Chuyên đề sử dụng thuật toán “tương tự “ trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn đại số lớp 8

CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN NGƯỜI THỰC HIỆN:NGUYỄN TRANG KIÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LẬP THẠCH TRƯỜNG THCS SƠN ĐÔNG CHUYÊN ĐỀ:SỬ DỤNG THUẬT TOÁN “TƯƠNG TỰ “ TRONG BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ 8 Người thực hiện : NGUYỄN TRANG KIÊN Tổ: : KHTN Năm học : 2013-2014 Lập Thạch, tháng 1 năm 2014 CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN NGƯỜI THỰC HIỆN:NGUYỄN TRANG KIÊN LỜI NÓI ĐẦU Có lẽ “Biến đổi đại số “ và Bồi dưỡng HSG đại số 8 luôn là đề tài hấp dẫn ,lôi quấn đối với tất cả GV và HS tham gia và còn mãi là đối tượng nghiên cứu của toán học Ngoài các bài toán có phương pháp chung hay qui tắc giải tổng quát trong các tài liệu là sự thay đổi về số liệu hay các hình thức , yêu cầu tính toán xoay quanh nó thì nhiều bài toán thường gặp không có qui tắc giải tổng quát , mỗi bài toán đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp với nó. Người học , người làm toán khi chiếm lĩnh được cách giải ví như tìm được “chìa khoá vàng “ để bước vào không gian toán học rộng lớn và sáng tạo . Vì thế giúp H S tìm ra “chìa khóa vàng “ có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo ,linh hoạt và sáng tạo , thúc đẩy quá trình tìm tòi và phát kiến khoa học toán học biện chứng . Hiện nay có nhiều phương pháp dạy học mới đã được ngành chủ trương vận dụng dựa trên tính căn bản , kế thừa và phát huy tinh hoa những phương pháp dạy học cũ nhằm đạt đích lớn nhất cho sự lính hội kiến thức của người học , và thể nghiệm qua các kì thi Vậy làm thế nào để H S tự học –sáng tạo , cần phải có vốn toán học căn bản .Để làm được điều đó theo tôi H S cần học ,ghi nhớ và khắc sâu vốn kiến thức định hướng của GV trực tiếp hướng dẫn , giảng dạy Một yếu điểm đối với H S là học rồi hay quên . Để khắc phục điều này và rút ngắn thời gian Dạy -học dần đến kết quả cao nhất , tôi xin mạnh dạn đưa ra đây một phương pháp mà bản thân tôi đã -đang sử dụng và áp dụng lên đối tượng H S nghiên cứu , phương pháp : Sử dụng thuật toán “tương tự “ trong bồi dưỡng HSG đại số 8 2 CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN NGƯỜI THỰC HIỆN:NGUYỄN TRANG KIÊN DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Chữ đầy đủ Chữ viết tắt Vế trái ( Vế phải) VT( VP) Học sinh giỏi HSG Giả thiết gt Học sinh HS Giáo viên GV Phòng giáo dục PGD Số hạng tổng quát SHTQ Chững minh rằng CM R MỤC LỤC Phần Nội dung cụ thể Trang Phần I:Mở đầu I. Lí do chọn chuyên đề 4 II. Mục đích nghiên cứu III.