Dao động quan liên của vật rắn

DAO ĐỘNG QUAN LIÊN CỦA VẬT RẮNNGUYÊN VĂN ĐẠO Đai hoc Bách Khoa Trước đây, khi nghièn cứu dao động của các bệ cơ học, người ta thường xẻt dao động theo những phương độc lập với nhau và c

BAN TOAN-LÝ — ỦY BAN KHOA H Ọ C VA KỸ THUẬT NHÀ N ư o c

T Ậ P S A N TOÁN LÝ

T ập V — Số I

3 -1 9 6 6

DAO ĐỘNG QUAN LIÊN CỦA VẬT RẮN

NGUYÊN VĂN ĐẠO

Đai hoc Bách Khoa

Trước đây, khi nghièn cứu dao động của các bệ cơ học, người ta thường xẻt dao động theo những phương độc lập với nhau và cho râng lực kích động theo phương nàv không gây ra chuyến động theo phương kia Về m ặt toán học, các phương trình mỏ tả chuyên động như thế là những phương trình tuyến tinh được tich phàn độc lạp với nhau

Gần đày, trong kỹ thuật xuất hiện một hiện tượng cỏ tinh chất nghịch lý —

đó là hiện tượng vật rắn bị dao động mạnh theo phương khòng có ngoại lực trực tiếp kich động Dao động loại này được K ònònhienkò v o gọi là dao động quan liên và lằn đằu tiên được ông nghiên cứu vào năm 1953 [1] K ônỏnhienkỏ

v o đã giải thich hiện tượng nêu trên bằng mò hình phi tuyến Các phưcmg trình vi phân phi tuyến cùa chuyên động được tich phân bằng phương pháp tiệm cận Tuy nhién các kết quả thu đưọc khi đỏ khả phức tạp và nbiều thông só của chuyền động chưa được xác định Mới đây, trong công trìnb tiếp theo của mình [2] Kônỏnhienkò v o đã giải quyết bài toán đặt ra m ười năm về trư ó c rãt mỹ

m ân với cách đặt vằn đề tồng quát hơn và bằng còng cụ toán bọc hoàn thiện hơn Trong phần đầu của bài này, chủng tòi sẽ trình bày những kết quả chính

mà Kònònhienkố v o và cộng tác viên của ông [2, 3] đặ đạt đưcrc P hần sau sẽ

g iờ i thiệu tó m tắt kết quâ n g h iè n c ứ u dao đ ộng quan liê n c ù a vật r ắ n tro n g hệ

«ccr học chuyến động song phẳng

§ 1 DAO ĐỘNG CỦA VẬT RẮN QUA.NH ĐIEM c ố đ ịn h

1.1 — Đặt vấn đề và p h ư ơ n g trinh chuyền động:

Xét vật rắn quay quanh tàm cố định G và được gắn với nền cố định bởi

các lò xo Vật rắn chịu tác dụng của các ngẫu lực chỉ gàv ra trự c tiếp chuvền động của một tọa độ chuằn Hãy tìm điều kiện

đè các tọa độ chuần khảc cũng bị kích thích và cỏ khi bị dao động m ạnh

Muốn giải quyết vấn đề đặt ra, trước hết càn chọn các hệ tọa độ Lầy

trọng tâm G của vật làm gốc bệ tọa độ

cố định G£’f)£ và bệ tọa độ động Gxyz

gắn liền với vật Các trục Gx, Gy, Gz

trùng với các trục q u án tinh trung tàm của vật Tại vị tri cân bấng hai hệ trục

G f’nc và Gxyz trùng nhau, ở thờ i điềm bất kỳ vị trí giữa các trục được xác định bởi các góc 0’-le 6, 4* <p (h 1)

Ngoại lực tác dụng lên hệ khảo

•g ngâu lự c có m òm en với các thành phàn trên trục cổ định.

L ị ; 0 , — 0 , Z/£ = Q sin (tut ”f“ s)

Phương trình vi phân cùa chuyến động của vật rắn quay quanh tàm G có dang [2]:

Ae' + H]6 + c 10o + (A - B) 4« 9 + (A - B + C) <K + c 9 (ị) + (B - C) tị)2 8

-— (A -— 5)692 _ ( 4 _ 2eq>9 - _L 46tịj2 — (.4 — B + C )« ị» õ ị+ (B—C ) ị‘iỊ>e —

B ỳ + H 2<ịi - f Cọ0tị< + (A — B ) 69 - f (.4 — B — C)<P6 — C96 -f (A — J5) (Ịjf2 +

4- (A — B) 2?iị>q> + (C — B) 4>e2 + (C — B) 2<jiõe — H3if>0 + c,i«ị»9 + C2Se<p +

+ C] 5 ? 2 -ị- CS7 63 -f- C38(jj3 ỏỉy? 3 + + C4 2 62T -Ị- c«3926 -Ị- = 0,

(1.2)

— (.4 — B - f C) tị)(ịi9 — (.-i — B) lị!1? + (A — B) 609 + (.4 — B — C) «69 -f + (A — B) ẽ2q? — _L C'Ptl*1 — — C965 - — — — H39e2 — -f + C3iý2 -Ị- CSJ02 -ị- Cg3 ^ 9 + C346^ 4- C35ft? + C51G2tịj + + C53tị|2'ĩ> +

+ £54^*6 + t'55cP24' + c 56etị<^ 4- C's:?3 = ()sin(«/ 4- S) (1.3)

trong đó 4, B, c là những mômen quán tinh

cúa vật đoi vói các trục Gx, Gụ. Gr, c lk là những

hằng phu Ihuộc tuyến tinh vào các hệ so cứng

của lò xo, khi giữa các hệ số cứng ki có hệ thức

^*3 == và Ả'g = ỉ\ị thì

Cj 5 = c16 = Cjg = C32 = C35 = C36 = 0

(xera cách bo tri các lò xo trèn h 2)

Từ trư ớ c đến nav, ngưòi ta chì hạn ché’ bái

toàn đặl 1-a trong gàn đúng tuvến tinh và thay vào

hệ phương trìn h (1.1) — (1.3) là hệ phương trinh

vi phán tuyến tinh với hệ so không (lôi

A6 + tf]ẽ + c 10í = 0

B ị + + Cĩ0^ = 0 (1.4)

C 9 - Ị - H 3<p + C 3ũ9 = Q f i n ( c o f 4 - *)•

Hệ (1.4) gồm ba phương trình độc lập Hai phương trình đầu cho nghiệm lắt dằn Ngẫu lực với mòm en ọ sin (cùt + 8) chỉ kích động trự c tiếp chuyến động của tọa độ <p, còn các tọa độ 6 , <Ịj khòng bị kich động Trong trường họ-p phi tuyến tinh hình sẽ khác hẳn Chuyền động theo hướng °? trong trường hợp tồng

quát sẽ g ảy r a c h u y ế n đ ộ n g th e o h ư ớ n g e , (ị) và có thê dao đ ộng theo h ư ớ n g 0

và lại m ạnh hơn cà dao động theo hướng <p là hướng được kích động trự c tiếp,

Thực vậy, các phương trình (1.1) — (1.3) nói chung không thỏa m ãn nghiệm

9 ^ 0 , 0 = (ị) = 0 Nói cách khác, các tọa độ e , ị không thề không bị kich động, Trong trường hợp rièng, khi /,-3 = Ả‘5 và A-< = k e , các giá trị 9 0, e = 4» = 0 sẽ thỏa m ãn hệ phương trình (1.1) — (1.3), nhưng ngay cả trong trường hợp này,

có thế tìm điều kiệu đề cho nghiệm đó khòng ồn định và cbuyên động theo hướng

6 v à (Ị) vân c ứ x ây ra và có khi x ảy ra v ớ ị ’b iê n độ lớn.

