Thế năng của hệ điện tích

Khi giải các bài tập về “ Chuyển động của điện tích (hệ điện tích) trong điện trường” chúng ta thường áp dụng các cách giải như: Phương pháp động lực học, phương pháp năng lượng. Dưới đây tôi xin trình bày cơ sơ lý thuyết và một số bài tập về chuyển động của điện tích (hệ điện tích) trong điện trường đều và thế năng tĩnh điện của một điện tích đặt trong điện trường, thế năng tương tác tĩnh điện của hệ điện tích.

CHUYấN ĐỀ:

Chuyển động của điện tích (hệ điện tích) trong điện trờng

I, Đặt vấn đề:

Khi giải các bài tập về “ Chuyển động của điện tích (hệ điện tích) trong điện trờng”

chúng ta thờng áp dụng các cách giải nh: Phơng pháp động lực học, phơng pháp năng lợng Dới

đây tôi xin trình bày cơ sơ lý thuyết và một số bài tập về chuyển động của điện tích (hệ điện tích) trong điện trờng đều và thế năng tĩnh điện của một điện tích đặt trong điện trờng, thế năng tơng tác tĩnh điện của hệ điện tích.

II, Giải quyết vấn đề:

Để giải quyết vấn đề trên, dới đây tôi xin trình bày cơ sở lý thuyết của từng cách giải, và lời

giải một số bài tập liên quan Trong đó đi sâu phân tích thế năng tĩnh điện của một điện tích đặt trong điện trờng, thế năng tơng tác tĩnh điện của hệ điện tích và việc áp dụng trong giải bài tập.

A Cơ sở lý thuyết

I Trờng hợp điện tích (hệ điện tích) chuyển động trong điện trờng đều.

+ Lực điện trờng Fur=qEur ( Furưư nếu q>0 và ngợc lại)Eur

Gia tốc mà nó thu đợc đợc xác định bằng định luật II Niutơn:

Trong đó ax , ay , v v0x, 0ylà gia tốc, vận tốc của hạt theo các trục tọa độ

+ Phơng trình chuyển động của hạt theo các trục khi đó đợc xác định theo công thức:

Trong đó, x0 , y0 là tọa độ ban đầu của hạt

Khử t trong các phơng trình (3) , (4) ta đợc y = f(x) Đó là phơng trình quỹ đạo của chuyển động

Ph-ơng trình quỹ đạo mô tả hình dạng hình học của chuyển động

Ngời ta còn dùng đơn vị năng lợng là eV Đó là năng lợng mà 1 electrôn thu đợc khi dịch chuyển trong

điện trờng có hiệu điện thế là 1 (V)

= Ngoài ra khi giải bài tập về chuyển động của điện tích trong điện tròng ta cần chú ý đến một số công thức động học nh:

0

2 0

0

.12

Đối với điện trờng đều ta có: AF = q.E.d

Với d là độ dài đại số của hình chiếu điểm đầu, điểm cuối quỹ đạo trên một đờng sức điện truờng Điện trờng giữa 2 bản kim loại đặt song song cách điện và tích điện trái dấu, cùng độ lớn là điện tr ờng

đều, chiều của đờng sức hớng từ bản dơng sang bản âm

Nếu bỏ qua trọng lực thì hạt điện chỉ chịu tác dụng của lực điện trờng khi đó việc nghiên cứu chuyển

động của điện tích trong điện trờng sẽ đơn giản hơn rất nhiều

II Thế năng tĩnh điện và chuyển động của điện tích trong điện trờng

1 Kiến thức tiên quyết

Điện thế của điện trờng tại điểm M đợc xác định bằng công của lực điện trờng làm dịch chuyển một điện

tích dơng đơn vị từ M ra xa vô cùng, với qui ớc điện thế tại vô cùng bằng không

( )

q

q A

Điện thế có tính cộng đợc : điện thế gây ra tại một điểm bởi một hệ điện tích điểm thì bằng tổng đại số các điện

thế do từng điện tích gây ra tại đó

Thế năng tĩnh điện của một điện tích q nằm tại điểm M trong điện trờng (tĩnh) đợc xác định bằng độ lớn

năng của hạt bằng không Do đó thế năng tĩnh điện của hạt đợc tính theo biểu thức

q V

Trong đó V M là điện thế của điện trờng tại điểm M gây ra bởi các điện tích không phải q, với qui ớc rằng

điện thế tại vô cùng bằng không Khi ra tới vô cùng thì thế năng ban đầu đợc chuyển hoá hoàn toàn thành động năng của hạt

2.1.2.Thế năng tơng tác của hệ điện tích

Thực ra thì thế năng tĩnh điện đã nêu có nguồn gốc từ lực tơng tác tĩnh điện giữa điện tích q với các điện tích

khác gây ra điện trờng Vì vậy thế năng tĩnh điện còn đợc gọi là thế năng tơng tác giữa điện tích q đang xét với

các điện tích còn lại của hệ

Mặt khác, khi có một hệ các điện tích thì mỗi điện tích trong hệ đều có thế năng tơng tác (hoặc thế năng

tĩnh điện) trong điện trờng của các điện tích còn lại Tuy nhiên, không phải vì thế mà thế năng tơng tác của toàn

hệ bằng tổng thế năng của từng điện tích Theo định luật bảo toàn năng lợng, thì

Thế năng tơng tác tĩnh điện của toàn hệ phải bằng tổng động năng khi cả hệ dịch chuyển ra vô

Vì vậy, trong trờng hợp hệ hai điện tích, mặc dù thế năng của mỗi điện tích đều bằng q1q2/4πε0r, nhng thế

năng của cả hệ cũng chỉ bằng q1q2 /4πε0r, chứ không phải bằng 2 lần lợng đó Điều này có thể kiểm tra lại bằng phép tính công khi cho đồng thời hai điện tích ra vô cùng

Tơng tự, trong trờng hợp có ba điện tích giống nhau nằm trên ba đỉnh của một tam giác đều cạnh a, thì thế

năng của mỗi điện tích bằng 2q2 /4πε0a Song thế năng của cả hệ ba điện tích chỉ gấp rỡi lợng đó mà thôi.

Vận dụng cách đánh giá thế năng tơng tác theo (2.5), ngời ta tính đợc :

- Thế năng tơng tác của một hệ điện tích rời rạc bằng

trong đó V i kí hiệu điện thế gây ra bởi các điện tích không phải q i tại nơi đặt qi

- Thế năng tơng tác của các điện tích Q phân bố liên tục trên một vật dẫn bằng

VQ dQ

V VdQ

Q V W

vật toàn vật

toàn i

i i t

2

12

12

12

2.2 Thế năng tơng tác và năng lợng điện trờng riêng

2.2.1 Nghịch lí về thế năng tơng tác tĩnh điện

Ta hãy xét bài toán sau Hai quả cầu kim loại hoàn toàn giống nhau, bán kính R, nằm cách nhau một

khoảng L rất lớn so với kích thớc của chúng Một quả cầu mang một điện tích q, quả kia cha tích điện Nối hai quả cầu bằng một dây dẫn mảnh rồi ngắt, kết quả là điện tích q đợc phân đôi cho mỗi quả Song điều đáng nói

là, bây giờ do cả hai quả cầu cùng tích điện cùng dấu, nên giữa chúng có một thế năng tơng tác dơng, còn trớc

đó thế năng này cha có Vậy thế năng này lấy ở đâu ra ? Đó là còn cha kể đến một lợng nhiệt nhất định toả ra trên dây nối khi điện lợng q/2 chạy từ quả cầu thứ nhất sang quả cầu thứ hai

Để giải thoát khỏi nghịch lí này ta cần nói thêm vài khái niệm xung quanh năng lợng tính điện.

2.2.2 Năng lợng điện trờng và mật độ năng lợng điện trờng

Sự kiện lực điện trờng thực hiện công khi làm chuyển dời các điện tích đặt trong nó, chứng tỏ điện trờng có

bằng

2 0

2

tích điện hoặc một hệ điện tích

tr-trong nó, mà chỉ phụ thuộc vào độ lớn và sự phân bố của các điện tích tr-trong hệ

thành các lớp cầu đồng tâm, bán kính r bề dầy dr Khi đó yếu tố tích phân dτ = 4πr2dr Quả cầu là kim loại,

điện trờng trong lòng quả cầu bằng không Năng lợng toàn phần của điện trờng bằng

C

Q R

Q Q R

Q r

dr Q dr r E d

w

W

R R

E

24

28

8

42

2 0

0

2 2

0

2 2

2

=

trong đó C là điện dung của vật dẫn hình cầu Nhân tiện, từ biểu thức (2.10) ta có một kết luận quan trọng rằng,

điện so với kích thớc của nó Khái niệm điện tích điểm cũng đợc dùng khi tính thế năng tơng tác của hệ điện tích Tuy nhiên, nó không những không thể áp dụng đợc đối với những điểm khảo sát nằm gần vật tích điện, mà còn đa lại kết quả vô lí khi tính năng lợng điện trờng Theo (2.10), thì năng lợng điện trờng của bất cứ điện tích

điểm nào, dù lớn, dù nhỏ, đều bằng vô cùng

2.2.3 Mối quan hệ giữa năng lợng điện trờng riêng và thế năng tơng tác

2.2.3a Với trờng hợp một vật tích điện :

Điều trùng hợp là, nếu thay lợng Q/4πε0R trong biểu thức (2.10) bằng điện thế của quả cầu cô lập, thì

năng lợng điện trờng riêng của quả cầu tích điện nằm cô lập đúng bằng thế năng tơng tác tĩnh điện (2.7) của các

điện tích trên quả cầu

VQ

Q R

Q R

Q W

2

12

Sự trùng hợp này không phải là ngẫu nhiên, bởi vì về thực chất, năng lợng điện trờng do một vật mang điện gây ra có nguồn gốc từ thế năng tơng tác giữa các điện tích trên vật đó Thực vậy, nếu thoạt đầu vật cha tích

điên tích trên vạt đó Vì vậy trong trờng hợp chỉ có một vaat tích điện, thì hai năng lợng này phải là một Kết luận đó phải đúng cho vật tích điện có hình dạng bất kì

2.2.3b Trờng hợp hệ vật tích điện :

Năng lợng điện trờng của hệ điện tích cũng đợc tính theo công thức chung (2.9) trong đó Er là vectơ cờng độ

điện trờng tổng hợp, vì vậy việc thực hiện đến cùng tích phan (2.9) chỉ làm đợc cho những hệ tơng đối đơn giản

điện trờng của hệ vật mang điện không phải là tổng đơn giản các năng lợng điện trờng riêng của mỗi vật Thực

vậy, điện trờng của hệ bằng Er = Er1 + Er2, nên lợng Er2gồm ba số hạng

2 1 2

2

2 1

2

22

rr

tích trên các vật Nếu hai điện tích cùng dấu, thì các điện tích đẩy nhau Khi các điện tích lại gần nhau thì công

của ngoại lực, hoặc động năng ban đầu của các điện tích chuyển dần thành thế năng tơng tác Nghĩa là thế năng

tr-ờng toàn phần của hệ càng tăng Ngợc lại, nếu hai điện tích trái dấu, thì từ xa các điện tích này hút nhau khiến chúng dịch chuyển lại gần nhau, lực điện trờng sinh công, khiến năng lợng điện trờng toàn phần của hệ giảm Đó

là lí do tại sao thế năng tơng tác khi này âm

3 Vận dụng khái niệm thế năng t ơng tác vào bài toán chuyển động của điện tích trong điện tr ờng

Khi một điện tích của hệ chuyển động trong điện trờng của các điện tích còn lại, thì lực điện trờng sinh công, sẽ làm cho động năng của nó tăng, thế năng tơng tác của điện tích đó với các điện tích còn lại sẽ biến đổi theo định luật bảo toàn năng lợng

const v

m q

21

trong đó m i là khối lợng của hạt mang điện tích qi Duf dấu của thế năng tơng tác là thế nào, thì khi các điện tích chuyển động dới tác dụng của lực điện trờng, thế năng tơng tác cũng phải giảm

Trờng hợp đáng nói là khi cả hệ điện tích đợc thả ra đồng thời, thì mỗi điện tích không đợc quyền dùng toàn bộ thế năng tơng tác V của nó trong điện trờng của các điện tích còn lại Bởi nếu thế thì thế năng tơng i q i

tác ban đầu của hệ sẽ đợc tính sai lên hai lần giá trị thực

2

12

Tiếc rằng, do hiệu ứng tâm lí, sai lầm này đôi khi cũng khó tránh ngay cả với

những học sinh có năng khiếu tốt

q a q

A B a

D C

q q

Ví dụ Có bốn hạt mang điện giống nhau, khối lợng mỗi hạt là m, điện tích mỗi hạt là q, đợc giữ trên bốn đỉnh

của một hình vuông

a Hãy xác định động năng cực đại của mỗi hạt khi chúng đợc thả ra đồng thời

b Hãy xác định động năng của từng hạt khi ngời ta lần lợt thả từng hạt một sao cho hạt tiếp theo đợc thả ra khi hạt trớc nó đã đi khá xa hệ.

Giải :

Thế năng tơng tác ban đầu của hệ bằng

(4 2)

42

242

14

Ư

0

2 0

q a

q q W

πεπε

12

1

0

2 0

24

12

q q

Nếu hạt thứ hai đi ra từ đỉnh C, thì động năng cực đại của nó bằng

a

q a

q q

mv CMA X

0

2 0

2

ã

24

22

q q

mv BMA X

0

2 0

2

ã

2424

Dễ dàng thấy rằng tổng các động năng (c), (d) và (e) đúng bằng động năng của cả hệ bốn điện tích khi thả

đồng thời Cũng dễ dàng thấy rằng nếu đỏi thứ tự cho hai điện tích C và B, thì động năng cực đại của chúng tuy

sẽ khác đi, nhng tổng động năng của ba điện tích vẫn không đổi

B một số bài tập áp dụngBài 1: Một quả cầu nhỏ khối lợng 0,001g đợc tích điện 10-6C chuyển động từ điểm M có điện thế 400V đến

điểm N có điện thế 250V Xác định vận tốc của qủa cầu tại M, biết vận tốc của quả cầu tại điểm N là 20m/s

Bỏ qua tác dụng của trọng lực

NX: Với bài tập này, đề cho vận tốc và điện thế của quả cầu tại hai điểm Do đó, ta sử dụng phơng pháp năng

- Độ biến thiên động năng của quả cầu khi điện tích di chuyển từ điểm M đến điểm N là:

Bài 2: Một điện tử bay từ bản âm sang bản dơng của một tụ điện phẳng, khoảng cách giữa hai bản tụ là d =

5cm và hiệu điện thế giữa hai bản tụ 3000V Điện tích của điện tử là

q=-1,6.10-19C, khối lợng của điện tử là 3,1.10-31kg, vận tốc ban đầu của điện tử bằng không

1, Xác dịnh thời gian điện tử bay từ bản âm đến bản dơng

2, Xác định vận tốc của điện tử ngay khi chạm bản dơng

Bài giải:

Với bài tập này ta có thể giải theo hai cách:

Cách 1: Dùng động lực học

Trong cách này ta phải tìm gia tốc dựa vào định luật II Niutơn để xác định tính chất của chuyển

động, thời gian chuyển động

Cách 2: Sử dụng định lý động năng

áp dụng định lý động năng để xác định vận tốc của điện tử, từ đó sử dụng công thức động học tìm gia tốc, thời gian chuyển động

Nói chung cả hai cách đều phải xác định gia tốc của điện tử

Sau đây là bài làm cụ thể:

2, Xác định vận tốc của điện tử ngay khi chạm bản dơng.

Thay giá trị của t vào phơng trình (1), ta đợc:

- Gọi v là vận tốc của điện tử khi chạm bản dơng

- Công của lực điện thực hiện khi điện tử dịch chuyển từ bản âm tới bản dơng là:

q U

m

( Uad = -3000V, vì là hiệu điện thế giữa bản âm và bản dơng)

- Gia tốc của điện tử là:

Bài 3: Một tụ điện phẳng có hai bản cách nhau d = 5cm, chiều dài mỗi bản là l

= 10cm Hiệu điện thế giữa hai bản tụ là U = 5000V Một điện tử bay vào tụ

d

nh hình vẽ

1, Viết phơng trình quỹ đạo của điện tử, từ đó xác định độ lệch giữa điểm vào

và điểm ra của điện tử theo phơng đờng sức điện

2, Xác định động năng của điện tử nhay khi bay ra khỏi tụ điện

Bỏ qua tác dụng của trọng lực

Bài giải:

NX:

Với bài tập này thì phơng pháp tọa độ là thích hợp nhất

1, - áp dụng định luật II Niutơn cho điện tử, ta đợc:

a

F a

- Phơng trình chuyển động của điện tử:

2, Động năng của điện tử khi bay ra khỏi tụ điện tại điểm N

NX: Ta có thể giải theo hai cách:

2.10 ( )

Bài 4: Một êlêctrôn có vận tốc ban đầu v0 bay vào khoảng không gian giữa hai

tấm kim loại phẳng, rộng vô hạn tích điện trái dấu qua một lỗ nhỏ O ở tấm tích

điện dơng Vận tốc vuur0 hợp với tấm kim loại một góc α nh hình vẽ Khoảng cách

giữa hai tấm là d, và hiệu điện thế giữa hai tấm kim loại là U Bỏ qua tác dụng của

trọng lực

1, Xác định phơng trình quỹ đạo của êlêctrôn

2, Xác định khoảng cách gần nhất từ êlêctrôn đến tấm tích điện âm trong quá

trình chuyển động của êlêctrôn Coi tấm kim loại đủ dài để êlêctrôn chạm tấm tích điện âm ở trong khoảng không gian giữa hai tấm kim loại nh hình vẽ

- Trong quá trình điện tích chuyển động thì khoảng cách từ điện tích đến tấm

tích điện âm đợc xác định theo biểu thức: h d y= −

Vậy để h nhỏ nhất thì y phải lớn nhất

- Để xác định ymax ta đi viết phơng trình quỹ đạo của điện tích

- áp dụng định luật II Niutơn cho điện tử, ta đợc:

a

F a

Có thể xác định ymax từ phơng trình quỹ đạo

Tọa độ điểm có ymax là đỉnh của Parabol, ta có:

Bài 5: Một quả cầu nhỏ khối lợng m = 0,01g, tích điện q = - 10-7C đợc xâu vào một

thanh AB không dẫn điện đặt cố định trong điện trờng đều có cờng độ điện trờng

1000V/m nh hình vẽ Quả cầu có vận tốc đầu tại A là 10m/s, chuyển động dọc theo thanh

AB và dừng lại ở B

1, Xác định độ dài đoạn AB

2, Xác định thời gian quả cầu chuyển động từ A đến B Bỏ qua mọi ma sát và tác dụng

Bài 6: Cho hai quả cầu nhỏ giống nhau cùng có khối lợng m = 0,01g , và điện tích

t-ơng ứng là q1 = -10-7C và q2 = 4.10-7C, đợc nối với nhau bằng một sợi dây nhẹ không

giãn, không dẫn điện dài 10cm, và đợc đặt trong điện trờng đều có cờng độ điện trờng

E

ur

dẫn điện, hai quả cầu chỉ có thể chuyển động dọc theo thanh Ban đầu hai quả cầu đợc giữ cố định, sau đó thả nhẹ cho chúng chuyển động Coi rằng dây luôn “căng” trong quá trình hai quả cầu chuyển động Bỏ qua mọi ma sát và tác dụng của trọng lực Hãy xác định gia tốc của mỗi quả cầu và lực căng của sợi dây Hệ đặt trong chân không

F

q 1 q 2 E ur

Bài giải:

- Lực điện tác dụng lên điện tích q1, q2 nh hình vẽ:

- Vì dây luôn căng trong quá trình hai quả cầu chuyển động, dây

không dãn, nên gia tốc của hai quả cầu là nh nhau

- áp dụng định luật II Niutơn cho từng quả cầu, ta có:

+ Với quả cầu mang điện tích q1:

+ Với quả cầu mang điện tích q2:

Bài 7: Một quả cầu nhỏ khối lợng 0,001g tích điện q=10àCchuyển động từ

điểm M đến điểm N trong điện trờng đều giữa hai tấm kim loại tích điện trái

dấu, cách nhau 40cm Vận tốc của quả cầu tại M là 10m/s Xác định vận tốc của

quả cầu tại N, biết hiệu điện thế giữa hai tấm kim loại là 40V, chiều dài của tấm

kim loại là l=30 3(cm) Bỏ qua tác dụng của trọng lực

F

uur21