Đối tượng nghiên cứu IV.Phạm vi nghiên cứu V.Kế hoạch nghiên cứu Phần II: Nội dung I. Cơ sở lí luận 5 II. Thực trạng nghiên cứu của đề tài III.Nội dung cụ thể 5 Phần III: Kết luận và kiến nghị 3 CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN NGƯỜI THỰC HIỆN:NGUYỄN TRANG KIÊN PHẦN I: MỞ ĐẦU I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI : 1. Cơ sở lý luận : Mục tiêu cơ bản của giáo dục nói chung, của nhà trường nói riêng là đào tạo và xây dựng thế hệ học sinh trở thành những con người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế hiện nay. Để thực hiện được mục tiêu đó, trước hết chúng ta phải biết áp dụng phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh. Đồng thời bản thân mỗi giáo viên cũng phải tự tìm ra những phương pháp mới, khắc phục lối truyền thụ một chiều, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh trong các môn học, đặc biệt là môn toán. 2. Cơ sở thực tiễn : Trong thời đại hiện nay, nền giáo dục của nước ta đã tiếp cận được với khoa học hiện đại. Các môn học đều đòi hỏi tư duy sáng tạo và hiện đại của học sinh. Đặc biệt là môn toán, nó đòi hỏi tư duy rất tích cực của học sinh, đòi hỏi học sinh tiếp thu kiến thức một cách chính xác, khoa học và hiện đại. Vì thế để giúp các em học tập môn toán có kết quả tốt giáo viên không chỉ có kiến thức vững vàng, một tâm hồn đầy nhiệt huyết, mà điều cần thiết là phải biết vận dụng các phương pháp giảng dạy một cách linh hoạt, sáng tạo truyền thụ kiến thức cho học sinh một cách dễ hiểu nhất. Chương trình toán rất rộng và đa dạng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức. Trong đó có một nội dung kiến thức theo các em trong suốt quá trình học tập là việc phân tích và biến đổi đại số có ý nghĩa to lớn trong việc hạ cấp phần tử ( làm giảm bậc , giảm biến ) xuất hiện hầu hết trong các bài toán đại số và số học , kể cả các bài tập ở mức độ vận dụng thấp hay vận dụng cao Từ những yêu cầu thực tế và những yếu tố khách quan cũng như chủ quan ở trên , việc giúp cho học sinh giải được các dạng toán lên quan là một nhiệm vụ rất khó khăn đối với giáo viên. Và đó là một vấn đề trăn trở nên tôi đã nghiên cứu, tìm tòi và xây dựng ,hệ thống hóa các bài toán theo ý tưởng : “SỬ DỤNG THUẬT TOÁN TƯƠNG TỰ TRONG BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ 8” II.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU : -Nhằm nâng cao chất lượng dạy và học -Giúp HS có khả năng phân loại kiến thức và tăng cường khả năng vận dụng III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Một số các bài toán thường xuất hiện trong các tư liệu thuộc chương trình Đại số 8 và các đề thi HSG IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU: -Các tiết dạy Đại số có