Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm ( phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hỗ thể cao vô hạn

Nguyễn Đình Nam NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƯỚC LÊN SỰ GIA TĂNG SÓNG ÂM PHONON ÂM GIAM CẦM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ HỐ THẾ CAO VÔ HẠN Chuyên ngành : Vật lý lý th

Nguyễn Đình Nam

NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƯỚC LÊN SỰ GIA TĂNG SÓNG ÂM ( PHONON ÂM ) GIAM CẦM TRONG

DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ HỐ THẾ CAO VÔ HẠN

Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số : 604401

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS NGUYỄN QUANG BÁU

Hà Nội - 2011

MỤC LỤC

Mở đầu………1

Chương 1 : Lý thuyết gia tăng phonon âm ( sóng âm ) trong bán dẫn khối và

trong dây lượng tử trong trường hợp phonon không giam cầm 4 1.1 Lý thuyết gia tăng phonon âm ( sóng âm ) trong bán dẫn khối………….4

1.1.1 Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong bán dẫn

khối……… 4

1.1.2 Lý thuyết gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối (trường hợp hấp

thụ một phonon)………7

1.1.3 Ảnh hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia tăng

sóng âm và điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối………… 11

1.2 Lý thuyết gia tăng phonon âm (sóng âm) trong dây lượng tử trong trường

hợp phonon không giam cầm……… 14

1.2.1 Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong dây lượng

tử……… … 14

1.2.2 Biểu thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm……… 18

1.2.3 Hệ số hấp thụ sóng âm trong trường hợp hấp thụ một photon…21

1.2.4 Hệ số hấp thụ sóng âm trong trường hợp hâp thụ nhiều photon 24

Chương 2 : Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của điện tử

và phonon trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn và phương trình động

lượng tử cho phonon giam cầm………27

2.1 Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của điện tử và

phonon trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn………27

2.2 Phương trình động lượng tử cho phonon giam cầm……….28

Chương 3 : Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm bởi trường bức xạ laser trong dây lượng tử hình trụ hố

thế cao vô hạn……… 46

3.1 Biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm bởi trường bức xạ laser trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn……… 46

3.2 Tính toán số, vẽ đồ thị và bàn luận……….…53

Kết luận ……… 58

Tài liệu tham khảo……… 60

Phụ lục……… 63

Danh mục các hình vẽ……… 67

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 3.1 :Biểu diễn sự phu thuộc của tốc độ gia tăng phonon âm (hệ số gia tăng phonon âm) vào vectơ sóng của phonon q z……….54

Hình 3.2 : Biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng phonon âm (hệ số gia tăng phonon âm) vào tần số trường sóng điện từ (bức xạ Laser)……….55

Hình 3.3 :Biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng phonon âm (hệ số gia tăng sóng âm) vào cường độ trường điện từEo………56

Hình 3.4 : Biểu diễn sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng sóng âm (hệ số gia tăng phonon âm) vào nhiệt độ T……… 57

MỞ ĐẦU

Khoa học vật liệu ngày càng phát triển, các thành tựu của nó ngày càng được ứng dụng rộng rãi Các nhà khoa học quan tâm, nghiên cứu các tính chất vật lý của vật liệu, trong đó có hiệu ứng giảm kích thước Trong cấu trúc bán dẫn, khi chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm chặt dọc theo dọc theo một tọa độ với vùng rắt hẹp không quá vài trăm A0 và chiều rộng này so sánh được với chiều dài bước sóng De Broglie thì hiệu ứng giảm kích thước xuất hiện Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên các tính chất của bán dẫn thấp chiều nói chung và dây lượng tử nói riêng

Khi chuyển từ hệ bán dẫn khối sang hệ thấp chiều 2D, 1D hay 0D, do hiệu ứng giảm kích thước gây nên làm thay đổi một loạt các tính chất vật lý cả về định tính và định lượng Chính điều này đã làm sơ sở để tạo ra các linh kiện điện

tử thế hệ mới siêu nhỏ, đa năng và thông minh làm việc theo những nguyên lý hoàn toàn mới

Dây lượng tử là một ví dụ điển hình về hệ khí điện tử một chiều Hiện nay, dây lượng tử có thể được chế tạo nhờ phương pháp MBE hay MOCVD Trong cấu trúc dây lượng tử, chuyển động của điện tử được giới hạn 2 chiều làm cho điện tử chỉ có thể chuyển động tự do theo một chiều Sự giam cầm điện tử trong hệ này làm thay đổi khả năng chuyển động của điện tử Chính điều này dẫn tới một số hiện tượng mới Các hiện tượng này khác với các hiện tượng trong các bán dẫn khối Trong các loại dây lượng tử thì dây lượng tử hình trụ là loại hay được sử dụng nhất trong các nghiên cứu lý thuyết