H ình 2

í 2 — S ự on đị n h của d a o d ộ n g :

Khi k 3 = Ả'5 và kị = ke hệ phương trình (1.1) — (1.4) cỏ nghiệm

Dùng phép thế biến so sau đày trong phương trình (1.1) — (1.3)

Ta cỏ phương trình biến phàn đổi vòi n gh iệm (1.5)

pt [ơ ls Ọ 6j sincof + 7?! Bj -Ị- (1 — b) q ipx sinco^ +

+ (1 — 6 + c) COSc*)f + 9 (ơ21 — Cco2) 'ịi sinco/] = 0,

+ 1 + ^2 4^1 + n [ Ơ11 ợ<h sin cử í + tpi + ( b*"1 — 1) ọ Ỗ1 sin c o / +

- f f c - 1 ( 1 — /> — c ) ợ c o ỏ ! COSC 0 Í - f ọ ( ơ 2 t 4 - c b ” 1 0 >2 ) 0 j s i n c o / = 0 , ( 1 7

9 , + ụ.h3 9 , + à | ?! = 0.

trong đỏ b, c, X, ơ là những hằng sổ, n là tham so bé.

Phương trình cuối cùng độc lập v ớ i hai ph ư ơn g trình đằu vả n ó i lén tinl

ốn định tiệm cận của chuyền động 9 = q 0 sincùt Sự ôn định của n gh iệm 0 = 0

phương trinh đầu của (1.7) Hệ thống n ày là hệ tuyến tinh có hệ số tuần hoàn

vì vậy s ự Sn định của n g h iệ m 9] = 0 , = 0 lạ i phụ th u ộ c v à o dấu của phầr

thực của chỉ số đặc trưng của hệ thống đó Như đã biết, sự ốn đinh cùa nghiện

k h ò D g c ủ a h ệ á đ i ề u h ò a p h ụ t h u ộ c c h ủ v ế u v à o q u a n h ệ g i ữ a c á c t ầ n s ố c ù a h(

SUY biến (fjL = 0) và tàn so của hệ số tuần hoàn (tức co) Ta hãy xét trường hợp kh

gi ưa các tần sổ có hệ thức

B ề g iã i quyết vấn dề 0 1 1 định của n gh iệm bị = 0 , tyị = 0 chỉ càn xác định

dấu của phàn thực của liệ số a trong khai triền của chỉ sõ đặc trưng theo 1ŨY thừa

cùa tham số bé ỊA:

J = - i ito) + fxa f n2 0 2 + (1.9)

Dùng phương pháp đã biết [4] ta sẽ xác định hệ số a từ diều k iện chu kỳ

cùa c á c h à m X v à í/, đ ư ợ c đ ư a v à o t h e o c á c c ò n g t h ứ c :

trong đó a là chỉ so đặc trưng (1.9).

Theo (1.10) vào (1.7), ta dược cảc phương trình đoi v ớ i X và y :

X + i t o 'x + M- Ị^fc>a 4- coEị + Ơ12 <7 sin co t + — hị i to j X |

f (2fl -I- /ii) X 4- q [ ~ (b — 1) w2 sinco/ + -1.(1 - ỉ + c ) x

X i G>2 coscùt — (CO) 5 — ơ21) sine*)/] ỊỊ + q [(1 — b) /co sincùt +

+ (1 — b + c) Cứ coscôtị y + (1 — 6) q ỷ sina>fỊ = 0 ( 1 1 1 )

y + ÌCÙIỊ + \1 ị^/©fl + coe2 -Ị- ơ n q sin Cứt + — h 2 y

-f-+ (2a + Ao) ỹ + q — ( 1 — b ~l ) co'2 s i n c ứ t + — (1 — b — c) X

X i b ~ l c*)2 cosc*)/ + (cb_1 CO2 + ơ 2 í) s in a a f ] X + ợ [ (1 — b — c ) f c - 1 CO COSO)t ■

— |— (b ~ l — 1) wisincai] X + ( b ~ l — 1 ) q x sinco^l = 0

Hệ SUV biến (ụ. — 0) của cảc phương trinh đó cỏ nghiệm tuần hoàn vớ

kv 2t w

A/, -r M i t ~ iùìt y 0 = AT 1 + Nọ e - ,Cúí

iVj, N o Nghiệm tuằn hoàn cùa hệ (

Xo

phụ thuộc vào bổn hắng tùv Ỷ M ị, M2, AT1 < N o Nghiệm tu

ta sẽ tim dưới dạng chuỗi theo lũv thừa của tham sổ bẻ ụ.:

X = X 0 - p ỊÌ.X'] + ỊJ.2 2 «

(

y = ỉ/o + M-ỉ/l + f*2 ỉ/2 + •••

Thay các chuỗi nàv vào hệ (1.11), ta được hệ phương trình đề xác din

và y l :

X ] - p i c ứ X i — — [^ 11 ^ 1 A / 2 -f- 14 A T0 -Ị- ("Su -f- 613 íV i)c/ c o /

ỉ / l

ỈCJ/

+ (So, Af* + s24 N% ) c - 2ítt/] ,

/Cút/i = — [ft82 3í2 -Ị- 38 A Ị + ^ 3 4 ^ 2 "T (S31 4" S32 N i) ^ 1

+ ( ^ 4 1 M 1 " T ^43 ^1 + ^44 ^ 2 ) c l í ứt “T

+ (S48 Mo + su N2) e - 2íttí] ^ (1

trong dô bij s kl là những hằng phụ thuộc vào các thòng số của hệ và so a

Muốn cho Xj và Di là những hàm tuần hoàn, các so hạng tự do và nh

hệ số của e—ỉCứ/ trong vế phải của (1 13) phải triệt tiêu Từ đỏ ta có hệ phương trình đại số đẳng cap đẽ xảc định Ms N sau đày :

Đề Mj Mo, íV 1, ATo, khác khòniỊ, định thức cùa hệ (1.14) phải bằng khc Khai triế n định thức các hệ so cùa (1.14), ta được phương trình bậc bốn

trong đỏ bị phụ thuộc vào các thòng so của hệ xuất phát (như độ cứng của

lò xo, mòmen quản tinh của vật đoi với các trục )

Điều kiện càn và đủ đê a có phần thực âm và do đỏ nghiệm e = 0, tị; =

ồn định là các tièu chụẳn Routh — Hurwitz sau đày được thỏa mãn

bị b3

A i = bị > 0, A2 =

bo > 0

V '

b1 Ò3 0

A3 = b0 bs ^4 > Q ^ Ị ị h > 0

0 bĩ b3

Các tièu chuần í 1.15) chỉ cỏ thế được thõa m ãn vói những giá trị nl định của các thông sổ, Trong trưòng họ-p đó các lọa độ 6 và Ỷ sẽ khổng bi ki

động Nếu một trong những bất đẳng thức (1.15) không được thực hiện thì chuvê: dộng theo hưcmg 0 và Ip sẽ bị kích động Những kich động loại này cỏ khi rấ

lởn đ ư ợ c gọi theo Kônônhienkô là những kich (lộng giản tiếp

Ganêep dưởi sự hướng dẫn của K ònònhiênkô [ 3 ] đã xác định được biè:

độ của dao động giản tiếp và đi đến kết luận bát ngờ là cỏ thề dao động the

h ư ớ ng G v à ĩị>m ạnh hơn câ dao đ ộ n g t h e o h ư ớ n g qp Tiếp đày, c h ú n g ta hãy nê

những kết quâ mà Ganèep đă đạt được

1.3 — Xác định biên độ dao động gián tièp của vật Iắn quanh ỉàm cố địnỉ

Phương trình dao động (1.1) Ganêep viết dưới dạng [3 ]

é + X]6 = — + (1 — b) lị)9 - r c 9tỊ> + (1 — ft + c) 9 lị) +

+ ơ](5*1 + ơ 186 9 - f ơ 19^9 + ơ 1189 2lị> + Ơ1196ty9 ],

\ỷ 4 - ■,.*<!* = — ịx[l:t lị) - r (1 — b ) b - ' ẽ’<p — c J ) - 1 9 6 + 4 - ơ 21s ( 1 1 6

9 -f A3 9 = — ịx[ y?3 9 — c—1 6 tị) + ( b — c) C” 1 lịie + + ơ 3190lị>cp

trong đỏ b , c, ơ, /í là những hẳng sổ

Ta hay xét trường họ-p hãm số X] của hệ suy biến (n = 0) gần bẳDg nử

tằn so ngoai lưc kích đòng U), tức khi \ 2 = — Cl)2 + fjtcoEj, 6! là đò lêch tằn si

4

giừa Xi và (1/2) « , còn các tằn số x2 y à x3 không cộng hưởng.

Đưa vào đày thòi gian không thứ nguvên T theo cống thức c o / = 2 t Vi

kv hiệu 4x2/o)2 m 2 ? 4XJ/&)2 = m |

Các phương trinh (1.16) cỏ thề viết dưới dạng

1 - j - 6 = — 4 p t 0 ) “ 2 [ Cù E ịO - f “ —Ị- + Ơ 119 ô lịí* ? ■]

tị) 4" = — 4 ỊJLCo ~

9 + = — 4 ỊAi - 2

/ l 2 UJ *lị' + - Ị - Ơ2 1S 9 2 lị; (1.17

-f- 4/ co“ 2 C O S2t ,

Nghiệm tuần hoàn với chu kỳ 2x của hệ (1.17) sẽ tìm dưới dạng chuôi

* - <?0 + 1**1 + ^ * 2 + .

Hệ S U Y biến

a + B„ == 0 iịj# + m ị Tj4D = 0, qp# + /7i2q>„ = 4 f cọ-2 COS 2 t ,

cỏ nghiệm tuằn hoàn với chu kv 2 n hư sau

* 0 = ° ’

( 1

ị - f i ( ? + c ) ’ trong đỏ : f ! = f ( \ \ — ù)2)-*1, còn Ci và Di là những hằng so tùy V.

Thay (1.19) và (1.18) vào (1.17) và so sảnh các hệ so theo lũy thừ a của

ta được các phương trình gần đúng th ứ nhất dưới dạng

fij-f 0j = — 4ù)~~2 |e iT -7— i hJù) - — (b —1) CO- / 1 H— — Ơ117/ỉj +

“ T — Ơ 18 í i O i t 3 ơ ] J 0 c ? C i j - f - C“ ÌT — í / ; 2 co — — ( b — 1 ) ít)2 / 1 •

+ — ơ 117 Í Ĩ ^ D i - f — Ơ18 f ì C ị + 3 ơ l l 0 D ? c , + ị ,

ííl + / 7 '2 ýl = — 4d) - 2 )é*ỈT / " l Ơ 2S

9 , + q>, = _ 4co- ỉ ịe2iT ( - 1 ơ 3 7 C-> + - L ! h B co f i + k ? +

Bê cho hệ (1.2 0) có nghiệm tuần hoàn vói chu ky 2jĩ, điều kiện cần vá đ'

là các hệ số của eix và r - 't trong vế phâi của phương trình đàu của hệ (1.2 0) triệ

t ì ô n T I V /4 A / ỉ í»í

tiẻu Tử đò đặt

Ỉ Ị = P i « - * ! ■ ' L)ì — ?l c h ’

ta có phương t:'inh xác đinh bièn độ 2 pi của dao động gián tiếp tì0 = 2 PjC0‘

( T - í O :

( « 1 + > 0 1) P j C - * ! ' + Y, Pj = 0

(«1 — ' 3i).°i e * 1' + Ti p j f - * ! ' T d ì pjc*i' = 0 trong đó

« 1 = w B i

-(1.21

1

(ò - J)o>2 /"ỉ -| - — ơ1J7f ĩ /?! = —— /iịCÚ,

1

T i -" i s /" 1* ^ 1 ■ - i) ơ ] , 0

34

Hệ pì urơng trình (1.21) cỏ u g hi ệ m p 1 khác Ivhòng c h o hỏ i hệ thức

( 1.22)

Căn cử vào còng thức (1.22) Ganèep đã xâv dựng dường cộng hưởng

và trên vi dụ bằng số đă khẳng định rằng vói sự lựa chọn một cách thích đáng

các thòng sổ của hệ, những biẻn độ dao động theo b ư ơn g tọa độ và ự; có thề lớn hern khá nhiều biên độ dao động theo hướng tọa độ 9 lã h ư ớn g đưcvc ngoại lực tác độnịí trực tiếp.

Xhững ả)) dung của lý thuyết nói t:*èn của KònònhienVô vào các bài toán

cụ thề dược còng bo trong [5,6]

K ỏn ònhienkò v.o và những cộng tác viên của ònq mỏ*i c ỉ nghiên cửu dao động quan liên của vật rắn quav quanh một điềm co định Tuy n h iẻn dao

động loai n^.v xuất liiện câ trong những hệ cơ học khác, chẳng hạn trong hệ

c h u y ề n đ ộ n g s o n g p h a n g , m à v i ệ c n g h i ê n c ứ u n ó c ỏ V n g h ĩ a l ý t h u v ế t v à t h ự c

tiễn quan trọng Phần tiếp theo sẽ thòng báo tỏm tắt n h ữ a g kết quả nghiên cứu dao động quan liên trong hệ chuỵẽn động song phẳng của lác giả bài này.

Xét chuvền động song phảng của vật rắn, sơ đồ của nó biều diễn trên hình 3

Đề viết phương trình dao động của

Ngoại lực tuằn hoàn p 0 sin ( c o / -f P) £, giâ

thiết kich động trự c tiếp chuvền động theo

phưong tọa độ ụ. Cằn niị '.ièn cứu xem với những điều kiện nào chuvền động theo phương y sẽ kieta thích chuyền động theo phương X và 9, thậm chi có thế làm cho dao động theo các phưcrag nàv m ạnh hơn câ dao động Iheo phương ỊJ.

Với cảc giả thiết đă nèu ỏ’ trèn và giới hạn ở việc xét dao động nhỏ của

Các tọa độ X , y, 9 ta có thệ v iế t phương- trình vi phân của c h u y ề n đ ồng d ư ớ i dạng

vật, ta dưa vào các hệ trục cố định Oxv

và động G g ắ n liền với vật 0* vị tri càn

bang hai hệ trục nàv trùng vói nhau Tại

thời diêm bât kv vị tri của vật rắn được

xác định bởi tọa độ XG, y G của trọng tàm

G của vật và góc 9 giữa trục o.r, G£

Ta sẽ nghiên cửu hệ gồm các lò xo

(lặt đối x ử n g có củng chiều dài / nhưng có

hệ sò cứng kị khác nhau Một đầu cùa lò

xo (Si) gắn vào nền cố định, còn đầu kia

gắn vào vật bằng bản lề cầu tại những điềm

A và B ỏ’ cách trục và Gr) một đoạn l.

rrix + 2h X + Cl X + Q 9 + — c2 y2 + C3<r” - f c4 x y — c1 2 x f —

— c 5 1/9 + — C4X3 — C69 3 — C7 z 2<p — Cg x y 2 4 - C9x y ? +

2

+ C10 — c 8 y29 -f “2“ C11 y92 = 0 ,

-Ị-+ c 2 y * -Ị-+ Cl y3 + c 13 9 3 — c 8 rr*y + c u x*9 — c, 5 x y ? +

+ — C i6 x 9 2 + C17 y ‘29 -j- Cjg J/92 = /? sin (co/ 4" 3 ) *

./ 9 -f- 2$ 9 4" X — c 12 y + c s9 — C12 2'2 4—— c 2 y2 +

+ 3 C3 9 2 — C5 xy -f- C19 x 9 — C20 -\—— C4 X3 —

— - i c2 y3 — JL c s9 3 + c u 1 * y — c b a'2q> — c8 x y2 +

+ 5 c 14 xy9 — C21 x92 + c 18 y29 + c2n yq>2 = 0 , (2.

trong đỏ X = (1 //), XQ , y = (1//) y G Clk là những hằng số T rong trư ờng hợp /Cị

=■ Ả*4 A à A*2 = A*3 thi C2 = C3 = Cg = C1 1 = C]o = C1 3 = C1 4 = cl 6 = C ị7 = Cjg

= C22 = 0 và khi đỏ hệ (2.1) cỏ nghiệm

v ớ i

1

/? + — Cj í? 2 - mil) 2 ) 2 + 4A2 Cú*

Điều kiện đề cho nghiệm (2.2) của hệ (2.1) ồn định, và do vậy chuy

động th eo p h ư ơ n g các tọa độ X v à 9 không xảy ra l à :

x ? y 5 fì 4 “ m5 + (W1—^ị) Ụ m R + 4 Sjcoi) 4 ” ( ^ ỉ ^2) ^1W1 — 1714 R) ^

X* J 5A 4 “ m 5 R J \ + — x j) (t/ 20 ^ o > ] ) — (coj— X*) (4 hị Cửi -f- R) }> 0 (2

trong đỏ 7ỉij = Cj/m , Jj = Cj/y , x ị = m 1 , x | == J g , $! = Ẵ /y , /ỉi = A/m.

Khi A*! = Ả*2 = A' 3 = Ả'4 thì điều kiện khỏng phát sin h dao đ ộ n g quan 1:

(2.3) cỏ dạng đơn giản như sau :

2 8 , U), (co? - \ ị ) + (coị - \ ị ) (2h , co, - J L r j < 0 (í

Bất đẳng thức này sẽ được thỏa mãn chẳng hạn đối với hệ cơ học có

sổ cản lớn (8 , /ọ, đồng thời n goại lực kích động (R ) có b ièn độ khả nhô.

Nếu một tròng các bẫt đẳng thứ c (2.3) khống được thòa m ãn thì dao đ<

theo h ư ớn g các tọa độ X và 9 sẽ xảy ra với biên độ xác định bởi côn g th ứ c:

- j f = * L = 31- (2 "3».s + ", qỊ ± V S f i P « ’) c

1

trong đỏ

n t = d i J 5 - - ị - J 4 + d \ J 91 + A d ị /g + ~ m 4 d % - m Ẽ d ị d , - m 7 đ x d2 -f

+ 777 ^ 2 »

n2 = — ^8 + ^1 ^18 + ^ ( l + d ị ) d 2 ,

n 3 = -^2“ ( wỉ w2^ ’

A ĩ

n4 = Js “f“ đi J 20 — m5 ^1 &T2 4" 1 H = 2co (hi c?2 — $1 c?i),

c ỏ thế c h ứ n g m in h rằng n h ả n h trên của đ ư ờ n g b iê n độ — tằn số, tai đc

R ị ( 6 ĩìị A 2 — 2 n 3coE — /12 Ọ ; ) ; > 0 ,

là nhánh ồn định.

Hiện nay v iệc nghièn cửu dao động quan liên cua vật rắn đang phát trier

mạnh Cần tiếp tục nghiên cửu dao động quan liên của vật rắn trong trườnc

h ợ p tốnn; q u á t ( 6 b ậ c t ự d o ) v à c ầ n x é t l ạ i h à n g l o ạ t b à i t o á n c ồ đ i ế n , đ ặ t c ơ SC

trên lỷ thuyết dao động độc lập, như bài toán qua cộn g h ư ởn g, bài toán vè

tương tác giữa hệ chẩn động và nguồn năng lượng, v.v

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[ 1 ] B o K O H O H e H K O , o C B * 3 a H H L Ĩ X H 3 r ư 6 H O - K p 3 TT H JI I» H U X K O J ie ' a H H i ĩ X , c ố « r i o -

n e p e q H u e KOJie6aHn* H KpHTH^ecKne CKOPOCTH í) b w n 2, M , H s f l A H C C C P , 1953, CTp 194-277.

[2] B o Kohohchko, KoaeõaHH* TBep^oro Te;ia OKOJIO ueHTpa M3CCU, H 3B

A H C C C P , M e x H ManiHHOCTpoeHHe, 1963, N° 4.

[3 P <x> TaHHeB, OnpeflejieHHe aMiuiHTyn npn KOJie6aHH*x TBepAoro Tejia OKOJIO

lỉeHTpa M a c c u , ĨĨ3B A H C C C P , Me xaHHKa, 1965, No 2.

[4] H r MaAKHH, He K O T o p u e 3aaaHB TeopnH HWHHe ỀHUx KOJie6aHHỗ, r H T T J I ,

1 9 '6

[5| M 5Ĩ K y m y j i i , r l ĩ AHUfcee*, 0 6 ycTOH'TBLBOCTH KpyTHJitHMx

KOTieốaHHH HCCHÌVÍõTpHHtíoro TBep^oro Te;ia Ha ynpyrnx CB*3*X Cố <t Kojie6aHH* H npo^ĩHOCTi, n p n nepeMeHHLix Hanp*2KeHnjix í Ĩ Ĩ 3A ft Hayica » 1965.

16 B o K o h o h c h k o , p <I> T a H e e B , o H e j i H H e Ề H U x K O j i e 6 a H H * x T B e p a o r o T e ; i a ,

H e c y í i i e r o BpamaiO JJỀHC* poTop H3B A H C C C P , MexaHHKa, 19G5, N 5