liên quan -Dành cho đối tượng chủ yếu là đội tuyển Toán 8 V. KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU : Từ tháng 8/2013 đến tháng 4/2014 4 CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN NGƯỜI THỰC HIỆN:NGUYỄN TRANG KIÊN PHẦN II: NỘI DUNG I.Cơ sở lí luận : Xuất phát từ thực tiễn dạy học và nhu cầu giải quyết các bài toán hay và khó trong HS, đòi hỏi tìm ra nét đặc trưng của phương pháp nhằm xử lí các hiện tượng bài thi , đề thi có liên quan . Việc tổng hợp , rà soát và tổng hợp kiến thức để có một góc nhìn toàn cảnh quá trình giải toán là cực kì quan trọng và cần thiết .Trên cơ sở đó người học có thể làm chủ kiến thức , dễ dàng lựa chon cho mình hướng giải quyết vấn đề tinh tế, nhanh nhạy và hiệu quả . Thực tế trong chương trình học chính khóa gồm kiến thức cơ không đòi hỏi xây dựng những lớp bài toán khó , việc vận dụng và hoàn thiện kiến thức vận dụng về sau nằm dải rác toàn bộ chương trình không được đề cập rõ ràng hướng giải toán cụ thể nên gây nhiều lúng túng , khó khăn , hay việc định hình lời giải một bài toán trong HS Vì vậy việc tổng hợp phân loại các phương pháp giải toán cụ thể hay định hình phương pháp giải một số dạng toán là hết sức cần thiết II. Thực trạng vấn đề nghiên cứu : Toán học là bộ môn khoa học chứa đựng rất nhiều các bài tập hay và khó , đòi hỏi trí tưởng tượng , tư duy trừu tượng . Đặc biệt nhiều bài tập có nội dung trình bày lời giải dài là 1 nguyên nhân HS thường trình bày sai , gây ra cảm giác ngại khó trong HS . vì vậy để cuốn hút HS và các hoạt động học tập cần định hình thật rõ ràng về phương pháp giải toán , trên cơ sở đó HS tự tin , tích cực học tập và lựa chọn cách giải quyết vấn đề thông minh nhất III) N ộ i dung c ụ th ể : 1)Xuất phát từ giả thiết chung : Bài toán 1: Chứng minh rằng : ( a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab-bc-ca)=a 3 +b 3 +c 3 -3abc Hướng dẫn giải: +VT là 1 tích , VP là 1 tổng Cách 1: Khai triển và rút gọn vế trái thành vế phải +Ngược lại , VP là 1 tích , VT là 1 tổng , nên : Cách 2: Biến đổi VPVT: Biến tổng thành tích ( phân tích đa thức thành nhân tử ) Sử dụng công thức : a 3 +b 3 =(a+b) 3 -3ab(a+b) Ta có :a 3 +b 3 +c 3 -3abc= 3 3 3 2 2 2 2 ( ) 3a ( ) 3a ( ) 3( ) ( ) 3a ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 3a ( )( ) a b c b a b bc a b c a b c a b c b a b c a b c a b c c a b b a b c a b c ab bc ca + + − + − = + + − + + + − + + =   = + + + + − + − = + + + + − − −   Hệ quả 1: Cho a+b+c=0 .Chứng minh rằng : a 3 +b 3 +c 3 =3abc Chứng minh: Cách 1: Từ giả thiết a+b+c=0 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3 ( ) ( ) 3a 3a 3a ( ) 3a ( ) 3a a b c a b c a b b b c a b c b a b