Hiệu ứng giảm kích thước (trong bán dẫn thấp chiều) ảnh hưởng lên các tính chất vật lý làm các tính chất vật lý thay đổi, trong đó có sự thay đổi tốc độ gia tăng phonon âm (gia tăng sóng âm), hấp thụ phonon bởi trường sóng điện từ (trường bức xạ laser) do tương tác điện tử - phonon gây ra

Sự gia tăng sóng âm bởi trường bức xạ laser là một đề tài được nghiên cứu rộng rãi trong bán dẫn khối [22,23,24,28,30,33], bán dẫn thấp chiều [4,5,16] trong trường hợp chưa xét đến ảnh hưởng của phonon giam cầm Sự gia tăng

Còn trong trường hợp xét tới ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước tức ảnh hưởng của điện tử giam cầm và phonon giam cầm, đã có một số tác giả nghiên cứu trong các hệ hai chiều (siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, hố lượng tử) [4,5,16] nhưng chưa ai làm trong hệ một chiều nói chung và trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn nói riêng Do đó trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu đề tài “Nghiên cứu ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích lên sự gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn ”

Phương pháp nghiên cứu: Để giải quyết bài toán vật lý thuộc loại này, ta

có thể áp dụng nhiều phương pháp khác nhau của vật lý lý thuyết Từ góc độ lý thuyết cổ điển Boltzmann, còn từ góc độ lý thuyết lượng tử, ta có thể sử dụng phương pháp hàm Green, phương pháp tích phân phiếm hàm, phương pháp phương trình động lượng tử Mỗi phương pháp đều có những ưu nhược điểm khác nhau khi áp dụng cho các loại bài toán vật lý cụ thể khác nhau Trong luận văn này chúng tôi đã sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử (nhờ phương trình chuyển động Heisenberg và Hamiltonian cho hệ điện tử-phonon trong hình thức luận lượng tử hóa lần hai) để giải quyết bài toán Ngoài ra, trong phần tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết thu được, chúng tôi sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab trên hệ điều hành Windows Phương pháp này đã tỏ rõ ưu việt khi giải quyết các bài toán vật lý tương tự trong bán dẫn thấp chiều và cho phép thu nhận biểu thức giải tích, tính số và vẽ đồ thị các đại lượng vật lý đặc trưng cho hiệu ứng

Luận văn đã đưa ra được biểu thức giải tích cho tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm bởi trường bức xạ laser trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn, sự phụ thuộc của tốc độ gia tăng sóng âm vào vectơ sóng âm, tần

số sóng âm , tần số trường bức xạ laser Trong luận văn đã thực hiện khảo sát và tính toán số trong trường hợp cụ thể đối với mẫu dây lượng tử hình trụ GaAs/GaAsAl So sánh các kết quả thu được với trường hợp không xét đến ảnh hưởng của phonon giam cầm ta thấy rằng tốc độ gia tăng sóng âm giam cầm mạnh hơn Đặc biệt, biểu thức giải tích của tốc độ gia tăng sóng âm còn phụ thuộc vào m,m’ là chỉ số giam cầm đặc trưng cho phonon giam cầm, khi cho m,m’ tiến tới 0 ta dễ dang thu lai được kết quả như trong trường hợp phonon không giam cầm

Bố cục luận văn gồm 3 chương, ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục với 67 trang, 33 tài liệu tham khảo

Chương 1: Lý thuyết gia tăng phonon âm (sóng âm) trong bán dẫn khối và trong dây lượng tử trong trường hợp phonon không giam cầm

Chương 2: Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của điện tử và phonon trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn và phương trình động lượng tử cho phonon giam cầm

Chương 3 : Ảnh hưởng của hiệu ứng giảm kích thước lên tốc độ gia tăng sóng âm (phonon âm) giam cầm bởi trường bức xạ laser trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn

Các kết quả chính thu được trong luận văn là mới mẻ và có giá trị khoa

học nhất định, được báo cáo và in toàn văn trong proceedings của hội nghị vật lý

lý thuyết toàn quốc lần thứ 36 ở Quy Nhơn (8-2011) Ngoài ra những vấn đề phát triển và liên quan đến đề tài luận văn về hiệu ứng giảm kích thước cũng đã được chúng tôi công bố thành các công trình [7,8,11,14]

CHƯƠNG 1

LÝ THUYẾT GIA TĂNG SÓNG ÂM TRONG BÁN DẪN KHỐI VÀ

TRONG DÂY LƯỢNG TỬ (NHƯNG KHÔNG KỂ ĐẾN ẢNH HƯỞNG

CỦA GIAM CẦM PHONON)

1.1 Lý thuyết gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối

Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối khi có mặt trường sóng điện từ EE0sin(t)được xác định bởi biểu thức :

2 1

Thay (1.10) vào (1.9) đồng thời sử dụng biểu thức biến đổi sau :

exp( iz sin )= J ( ) exp( in )n

Từ phương trình (1.11) và (1.12) ta có

1 1

Trong phương trình (1.17) các số hạng với l s bên vế phải sẽ cho đóng

góp hằng số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn số hạng với ls Vậy có thể

đặt l=s trong công thức (1.17) và thu được phương trình tán sắc:

Trong đó :  là khối lượng riêng, s là vận tốc sóng âm, eE0

z





Ở điểm q 2m, ( )q sẽ đổi dấu và với:

2m p F p F  q 2m sẽ xuất hiện sự gia tăng sóng âm ( )q 0

Đối với trường hợp bán dẫn không suy biến và hấp thụ một phonon: coi đối số của hàm Bessel rất nhỏ sao cho aq  1

3/2

02

q C

Từ công thức (1.22), trong trường hợp bất đẳng thức q   được thực hiện,

ta có ( )q  0 và ứng với nó ta có hệ số hấp thụ sóng âm Ngược lại, trong vùng

sóng âm thỏa mãn bất đẳng thức q   ta có ( )q 0 và có dạng tường minh

Công thức (1.23) chứng tỏ lúc này hệ số hấp thụ sóng âm (( )q 0) đã

chuyển thành hệ số gia tăng sóng âm (( )q 0) Nghĩa là ta có hệ số gia tăng

sóng âm bởi trường bức xạ Laser trong bán dẫn không suy biến trong trường hợp

hấp thụ một photon

1.1.3 Ảnh hưởng của quá trình hấp thụ nhiều photon lên hệ số gia

tăng sóng âm và điều kiện gia tăng sóng âm trong bán dẫn khối

Ta cũng có thể viết hệ số hấp thụ sóng âm (1.19) dưới dạng khác:

, dùng công thức biến đổi:

Tiếp theo ta tính tích phân theo Pz, P của (1.26), ta nhận được:

2

20

2exp

m q I

q m

q m

q m

q m

q m

m

m q I

m

m I

Công thức (1.31) chứng tỏ rằng lúc này, hệ số hấp thụ sóng âm ( )q 0

đã chuyển thành hệ số gia tăng sóng âm ( )q  0 Nghĩa là một lần nữa ta thu nhận được hệ số gia tăng sóng âm ở trong cả trường hợp hấp thụ nhiều photon bởi trường bức xạ Laser

1.2 Lý thuyết gia tăng sóng âm trong dây lượng tử (nhưng không kể đến giam cầm)

1.2.1 Xây dựng phương trình động lượng tử cho phonon trong dây lượng tử

Khi đặt thêm trường ngoài (chẳng hạn trường bức xạ Laser:

)sin(

k,

n l n l q

, , ', ' , , ', ',, , ', ',

Để giải phương trình (1.36) trước tiên ta giải phương trình vi phân thuần nhất:

số nghiệm của phương trình (1.37)

Giải thiết ở t   hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động:

0 , , ', ',

t i

 

, , ', ' , , ', ' , , ', ',

,

, , ', ', ', ', ', ',

1 1

( ) ( ) exp( is 1) exp( il )

( ) ( ) exp ( ) 1 (1 ),

1.2.2 Biểu thức tổng quát cho hệ số hấp thụ sóng âm

Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier:

( )

1

( )2

Nên:

2 1

, , ', ' , , ', '

Đây là phương trình vô hạn với thành phần Fourier B (s l)

q      và không thể giải được Giả thiết trường bức xạ laser không ảnh hưởng đến tính chất dao động của mạng tinh thể (bỏ qua hệ số tương tác điện tử - phonon bậc cao hơn hai) s=l và lấy   q , khi đó (1.48) có dạng:

, , ', ' , , ', '

1 2( )

Cho phương trình (1.49) ta được biểu thức cho hệ số hấp thụ sóng âm:

2

, , ', ', , ', '

1.2.3 Hệ số hấp thụ sóng âm trong trường hợp hấp thụ một photon:

Dưới đây ta sẽ giả thiết khí điện tử không suy biến và tính toán cụ thể cho đối số của hàm Bessel rất nhỏ (do chứa số hạng E0 – trường bức xạ laser là

yếu) :

