độ đo thực và khoảng cách xác suất

TRƯỜNG CĐSP KON TUM KHOA TỰ NHIÊN - TIN HỌC NGOẠI NGỮ I wake up in the morning so far away from home Many miles are between us LỆ NGUYÊN - TRÌNH VĂN DŨNG ĐỘ ĐO THỰC VÀ KHOẢNG CÁCH XÁC SUẤT MTV 2 Mục lục Trang Mục lục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Các bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 2. Độ đo thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1. Khái niệm độ đo thực. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 2.2. Khai triển Haln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 2.3. Khai triển Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chương 3. Một số kết quả nhận được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1. Tính duy nhất của khai triển Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 3.2. Một số kết quả khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 4. Khoảng cách xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.1. Khoảng cách biến phân toàn phần và khoảng cách Hellinger . . . . . . . .25 4.2. Mối liên hệ giữa khoảng cách biến phân toàn phần và khoảng cách Hellinger 36 4.3. Một số ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 4.4. Các khoảng cách xác suất khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi nhắc lại một cách ngắn gọn các kiến thức, thuật ngữ và kí hiệu cần thiết cho các chương sau. 1.1 Tích phân Lebesgue Cho không gian độ đo ( X,A,µ), trong đó A là σ-đại số trên X. Định lý 1.1.1. [DH] Cho f là hàm đo được trên X. Nếu f ≥ 0 trên A, A ∈ A, A ⊂ X và  A fdµ = 0 thì f = 0 hầu khắp nơi trên A. Định lý 1.1.2. [DH] Giả sử f là một hàm xác định trên X với giá trị trong R và có tích phân trên X. Xét hàm tập định nghĩa bởi: λ :A −→ R A −→ λ(A) =  A fdµ Khi đó hàm tập λ là σ-cộng tính. Định lý 1.1.3 (Levi). [DH] Cho A ∈ A. Nếu 0 ≤ f n  f trên A thì lim n→∞  A f n dµ =  A fdµ. Định lý 1.1.4. [DH] Mọi hàm f : [a, b] −→ R khả tích Riemann đều khả tích 3 4 Lebesgue và hai tích phân đó trùng nhau, nghĩa là: (R) b  a f(x)dx = b  a fdµ. Định lý 1.1.5. Giả sử µ là một độ đo trên A. Khi đó nếu A n ∈ A, A n ⊂ A n+1 , mọi n ∈ N, và A = ∞  n=1 A n ∈ A thì lim n→∞ µ(A n ) = µ(A). 