b c bc ⇒ + = − ⇒ + = − ⇔ + + + = − ⇔ + + = − + = − − = 5 CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN NGƯỜI THỰC HIỆN:NGUYỄN TRANG KIÊN Cách 2: Sử dụng công thức : a 3 +b 3 =(a+b) 3 -3ab(a+b) Ta có :a 3 +b 3 +c 3 =3abc 3 3 3 ( ) 3a ( ) 3a 0 ( ) 3( ) ( ) 3a ( ) 0a b c b a b bc a b c a b c a b c b a b c ⇔ + + − + − = ⇔ + + − + + + − + + = :đúng ⇒ đpcm Hệ quả 1.1:Chứng minh rằng :(a-b) 3 +(b-c) 3 +(c-a) 3 =3(a-b)(b-c)(c-a) (*) Hướng dẫn giải: Cách 1: Khai triển và rút gọn 2 vế Cách 2: Đặt a-b=x; b-c=y;c-a=z ⇒ x+y+z=0, và (*) :x 3 +y 3 +z 3 =3xyz (hiển nhiên ) Hệ quả 2: Cho a, b, c là 3 số thỏa mãn : a+b+c ≠ 0 và a 3 +b 3 +c 3 =3abc. Chứng minh rằng 3 số a, b, c đôi một bằng nhau Hướng dẫn giải : +3 số a, b, c đôi một bằng nhau thì trong giả thiết cần biến đổi để xuất hiện a-b; b-c; và c-a Cách 1: +Ta có :a 3 +b 3 +c 3 -3abc= 2 2 2 2 2 2 ( )( ) 0 0 a b c a b c ab bc ca a b c ab bc ca = + + + + − − − = ⇒ + + − − − = (vì a+b+c ≠ 0) ⇔ 2 2 2 2 ( ) 0a b c ab bc ca + + − − − = ⇔ (a 2 -2ab+b 2 )+(b 2 -2bc+c 2 )+(a 2 -2ac+c 2 )=0 ⇔ (a-b) 2 +(b-c) 2 +(a-c) 2 =0 ⇔ 0 0 0 a b a b b c b c c a c a − = =     − = ⇔ =     − = =   a b c ⇔ = = ⇒ đpcm Cách 2: Với 2 2 , : 2a b a b ab ∀ + ≥ (1) . Dấu “=” xảy ra khi a=b Tương tự , có : 2 2 , : 2b c b c bc ∀ + ≥ (2) . Dấu “=” xảy ra khi b=c 2 2 , : 2a c a c ac ∀ + ≥ (3) . Dấu “=” xảy ra khi a=c Từ (1)(2)(3), cộng vế theo vế , ta có : 2 2 2 a b c ab bc ca + + ≥ + + Dấu “=” xảy ra khi a=b=c Hệ quả 3: (Đặc biệt) Nếu V ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c thỏa mãn :a 3 +b 3 +c 3 =3abc. Chứng minh rằng V ABC là tam giác đều Hệ quả 4: Cho 3 số dương a;b;c đôi một khác nhau . Chứng minh rằng giá trị của đa thức sau cũng dương A=a 3 +b 3 +c 3 -3abc Hướng dẫn giải : Với a;b;c >0 và đôi một khác nhau Ta có : A=a 3 +b 3 +c 3 -3abc= 1 2 (a+b+c)((a-b) 2 +(b-c) 2 +(a-c) 2 )>0 6 CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN NGƯỜI THỰC HIỆN:NGUYỄN TRANG KIÊN Hệ quả 5: Cho 3 số dương a;b;c đôi một khác nhau .Ta có thể thay thế -3abc bởi biểu thức khác : Ví dụ :A=a 3 +b 3 +c 3 +3abc =a 3 +b 3 +c 3 -3abc +3abc ; A=a 3 +b 3 +c 3 +10abc Hệ quả 6: Cho a,b,c thỏa mãn :a 3 +b 3 +c 3 =3abc với a;b;c ≠ 0.Tính giá trị của biểu thức P=( 1 )(1 )(1 ) a b c b c a + + + (Trích đề thi HSG 8 -huyện Lập Thạch , vòng 2 năm 2012-2013) Hướng dẫn giải : Theo BT 1: a 3 +b 3 +c 3 -3abc=0 0; 0 0 a b c abc a b c + + = ≠  ⇒  = = ≠  *)TH1:Nếu a+b+c=0 . . . . 