1 0

(trùng với trục của dây)

Giả thiết khí điện tử không suy biến, áp dụng phân bố Fermi – Dirac:

*/2

2

k

n l n l q q q

1.2.4 Hệ số hấp thụ sóng âm trong trường hợp hâp thụ nhiều

n l n l

n l k

Sử dụng công thức chuyển tổng thành tich phân:

2

k

n l n l q q

Do tính chất của hàm delta, chỉ có điện tử thỏa mãn:

*

, ', '2

2

k

n l n l q q

2 2 , ', '

2

k

n l n l q q

CHƯƠNG 2

HIỆU ỨNG GIẢM KÍCH THƯỚC ẢNH HƯỞNG LÊN PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA ĐIỆN TỬ VÀ PHONON TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ HỐ THẾ CAO VÔ HẠN VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ

CHO PHONON GIAM CẦM

2.1 Hiệu ứng giảm kích thước ảnh hưởng lên phổ năng lượng của điện tử và phonon trong dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn :

Dây lượng tử là một ví dụ về hệ khí điện tử một chiều Trong đó dây lượng

tử hình trụ là loại dây lượng tử hay được sử dụng nhất trong các nghiên cứu lý thuyết Trong luận văn này ta giả thiết dây có bán kính R, thế giam giữ vô hạn ở ngoài dây và bằng không ở bên trong dây

( )=0 khi r < R ( ) khi r > R

, ,

, 0

0 khi r > R 1

l= 1,2,3 là số lượng tử xuyên tâm

k z là vectơ trục của điện tử

Trong đó ta luôn giả thiết z là chiều không bị lượng tử hóa (điện tử có thể

chuyển động tự do theo chiều này), điện tử bị giam giữ trong hai chiều còn lại (x

và y) trong hệ tọa độ Descarte

Khối lựợng hiệu dụng của điện tử là m*

2.2 Phương trình động lượng tử cho phonon giam cầm :

2.2.1 Hamilton của hệ điện tử-phonon âm giam cầm trong dây lượng

tử hình trụ hố thế cao vô hạn

Trường bức xạ laser là một trường ngoài thông dụng hay được sử dụng

trong các nghiên cứu do nó dễ tạo ra và có nhiều ảnh hưởng lên tính chất vật

liệu Trường bức xạ laser có thể làm thay đổi cấu trúc phổ năng lượng (đặt thêm

một bậc giam hãm nữa lên điện tử bên cạnh sự giam hãm tĩnh điện của cấu trúc

hình dây) trong các vùng con, làm thay đổi hàm sóng trong các tiểu vùng năng

lượng (làm lệch hàm sóng về phía bờ của dây) hàm sóng trong tiểu vùng thứ m

không còn trực giao với mode thứ n của phonon với m≠n (điều này làm tăng số

kênh tám xạ điện tử-phnon, xuất hiện thêm những kênh bị cấm khi không có từ

trường)

Hamilton của hệ điện tử -phonon âm trong dây lượng tử hình trụ hố thế

cao vô hạn với sự có mặt của trường bức xạ laser : E t( ) Eosin( t), trong hình

thức luận lượng tử hóa lần hai có thể viết thành:

H t( )H1H2H2 (2.1) Với H1 là năng lượng của các điện tử không tương tác

Ta có Hamilton của hệ điện tử- phonon âm giam cầm trong dây lượng tử

là phổ năng lượng của trường ngoài

kz là xung lượng của điện tử trường ngoài

là toán tử sinh hủy điện tử

a+m,n,qz , am,n,qz : là toán tử sinh hủy phonon

 là tần số của phonon âm

2.2.2 Phương trình động lượng tử cho phonon âm giam cầm trong

dây lượng tử hình trụ hố thế cao vô hạn

Với mục đích thiết lập những phương trình động lượng tử cho phonon

giam cầm trong dây lượng tử khi có mặt của trường bức xạ laser, chúng tôi dùng

phương trình lượng tử tổng quát cho toán tử số hạt

Đặt N m n q, , ( )t a m n q, , a m n q, ,



 (2.6)

( )

, ,

, ( ) , , , ,

,

, , , , , ', ', ' ', ', '', ', '

( ' ) , , , , , 1

Sử dụng hệ thức toán tử cho toán tử sinh hủy a a -a al k k l lk

(2.10)

Ta có:

,, , , , ', ', ' ', ', '

Tính số hạng thứ ba trong vế phải của (2.7):

Cũng sử dụng hệ thức toán tử cho toán tử sinh hủy điện tử: