phân tích xử lý ảnh xử lý bể hình khi phóng to

BM. TỐN – TIN ỨNG DỤNG Phân tích xử lý ảnh Phạm Ngọc Tuân 0611241 Nguyễn Quốc Thông 0611196 Đặng Nguyễn Đăng Nguyên 0611137 GVHD: TS. Phạm Thế Bảo TP. HCM 26-12-2009 Lời nói đầu Xử lý ảnh số bao gồm nhiều loại thao tác trên ảnh như khử nhiễu, làm trơn, làm sắc ảnh, nén ảnh, phóng to, phục hồi ảnh,. . . Tuy nhiên từ trước đến nay, các thao tác giúp tăng cường ảnh, tức là làm cho ảnh đẹp hơn, tốt hơn để phục vụ những mục đích thiết thực trong đời sống, luôn được quan tâm, ưu ái hơn cả. Bên cạnh việc làm trơn, hay làm sắc ảnh mà chúng tôi đã có dịp đề cập, một thao tác tăng cường ảnh cực kỳ phổ biến khác là xử lý bể hình khi phóng to. Hiện nay đã có nhiều phương pháp được đưa ra nhưng nhìn chung chúng chỉ thuộc một trong hai loại sau: trung bình hóa - sử dụng nhiều công cụ toán học phức tạp, và làm sắc góc - dựa trên cảm giác của ta là chính. Bài viết này nhằm thiết lập mô hình toán học cho bài toán xử lý bể hình khi phóng to ảnh và phân tích chi tiết ý tưởng cũng như các vấn đề kỹ thuật của hai phương pháp nêu trên. Dù đã hết sức cố gắng nhưng bài viết khó lòng tránh khỏi những sai sót. Vì vậy chúng tôi rất mong nhận được những đóng góp chân thành từ độc giả. Mọi góp ý xin liên hệ nhóm tác giả: Phạm Ngọc Tuân Số điện thoại: 0955330136 / 0873074243 Email: pntuanaaa[at]yahoo.com.vn Nguyễn Quốc Thông Số điện thoại: 01283596421 / 0838109167 Email: hitman4756[at]yahoo.com Đặng Nguyễn Đăng Nguyên Số điện thoại: 0989983266 / 06503715263 Email: dangnguyen325[at]gmail.com Thành phố Hồ Chí Minh, Ngày 26 tháng 12 năm 2009. 2 Mục lục 1 Giới thiệu bài toán và hướng giải quyết 6 1.1 Nhu cầu thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Mô hình hóa bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Phương pháp trung bình hóa 13 2.1 Ý tưởng chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Nhân láng giềng gần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Nhân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Nhân bậc hai, bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5 Nhân B-spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6 Xử lý trên ảnh hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 Phương pháp làm sắc góc 36 3.1 Dời điểm nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Điều chỉnh giá trị nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4 Chương trình Matlab 53 4.1 Trung bình hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1.1 Láng giềng gần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1.2 Tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.1.3 Bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.1.4 Bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.1.5 B-spline bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.1.6 B-spline bậc 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2 Làm sắc góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2.1 Dời điểm nội suy (Ramponi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2.2 Điều chỉnh giá trị nội suy (Taguchi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2.3 Phương pháp kết hợp Ramponi-Taguchi . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 A Phụ lục 64 A.1 Chứng minh Định lý 1 ở trang 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 A.2 Chứng minh Định lý 2 ở trang 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Tài liệu tham khảo 71 3 Danh sách hình vẽ 1.1 Nhãn cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Góc nhìn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Các pixel trên ảnh số kích thước 7×7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Zoom thông thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 a. Ảnh ban đầu, b. Ảnh sau khi phóng to 200% . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Những phương án giải quyết đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7 a. 133%, b. 200% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.8 Lưới các pixel trên ảnh ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1 Trường độ xám trên ảnh một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Hai thí dụ cho hàm h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Đồ thị của h n với n = 2 và 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Xấp xỉ ảnh f một cách toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5 Phân hoạch lân cận của x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6 Cách làm trơn hàm của nhân h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.7 Nhân láng giềng gần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.8 Nhân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.9 Đồ thị của B 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.10 Nội suy lần lượt theo 2 trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1 Thay đổi giá trị nội suy bằng cảm giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 Dời điểm nội suy x thành x  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3 A = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 A > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.5 A < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.6 Kết quả thí nghiệm với f(x) = x − x sin x, β = 2, M = 15 . . . . . . . . . . . 41 3.7 Dời điểm nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.8 Tính toán dựa trên định lý Talet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.9 Điều chỉnh giá trị xấp xỉ bằng cảm giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.10 Các trị giá C 1 và C 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.11 Không cần điều chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.12 Không cần điều chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.13 Điều chỉnh một khoảng C 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.14 Điều chỉnh một khoảng C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4 3.15 Kết quả thí nghiệm với f(x) = x − x sin x, γ = 2, M = 15 . . . . . . . . . . . 49 3.16 Điểm cần nội suy (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.17 Kết quả thí nghiệm với f(x) = x − x sin x, β = 2, γ = 0.5, M = 15 . . . . . . 