1 a b c a b b c c a c a b b c a P c a b c a b c a b + = −  + + + − − −  ⇒ + = − ⇒ = = = −   + = −  *)TH2: Nếu a=b=c ≠ 0 1 8 a b c P b c a ⇒ = = = ⇒ = Vậy P=8 khi a=b=c ; P=-1 khi…… Hệ quả 7: Cho 1 1 1 0 a b c + + = .Tính giá trị biểu thức : A= 2 2 2 bc ca ab a b c + + Hướng dẫn giải : Cách 1: Đặt 3 3 3 1 1 1 ; ; 0 3xx y z x y z x y z yz a b c = = = ⇒ + + = ⇒ + + = Ta có A= 2 2 2 bc ca ab a b c + + =abc( 3 3 3 1 1 1 a b c + + )= 3 3 3 1 3x ( ) 3 yz x y z xyz xyz + + = = Vậy A=3 Cách 2:Ta có 1 1 1 0 a b c + + = 2 2 2 2 2 2 0 ( )( ) 0 3 0ab bc ca ab bc ca a b c b c bc a c ac a b ab abc ⇒ + + = ⇒ + + + + = ⇔ + + + + + + = (1) + Lại có : 1 1 1 0 a b c + + = ⇒ ( 1 1 1 )( ) 0 bc ac ab a b c a b c + + + + = 2 2 2 ( ) ( ) bc ca ab a b c a b c a b c b a a c c b ⇒ + + + + + + + + =0 ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 0 bc ca ab a c b c a b c b b a c a a b c abc + + + + + + + + = 7 CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN NGƯỜI THỰC HIỆN:NGUYỄN TRANG KIÊN ⇔ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 3a ) 3a ( ) 0 bc ca ab a c b c a b c b b a c a bc bc a b c abc + + + + + + − + + + = (2) +Từ (1), (2), ta có :A= 2 2 2 bc ca ab a b c + + =3 Cách 3 : theo gt, ta có 3 3 3 3 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 ( ) ( ) a b c a b c c a b c a b ab − − − + = ⇒ + = = ⇔ + + = − − = 3 1 1 ( ) ab a b − + = 3 abc Mặt khác: A= 2 2 2 bc ca ab a b c + + =abc ( 3 3 3 1 1 1 a b c + + )= abc . 3 abc =3 Hệ quả 8: Cho x+y+z =0 .Chứng minh rằng : 2( 5 5 5 2 2 2 ) 5x ( )x y z yz x y z + + = + + Phân tích :Xuất phát từ giả thiết x+y+z =0 ,ta có: x 3 +y 3 +z 3 =3xyz. dẫn đến một cách giải sau đây: VP= 2 2 2 5x ( ) (3x 2x )yz x y z yz yz + + = + . 2 2 2 ( )x y z + + =(x 3 +y 3 +z 3 +2xyz)( 2 2 2 ( )x y z + + = 5 5 5 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( )x y z x y z y x z z x y xyz x y z+ + + + + + + + + + + = 5 5 5 3 2 2 3 2 2 3 2 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )x y z x y yz z y x xz z z x xy y+ + + + + + + + + + + = 5 5 5 3 2 3 2 3 2 ( ) ( ) ( )x y z x y z y x z z x y+ + + + + + + + Do x+y+z=0 , nên VP= 5 5 5 3 2 3 2 3 2 ( ) ( ) ( )x y z x x y y z z+ + + − + − + − = = 5 5 5 2( )x y z+ + =VT Ra đề tương tự : Chứng minh rằng nếu x;y;z ≠ 0 và x+y+z=0 thì : 4 4 4 2 2 2 5 ( ) z 2 x y z x y z yz x xy + + = + + (Trích đề thi khảo sát đội tuyển HSG 9 ,lần 2-PGD Lập Thạch 2009-2010) Hệ quả 9: Nếu a 2 +b 2 +c 2 = ab bc ca + + thì a=b=c Hệ quả 10: 1)Tìm các số x,y,z biết x 2 +y 2 +z 2 =xy+yz+zx và 2008 2008 2008 2009 3x y z + + = (Trích đề thi HSG 8-huyện Lập Thạch , vòng 2 , năm 2008-2009) 2)Tìm các số x,y,z biết x 2 +y 2 +z 2 =xy+yz+zx và 2012 2012 2012 2013 3x y z+ + = (Trích đề thi HSG 8-huyện Lập Thạch , năm 2011-2012) Hướng dẫn giải : 1)Ta có x 2 +y 2 +z 2 =xy+yz+zx ⇒ x=y=z(Hệ quả 2) 8 CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN NGƯỜI THỰC HIỆN:NGUYỄN TRANG KIÊN Lại có 2008 2008 2008 2009 3x y z + + = 2008 2009 2008 2008 3. 3 3 3x x x ⇒ = ⇒ = ⇒ = ± Vậy x=y=z= 3 ± Hệ quả 11:Cho x+y+z=0 . Chứng minh rằng 3 0 y z z x x y x y z + + + + + + = Hệ quả 12: a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a 3 +b 3 +c 3 -3abc b)Cho x ;y ;z là các số khác 0 thỏa mãn 1 1 1 0x y z x y z + + = + + = CMR 6 6 6 3 3 3 x y z xyz x y z + + = + + (Trích đề thi khảo sát HSG 8-Vòng 1, PGD Lập Thạch 2009-2010) Hướng dẫn giải : b) +Vì x; ; 0y z ≠ và 1 1 1 0x y z x y z + + = + + = 3 3 3 3x z 0 x y z yz xy yz x  + + = ⇒  + + =  3 3 3 3 3 3 2 2 2 z 3xx y y z x y z⇒ + + = ⇒ ( ) 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 6 6 3 3 3 3 3 3 2( z )x y z x y y z x x y z x y z x y z + + − + + + + = + + + + = 2 2 2 2 2 2 9x 2.3x 3x y z y z xyz yz − = Hệ quả 13:( Giải phương trình ) (2x-5) 3 +27(x-1) 3 +(8-5x) 3 =0 (Trích đề thi H SG 8 -huyện Lập Thạch , vòng 2 , năm 2008-2009) Hướng dẫn giải : Bài toán này có nhiều cách giải , chúng ta chỉ đề cập tới ứng dụng của chuyên đề này : Ta có :(2x-5) 3 +27(x-1) 3 +(8-5x) 3 =0 ⇔ (2x-5) 3 +(3x-3) 3 +(8-5x) 3 =0 (1) Áp dụng HĐT:a 3 +b 3 +c 3 =3abc 0a b c a b c + + =  ⇔  = =  Ta có :(2x-5)+(3x-3)+(8-5x)=0 ⇒ (2x-5) 3 +(3x-3) 3 +(8-5x) 3 =3(2x-5)(3x-3)(8-5x) (2) Từ (1)và (2) , suy ra :3(2x-5)(3x-3)(8-5x) =0 5 2x 5 0 2 3x 3 0 1 8 5x 0 8 5 x x x  =  − =    ⇔ − = ⇔ =     − =  =   Vậy tập nghiệm của phương trình là S= 5 8 ;1; 2 5       Nhận xét : Từ giả thiết chung x+y +z =0 đã suy ra ứng dụng của biểu thức bậc ba , hoàn toàn tương tự HS có thể tìm tòi dưới định hướng của GV để tìm thấy những kết luận về biểu thức bậc hai , từ đó thấy được ứng dụng trong giải toán 9 CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN NGƯỜI THỰC HIỆN:NGUYỄN TRANG KIÊN Ví dụ : x+y+z =0 ⇒ x+y =-z ⇒ (x+y) 2 =(-z) 2 2 2 2 2 2 2 2x 2xx y y z x y z y ⇔ + + = ⇔ + − = − Hoàn toàn tương tự với các biến khác .Như thế 1 biểu thức cồng kềnh đã được thu nhỏ từ bậc đến biến số ,làm người học liên hệ bài toán rút gọn , hay tính giá trị của 1 biểu thức : Hệ quả 14: Cho x+y+z=0 , xyz ≠ 0 .Tính S= 2 2 2 1 x y z+ − + 2 2 2 1 y z x+ − + 2 2 2 1 x z y+ − Hướng dẫn giải : Theo nhận xét trên , do x+y +z =0 ⇒ x+y =-z ⇒ (x+y) 2 =(-z) 2 2 2 2 2 2 2 2x 2xx y y z x y z y ⇔ + + = ⇔ + − = − Tương tự : 2 2 2 2y z x yz + − = − ; 2 2 2 2xzx z y + − = − Nên S= 1 2xy− + 1 2yz− + 1 2zx− = 0 2 x y z xyz + + = − Hoàn toàn tương tự H S có thể giải các bài toán sau : Bài 1:Cho x+y+z=0 ,xyz ≠ 0 .Rút gọn S= 2 2 2 2 x x y z− − + 2 2 2 2 y y z x− − + 2 2 2 2 z z y x− − Bài 2: a) Phân tích đa thức thành nhân tử : (3x-2) 3 -(x-3) 3 -(2x+1) 3 b)Áp dụng giải phương trình (3x-2) 3 -(x-3) 3 =(2x+1) 3 (Trích đề thi Ôlympic toán 8 , năm 2009-2010) Bài 3: Cho 3 số a;b;c 0 ≠ thỏa mãn :a 3 b 3 +b 3 c 3 +c 3 a 3 =3 2 2 2 a b c . Tính giá trị biểu thức:P=( 1 )(1 )(1 ) a b c b c a + + + Hướng dẫn giải : Đặt ab x bc y ca z =   =   =  Vì a 3 b 3 +b 3 c 3 +c 3 a 3 =3 2 2 2 a b c nên :x 3 +y 3 +z 3 =3xyz ⇒ 0x y z x y z + + =   = =  TH1:x=y=z ⇒ a=b=c ⇒ P=8 TH2 :x+y+z=0 ⇔ ab+bc+ca=0 ⇒ a(b+c)==bc ⇒ b+c= bc a − (do a 0 ≠ ) Tương tự :a+c= ac b − ; a+b= ab c − ⇒ M= a b b + . b c c + . a c a + = ab c b − . bc a c − . ca b a − =-1 10 [...]... cầu lời giải cho các “ bài tốn lớn “ sau đây là 1 số ví dụ : x 1 = Tính giá trị của biểu thức Bài tốn 1:Cho số thực x thỏa mãn 2 x − x +1 2 4 3 x − 3x + 18x − 1 B= 3 x − 2x 2 + x + 1 Giải : Gt: x2-x+1=2x ⇒ x2=3x-1 ⇒ x3=x2.x=x(3x-1)=3x2-x=3(3x-1)-x=8x-3 ⇒ x4=x3.x=x(8x-3)=8x2-3x =8( 3x-1)-3x=21x -8 x 4 − 3x 3 -18x − 1 21x − 8 − 3 (8 x − 3) + 18 x − 1 15 x ⇒ B= 3 = = =5 x − 2x 2 + x + 1 8 x − 3 − 2(3 x − 1)... pháp trong 1 số lớp bài tốn khác sau đây : Bài 2: Giải phương trình :2(x2+x+1)2-7(x-1)2=13(x3-1) (1) Hướng dẫn giải : Cách 1: Sử dụng thật tốn tách nghiệm ( cách này thường kém hiệu quả kể cả khi sử dụng trợ giúp của MTĐT bỏ túi ) Cách 2 : Sử dụng phương pháp “ ẳng cấp”: Kiểu 1:Chia 2 vế của (1) cho (x2+x+1)2>0 Kiểu 1:Nhận thấy x=1 khơng là nghiệm của (1) , nên : chia 2 vế cho (x-1)2 hay (x3-1) 18 CHUN... Cho 3 số x ;y ;z thỏa mãn đồng thời :  y + 2z + 1 = 0  z 2 + 2x + 1 = 0  Tính A=x20 08+ y20 08+ z20 08 Hướng dẫn giải : Cộng vế theo vế , có (x+1)2+(y+1)2+(z+1)2=0, ⇒ x=y=z=-1 ⇒ A=3  x2 − 2 y + 1 = 0  2 Bài tập tương tự :1)Tìm 3 số x ;y ;z thỏa mãn đồng thời :  y − 2z + 1 = 0  z 2 − 2x + 1 = 0  (Trích đề khảo sát chất lượng lớp 9 ,lần 2 -Đề PGD -năm học 2009-2010)  x2 − 4 y + 4 = 0  2 2)Cho 3 số x... 3 số thỏa mãn a+b+c=2011 và : + + = thì một trong ba a b c 2011 số a;b;c bằng 2011 (Trích đề thi HSG 8 -huyện Hải Hậu –Nam Định ,năm 2010-2011) Bài tốn 3:Cho x;y;z ≠ 0 và y 2 + z2 − x2 z 2 + x2 − y 2 y 2 + x2 − z 2 + + =1 (1) 2 yz 2 xy 2 xz a) CMR trong ba số x; y ;z có ít nhất một số bằng tổng hai số kia b)CM R trong ba phân thức ở VT có 1 phân thức có giá trị bằng -1 , còn hai phân thức còn lại đều... các số khơng âm thỏa mãn :  y + yz + z = 3  z + zx + x=7  1 2 3 Tính A=x +y +z (Đáp số : 28) 21 CHUN ĐỀ MƠN TỐN NGƯỜI THỰC HIỆN:NGUYỄN TRANG KIÊN 4)Biến đổi số hạng đại diện (Xây dựng biểu thức ) : Áp dụng với tất cả các bài tốn có sự biểu diễn chung , tương tự giữa các đại lượng hay các số hạng Bài 1 :Cho 3 số phân biệt a ;b ;c thỏa mãn : CMR a b c + + =0 2 2 (b − c ) (c − a) ( a − b) 2 a b c +... ( Đáp số : A=4; B=-14; C=1;D=1) *)Một giả thuyết trong giải tốn cũng thường xuất hiện khi có sự xuất hiện các số liệu đặc biệt ,chính đó là ngun nhân, định hướng HS tiếp cận phương pháp ẩn hóa và các con số tốn học thực sự trở nên “biết nói “ Bài 4: Cho xyz=1 Tính E= x y z + + xy + x + 1 yz + y + 1 zx + z + 1 Hướng dẫn giải : +Thay xyz=1 vào 2 trong 3 số hạng của biểu thức E +KQ: E=1 31 CHUN ĐỀ MƠN... ĐỀ MƠN TỐN NGƯỜI THỰC HIỆN:NGUYỄN TRANG KIÊN 2) Xuất phát từ vai trò bình đẳng của biến : Đây là 1 trong các dấu hiệu cơ bản thường hay xuất hiện ở 1 số dạng bài tập biến đổi đại số ở lớp 8. Tuy nhiên là cơ sở dễ để HS phát hiện , có ý nghĩa rất lớn trong việc định hướng lời giải với các bài tập dài và khó giúp H S có quan điểm nhìn nhận cách thức giải một bài tập khó 1 a 1 b 1 c Bài tốn 2: Cho 3 số. .. gặp trong khi H S giải 1 bài tốn giá trị có chứa ẩn bậc cao , hay thao tác với các biểu thức tính tốn kồng kềnh ,số liệu phức tạp +Có ý nghĩa rất lớn trong việc “hạ cấp phần tử “ , việc sử dụng thành thạo phương pháp này giúp H S hạn chế khá nhiều thao tác tính tốn thủ cơng và nhầm lẫn , sai sót trong tính tốn Bài tốn xuất phát: a4 + a2 + 1 2 Cho a -4a+1=0 tính giá trị biểu thức :P= a2 29 CHUN ĐỀ MƠN... là số tự nhiên lẻ 1 −1 1 1 1 ⇒ a n + b n = 0 và a n = b n ⇒ a n + b n = 0 Do đó VT(*)=VP(*)= c n TH2: b+c=0 ; TH3 : c+a=0 :Tương tự Hệ quả 3: (Cụ thể - Đặc biệt hóa) Thường là các trường hợp riêng với các giá trị cụ thể của n : Ví dụ : n= 2003; 2007; 2009; 2013;… Bài tập tương tự : 1 1 1 1 Bài 1:Cho a;b;c là 3 số thỏa mãn a+b+c=2009 và : + + = thì một trong ba a b c 2009 số a;b;c bằng 2009 (Trích đề. .. + 4 = 0  Tính giá trị của biểu thức A=x2+y3+z5 20 CHUN ĐỀ MƠN TỐN NGƯỜI THỰC HIỆN:NGUYỄN TRANG KIÊN  x 2 + 2 y = −1  2 3)Cho 3 số x ;y ;z thỏa mãn đồng thời :  y + 2z = −1  z 2 + 2x = −1  Tính giá trị biểu thức sau A= x2001+y2002+z2003 (Trích đề thi chọn HSG 8- Đề PGD Lập Thạch -năm học 2001-2002)  x2 − 2 y + 3 = 0  2 4)Mở rộng :Cho 3 số x ;y ;z thỏa mãn đồng thời :  y − 4z + 7 = 0  z 2 − . mà bản thân tôi đã -đang sử dụng và áp dụng lên đối tượng H S nghiên cứu , phương pháp : Sử dụng thuật toán “tương tự “ trong bồi dưỡng HSG đại số 8 2 CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN NGƯỜI THỰC HIỆN:NGUYỄN. CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN NGƯỜI THỰC HIỆN:NGUYỄN TRANG KIÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN LẬP THẠCH TRƯỜNG THCS SƠN ĐÔNG CHUYÊN ĐỀ:SỬ DỤNG THUẬT TOÁN “TƯƠNG TỰ “ TRONG BỒI DƯỠNG HSG ĐẠI SỐ 8 Người thực. 2013-2014 Lập Thạch, tháng 1 năm 2014 CHUYÊN ĐỀ MÔN TOÁN NGƯỜI THỰC HIỆN:NGUYỄN TRANG KIÊN LỜI NÓI ĐẦU Có lẽ “Biến đổi đại số “ và Bồi dưỡng HSG đại số 8 luôn là đề tài hấp dẫn ,lôi quấn đối với tất