1.2 Các bất đẳng thức Định lý 1.2.1 (Bất đẳng thức H¨older). [NL] Cho A một tập con khác ∅ đo được của X, p, q là hai số thực liên hiệp ( p ≥ 0, q ≥ 0 và 1 p + 1 q = 1). Giả sử f, g là hai hàm đo được trên A. Khi đó ta có bất đẳng thức  A   fg|dµ ≤   A |f| p dµ  1 p   A |g| q dµ  1 q . Bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức H¨older. Định lý 1.2.2 ( Bất đẳng thức Minkowski). [NL] Cho A ∈ A, f, g là hai hàm số đo được trên A và 1 ≤ p < +∞. Khi đó   A   f + g| p dµ  1 p ≤   A |f| p dµ  1 p +   A |g| p dµ  1 p . Chương 2 Độ đo thực 2.1 Khái niệm độ đo thực Định nghĩa 2.1.1. Cho không gian đo được (X, A) trong đó X là tập hợp tùy ý cho trước, A là một σ-đại số các tập con của X, ánh xạ ϕ : A −→ R được gọi là một độ đo thực hay độ đo suy rộng (độ đo dấu) nếu nó thỏa mãn điều kiện sau: Với mọi dãy {A n } ∞ n=1 ⊂ A, A n ∩ A m = ∅, n = m ta có ϕ  ∞  n=1 A n  = ∞  n=1 ϕ(A n ). Nhận xét 2.1.2. (i)Rõ ràng ϕ(∅) = 0.Thật vậy ta hãy xét dãy {A n } ∞ n=1 trong đó A 1 = A 2 = A 3 = = A n = = ∅, ta có ϕ(∅) = ∞  n=1 ϕ(∅) ∈ R. Do đó ϕ(∅) = lim n→∞ nϕ(∅) ∈ R. Suy ra ϕ(∅) = 0. (ii)ϕ là một độ đo thực thì ϕ có tính chất cộng tính hữu hạn. (iii) Nếu A, B ∈ A, A ⊂ B thì ϕ(B \ A) = ϕ(B) − ϕ(A). (iv) Độ đo xét trước đây có thể không phải là một độ đo thực vì nó có thể bằng +∞. Định nghĩa 2.1.3. Một tập E ⊂ X được gọi là dương nếu E ∈ A và nếu mọi A ⊂ E, A ∈ A đều có độ đo không âm. Tương tự tập E ⊂ X được gọi là tập 5 6 âm nếu E ∈ A và nếu mọi A ⊂ E, A ∈ A đều có độ đo không dương. Một tập E ⊂ X đồng thời dương và âm được gọi là tập không. Mệnh đề 2.1.4. Mọi tập con đo được của một tập con dương của X là một tập con dương; hợp của một họ đếm được những tập con dương của X là một tập dương. Chứng minh. Phần đầu của mệnh đề là hiển nhiên ,để chứng minh phần sau ta giả sử E = ∞  n=1 E n là dãy những tập con dương của X (Để ý rằng ∅ là một tập con dương của X). Giả sử A là một tập con đo được tùy ý của E.Với mỗi n ∈ N ta đặt A n = A ∩E n ∩(X \E 1 ) ∩ ∩(X \E n−1 ) thế thì: A n ⊂ E n , A n ∈ A vì vậy ϕ(A n ) ≥ 0. Rõ ràng A n ∩ A m = ∅, n = m và A = ∞  n=1 A n nên ta có: ϕ(A) = ∞  n=1 ϕ(A n ) ≥ 0 điều đó chứng tỏ rằng E là một tập dương. Bằng cách lập luận tương tự ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 2.1.5. Mọi tập con đo được của một tập con âm của X là một tập âm. Hợp của một họ đếm được những tập con âm của X là một tập âm. Mệnh đề 2.1.6. Mọi tập con đo được E của X mà ϕ(E) < 0, đều chứa một tập con âm D với ϕ(D) < 0. Chứng minh. Nếu E là một tập con âm thì ta lấy D = E và mệnh đề được chứng minh. Ngược lại E chứa những tập con có độ đo dương. Gọi n 1 là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho tồn tại một tập con đo được E 1 của E với ϕ(E 1 ) > 1 n 1 do đó ϕ(E \ E 1 ) = ϕ(E) − ϕ(E 1 ) < 0. 7 Nếu E \ E 1 là một tập âm thì ta lấy D = E \ E 1 và mệnh đề được chứng minh. Trong trường hợp ngược lại E \E 1 chứa các tập con có độ đo dương. Gọi n 2 là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho tồn tại một tập con đo được E 2 của E với ϕ(E 2 ) > 1 n 2 , ta thấy ϕ(E 2 ) và ϕ(E \ (E 1 ∪ E 2 )) ∈ R nên ϕ(E \ (E 1 ∪ E 2 )) = ϕ(E) − ϕ(E 1 ) − ϕ(E 2 ) < 0. Tiếp tục quá trình này ta sẽ được hoặc một tập con âm D của E với ϕ(D) < 0 hoặc một dãy {n i } ∞ i=1 những số tự nhiên và một dãy {E i } ∞ i=1 những tập con đo được rời nhau của E với 1 n i < ϕ(E i ), ∀i ∈ N. Trong trường hợp thứ hai ta đặt D = E \  ∞  i=1 E i ) ta có ϕ(E) = ϕ(D) + ϕ  ∞  i=1 E i ) = ϕ(D) + ∞  i=1 ϕ(E i ) > ϕ(D) + ∞  i=1 1 n i vì ϕ(E) ∈ R nên ∞  i=1 1 n i có tổng hữu hạn, do đó lim i→+∞ 1 n i = 0. Ta có ϕ(D) < ϕ(E) − ∞  i=1 1 n i < 0 chúng ta chứng tỏ D là tập âm. Giả sử A là một tập con tùy ý, đo được của D. Với mỗi i ∈ N ta có A ⊂ D ⊂ E \  i−1  k=1 E k ) do cách chọn n i nên ta có ϕ(A) ≤ 1 n i − 1 điều này đúng với ∀i ∈ N, do 1 n i → 0 khi i → +∞ nên ta phải có ϕ(A) ≤ 0. Như vậy D là một tập âm, mệnh đề được chứng minh hoàn toàn. 8 2.2 Khai triển Haln Định lý 2.2.1 (Định lý phân tích Haln). Giả sử ϕ là một độ đo thực trên σ -đại số A của không gian X. Khi đó tồn tại một tập con dương P và một tập con âm Q của X đối với ϕ sao cho X = P ∪ Q; P ∩ Q = ∅ Chứng minh. Ta xem F là họ tất cả các tập con âm của X và đặt λ = inf E∈F ϕ(E). Khi đó tồn tại dãy {E n } ∞ n=1 ⊂ F sao cho lim n→+∞ ϕ(E n ) = λ. Gọi Q = ∞  n=1 E n theo mệnh đề trên thì Q là một tập con âm của X vì vậy ta có ϕ(Q) ≥ λ. Mặt khác xem tập con Q \ E n của Q, vì Q là tập âm nên ϕ(Q \ E n ) ≤ 0 do đó ϕ(Q) = ϕ(E n ) + ϕ(Q \ E n ) ≤ ϕ(E n ), điều này đúng với mọi n ∈ N nên ta phải có ϕ(Q) ≤ λ. Vậy ϕ(Q) = λ ≤ 0. Ta hãy chứng minh P = X \ Q là tập dương. Giả sử P không phải là tập dương, khi đó theo định nghĩa tồn tại một tập con đo được E của P với ϕ(E) < 0 suy ra E chứa một tập con âm D của X với ϕ(D) < 0, vì D và Q là những tập con âm rời nhau của X nên D ∪ Q là một tập âm hơn nữa λ ≤ ϕ(D ∪ Q) = ϕ(D) + ϕ(Q) = ϕ(D) + λ, thành thử ϕ(D) ≥ 0 mâu thuẫn với điều kiện ϕ(D) < 0. Do đó ta có điều phải chứng minh. Nhận xét 2.2.2. Cặp {P, Q} trong định lý trên được gọi là một khai triển Haln của X đối với độ đo thực, dễ dàng thấy rằng khai triển Haln nói chung không phải là duy nhất vì ta có thể chuyển một tập con không, không rỗng từ thành phần này sang thành phần kia mà không ảnh hưởng đến sự phân tích. Chẳng hạn giả sử A là tập con không của P khi đó ta có (P \ A) ∪ (P ∪ Q) = X; (P \ A) ∩ (A ∪ Q) = ∅ 9 và ϕ(P \ A) = ϕ(P ) + ϕ(A) = ϕ(P ) ≥ 0 ϕ(Q ∪ A) = ϕ(A) + ϕ(Q) = ϕ(Q) ≤ 0. Hơn nữa với mọi B ∈ A, B ⊂ (P \ A) thì B ⊂ P do đó ϕ(B) ≥ 0 (P là tập dương). Với mọi B ∈ A, B ⊂ (A ∪ Q) thì B = B ∩ (A ∪ Q) = (B ∩ A) ∪ (B ∩ Q) do đó ϕ(B) = ϕ(B ∩ A) = ϕ(B ∩ Q) = ϕ(B ∩ A) ≤ 0. Như vậy khai triển Haln nói chung là không duy nhất, tuy nhiên sự phân tích ấy là hầu duy nhất theo nghĩa của định lý sau: Định lý 2.2.3. Giả sử {P, Q} và {P  , Q  } là hai phân tích Haln của X đối với cùng một độ đo thực ϕ : A −→ R. Khi đó ta có ϕ(E ∩ P ) = ϕ(E ∩ P  ); ϕ(E ∩ Q) = ϕ(E ∩ Q  ) với ∀E ∈ A. Chứng minh. Ta có E ∩ (P \ P  ) ⊂ E ∩ P (2.1) E ∩ (P \ P  ) ⊂ E ∩ (X \P  ). (2.2) Từ (2.1) suy ra ϕ(E ∩ (P \ P  )) ≥ 0, từ (2.2) suy ra ϕ(E ∩ (P \ P  )) ≤ 0. Do đó ϕ(E ∩ (P \ P  )) = 0 tương tự ϕ(E ∩ (P  \ P )) = 0 Từ đây ta có ϕ(E ∩ P ) = ϕ{E ∩ (P ∩ P  )} + ϕ{E ∩ (P \ P  )} = ϕ{E ∩ (P ∩ P  )} ϕ(E ∩ P  ) = ϕ{E ∩ (P ∩ P  )} + ϕ{E ∩ (P  \ P )} = ϕ{E ∩ (P ∩ P  )}. 10 Như vậy ta có ϕ(E ∩ P ) = ϕ(E ∩ P  ) tương tự ta củng có được ϕ(E ∩ Q) = ϕ(E ∩ Q  ). Ta đi xây dựng các hàm sau: Định nghĩa 2.2.4. Với một độ đo thực ϕ : A −→ R tùy ý, từ khai triển Haln và định lý trên ta xây dựng được ba hàm xác định một cách duy nhất ϕ + , ϕ − , |ϕ| : A −→ R như sau: Giả sử {P, Q} là một khai triển Haln của X đối với ϕ, các hàm ấy được định nghĩa bởi: ϕ + (E) = ϕ(E ∩ P ) ϕ − (E) = −ϕ(E ∩ Q) |ϕ|(E) = ϕ + (E) + ϕ − (E) với mọi E ⊂ X, E ∈ A. Nhận xét 2.2.5. Theo cách định nghĩa trên thì rõ ràng ϕ + , ϕ − , |ϕ| là những hàm không âm tức là ϕ + (A) ≥ 0; ϕ − (A) ≥ 0; |ϕ|(A) ≥ 0 với ∀A ∈ A. Ta có thể kiểm tra dễ dàng rằng ϕ + , ϕ − , |ϕ| là những độ đo hữu hạn (theo nghĩa thường) trên σ-đại số A. Chẳng hạn ta đi chứng tỏ ϕ + là một độ đo trên A. Ta có ϕ + (A) = ϕ(A ∩ P ) ≥ 0, ∀A ∈ A ϕ + (∅) = ϕ(∅ ∩ P ) = ϕ(∅) = 0. [...]... ν(x) 2 x∈Ω 33 4.1.2 Khoảng cách Hellinger Định nghĩa 4.1.9 Giả sử µ và ν là hai độ đo xác suất trên Ω, λ là độ đo thỏa mãn µ . chắn). Hàm f được gọi là hàm mật độ của độ đo ϕ đối với độ đo m.Ta thường kí hiệu dϕ dm = f hay dϕ = fdm. Định nghĩa 2.3.7. Nếu µ là một độ đo thực và f là một hàm đo được sao cho f khả tích đối. 2.3.5. (i) Nếu µ là một độ đo thực và f là hàm khả tích đối với độ đo |µ| và nếu ν được định nghĩa ν(E) =  E fd|µ| với mọi E ∈ A thì ν << µ. (ii) Nếu µ, ν là hai độ đo trên σ -đại số A thì. . . . . . 22 Chương 4. Khoảng cách xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.1. Khoảng cách biến phân toàn phần và khoảng cách Hellinger . . . .