52 3.18 a)Ảnh gốc; b)Láng giềng gần nhất; c)Tuyến tính; d)Bậc ba e)B-Spline bậc 3; f)Kết hợp hai phương pháp làm sắc góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5 Chương 1 Giới thiệu bài toán và hướng giải quyết 1.1 Nhu cầu thực tế Ta bắt đầu từ một đặc tính sinh lý thú vị của mắt. Mắt người là một hệ thống gồm nhãn cầu và các dây thần kinh thị giác nối từ nhãn cầu đến não. Phần trước của nhãn cầu hơi lồi ra để đón các tia sáng đến mắt. Bộ phận quan trọng nhất của mắt chính là thấu kính ở ngay sau con ngươi (Hình 1.1). Trục thị giác là một đường thẳng đi qua quang tâm của thấu kính Hình 1.1: Nhãn cầu và điểm vàng - một điểm rất nhạy với ánh sáng ở trên võng mạc. Khoảng cách giữa quang tâm và điểm vàng là khoảng 22mm đối với mắt bình thường. Giả sử AB là một vật được đặt trên trục thị giác có góc nhìn là α. Kết quả thí nghiệm cho thấy ở mỗi người tồn tại một góc α min - năng suất phân ly - sao cho khi α > α min thì người đó vẫn còn phân biệt được A và B, còn nếu α ≤ α min thì A và B được cảm thấy như trùng nhau. Nếu gọi  là khoảng cách từ mắt đến vật thì chiều cao của vật được cho bởi AB =  tan α 6 Hình 1.2: Góc nhìn Như vậy chiều cao tối thiểu của một vật đặt cách mắt một khoảng  mà ta vẫn còn nhận thấy được là AB min =  tan α min . Đối với những người có thị lực tốt, như trẻ con hay những người thường xuyên luyện tập mắt, góc α min này là khoảng 1 phút. Ta biết rằng 1  = 1 60 độ = π 10800 radian Do đó AB min =  tan π 10800 ≈ 2.9 × 10 −4  Rõ ràng khi  càng lớn thì chiều cao tối thiểu này phải càng lớn, còn khi vật được để càng gần mắt thì chiều cao tối thiểu này càng nhỏ. Thông thường khi ngồi trước máy vi tính, mắt ta cách màn hình khoảng  = 75cm = 750mm. Khi đó AB min = 2.9 × 10 −4 × 750 = 0.2175mm Điều đó có nghĩa là ta chỉ phân biệt được hai điểm trên màn hình nếu chúng cách nhau hơn 0.2175mm. Như vậy, rõ ràng sự hạn chế của thị lực con người là một trở ngại không thể phủ nhận khi chúng ta muốn quan sát từng li từng tí các chi tiết trên vật thể. Do đó, giá như có một phép màu nào đó làm cho kích thước vật thể to lên, để hai điểm trước đây gần nhau quá trở nên xa ra và ta có thể phân biệt được. Đối với vật thể thực AB, ta dễ dàng làm được điều này nhờ kính lúp hoặc ống nhòm. Đó là các phương pháp phóng to vật nhờ dụng cụ quang học. Tuy nhiên, không phải ai cũng có cơ hội được tiếp cận với vật thể thực tế để dùng ống nhòm hay kính lúp mà quan sát. Điều này rất đúng khi vật thể thực của chúng ta là các hoa hậu, người mẫu. Thay vào đó, hầu như ta chỉ có được ảnh chụp của các vật thể này mà thôi. Các ảnh chụp được lưu trữ trong máy tính dưới dạng ảnh số. Nếu vật thể thực được phóng to một cách rất hiệu quả nhờ các dụng cụ quang học thì ảnh số được phóng to bằng cách nào? Rõ ràng ta hoàn toàn có thể đặt một kính lúp ngay trước màn hình máy tính để phóng lớn ảnh. Tất cả các phần mềm xem ảnh như ACDSee, IrfanView, Picasa, Inzomia, đều có chức năng Zoom (thường là biểu tượng cái kính lúp). Và quả thật, chức năng này hoạt động y hệt một kính lúp. Ta biết rằng ảnh số chính là một ma trận hai chiều mà giá trị trên mỗi ô, hay pixel, là độ xám của ảnh tại đó. Do vậy, độ xám của ảnh trên mỗi pixel là không đổi. 7 Hình 1.3: Các pixel trên ảnh số kích thước 7×7 Với điều kiện như vậy, rõ ràng ảnh số chỉ là hình ảnh xấp xỉ của vật thể thực, chứ không phải chính xác như ảnh thu được bằng các dụng cụ quang học. Rõ ràng nếu các pixel càng nhỏ thì ảnh số càng trung thực, tức là càng xấp xỉ tốt vật thực. Tuy nhiên, vì chức năng Zoom thông thường giống như việc đặt một kính lúp trước màn hình nên các pixel trở nên to ra, và khuyết điểm do xấp xỉ trên ảnh số càng trở nên rõ hơn, thô thiển hơn. Đó chính là hiện tượng bể ảnh (Hình 1.4). Thực tế thì ta không muốn thấy rõ các pixel, vì nó chỉ là công cụ giúp thể hiện hình ảnh Hình 1.4: Zoom thông thường trên máy tính mà thôi. Cái mà ta cần khi phóng to ảnh là được nhìn thấy các chi tiết rất bé, thậm chí là những chi tiết bên trong một pixel. Hiển nhiên rằng các chi tiết này đã vượt ra khỏi phạm vi dữ liệu mà ta đang có. Chúng là những chi tiết mới, những dữ liệu mới mà ta mong muốn có được. Do đó, vấn đề đặt ra là làm sao xác định được những độ xám trên ảnh nếu như các pixel được chia nhỏ hơn nữa. Đây là bài toán không chỉ được đặt ra bởi nhu cầu muốn quan sát những chi tiết bé 8 của chúng ta, mà trong nhiều trường hợp, nó là vấn đề không thể bỏ qua. Ta biết rằng kích thước ảnh (giả sử là 500 × 500) xác định số pixel cho chiều ngang và chiều dọc của ảnh. Ở màn hình kích thước 35cm×27cm, với độ phân giải 800 × 600, ảnh này có chiều dài là d = 500 800 × 35 = 21.875cm, chiều rộng là r = 300 600 × 27 = 13.5cm. Cũng ở màn hình này, nếu ta chọn độ phân giải là 1280 × 1024 thì ảnh lúc này có chiều dài d = 500 1280 × 35 ≈ 13.67cm, chiều rộng là r = 300 1024 × 27 ≈ 7.91cm. Như vậy ảnh thể hiện ở độ phân giải càng cao sẽ có kích thước thực tế càng nhỏ. Điều này làm chúng ta cảm thấy không được thoải mái khi làm việc với các màn hình độ phân giải cao như vậy: chúng trông có vẻ sắc nét hơn nhưng bù lại các hình ảnh lại bị nhỏ đi. Do đó, ta mong muốn có thể giữ được kích thước thực của ảnh cho dù đã tăng độ phân giải. Nói như vậy nghĩa là ta phải tăng kích thước lưu trữ của ảnh. Cụ thể đối với thí dụ ở trên, để giữ cho ảnh ở kích thước thực 21.875cm×13.5cm ở độ phân giải 1280 × 1024, kích thước lưu trữ của ảnh phải là M × N với M = 21.875 35 × 1280 = 800 N = 13.5 27 × 1024 = 512 Kích thước lưu trữ 800 × 512 lớn hơn nhiều so với kích thước 500 × 300 ban đầu. Như vậy, ta phải làm sao đó để "bịa" ra những dữ liệu mới này, tất nhiên là không thể tùy tiện mà phải làm ảnh trung thực hơn. Một trường hợp nữa cho thấy sự tất yếu phải "bịa" ra dữ liệu là ở đầu video. Giả sử ta có một tivi có độ phân giải khá cao 5000 × 5000. Trong một giây, tivi phải hiện lên 24 hình. Như vậy số các ô nhớ mà đầu video phải truyền lên tivi trong một giây là 24 × 5000 × 5000. Mỗi ô nhớ (hay pixel) này gồm 3 byte (ứng với chuẩn RGB), tức là 24 bit. Do đó số bit mà đầu video tải qua tivi trong một giây là 24 × 5000 × 5000 × 24 = 14.4 × 10 9 Nghĩa là tốc độ tải dữ liệu của hẽ thống dây dẫn là 14.4 Gbps. Điều này trên thực tế không thể có, vì băng thông của hệ cáp dữ liệu chỉ khoảng 800Mbps. Do đó, cho dù đã dùng các kỹ thuật nén dữ liệu, người ta cũng không thể để đầu video truyền đủ số lượng dữ liệu trong một giây, mà chỉ truyền một phần trong đó. Phần dữ liệu còn lại sẽ được "bịa" ra theo một cơ chế thích hợp nào đó mà ta hiện đang quan tâm. Tóm lại, qua các ứng dụng được đề cập bên trên, vấn đề tạo những dữ liệu mới từ dữ liệu cũ là không thể bỏ qua. Đó chính là bài toán nội suy dữ liệu. Dữ liệu mà ta đang nói đến ở đây chính là độ xám ở các pixel trên ảnh. Một bài toán thực tế như vậy bao giờ cũng chỉ được giải quyết thấu đáo nếu ta mô hình được dạng toán học của nó, nghĩa là diễn đạt nó thông qua các phương trình và ý toán. 1.2 Mô hình hóa bài toán Giả sử ta đang có một ảnh kích thước 3 ×3, và ta muốn nó trở thành ảnh 6 ×6, tức là phóng to 200%. Thật là tự nhiên khi ta vẽ ra hai bảng, một có kích thước 3 × 3, một có kích thước 9 6 × 6, và mỗi ô trong hai bảng này có kích thước bằng nhau như Hình 1.5. Ở đây các pixel trên ảnh ban đầu được đánh số từ 1 đến 3 × 3 = 9. Vì ảnh kích thước Hình 1.5: a. Ảnh ban đầu, b. Ảnh sau khi phóng to 200% 6 × 6 có thể được phân hoạch thành 3 × 3 ảnh con có kích thước 2 × 2. Mỗi pixel được đánh số trên ảnh ban đầu ứng với pixel có tọa độ (1,1) trên mỗi ảnh con 2 × 2 này. Những ô còn lại trên ảnh mới được đánh dấu hỏi, biểu thị rằng ta phải tìm các mức xám thích hợp tại các pixel này. Giá trị xám tại mỗi pixel này có thể được tính bằng nhiều cách, chẳng hạn bằng giá trị xám tại pixel được đánh số gần nó nhất về phía trên bên phải (Hình 1.6a), hoặc bằng trung bình cộng của các pixel được đánh số nằm trong lân cận 8 của nó (Hình 1.6b). Trường hợp a) rõ ràng là kết quả phóng to không tốt vì nó chẳng khác gì phóng đại từng Hình 1.6: Những phương án giải quyết đơn giản pixel một. Trường hợp b) cho kết quả đúng nghĩa cái mà ta đang cần. Ở đó có những pixel với các độ xám mới, không nằm trong những giá trị xám cũ. Nhìn vào Hình 1.6b, ta thấy hình này giống như kết quả làm trơn ảnh của Hình 1.6a trên miền không gian. Đó là vì giá 10 [...]... đã biết kế cận Do đó ảnh sau khi phóng to cũng còn khá mờ Cách giải quyết tự nhiên nhất để tránh sự mờ, nhòe hình khi phóng to là giảm tỷ lệ zoom Ta có thể phóng to 150%, 120% hay 110% thay cho 200% Sau đó ta lại phóng to ảnh kết quả một lần nữa, rồi lần nữa, Giả sử ta cần phóng to ảnh ở Hình 1.5a lên 150%, tức là ảnh mới sẽ có kích thước là 4.5 × 4.5 ≈ 5 × 5 Khi đó ta lập tức gặp khó khăn trong việc... thì ảnh kết quả càng giống ảnh bắt đầu - ảnh mà khi phóng to sẽ bị bể hình Do đó, một điều nghe có vẻ hợp lý là khi fn xấp xỉ càng tốt f thì ảnh kết quả càng có chất lượng kém (vì nó càng giống f ) Vì vậy ta chỉ có thể thu được ảnh chất lượng tốt khi ¯ fn xấp xỉ không tốt f , nghĩa là giá của h càng khác − 1 , 1 càng tốt 2 2 Điều tưởng chừng như vô lý này lại rất hợp lý khi ta quan sát kỹ hơn công... các pixel ban đầu Hình 1.7 cho thấy các pixel khi phóng to ảnh ở Hình 1.5a lên 133% và 200% Một khi việc chia lưới đã thực hiện được, các lý luận như trên (Hình 1.6) đều áp dụng Hình 1.7: a 133%, b 200% được Đó là việc làm trơn hóa ảnh cũ trên miền pixel mịn hơn Tuy nhiên, việc lấy trung bình số học như trên là khá đơn giản nên rõ ràng không được tinh tế Ảnh kết quả khi đó 11 khá nhòe (Hình ??) và không... từng điểm, cho thấy ảnh mới không hoàn to n trùng khớp với ảnh cũ tại từng pixel, mà chỉ xấp xỉ theo nghĩa to n cục (Hình 2.4): +∞ |(f ∗ hn )(x) − f (x)|dx → 0 −∞ Khả năng xấp xỉ ảnh f của tích chập f ∗ hn đã rõ Như trên đã nói, ta không những cần Hình 2.4: Xấp xỉ ảnh f một cách to n cục xấp xỉ được ảnh f , mà còn mong muốn xấp xỉ này phải trơn Do đó ta phải quan tâm đến tính trơn của tích chập f ∗ hn... dẫn đến việc mức xám tại đó là vô định Như vậy, quan niệm ảnh mới có kích thước lớn hơn ảnh cũ như ở Hình 1.5 xem ra có nhiều bất tiện Như ở phần 1.1 đã có nói, ta phóng to ảnh cốt là để xem rõ hơn các chi tiết trong ảnh, chứ không phải các pixel Do đó, thay vì cho rằng ảnh mới phải to hơn ảnh cũ, ta quan niệm rằng ảnh mới chỉ có kích thước bằng ảnh cũ mà thôi, nhưng các pixel cuả nó nhỏ hơn Nghĩa là... n hay y > x + n Do đó tích phân trên miền vô hạn ở trên chỉ là tích phân trên 1 1 x − n , x + n mà thôi: 1 x+ n f (y)hn (x − y)dy fn (x) = (2.2) 1 x− n 1 Phân hoạch khoảng x − n , x + 1 n thành 2K khoảng con bằng nhau nởi các nút x − 1 n = Hình 2.5: Phân hoạch lân cận của x 1 y−K < < y−2 < y−1 < y0 = x < y1 < y2 < < yK = x + n như Hình 2.5 Đặt ∆y = y1 − y0 Khi đó tích phân ở (2.2) được viết... được quyền chọn nhân hn để xấp xỉ ảnh Tuy nhiên, do những điều kiện khắt khe của hn như là phải trơn, phải có tích phân bằng 1 nên biểu thức của nó không được đẹp do phải chắp vá nhiều mảnh đa thức lại (Hình 2.2a) Trong trường hợp hn có biểu thức đẹp đi chăng nữa (Hình 2.2b) thì việc tính tích phân hay nguyên hàm của nó cũng rất khó khăn, 20 và phần lớn phải nhờ đến tích phân số (như phương pháp cầu phương... Giả sử ảnh mới có N pixel (tất nhiên là N > M ) thì số các trọng số wj (x) mà ta phải tính là M N Để cụ thể, xét một ảnh một chiều có M = 100 pixel, và ta cần phóng to nó lên 200%, tức là ảnh mới sẽ có N = 200 pixel, khi đó số lượng các trọng số mà ta phải tính là M N = 100 × 200 = 2 × 104 Chú ý rằng mỗi trọng số wj (x) này là một tích phân như ở (2.6) Để thấy sự phức tạp của việc tính tích phân này,... ảnh ban đầu có kích thước M × N Sau khi phóng to 200%, ta thu được ảnh với kích thước 2M × 2N Do đó tỷ lệ các pixel mới được tạo ra so với các pixel ban đầu là 2M × 2N − M × N =3 M ×N Như vậy số lượng các pixel mới hoàn to n vượt trội so với số lượng pixel đã có Hơn nữa, độ xám của các pixel này chỉ là tổ hợp một cách khá đơn điệu (trung bình cộng) của các pixel đã biết kế cận Do đó ảnh sau khi phóng. .. luận sau: Nếu hàm dương h : R → R là hàm khả vi liên tục đến bậc k, với k ≥ 1, có tích phân bằng 16 1 và có giá chứa trong [−1, 1] thì tích chập f ∗ hn cũng khả vi liên tục đến bậc k, và xấp xỉ được ảnh f một cách to n cục khi n khá lớn Kết luận trên hoàn to n đã giải quyết được nhu cầu trơn hóa ảnh f của ta Với mỗi n ∈ N, ảnh kết quả sẽ là +∞ fn (x) = (f ∗ hn )(x) = f (y)hn (x − y)dy (2.1) −∞ 1 1 Hơn . nhiều công cụ to n học phức tạp, và làm sắc góc - dựa trên cảm giác của ta là chính. Bài viết này nhằm thiết lập mô hình to n học cho bài to n xử lý bể hình khi phóng to ảnh và phân tích chi tiết. nhòe hình khi phóng to là giảm tỷ lệ zoom. Ta có thể phóng to 150%, 120% hay 110% thay cho 200%. Sau đó ta lại phóng to ảnh kết quả một lần nữa, rồi lần nữa,. . . Giả sử ta cần phóng to ảnh ở Hình. Hình 1.5. Ở đây các pixel trên ảnh ban đầu được đánh số từ 1 đến 3 × 3 = 9. Vì ảnh kích thước Hình 1.5: a. Ảnh ban đầu, b. Ảnh sau khi phóng to 200% 6 × 6 có thể được phân hoạch thành 3 × 3 ảnh