Hiểu thêm về bổ đề cơ bản

NGÔ BẢO CHÂU Tháng tám mùa thu năm Canh Dần, tức 2010 dương lịch, Việt Nam hân hoan đón nhận tin GS. Ngô Bảo Châu đoạt giải thưởng Fields, giải thưởng danh giá tương đương với giải Nobel cho Toán học. GS. Ngô đã chứng minh sáng sủa “Bổ đề Cơ bản”, là bí kíp vô cùng quan trọng trong bản tổng phổ Langlands – Chương trình kết nối mọi lĩnh vực của toán học hiện đại. “Bổ đề Cơ bản” tuy chỉ là một vấn đề kỹ thuật, nhưng nó đã gây lúng túng cho nhiều cao thủ hơn 30 năm qua. Thành tựu đột phá của Ngô giúp các nhà toán học tiến lên trong việc chinh phục cả “Chương trình Langlands”. Lý thuyết số Lepold Kronecker (1823-1891) Để hiểu “Bổ đề Cơ bản” ta cần có khái niệm về lý thuyết số. Số là cách thức con người nguyên thủy ghi lại số lượng các đối tượng như súc vật nuôi, bạn bè, khách hàng… Năm 700 TCN người Babylon đã phát minh ra số 0, sau được ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực tài chính. Nhà toán học Đức Kronecker từng nói: “Chúa trời đã tạo ra các số nguyên, phần việc còn lại là của chúng sinh”. Nhà toán học Pháp Pierre de Fermat được coi là sư tổ của lý thuyết Số hiện đại đồng thời là tác giả “Định lý Fermat lớn”, định lý đã làm chấn động toán lâm và điên đầu vô số hảo thủ trong gần bốn thế kỷ. Evariste Galois (1811-1832)Lý thuyết Nhóm là ngành nghiên cứu về các cấu trúc đại số có tính đối xứng. Lý thuyết Nhóm đặc biệt được ứng dụng rộng rãi trong vật lý hiện đại, được xuất hiện lần đầu trong công trình của nhà toán học mãi mãi tuổi 21 người Pháp Évariste Galois vào năm 1830. Rất nhiều cấu trúc toán học khác nhau được quy về cấu trúc Nhóm. Đặc biệt quan trọng là các nhóm Lie, được xem như là họ của các phép đối xứng biến đổi trơn tru. GS. Ngô đã chứng minh “Bổ đề Cơ bản” cho trường hợp riêng với nhóm Unita vào năm 2004 và tổng quát với toàn bộ nhóm Lie năm 2008. Pierre de Fermat (1601-1665) Năm 1637 đại sư tổ môn phái toán học Pháp là Pierre de Fermat đã viết vào lề cuốn “Số học” của Diophante thời Hy Lạp cổ đại mấy dòng chữ sau: “Phương trình x n + y n =z n không có nghiệm nguyên dương khi n lớn hơn 2. Tại hạ đã tìm được cách chứng minh tuyệt vời nhưng đáng tiếc lề sách không đủ rộng để ghi ra đây”. Điều khẳng định bí ẩn trên, sau được gọi là “Định lý Fermat lớn” đã trở thành một thách đố làm bối rối những bộ óc vĩ đại nhất của nhân loại. “Định lý Fermat lớn” chỉ được chứng minh triệt để vào năm 1995 bởi nhà toán học Anh A. Wiles. Giải thuyết Taniyama – Shimura Hai nhà toán học Nhật Bản Y. Taniyama và G. Shimura Giữa thế kỷ 20, hai cao nhân Nhật Bản là Yukata Taniyama và Goro Shimura đưa ra phỏng đoán thiên tài là mỗi phương trình eliptic đều có liên hệ với một dạng modular. Nếu đúng, giả thuyết này sẽ giải quyết nhiều bài toán số học cho đến any chưa giải quyết được bằng cách tiếp cận qua thế giới hình học. Mùa thu năm 1984 nhà toán học Gerhard Frey đã kết luận rằng nếu chứng minh được “Giả thuyết Taniyama – Shimura” thì cũng có nghĩa là chứng minh được “Định lý Fermat lớn”, bởi vì định lý này chỉ là một hệ quả của giả thuyết trên. Robert Phelan Langlands (1936) Trong những năm 60, nhà toán học Canada R. Langlands đưa ra một loạt giả thuyết về những mối liên hệ giữa nhiều ngành toán học vốn rất khác nhau, và kêu gọi giới toán học quốc tế hợp tác chứng minh những giả thuyết đó, cấu thành “Chương trình Langlands”. Ngô Bảo Châu nhận xét: “Các giả thuyết Langlands là động lực cho sự phát triển của toán học lý thuyết trong vòng bốn chục năm trở lại đây. Rất nhiều bài toán tưởng như là những viên gạch riêng lẻ, nay được các giả thuyết của Langlands sắp xếp lại thành một công trình kiến trúc vĩ đại…” . Andrew John Wiles (1953)Hứng thú với “Giả thuyết Tayniyama – Shimura” và “Định lý Fermat lớn”, nhà toán học Anh A. Wiles đã âm thầm nhập thất, đóng cửa luyện công trong bảy năm liền để tìm kiếm lời giải cho bài toán xuyên thế kỷ. Dù trong quá trình khổ luyện có lúc tẩu hỏa nhập ma, nhưng với bản lĩnh cao cường năm 1995, A. Wiles đã tái xuất giang hồ và công bố cách chứng minh “Định lý Fermat lớn”, chấm dứt 358 năm căng thẳng của toán giới. Nhưng kết quả có ý nghĩa lớn hơn nhiều là “Giả thuyết Tayniama – Shimura” được chứng minh đồng nghĩa nền tảng “Chương trình Langlands” là vững chắc Công thức vết Arthur – SelbergJames Arthur (1944) Một trong những công cụ được coi là bảo bối phát triển từ “Chương trình Langlands” là “Công thức vết Arthur – Selberg”, một phương trình cho thấy có thể dùng các phương pháp hình học để tính toán những bài toán số học. Nhưng chính Langlands đã gặp một trở ngại lớn khi sử dụng bảo bối này bởi xuất hiện những tích phân quỹ đạo phức tạp. Theo Langlands các tích phân này bằng nhau nhưng ông không thể chứng minh được. Ông gọi nó là “Bổ đề Cơ bản” “Bổ đề Cơ bản” gắn liền với một giả thuyết quyết định, một bộ phận không thể tách rời của “Chương trình Langlands”, khó chứng minh đến mức mà 30 năm qua nhiều cao thủ toán học hàng đầu – kể cả chính Langlands – đã ra sức lao vào giải quyết nhưng đều thất bại. GS. Ngô viết: “Bổ đề Cơ bản không hẳn là bổ đề vì ông Langlands chỉ chứng minh nó trong một trường hợp đặc biệt, còn trường hợp tổng quát thì được nêu như một giả thuyết. Còn “cơ bản” là vì cả một góc lớn của chương trình kể trên sẽ sụp đổ nếu nó không đúng”. Sư phụ G. Laumon (1952) Do vai trò đặc biệt quan trọng của “Bổ đề Cơ bản”, nhiều nhà toán học đã nỗ lực và chứng minh được một số trường hợp riêng. Năm 1979, Labesse và Langlands chứng minh được cho nhóm SL (2). Sau đó Kottwitz chứng minh cho nhóm SL(3), và Waldspurger chứng minh cho toàn bộ nhóm SL(n). Đến 2004, GS. Ngô Bảo Châu và sư phụ là GS. Laumon đã song kiếm hợp bích chứng minh cho toàn bộ nhóm unita U(n). Với kết quả này, Laumon và Ngô Bảo Châu được trao giải thưởng nghiên cứu Clay vào năm 2004. [...]... Time bình chọn là một trong 10 khám phá năm 2009 Đầu năm 2008, GS Ngô Bảo Châu công bố một chứng minh hoàn chỉnh cho Bổ đề Cơ bản trong trường hợp tổng quát cho các đại số Lie Lúc đầu công trình dài 150 trang Sau khi lược bỏ bớt những điều không phục vụ trực tiếp cho chứng minh Bổ đề Cơ bản và diễn giảichi tiết hơn, công trình dài thành 188 trang Dù ý tưởng chứng minh rất rành rọt, các nhà toán học... phải mất hơn 1 năm để kiểm chứng nó Năm 2009, công trình được tạp chí Time bình chọn là một trong 10 khám phá khoa học quan trọng nhất của năm Sự thống nhất lớn Công trình của GS Ngô Bảo Châu đã đặt thêm những viên gạch vững chắc cho nền móng của “Chương trình Langlands”, thống nhất mọi lĩnh vực của toán học hiện đại Trong vật lý hiện đại các nhà vật lý cũng đang nỗ lực cho một lý thuyết thống nhất... MTheory với chữ M có gốc từ chữ Mother (mẹ) Và trong cuộc sống hằng ngày, thật kỳ diệu đôi khi chúng ta cũng cảm thấy mình là một cấu thành không thể tách rời của một vũ trụ thống nhất, vũ trụ của tính nhân bản và tình yêu thương . minh sáng sủa Bổ đề Cơ bản , là bí kíp vô cùng quan trọng trong bản tổng phổ Langlands – Chương trình kết nối mọi lĩnh vực của toán học hiện đại. Bổ đề Cơ bản tuy chỉ là một vấn đề kỹ thuật,. Langlands các tích phân này bằng nhau nhưng ông không thể chứng minh được. Ông gọi nó là Bổ đề Cơ bản Bổ đề Cơ bản gắn liền với một giả thuyết quyết định, một bộ phận không thể tách rời của “Chương. chỉnh cho Bổ đề Cơ bản trong trường hợp tổng quát cho các đại số Lie. Lúc đầu công trình dài 150 trang. Sau khi lược bỏ bớt những điều không phục vụ trực tiếp cho chứng minh Bổ đề Cơ bản và