BAN TOAN-LÝ — ỦY BAN KHOA H Ọ C VA KỸ THUẬT NHÀ N ưoc TẬP SAN TOÁN LÝ Tập V — Số I 3-1966 HÀ NỘI DAO ĐỘNG QUAN LIÊN CỦA VẬT RẮN NGUYÊN VĂN ĐẠO Đai hoc Bách Khoa Trước đây, khi nghièn cứu dao động của các bệ cơ học, người ta thường xẻt dao động theo những phương độc lập với nhau và cho râng lực kích động theo phương nàv không gây ra chuyến động theo phương kia. Về mặt toán học, các phương trình mỏ tả chuyên động như thế là những phương trình tuyến tinh được tich phàn độc lạp với nhau. Gần đày, trong kỹ thuật xuất hiện một hiện tượng cỏ tinh chất nghịch lý — đó là hiện tượng vật rắn bị dao động mạnh theo phương khòng có ngoại lực trực tiếp kich động. Dao động loại này được Kònònhienkò v .o . gọi là dao động quan liên và lằn đằu tiên được ông nghiên cứu vào năm 1953 [1]. Kônỏnhienkỏ v.o. đã giải thich hiện tượng nêu trên bằng mò hình phi tuyến. Các phưcmg trình vi phân phi tuyến cùa chuyên động được tich phân bằng phương pháp tiệm cận. Tuy nhién các kết quả thu đưọc khi đỏ khả phức tạp và nbiều thông só của chuyền động chưa được xác định. Mới đây, trong công trìnb tiếp theo của mình [2] Kônỏnhienkò v.o. đã giải quyết bài toán đặt ra mười năm về trưóc rãt mỹ mân với cách đặt vằn đề tồng quát hơn và bằng còng cụ toán bọc hoàn thiện hơn. Trong phần đầu của bài này, chủng tòi sẽ trình bày những kết quả chính mà Kònònhienkố v.o . và cộng tác viên của ông [2, 3] đặ đạt đưcrc. Phần sau sẽ giời thiệu tóm tắt kết quâ nghièn cứu dao động quan liên cùa vật rắn trong hệ «ccr học chuyến động song phẳng. § 1. DAO ĐỘNG CỦA VẬT RẮN QUA.NH ĐIEM c ố . đ ịn h 1.1 — Đặt vấn đề và phương trinh chuyền động: Xét vật rắn quay quanh tàm cố định G và được gắn với nền cố định bởi các lò xo. Vật rắn chịu tác dụng của các ngẫu lực chỉ gàv ra trực tiếp chuvền động của một tọa độ chuằn. Hãy tìm điều kiện đè các tọa độ chuần khảc cũng bị kích thích và cỏ khi bị dao động mạnh. Muốn giải quyết vấn đề đặt ra, trước hết càn chọn các hệ tọa độ. Lầy trọng tâm G của vật làm gốc bệ tọa độ cố định G£’f)£ và bệ tọa độ động Gxyz gắn liền với vật. Các trục Gx, Gy, Gz trùng với các trục quán tinh trung tàm của vật. Tại vị tri cân bấng hai hệ trục Gf’nc và Gxyz trùng nhau, ở thời điềm bất kỳ vị trí giữa các trục được xác định bởi các góc 0 ’-le 6, 4*. <p (h. 1 ). Ngoại lực tác dụng lên hệ khảo •g ngâu lực có m òmen với các thành phàn trên trục cổ định. Lị; 0 , — 0 , Z/£ = Q sin (tut ”f“ s). 29 Phương trình vi phân cùa chuyến động của vật rắn quay quanh tàm G có dang [2 ]: Ae' + H]6 + c 10o + (A - B) 4« 9 + (A - B + C) <K + c 9 (ị) + (B - C) tị)2 8 - — (A — 5)692 _ ( 4 _ 2eq>9 - _L .46tịj2 — (.4 — B + C )«ị»õị+ (B—C )ị‘iỊ>e — - -L -f tf3«pị + c 126<p 4- Cọ,<ị^ + c 16j* + c 18ị 3 4. c 17es+C1S93 + c 83<|>a* + *4" -j- C’2592^ ■+■ C26&<ị,<*> “ỉ" Cz70~<p + C2g(^26 = 0. (1-1) Bỳ + H2<ịi -f Cọ0tị< + (A — B) 69 -f (.4 — B — C)<P6 — C96 -f (A — J5) (Ịjf2 + 4- (A — B) 2?iị>q> + (C — B) 4>e2 + (C — B) 2<jiõe — H3if>0 + c,i«ị»9 + C2Se<p + + C]5? 2 -ị- CS763 -f- C38(jj3 ỏỉy? 3 + + C4262T -Ị- c«3926 -Ị- = 0, (1.2) c ? -ị- H3ỳ 4- c 30«p — A6ý — AÔtịi -f (B — C) iịje + (B — C) 4*6 — (A — B) tịitỊ'? — — (.4 — B -f C) tị)(ịi9 — ( i — B) lị!1? + (A — B) 609 + (.4 — B — C) «69 -f + (A — B) ẽ2q? — _L C'Ptl*1 — — C965 — — — H39e2 — -f + C3iý2 -Ị- CSJ02 -ị- Cg3 ^ 9 + C346^ 4- C35ft? + C51G2tịj + + C53tị|2'ĩ> + + £54^*6 + t'55cP24' + c56etị<^ 4- C's:?3 = ()sin(«/ 4- S). (1.3) trong đó .4, B, c là những mômen quán tinh cúa vật đoi vói các trục Gx, Gụ. Gr, c lk là những hằng phu Ihuộc tuyến tinh vào các hệ so cứng của lò xo, khi giữa các hệ số cứng ki có hệ thức ^*3 == và Ả'g = ỉ\ị thì Cj 5 = c 16 = Cjg = C32 = C35 = C36 = 0 (xera cách bo tri các lò xo trèn h. 2 ). Từ trước đến nav, ngưòi ta chì hạn ché’ bái toàn đặl 1-a trong gàn đúng tuvến tinh và thay vào hệ phương trình (1 .1 ) — (1.3 ) là hệ phương trinh vi phán tuyến tinh với hệ so không (lôi A 6 + tf]ẽ + c 10í = 0 B ị + + Cĩ0^ = 0 (1.4) C9 -Ị-H 3<p + C3ũ9 = Qfin(cof 4- *)• Hệ (1.4) gồm ba phương trình độc lập. Hai phương trình đầu cho nghiệm lắt dằn. Ngẫu lực với mòmen ọ sin (cùt + 8 ) chỉ kích động trực tiếp chuyến động của tọa độ <p, còn các tọa độ 6 , <Ịj khòng bị kich động. Trong trường họ-p phi tuyến tinh hình sẽ khác hẳn. Chuyền động theo hướng °? trong trường hợp tồng quát sẽ gảy ra chuyến động theo hướng e , (ị) và có thê dao động theo hướng 0 và lại mạnh hơn cà dao động theo hướng <p là hướng được kích động trực tiếp, Thực vậy, các phương trình (1.1) — (1.3) nói chung không thỏa mãn nghiệm 9^0, 0 = (ị) = 0. Nói cách khác, các tọa độ e , ị không thề không bị kich động, Trong trường hợp rièng, khi /,-3 = Ả‘5 và A-< = ke, các giá trị 9 0, e = 4» = 0 sẽ thỏa mãn hệ phương trình (1.1) — (1.3), nhưng ngay cả trong trường hợp này, có thế tìm điều kiệu đề cho nghiệm đó khòng ồn định và cbuyên động theo hướng 6 và (Ị) vân cứ xây ra và có khi xảy ra vớị ’biên độ lớn. 30 Hình 2 í . 2 — Sự on định của dao dộng: Khi k3 = Ả'5 và kị = ke hệ phương trình (1.1) — (1.4) cỏ nghiệm = 0 , cị> = 0 , < p = ợ 0 s i n Cùt. ( l . õ Dùng phép thế biến so sau đày trong phương trình (1.1) — (1.3) e = * !, ị = <1*1. * = 9o sinco/ + 9 j. ( 1.6 Ta cỏ phương trình biến phàn đổi vòi nghiệm (1.5) pt [ơls Ọ 6j sincof + 7?! Bj -Ị- (1 — b) q ipx sinco^ + + (1 — 6 + c) COSc*)f + 9 (ơ21 — Cco2) 'ịi sinco/] = 0, +1 + ^2 4^1 + n [Ơ11 ợ<h sincửí + tpi + ( b *"1 — 1) ọ Ỗ1 sinco/ + - f f c - 1 (1 — /> — c ) ợc o ỏ ! COSC0Í - f ọ ( ơ 2t 4 - c b ” 1 0>2) 0j s in c o / = 0 , ( 1 .7 9, + ụ.h3 9, + à | ?! = 0. trong đỏ b, c, X, ơ là những hằng sổ, n là tham so bé. Phương trình cuối cùng độc lập với hai phương trình đằu vả nói lén tinl ốn định tiệm cận của chuyền động 9 = q0 sincùt. Sự ôn định của nghiệm 0 = 0 ỳ = 0 phụ thuộc vào Fự ồn định của nghiệm không Bị = 0 , = 0 của hệ ha phương trinh đầu của (1.7). Hệ thống này là hệ tuyến tinh có hệ số tuần hoàn vì vậy sự Sn định của nghiệm 9] = 0, = 0 lại phụ thuộc vào dấu của phầr thực của chỉ số đặc trưng của hệ thống đó. Như đã biết, sự ốn đinh cùa nghiện khòDg của hệ á điều hòa phụ thuộc chủ vếu vào quan hệ giữa các tần số cùa h( SUY biến (fjL = 0) và tàn so của hệ số tuần hoàn (tức co). Ta hãy xét trường hợp kh gi ưa các tần sổ có hệ thức Xj = x 2 = — U). ( 1 .8 ' Bề giãi quyết vấn dề 0 1 1 định của nghiệm bị = 0 , tyị = 0 chỉ càn xác định dấu của phàn thực của liệ số a trong khai triền của chỉ sõ đặc trưng theo 1ŨY thừa cùa tham số bé ỊA: J = -i. ito) + fxa f n2 0 2 + (1.9) Dùng phương pháp đã biết [4] ta sẽ xác định hệ số a từ diều kiện chu kỳ cùa các hàm X và í/, được đưa vào theo các còng thức: 2 ' = e —at _ at 0, . y = e - aỉ <Ị>J, (1.10) trong đó a là chỉ so đặc trưng (1.9). Theo (1.10) vào (1.7), ta dược cảc phương trình đoi với X và y : X + i t o 'x + M- Ị^fc>a 4- coEị + Ơ12 <7 sincot + — hị i to j X -|- -f (2fl -I- /ii) X 4- q [ ~ (b — 1) w2 sinco/ + -1.(1 - ỉ + c ) x * 4 2 X i G>2 coscùt — (CO)5 — ơ21) sine*)/] ỊỊ + q [(1 — b) /co sincùt + + (1 — b + c) Cứ coscôtị y + (1 — 6) q ỷ sina>fỊ = 0(1.11) y + ÌCÙIỊ + \1 ị^/©fl + coe2 -Ị- ơn q sin Cứt + — h2 y -f- + (2 a + Ao) ỹ + q — (1 — b~l) co'2 sincứt + — (1 — b — c) X 4 2 31 X i b ~ l c*)2 cosc*)/ + (cb_1 CO2 + ơ 2í) sin a a f] X + ợ [(1 — b — c ) f c -1 CO COSO)t ■ —|— (b~l — 1) wisincai] X + (b~l — 1 )qx sinco^l = 0. Hệ SUV biến (ụ. — 0) của cảc phương trinh đó cỏ nghiệm tuần hoàn vớ kv 2 t w A/, -r Mi t ~ iùìt y0 = AT1 + Nọ e - ,Cúí iVj, No. Nghiệm tuằn hoàn cùa hệ ( Xo phụ thuộc vào bổn hắng tùv Ỷ M ị, M2 , AT1 < No. Nghiệm tu ta sẽ tim dưới dạng chuỗi theo lũv thừa của tham sổ bẻ ụ.: X = X 0 - p ỊÌ.X'] + ỊJ.2 2« ( y = ỉ/o + M-ỉ/l + f*2 ỉ/2 + ••• Thay các chuỗi nàv vào hệ (1.11), ta được hệ phương trình đề xác din và yl : X] -p icứXi — — [^11 ^ 1 A/2 -f- 14 AT0 -Ị- ("Su -f- 613 íV i)c /co/ ỉ/l ỈCJ/ + (So, Af* + s24 N%) c - 2ítt/] , /Cút/i = — [ft82 3í2 -Ị- 38 A Ị + ^34 ^ 2 "T (S31 4" S32 Ni) ^ 1 + (^41 M 1 "T ^43 ^1 + ^44 ^ 2) c líứt “T + (S48 Mo + su N2) e -2íttí] . ^ (1 trong dô bij . skl là những hằng phụ thuộc vào các thòng số của hệ và so a. Muốn cho Xj và Di là những hàm tuần hoàn, các so hạng tự do và nh hệ số của e—ỉCứ/ trong vế phải của (1 .13) phải triệt tiêu. Từ đỏ ta có hệ phương trình đại số đẳng cap đẽ xảc định Ms N sau đày : ^11 M 1 “f" ^ ] ° M 2 ~f“ /*14 N 2 = 0 ^21 Mị -Ị- b >2 Mo -f" ^23 AT) = 0 ^32 -Ị- ^33 + ỉhi ‘^2 ^ ^ (1 ^41 Mị -f- Ò43 iVj + /j44 A o = 0 . Đề Mj. Mo, íV 1, ATo, khác khòniỊ, định thức cùa hệ (1.14) phải bằng khc Khai triến định thức các hệ so cùa (1.14), ta được phương trình bậc bốn K Qị + bịũ3 4 - b2 ° 2 + ^3 a + bA = Ọ, trong đỏ bị phụ thuộc vào các thòng so của hệ xuất phát (như độ cứng của lò xo, mòmen quản tinh của vật đoi với các trục ). Điều kiện càn và đủ đê a có phần thực âm và do đỏ nghiệm e = 0, tị; = ồn định là các tièu chụẳn Routh — Hurwitz sau đày được thỏa mãn bị b 3 Ai = bị > 0, A2 = bo > 0 . V ' b 1 Ò3 0 A3 = b0 bs ^4 > Q ^ Ịị h > 0 0 bĩ b 3 Các tièu chuần í 1.15) chỉ cỏ thế được thõa mãn vói những giá trị nl định của các thông sổ, Trong trưòng họ-p đó các lọa độ 6 và Ỷ sẽ khổng bi ki động. Nếu một trong những bất đẳng thức (1.15) không được thực hiện thì chuvê: dộng theo hưcmg 0 và Ip sẽ bị kích động. Những kich động loại này cỏ khi rấ lởn được gọi theo Kônônhienkô là những kich (lộng giản tiếp. Ganêep dưởi sự hướng dẫn của Kònònhiênkô [3] đã xác định được biè: độ của dao động giản tiếp và đi đến kết luận bát ngờ là cỏ thề dao động the hướng G và ĩị> mạnh hơn câ dao động theo hướng qp. Tiếp đày, chúng ta hãy nê những kết quâ mà Ganèep đă đạt được. 1.3 — Xác định biên độ dao động gián tièp của vật Iắn quanh ỉàm cố địnỉ Phương trình dao động (1 .1) Ganêep viết dưới dạng [3] é + X]6 = — + (1 — b) lị)9 - r c 9tỊ> + (1 — ft + c) 9 lị) + + ơ](5*1 + ơ186 9 -f ơ 19^9 + ơ 11892lị> + Ơ1196ty9 ], \ỷ 4 - ■,.*<!* = — ịx[l:t lị) -r (1 — b ) b -' ẽ’<p — c J)-1 96 + 4- ơ 21s (1.16 9-f A3 9 = — ịx[ y?3 9 — c—1 6 tị) + (b — c) C” 1 lịie + + ơ 3190lị>cp trong đỏ b, c, ơ, /í là những hẳng sổ. Q COS Gỉ ỉ Ta hay xét trường họ-p hãm số X] của hệ suy biến (n = 0) gần bẳDg nử tằn so ngoai lưc kích đòng U), tức khi \ 2 = — Cl)2 + fjtcoEj, 6! là đò lêch tằn si 4 giừa Xi và (1 /2 )«, còn các tằn số x2 yà x3 không cộng hưởng. Đưa vào đày thòi gian không thứ nguvên T theo cống thức co/ = 2t Vi kv hiệu 4x2/o)2 __ m 2 ? 4XJ/&)2 = m |. Các phương trinh (1.16) cỏ thề viết dưới dạng 1 -j - 6 = — 4 p t0 ) “ 2 [ C ù EịO - f “ —Ị- . . . + Ơ 119 ôlịí*? ■] tị) 4" = — 4 ỊJLCo ~ 9 + = — 4 ỊAi - 2 /l2UJ * l ị' + . . . -Ị- Ơ21S 9 2lị; (1.17 -f- 4/ co“2 CO S2 t , ừ - 0 Nghiệm tuần hoàn với chu kỳ 2 x của hệ (1.17) sẽ tìm dưới dạng chuôi ^ = + ^ 2fì2 + ••• . 1J> = + I*M>I + + ••• í 1 -18 * - - - <?0 + 1**1 + ^ * 2 + Hệ S U Y biến a. + B„ == 0. iịj# + m ị Tj4D = 0, qp# + /7i2q>„ = 4 f cọ-2 COS 2t, 3 TI, 3; cỏ nghiệm tuằn hoàn với chu kv 2 như sau * 0 = ° ’ (1 1 2iT -2i*t ị - fi(? + c )’ trong đỏ : f ! = f (\\ — ù)2)-*1, còn Ci và Di là những hằng so tùy V. Thay (1.19) và (1.18) vào (1.17) và so sảnh các hệ so theo lũy thừa của ta được các phương trình gần đúng thứ nhất dưới dạng fij-f 0j = — 4ù)~~2 |eiT -7— i hJù) — (b — 1 ) CO- /1 H—— Ơ117/ỉj + “T — Ơ 18 í i O i t 3 ơ ]J0 c ? C i j -f- C“ ÌT — í / ; 2 co — — (b — 1) ít)2 / 1 • + — ơ 117 ÍĨ^D i - f — Ơ18 f ì Cị + 3 ơ l l 0 D ? c , + . ị , - L /-,(!_ /,) />-1 «*+ ) ĩííl + /7'2 ýl = — 4d) - 2 )é*ỈT /"l Ơ 2S < D (1.2( 9, + q>, = _ 4co- ỉ ịe2iT (-1 ơ37 C-> + - L ! hB co fi + k? + Bê cho hệ (1 .2 0 ) có nghiệm tuần hoàn vói chu ky 2 jĩ, điều kiện cần vá đ' là các hệ số của eix và r - 't trong vế phâi của phương trình đàu của hệ (1 .2 0 ) triệ tì ô n TIV /4 A /ỉ í»í tiẻu. Tử đò đặt Ỉ.Ị = Pi « - * ! ■ ' . L)ì — ?l c h ’ ta có phương t:'inh xác đinh bièn độ 2 pi của dao động gián tiếp tì0 = 2 PjC0 ‘ ( T - í O : («1 + >01) PjC-*!' + Y, Pj = 0 («1 — ' 3i).°i e*1' + Ti pjf-*!' T d ì pjc*i' = 0 trong đó «1 = w Bi - (1.21 1 (ò - J)o>2/"ỉ -| — ơ1J7f ĩ . /?! = —— /iịCÚ, 1 T i " i s /" 1* ^1 ■ - i) ơ ] , 0. 34 Hệ pìurơng trình (1.21) cỏ ughiệm p 1 khác Ivhòng cho hỏi hệ thức (1.22) Căn cử vào còng thức (1.22) Ganèep đã xâv dựng dường cộng hưởng p? = F (p*)’ p = \ * ’M và trên vi dụ bằng số đă khẳng định rằng vói sự lựa chọn một cách thích đáng các thòng sổ của hệ, những biẻn độ dao động theo bương tọa độ và ự; có thề lớn hern khá nhiều biên độ dao động theo hướng tọa độ 9 lã hướng đưcvc ngoại lực tác độnịí trực tiếp. Xhững ả)) dung của lý thuyết nói t:*èn của KònònhienVô vào các bài toán cụ thề dược còng bo trong [5,6]. Kỏnònhienkò v.o. và những cộng tác viên của ònq mỏ*i c ỉ nghiên cửu dao động quan liên của vật rắn quav quanh một điềm co định. Tuy nhiẻn dao động loai n^.v xuất liiện câ trong những hệ cơ học khác, chẳng hạn trong hệ chuyền động song phang, mà việc nghiên cứu nó cỏ V nghĩa lý thuvết và thực tiễn quan trọng. Phần tiếp theo sẽ thòng báo tỏm tắt nhữag kết quả nghiên cứu dao động quan liên trong hệ chuỵẽn động song phẳng của lác giả bài này. : 2. DAO ĐỘNG SONG PHANG củ a v ậ t r ắ n Xét chuvền động song phảng của vật rắn, sơ đồ của nó biều diễn trên hình 3. Đề viết phương trình dao động của Ngoại lực tuằn hoàn p0 sin ( c o / -f P) £, giâ thiết kich động trực tiếp chuvền động theo phưong tọa độ ụ. Cằn niị '.ièn cứu xem với những điều kiện nào chuvền động theo phương y sẽ kieta thích chuyền động theo phương X và 9, thậm chi có thế làm cho dao động theo các phưcrag nàv mạnh hơn câ dao động Iheo phương ỊJ. Với cảc giả thiết đă nèu ỏ’ trèn và giới hạn ở việc xét dao động nhỏ của Các tọa độ X, y, 9 ta có thệ viết phương- trình vi phân của chuyền đồng dưới dạng vật, ta dưa vào các hệ trục cố định Oxv và động Ggắn liền với vật. 0 * vị tri càn bang hai hệ trục nàv trùng vói nhau. Tại thời diêm bât kv vị tri của vật rắn được xác định bởi tọa độ XG, yG của trọng tàm G của vật và góc 9 giữa trục o.r, G£. Ta sẽ nghiên cửu hệ gồm các lò xo (lặt đối xửng có củng chiều dài / nhưng có hệ sò cứng kị khác nhau. Một đầu cùa lò xo (Si) gắn vào nền cố định, còn đầu kia gắn vào vật bằng bản lề cầu tại những điềm A và B ỏ’ cách trục và Gr) một đoạn l. 35 rrix + 2h X + Cl X + Q 9 + — c 2 y2 + C3<r” -f c 4 xy — c 12 x f — — c 5 1/9 + — C4X3 — C69 3 — C7z 2<p — Cg xy2 4- C9x y ? + 2 + C10 — c 8 y29 -f “2“ C11 y92 = 0 , my -f- 2 /1 y -Ị" c* y — Cịo9 -| C4 — C5 92 4" £ 3 xy — C5 X9 -Ị- + c 2 y* + Cl y3 + c 13 9 3 — c 8 rr*y + c u x*9 — c ,5 xy? + + — C i6 x 9 2 + C17 y‘29 -j- Cjg J/92 = /? sin (co/ 4" 3) * ./ 9 -f- 2$ 9 4" X — c 12 y + c s9 — C12 2'2 4—— c2 y2 + + 3 C3 9 2 — C5 xy -f- C19 x9 — C20 -\—— C4 X3 — — -i. c 2 y3 — JL c s9 3 + c u 1 * y — c b a'2 q> — c 8 xy2 + + 5 c14 xy9 — C21 x92 + c 18 y29 + c2n yq>2 = 0 , (2. trong đỏ X = (1 //), XQ , y = (1//) yG Clk là những hằng số. Trong trường hợp /Cị =■ Ả*4 A à A*2 = A*3 thi C2 = C3 = Cg = C11 = C]o = C13 = C14 = c l6 = Cị7 = Cjg = C22 = 0 và khi đỏ hệ (2 .1) cỏ nghiệm 2=9=0,y = fì sinủíí (2 với 1 /? + — Cj í? 2 - mil)2 ) 2 + 4A2 Cú* Điều kiện đề cho nghiệm (2.2) của hệ (2.1) ồn định, và do vậy chuy động theo phương các tọa độ X và 9 không xảy ra l à : x ?y5 fì 4 “ m5 + (W1—^ị) Ụm R + 4 Sjcoi) 4” (^ ỉ ^2 ) ^1W1 — 1714 R) ^ X* J5A 4 “ m 5 RJ\ + —xj) (t/20 ^o>]) — (coj— X*) (4 hị Cửi -f- R) }> 0. (2 trong đỏ 7ỉij = Cj/m , Jj = Cj/y , xị = m1 , x | == Jg , $! = Ẵ /y, /ỉi = A/m. Khi A*! = Ả*2 = A'3 = Ả'4 thì điều kiện khỏng phát sinh dao động quan 1: (2.3) cỏ dạng đơn giản như sau : 28, U), (co? - \ị ) + (coị - \ ị) (2h, co, - J L r j < 0 (í Bất đẳng thức này sẽ được thỏa mãn chẳng hạn đối với hệ cơ học có sổ cản lớn (8 , /ọ, đồng thời ngoại lực kích động (R) có bièn độ khả nhô. Nếu một tròng các bẫt đẳng thức (2.3) khống được thòa mãn thì dao đ< theo hướng các tọa độ X và 9 sẽ xảy ra với biên độ xác định bởi công thức: - j f = * L = 31 - (2 "3».s + ", qỊ ± V S f i P « ’) . c 1 36 trong đỏ nt = di J5 - -ị-J4 + d\ J91 + A dị ./g + ~ m4 d% - mẼ dị d, - m7 đx d2 -f + 777 ^ 2 » n2 = — ^8 + ^1 ^18 + ^ ( l + dị) d2 , n3 = -^2“ ( wỉ w2^ ’ Aĩ n4 = Js “f“ đi J 20 — m5 ^1 &T2 4" 1 H = 2co (hi c?2 — $1 c?i), cỏ thế chứng minh rằng nhảnh trên của đường biên độ — tằn số, tai đc Rị (6 ĩìị A 2 — 2 n 3coE — /12 Ọ;) ;> 0 , là nhánh ồn định. Hiện nay việc nghièn cửu dao động quan liên cua vật rắn đang phát trier mạnh. Cần tiếp tục nghiên cửu dao động quan liên của vật rắn trong trườnc hợp tốnn; quát (6 bậc tự do) và cần xét lại hàng loạt bài toán cồ điến, đặt cơ SC trên lỷ thuyết dao động độc lập, như bài toán qua cộng hưởng, bài toán vè tương tác giữa hệ chẩn động và nguồn năng lượng, v.v TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] B . o . KOHOHeHKO, o CB*3aHHLĨX H 3 rư6 H O-K p3 TTHJII»HUX KOJie 'aH H iĩX , c ố . « rio - nepeqHue KOJie6aHn* H KpHTH^ecKne CKOPOCTH í) bwn. 2, M., Hsfl. AHCCCP, 1953,CTp. 194-277. [2] B. o . Kohohchko, KoaeõaHH* TBep^oro Te;ia OKOJIO ueHTpa M3CCU, H 3B. AHCCCP., Mex. H ManiHHOCTpoeHHe, 1963, N° 4. [3 P. <x>. TaHHeB, OnpeflejieHHe aMiuiHTyn npn KOJie6aHH*x TBepAoro Tejia OKOJIO lỉeHTpa M accu, ĨĨ3B. AHCCCP, MexaHHKa, 1965, No 2. [4] H. r. MaAKHH, HeKOTopue 3aaaHB TeopnH HWHHeỀHUx KOJie6aHHỗ, r.H.T.T.JI., 19.'6. [5| M. 5Ĩ. Kymyjii, r. lĩ. AHUfcee*, 0 6 ycTOH'TBLBOCTH KpyTHJitHMx KOTieốaHHH HCCHÌVÍõTpHHtíoro TBep^oro Te;ia Ha ynpyrnx CB*3*X. Cố. <t Kojie6aHH* H npo^ĩHOCTi, npn nepeMeHHLix Hanp*2KeHnjix í ĨĨ3A. ft Hayica » 1965. 16 B . o K o h o h c h k o , p . <I>. T a H e e B , o H ejiH H eỀ H U x K O jie6a H H *x T B ep a o ro T e;ia, Hecyíiiero BpamaiO JJỀHC* poTop. H3B. AHCCCP, MexaHHKa, 19G5, N5 . quả nghiên cứu dao động quan liên trong hệ chuỵẽn động song phẳng của lác giả bài này. : 2. DAO ĐỘNG SONG PHANG củ a v ậ t r ắ n Xét chuvền động song phảng của vật rắn, sơ đồ của nó biều diễn. quan liên cùa vật rắn trong hệ «ccr học chuyến động song phẳng. § 1. DAO ĐỘNG CỦA VẬT RẮN QUA.NH ĐIEM c ố . đ ịn h 1.1 — Đặt vấn đề và phương trinh chuyền động: Xét vật rắn quay quanh tàm cố định. V — Số I 3-1966 HÀ NỘI DAO ĐỘNG QUAN LIÊN CỦA VẬT RẮN NGUYÊN VĂN ĐẠO Đai hoc Bách Khoa Trước đây, khi nghièn cứu dao động của các bệ cơ học, người ta thường xẻt dao động theo những phương độc