lý thuyết toán ứng dụng

18 204 0
lý thuyết toán ứng dụng

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

lý thuyết toán ứng dụng

Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm Nhóm 9 Trang 1 HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƢU CHÍNH VIỄN THÔNG CƠ SỞ TẠI TP HỒ CHÍ MINH Môn học: XỬ LÝ ẢNH Chuyên đề: “ LÝ THUYẾT TOÁN ỨNG DỤNG ” GVHD: Th.S Tôn Thất Nghiêm Nhóm 7: Trần Anh Tuấn Kiệt Trần Thị Hoàng Linh Nguyễn Thị Thu Võ Văn Quốc Hƣng Lớp : D09VTH2 TP HỒ CHÍ MINH , 2010 Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm Nhóm 9 Trang 2 1.Mở đầu Khi ta biến đổi một bức ảnh gốc thành một bức ảnh mới theo yêu cầu về mặt toán học ta cho bức ảnh gốc qua một hệ thống biến đổi gọi là hệ thống xử lý ảnh để cho ảnh biến đổi đầu ra ta có mô hình như hình vẽ sau: Các hệ thống xét ở đây là các hệ thống tuyến tính thỏa tính chất sau: U 1 (m,n)  v 1 (m,n) U 2 (m,n)  v 2 (m,n) a 1 u 1 (m,n)+ a 2 u 1 (m,n) a 1 v 2 (m,n)+a 2 v 2 (m,n) Một bức ảnh gốc u khi qua hệ thống biến đổi ta sẽ có bức ảnh biến đổi v ngõ ra để có thể tìm được v hệ thống biến đổi phải được đặc trưng bởi các hàm hay các thông số. một trong những thông số được dùng nhiều nhất đó là xung lựcđơn vị trong không gian 2 chiều được mô tả bởi biểu thức toán học sau:            2. Đáp ứng xung của hệ thống: Nếu u(m,n) = (m,n)  v(m,n) = h(m,n) H(m,n) gọi là đáp ứng của hệ thống Ta có:                             Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm Nhóm 9 Trang 3                          V(m,n) = u(m,n) * h(m,n) Ví dụ:cho hệ thống xử lý ảnh với đáp ứng xung và ngõ vào u như hình vẽ. hãy tìm ảnh biến đổi v ngõ ra.                   Ta có:                      H v u Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm Nhóm 9 Trang 4                                                                                                                                         Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm Nhóm 9 Trang 5 Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm Nhóm 9 Trang 6 Kết luận: Như vậy phép toán chập trong không gian 2 chiều m,n được tính bằng phương pháp đồ thị tiện lợi hơn đại số. Tuy nhiên chương trình thực hiện phải viết bằng phương pháp đại số. 3. Các định lý về đáp ứng xung h(n) của các hệ xử lý ghép với nhau: a/ Ghép nối tiếp: Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm Nhóm 9 Trang 7                                                                      Kết luận: Đáp ứng xung của hệ thống xử lý ảnh của nhiều hệ thống ghép nối tiếp bằng tích chập các đáp ứng xung của các hệ thống ghép. b/ Ghép song song:                                                                                   Kết luận: Đáp ứng xung của hệ thống xử lý ảnh bao gồm nhiều hệ thống ghép song song sẽ bằng tổng các đáp ứng xung của các hệ ghép. Lý Thuyt Toỏn ng Dng GVHD:ThS Tụn Tht Nghiờm Nhúm 9 Trang 8 4. Biến đổi Fourier: Tr-ớc tiên ta xem xét các khái niệm và bản chất của biến đổi TF cho tín hiệu số một chiều và hai chiều. Vì ảnh số chỉ là một phần của tín hiệu số nên phải dùng một dạng khác của biến đổi TF đó là biến đổi Fourrier rời rạc DFT(Discrete Fourrier Transform). Cuối cùng, sẽ trình bày sẽ trình bày thuật toán biến đổi nhanh FFT(Fast Fourrier Transform) để tính các DFT. 4.1. Biến đổi Fourrier-TF: Biến đổi Fourrier cho một tín hiệu có thể hình dung nh- sau: x(t) TF X(f) Miền thời gian Miền tần số Một số ứng dụng cần miền phức, ng-ời ta dùng biến đổi phức (biến đổi z) : x(n) TZ X(z) với z là biến phức Biến đổi Fourrier cho một tín hiệu một chiều gồm một cặp biến đổi: - Biến đổi thuận: Chuyển sự biểu diễn từ không gian thực sang không gian tần số (phổ và pha). Các thành phần tần số này đ-ợc gọi là các biểu diễn trong không gian Fourrier của tín hiệu. - Biến đổi ng-ợc: Chuyển đổi sự biểu diễn của đối t-ợng từ không gian Fourrier sang không gian thực. a) Không gian một chiều: Cho một hàm f(x) liên tục. Biến đổi Fourrier của f(x), kí hiệu F(u), u biểu diễn tần số không gian, đ-ợc định nghĩa: F(u) = dxexf ixu 2 )( (4.1) trong đó: f(x): biểu diễn biên độ tín hiệu e -2 ixu : biểu diễn pha. Biến đổi ng-ợc của F(u) cho f(x) đ-ợc định nghĩa: f(x) = F u e du ixu ( ) 2 (4.2) Lý Thuyt Toỏn ng Dng GVHD:ThS Tụn Tht Nghiờm Nhúm 9 Trang 9 b) Không gian hai chiều: Cho f(x,y) hàm biểu diễn ảnh liên tục trong không gian 2 chiều, cặp biến đổi Fourier cho f(x,y) đ-ợc định nghĩa: - Biến đổi thuận F(u,v) = f x y e dxdy i xu yv ( , ) ( ) 2 (4.3) u,v biểu diễn tần số không gian. - Biến đổi ng-ợc f(x,y) = F u v e dudv i xu yv ( , ) ( )2 (4.4) 4.2. Biến đổi Fourrier rời rạc - DFT : Biến đổi DFT đ-ợc phát triển dựa trên biến đổi Fourrier cho ảnh số. ở đây, ta dùng tổng thay cho tích phân. Biến đổi DFT tính các giá trị của biến đổi Fourrier cho một tập các giá trị trong không gian tần số đ-ợc cách đều. a) DFT cho tín hiệu một chiều: Với tín hiệu một chiều, ng-ời ta biểu diễn bởi một chuỗi trực giao các hàm cơ sở. Với các hàm liên tục, khai triển chuỗi trực giao sẽ cung cấp chuỗi các hệ số dùng trong nhiều quá trình khác nhau hay trong phân tích hàm. Khai triển Fourrier rời rạc DFT cho một dãy {u(n), n = 0, 1, , N-1} định nghĩa bởi: x(n) X(k) = kn N n NWnx 1 0 )( với k =0, 1, , N-1 (4.5) với W N = e -j2 /N và biến đổi ng-ợc : X(k) x(n) = 1 0 )( 1 N k kx N W N -kn , k=0, 1, , N-1 (4.6) Thực tế trong xử lý ảnh ng-ời ta hay dùng DFT đơn vị: x(k) X(k) = 1 0 )( 1 N n kx N W N kn , k=0, 1, , N-1 (4.7) X(k) x(n) = 1 0 )( 1 N k kx N W N -kn , k=0, 1, , N-1 (4.8) Lý Thuyt Toỏn ng Dng GVHD:ThS Tụn Tht Nghiờm Nhúm 9 Trang 10 Các DFT và DFT đơn vị có tính đối xứng. Hơn nữa khai triển DFT và DFT đơn vị của một chuỗi và biến đổi ng-ợc lại của nó có tính chu kỳ và chu kỳ N. b) DFT cho tín hiệu hai chiều (ảnh số) DFT hai chiều của một ảnh M x N : {u(m,n) } là một biến đổi tách đ-ợc và đ-ợc định nghĩa : F(p,q) = 1 0 1 0 ),( M m N n nmf W M pm W N qn 0 q, p N-1 (4.9) và biến đổi ng-ợc: f(m,n) = 1 0 1 0 ),( 1 M p N q qpF MxN W M -pm W N -qn 0 m, n N-1 (4.10) Nh- vậy các phép biến đổi fourier 2 chiều cũng nh- 1 chiều sẽ biến tín hiệu từ miền không gian hay thời gian sang miền tần số p,q trong xử lý ảnh p,q đ-ợc gọi là tần số không gian. Tóm lại ta có công thức sau đây: f(m,n) F(p,q)= 1 0 1 0 ),( M m N n nmf W M -pm W N -qn 0 q, p N-1 (4.11) F(p,q) f(m,n)= 1 0 1 0 ),( 1 M p N q qpF MxN W M pm W N qn 0 m, n N-1 (4.12) ở đây, W N (pm+qn) là ma trận ảnh cơ sở. Nhắc lại rằng e j = cos() +jsin() (công thức Ơle). Do vậy: W N (pm+qn) = e -j2 (pm+qn)/N = cos(2(pm+qn)/N) - j sin (2(pm+qn)/N). Nh- vậy, các hàm cơ sở trong ma trận ảnh cơ sở của biến đổi Fourier là các hàm cosine và hàm sine. Theo tính toán trên, ta thế biến đổi Fourrier biễu diễn ảnh trong không gian mới theo các hàm sin và cosine. [...].. .Lý Thuyt Toỏn ng Dng GVHD:ThS Tụn Tht Nghiờm Bài tập áp dụng: f(m,n)= | ( ) | tìm DFT (2x2) của f: ( ) ( ) F(0,0)= 1+2+1 = 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | Trong matlab: f = zeros(30,30); >> f(5:24,13:17) = 1; >> imshow(f,'notruesize')... F = fft2(f,256,256); >> imshow(log(abs(F)),[-1 5]);colormap(jet);colorbar >> F2 = fftshift(F); Nhúm 9 Trang 11 Lý Thuyt Toỏn ng Dng GVHD:ThS Tụn Tht Nghiờm >> imshow(log(abs(F2)),[-1 5]);colormap(jet);colorbar Hình tạo ban đầu Hình sau biến đổi Fourrier Hình đ-ợc nhuộm màu Nhúm 9 Trang 12 Lý Thuyt Toỏn ng Dng GVHD:ThS Tụn Tht Nghiờm Hình sau khi đ-a phổ về trung tâm ( DC ) 5 Cỏc tớnh cht ca DFT N im:... x(n) DFT-N X(k) V y(n) DFT-N Y(k) Thỡ : DFT-N ( ) Trong ú : ( ) = 5.9 Nhõn: Nu : ( ) ( ) Thỡ : Nhúm 9 X(k)Y*(k) ( ) DFT-N ] ( ) DFT-N ) [( ( ) ( ) ( ) DFT-N ( ) N ( ) Trang 17 Lý Thuyt Toỏn ng Dng GVHD:ThS Tụn Tht Nghiờm 5.10 nh lý Paserval: Nu : x(n) V y(n) Thỡ : Nhúm 9 ( ) ( ) DFT-N X(k) DFT-N Y(k) ( ) ( ) Trang 18 ... X(k) = X*(-k) Nu x(n) l tớn hiu o , ( ) ( ) ( ) ( ) Hay X(k) = -X*(-k) 5.4 Tớch chp vũng: Nu : DFT-N ( ) Thỡ ( ) Trong ú Nhúm 9 N N ( ) DFT-N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) biu din tớch chp vũng trũn : Trang 14 Lý Thuyt Toỏn ng Dng GVHD:ThS Tụn Tht Nghiờm ( ) [( ) ] Vớ d : Cho 1 mch lc vi ngừ vo v ỏp ng tn s cho bi cỏc hỡnh v sau u(m,n) v(m,n) H(m,n) Vi u(m,n) = [ h(m,n) = [ ] ] Hóy tỡm ngừ ra v(m,n) bng phng... i DFT ca v(m,n), tỡm c v(m,n) ta phi dựng bin i ngc DFT MxN theo cụng thc sau : ( ) + v(0,0) = ( ( ( ( ) = ( + v(1,0) = ( ) = ( = ( Nhúm 9 ( ) )= + v(0,1) = + v(1,1) ) )=3 ) ) ) Trang 15 Lý Thuyt Toỏn ng Dng v(m,n) = [ GVHD:ThS Tụn Tht Nghiờm ] - Nu tớnh bi trờn dựng Matlab ta lm nh sau : - u tiờn ta tớnh DFT ca u(m,n) v v(m,n) >>u = [1 0;2 1] % nhp ma trn u >>h = [1 0;1 1] % nhp ma trn... Nhõn nh c= 12 2 2 0 Ri dựng bin i ngc DFT tớnh ma trn trờn s c v(m,n) >> ifft2 (c) % bin i ngc DFT ans = 4 3 3 2 5.5 o trờn min thi gian: Nu : x(n) thỡ : Nhúm 9 ( DFT-N ) DFT-N X(k) X(N - k) Trang 16 Lý Thuyt Toỏn ng Dng GVHD:ThS Tụn Tht Nghiờm 5.6 Dch chuyn thi gian v dch chuyn tn s: Nu : x(n) DFT-N X(k) thỡ : x(n - 1) DFT-N ( ) v : DFT-N ( ) X(k-1) 5.7 Liờn hip phc: Nu : x(n) Thỡ : DFT-N x*(n) X(k)... tớnh: Nu: DFT x1(n) N X1(k) DFT X2(n) N X2(k) thỡ: DFT a1x1 (n) + a2x2 (n) N a1X1 (k) + a2X2 (k) 5.3 i xng: Xột x(n) = x (n) + jx (k) + jX(k) thỡ: ( ) ( ) Nhúm 9 [ [ ( ) ( ) ( ) ( ) ] ] Trang 13 Lý Thuyt Toỏn ng Dng GVHD:ThS Tụn Tht Nghiờm V : ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] Nu x(n) chn : x(n) = x(-n) thỡ X(k) = X (k) = X (-k) Nu x(n) l : x(n) =- x(-n) thỡ X(k) = jX(k) = -jX(-k) Nu x(n) l tớn . Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm Nhóm 9 Trang 5 Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm. Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm Nhóm 9 Trang 1 HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƢU CHÍNH VIỄN THÔNG CƠ SỞ TẠI TP HỒ CHÍ MINH Môn học: XỬ LÝ ẢNH Chuyên đề: “ LÝ THUYẾT TOÁN. Lý Thuyết Toán Ứng Dụng GVHD:ThS Tôn Thất Nghiêm Nhóm 9 Trang 3                          V(m,n) = u(m,n) * h(m,n) Ví dụ:cho hệ thống xử lý

Ngày đăng: 11/04/2015, 14:09

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan