định bởi các hệ thức:

A = (2; 4; – 1), OB→=→i+4→j−→k , C = ( 2; 4; 3), OD→=2→i+2→j−→k

a) Chứng minh rằng AB ⊥ AC, AC ⊥ AD, AD ⊥ AB Tính thể tích của

khối tứ diện ABCD

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng vuông góc chung

của hai đường thẳng AB và CD Tính góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng (ABD)

c) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D Viết

phương trình tiếp diện )(α của mặt cầu (S) song song với mặt

* Phương trình của đường thẳng qua một điểm cho trước và song song với một đường thẳng cho trước

Để viết phương trình của đường thẳng lp qua điểm P và song song với

một đường thẳng l cho trước ta dùng lệnh:

ParallelLine(lp, P, l);

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm P(2; 3) và song song

với đường thẳng l : x + y = 1

Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình – 5 + x + y = 0

GÓC

* Góc tạo bởi hai đường thẳng.

Để tính góc của hai đường thẳng d1 và d2 ta dùng lệnh :

56 28 x 14 z 0

Bài 5 : (TN, 1999, đợt 1, 4 điểm) Trong không gian Oxyz cho điểm D( –3; 1; 2) và mặt phẳng α đi qua A(1; 0; 11), B(0; 1; 10) và C(1; 1; 8)

a) Viết phương trình đường thẳng AC

b) Viết PTTQ của mặt phẳng α

c) Viết phương trình mặt cầu tâm D, bán kính R = 5 Chứng minh

rằng mặt cầu này cắt mặt phẳng α a) [> point(A,1,0,11),point(B,0,1,10),point(C,1,1,8),point(D,-3,1,2);

1) Khai báo phương trình một đường tròn

Nếu đường tròn C, có phương trình

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 Trong Maple ta nhập:

circle(C,x^2 + y^2 – 2*a*x – 2*b*y + c = 0,[x, y]);

2)Thiết lập phương trình đường tròn

Maple cho phép lập phương trình đường tròn thỏa một trong các Đ K sau:

a) Đường tròn đi qua ba điểm A, B, C cho trước với cú pháp như sau:

circle(tên đường tròn, [A, B, C], [x, y]);

VD: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(5; 0), B(0; 1), C(3; 3)

c) Lệnh Equation(ABC);cho ta phương trình của đường tròn ABC

d) Nếu không dùng các lệnh này, ta có thể xem chi tiết về đường

tròn ABC bằng lệnh detail(ABC);

[> detail(ABC);

name of the object: ABC

form of the object: circle2d

name of the center: center_ABC

coordinates of the center: [5/2, 1/2]

radius of the circle: 1/2*13^(1/2)*2^(1/2)

equation of the circle: x^2+y^2-5*x-y = 0

b) Đường tròn có tâm A cho trước và bán kính R cho trước

với cú pháp như sau:

circle(tên đường tròn, [A, R], [x, y]);

Ví dụ 1 : Viết phương trình đường tròn có tâm A(4; – 8) và bán kính là 5

[> point(A,4,-8);

A

[> Equation(circle(C,[A,5],[x,y]));

= + + − +

x2 55 y2 8 x 16 y 0

Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn có tâm C(1; – 1) và tiếp xúc với

đường thẳng 5x – 12y + 9 = 0

Bài 4: (TN, 1998, đợt 2, 2 điểm)

Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 0; – 2), B(0; – 4; – 4) và

mặt phẳng ( α ) có phương trình 3x – 2y + 6z + 2 = 0

a) Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ( α ) và nhận A

làm tâm Tìm toạ độ giao điểm của AB và mặt phẳng ( α )

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc

với mặt phẳng ( α )

[> coordinates(obj);

[4 0 1, , ]

Bài 2 ( TN, 1997, đợt 2)

Trong không gian Oxyz cho A(1; 4; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 4)

a) Viết PTTS của đường thẳng AB

b) Viết PTTQ của mặt phẳng α qua C và vuông góc với AB Xác

định toạ độ giao điểm của AB và α

Bài 3 : (TN, 1998, đợt 1, 2 điểm)

Trong không gian Oxyz cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4)

a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, A, B, C Xác định

toạ độ tâm I và độ dài bán kính R của mặt cầu đó

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Viết PTTS của đường thẳng

đi qua I và vuông góc với mặt phẳng (ABC)

a) [> point(A,2,0,0),point(B,0,4,0), point(C,0,0,4),point(O,0,0,0);

3) Phương tích của một điểm đối với một đường tròn

Để tính phương tích của điểm P đối với đường tròn C, ta dùng lệnh:

powerpc(P, C);

Ví dụ : Cho đường tròn có phương trình x2+ y2 – 2x + 4y – 8 = 0

và các điểm A(1; – 5), B(6; 1) và C( – m; m) Hãy xét xem điểm A, B nằm trong hay nằm ngoài đường tròn Tìm m để C thuộc đường tròn

[> point(A,1,-5), point(B,6,1), 8=0,[x,y]),point(C,-m,m);

Lưu ý:

a) Từ đáp số ta thấy: A ở trong đường tròn và B ở ngoài đường tròn

b) Có thể dùng lệnh IsOnCircle để tìm m để C thuộc đường tròn

4) Lệnh intersection : Tìm giao điểm của hai đường thẳng, một đường

thẳng và một đường tròn, hoặc hai đường tròn

(find the intersections between two lines, a line and a circle, or two circles)

Cú pháp :

intersection(obj,f,g);

hay intersection(ten,f,g,[M, N]);

obj - (một tên ) a name

f, g - (đường thẳng hoặc đường tròn ) the lines or circles

404 Trong các trường hợp sau xác định xem đường thẳng cắt, tiếp xúc

hoặc không có điểm chung với đường tròn :

[> coordinates(N);

Máy báo đường thẳng cắt đường tròn tại 2 điểm M ; (0; 3)

5

75

x2 y2 z2 3 6 x 4 y 4 z 0

[> detail(S);

name of the object: S form of the object: sphere3d name of the center: A coordinates of the center: [3, -2, -2]

radius of the sphere: 14^(1/2) surface area of the sphere: 56*Pi volume of the sphere: 56/3*Pi*14^(1/2) equation of the sphere: x^2+y^2+z^2+3-6*x+4*y+4*z = 0