SKKN Giúp học sinh có khả năng tổng quát hoá các vấn đề theo lối tư duy xây dựng trong học toán

Lời nói đầu: Với tư tưởng dạy học sinh không chỉ dạy kiến thức cho các em, mà cần dạy cả phương pháp suy luận, khả năng vận dụng, khả năng kết nối các môn khoa học, hướng tư duy khái quá

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lời nói đầu:

Với tư tưởng dạy học sinh không chỉ dạy kiến thức cho các em, mà cần dạy cả phương pháp suy luận, khả năng vận dụng, khả năng kết nối các môn khoa học, hướng tư duy khái quát và cả sự phát minh khoa học

Người thầy phải thực hiện điều đó và hướng dẫn hoc sinh thực hiên ngay trong mỗi tiết học

Tất nhiên để làm được chính người thầy phải có những khả năng trên, cùng với sự yêu nghề và đam mê khoa học, đồng thời phải có phương pháp tạo

ra tình huống có vấn đề cho hoc sinh, và từ đó đưa tư tưởng phát minh vào trong tiết học,

với những xuất phát điểm phải từ trong SGK Sau đây là mội ví dụ:

Khi dạy bài 1a tiết 2-Hệ phương trình bậc hai SGK 10

II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu

+ Ở các kì thi toán quốc tế, học sinh phổ thông Việt Nam đạt kết quả rất cao

Đó là một điều đáng tự hào cho dân tộc, nhưng hãy khoan, ta hãy suy nghĩ lại xem, đến bây giờ đã bao nhiêu người trong số đó đã trở thành các nhà phát minh khoa học

+ Đơn giản hơn ở bậc đại học, đã có không ít học sinh thi vào đại học đạt kết quả rất cao, nhưng khi học tập thì có kết quả yếu, thậm chí không thể học tiếp, lí

do tại sao? phải chăng họ không chú ý học? Đó không phải là lí do chính, quan trọng là ở chổ họ chỉ là những thợ giải toán sơ cấp mà khả năng tư duy trừu tượng, khái quát, củng như khả năng tư duy theo hướng xây dựng lý thuyết là rất yếu

+ Vậy vấn đề đổi mới đặt ra cho nền giáo dục :

•

• Biết cách nhìn nhận vấn đề dưới nhiều góc độ

• Giúp học sinh có khả năng tổng quát hoá các vấn đề (lối tư duy xây dựng )

Nhìn lại kết quả hoc tập của học sinh trường Lê Lai thông qua các kì thi đại học và học sinh giỏi, kết quả còn rất khiêm tốn vì vây việc đổi mới lại càng cấp thiết hơn , không những đổi mới về phương pháp mà còn phải đổi mới về cả nội dung kiến thức, truyền đạt cho hoc sinh (không chỉ truyền đạt những kiến thức trong sách giáo khoa mà cả những kiến thức nâng cao)

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1.Giải pháp thực hiện

Để giải quyết vấn đề đó tôi đề xuất ý tưởng sau:

Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả năng tư duy Từ những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đăt kiến thức nâng cao)

2 Các biện pháp thực hiện

Trong các tiết học thông qua các vấn đề hoặc các bài tập trong sách giáo khoa, người thầy phải hướng dẫn học sinh khai thác, mở rộng bài toán,biết nhìn bài toán dưới nhiều góc độ

Để cụ thể hoá điều trên, tôi đã trình bày trong đề tài này : Xuất phát từ môt bài toán rất đơn giản trong SGK dành cho hoc sinh trung bình yếu, với cách giải

là áp dụng thuật toán có sẵn Nhưng nếu suy nghĩ ta sẽ:

* Tìm thấy nhiều cách giải thú vị

* Đồng thời từ bài này đặt ra nhiều bài toán nâng cao, tổng quát thành nhiều bài toán mới

*Qua đó đưa ra và giải quyết những vấn đề mới, có liên quan trưc tiếp đến thi đại hoc và thi hoc sinh giỏi

3 Bài 1a-SGK lớp 10 -2000-trang 110:

= +

4 2

8

4 2 2

y x

y x

((12))

GV: Gọi học sinh lên bảng làm bài, sau đó gọi một em khác lên kiểm tra bài cũ

với câu hỏi:

“nêu cách giải hệ phương trình gồm một phương trình bậc hai và một phương trình bậc nhất hai ẩn”

Khi học sinh hoàn thành lời giải trên bảng ta bắt đầu sửa lời giải :

Từ (2) rút ra x =4-2y (3) thế vào (1)

(GV: Nên rút x vì khi đó biểu thức sau khi rút sẽ gọn hơn)

Ta được :( 4 − 2y) 2 + 4y2 = 8 ⇔ 16 − 16y+ 4y2 + 4y2 = 8 ⇔ y2 − 2y+ 1 = 0 (*) ⇔ y1 = y2 = 1 thay vào biểu thức (3) ta có : x=2

Vây hệ có nghiệm duy nhất :

2

y x

GV:còn cách giải nào khác để giải hệ trên không?

GV:Yêu cầu học sinh nhận xét về các số hạng tương ứng ở hai phương trình(1)

và (2).

Rõ ràng đây không phải là hệ đối xứng với hai ẩn x,y, nhưng hãy tìm ẩn mới để

hệ đối xứng Từ đó ta có cách 2:

= +

⇔

4 2

8 ) 2 ( 2 2

y x

y x

= +

4

8 2 2

t x

t x

=

− +

⇔

4

4 4

8 2 )

xt

t x t

x

xt t

2

y x

Để rèn luyện tư duy cho học sinh GV đặt câu hỏi : Nếu ta thay 8 bằng 0 ai trả

lời nhanh nghiệm của phương trình :







= +

= +

4 2

0

4 2 2

y x

y x

?TL: Ta thấy x2 ≥ 0 ;y2 ≥ 0 Suy ra x2 +y2 ≥ 0 vậy PT trên có nghiệm x=y=0nhưng khi đó : x+ 2y≠ 4 nên hệ VN

GV:Từ PT(*) ở cách 1và(**) ở cách 2 ta thấy chúng đều có nghiệm kép hay hai

PT đó đều là “danh giới của sự vô ngiệm”.

Vì vây ta phán đoán thêm một cách giải nữa của hệ, đó là phương pháp đánh giá.

Vấn đề bây giờ là phải đánh giá như thế nào ?

Hạng tử thứ nhất của PT thứ hai là x

Hạng tử thứ hai của PT thứ nhất là 4y2 = ( 2y) 2

Hạng tử thứ hai của PT thứ hai là 2y

Ta nhớ lại (BT 8.a - Trang 77-SGK)

1 = ⇔ = , thay vào (2) ta được : y=1 ; x=2.

GV: Vẫn với phân tích để tìm ra cách 3 , ta còn thấy một phép toán hình học

có liên quan đến mối liên hệ giữa 2 cặp số (a,b) và (a2,b2) .Đó là :

v u

v y x

u

2

; 2

ở bên phải là độ lớn của một véc tơ.

2 2

2

⇔(x+ 2y)2 ≤ 2 (x2 + 4 y2) (5)

(Trở lại bất đẳng thức (4)), dấu bằng xãy ra khi và chỉ khi

‌cos α = 1 ⇒ α = 0o hoặc α =180o ⇔→u;→v cùng phương hay tồn tại

; 2 2

1 2

1

k y

k x v

k u

GV: Ta để ý bất đẳng thức (4)ở cánh 3 và bất đẳng thức (5) ở cách 4 là giống nhau mặc dù hai cách dẫn đến là khác nhau.

Vì vậy mà gợi cho ta nghĩ đến việcđặt vấn đề ngược lại, tìm cách chứng minh bài tập 8.a - Trang 77 bằng cách sử dụng tích vô hướng của hai véc tơ

Nếu bắt trước cách làm 4 của bài 1.a ta có cách chứng minh bài 8.a như sau:

Xét u→=( )a,b;→v =( )c,d

2 2 2

0

a hay b b d a d

b

d k c

b k a v

v k u

GV:Cũng với việc phân tích để dẫn đến cách 3 gợi cho ta nghĩ đến việc áp dụng bất đẳng thức quen thuộc khác:

2 ( 2 2); ( :( )2 2 ( 2 2))

b a b

a hay b

a b

(bài 2-trang 77)

từ đó ta có cách 5:

Cách 5: Áp dụng BĐT (***) với a = x và b = 2.y ta sẽ trở về BĐT(4)

gợi cho ta liên tưởng đến một công thức trong hình học

1 cos

sin 2 α + 2 α = ( 0o ≤ α < 180o) (SGK hình học 10)

Nhưng vấn đề vế trái của công thức là 1 , đế được điều đó ta chia hai vế của phương trình (1) cho 8 khi đó:

(1) 1

2 2

2

2 2

2

2 2

4 8

x

Nếu có một trong hai số x hoặc 2y nhỏ hơn không thì từ PT(2):x+2y=4 dẩn đến

2 2

Thay vào PT(1) suyra:

2 cos

sin 1 2

2

1 2

2 2

2 2

sin 2 2

thay vào phương trình (2) ta được : sin α + cos α = 2

GV: Ta đã có bài tập: Với 0o ≤ α < 180o thì sin α + cos α = 2 cos α − 45o

(Bài tập này có thể ra cho hoc sinh làm ở phần tích vô hướng của hai véc tơ).

Vậy cos α − 45o = 1 ⇒ α − 45o = 0o ⇔ α = 45o

Suy ra

; 1 45 cos 2

2 45 sin 2 2

Ta đã biết BĐT Bunhiacoxki có một cách chứng minh dựa vào viêc xét phương trình bậc hai rất đặc biệt

= +

4 2

8 4

0 0

2 0

2 0

y x

y x

= + 4

8 2 2

t x

t x

kính R = 2 2

(Ở lớp 10 đăc biệt là các lớp mũi nhọn ta nên giới thiệu cho hoc sinh biết

qua các bài toán như :CMR điểm M(x 0 ;y 0 ) thoả mản : x o2 + y o2 =a2 là cách gốc

toạ độ một khoảng a (a>0) hoặc bài toán :cho điểm M(x,y) nằm trên đường tròn tâm O(0,0) bán kính a>0 hãy tìm mối liên hệ giữa x và y

Hai bài này làm không khó, chỉ cần học sinh học song phần toạ độ của một điểm

là làm được )

Còn phương trình thứ hai của hệ : x+t = 4 là phương trình đường thẳng cắt trục Ox tại điểm A(4,0) cắt trục Ot tại điểm B(0,4) Khi thử biểu diễn hình học của hai đường, trên hệ trục toạ độ Oxt ta thấy đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, vậy ta có cách giải thứ 8 :

1

1 2

đường tròn có phương trình x2 +t2 = 8 , vậy đường thẳng tiếp xúc với đường

tròn tại điểm H, hay nghiệm của hệ







= +

= + 4

8 2 2

t x

t x

2

2 2

y

x t

t t

x x x

B A H

B A H

GV: Tinh tế hơn ta còn thấy một cách giải khác

−

1

2 0

1 4 2 8

16 4

2

y

x y

x y

y x x

thế vào hệ (1.2) thấy thoả mãn, vậy hệ có nghiệm duy nhất x=2 ,y=1

GV:Ta chưa dừng lại ở đây , nếu ta tham số hoá hệ phương trình ta sẽ có những bài toán mới

Chẳng hạn: ta thay 8 bởi m ( tham số)

= +

4 2

4 2 2

y x

m y x

) 7 (

) 6 (

và ta có thể đưa ra một số bài toán.

Bài toán 1: Tìm m để hệ (6.7) có nghiệm

Bài làm:

Cách 1:

Dựa vào cách 1 của bài 1.a ta có cách sau:

Rút từ phương trình (7) : x= 4- 2y (6’) thế vào phương trình (6) ta được :

(4-2y)2 + 4y2 = m ⇔8y2- 16y+ 16- m = 0

GV: ta nên chia hai vế cho 8 để được phương trình với hệ số gọn hơn:

8 2 2

2 − y+ −m =

ta để ý :với mỗi nghiệm y 0 của phương trình (7 ’ ) ta được một nghiệm (x o ,y o )

= +

S t

x

P

m t

x t

x

m t x

42

8 4

2 2

Để hệ có nghiệm cần và đủ là:

) 4 8

2 8 ( 4

2 ≥ P⇔ −m ≤ ⇔m≥

S GV: yêu cầu học sinh phân tích cách 8 của bài 1a để tìm cách giải 3

Bài toán 2 : Tìm m để hệ (6.7) có nghiệm duy nhất

Bài làm:

Cách 1:

Với việc phân tích bài toán 1 ta thấy để hệ có nghiệm duy nhất cần và đủ là

∆’=0 ⇔ m= 8

GV:để rèn luyện thói quen kiểm tra kết quả sau khi giải toán và khả năng tư duy

biện chứng cho hoc sinh, ở đây giáo viên có thể đặt câu hỏi cho học sinh như : GV:Ta thấy đáp số là đáng tin cậy Vì sao?

TL: vì m= 8 ta trở lại bài toán 1a

GV: còn nếu học sinh làm ra đáp số không phải là 8 GV khẳng định ngay kết quả là sai mặc dù chưa cần kiểm tra các bước tính toán

GV:yêu cầu học sinh phân tích cách 2 và cách 8 của BT1a để tìm cách 2và3 của bài này

GV: với phép đặt :2y = t ta đã đưa hệ về dạng hệ đối xứng







= +

= + 4

2 2

t x

m t x

kiện đủ ) từ đây ta có cách giải :

Cách 4 :

ĐK cần : (x0, to) là nghiệm của hệ thì (x0, to) cũng là nghiệm của hệ, vậy để hệ

có nghiệm duy nhất cần x0=to 8

4 2

o o

ĐK đủ : Thay m =8 vào hệ ta thấy thoả mãn

Vậy m=8 là kết quả cần tìm

GV: Đây là một phương pháp rất quan trọng để giải bài toán nghiệm duy nhất của hệ đối xứng Đối với các bài toán sau ta sẽ thấy tầm quan trọng của phương pháp này :

Bài toán a: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất :

= +

+

a xy y

x

a y x y x a

3

4 ) (

2 2

2 2

GV: Yêu cầu học sinh tự làm

=

−

+

= +

+

2 2 5

2005 2 2

2

2006

2006

a a xy y

x

a y x y

−

= +

−

= +

+

2

2005 82

82 23 23

2 2 ) (

.

a a y

x xy

a y x y x

GV: yêu cầu học sinh về nhà làm

GV:tiếp tục ta mở rộng bài toán với sự rằng buộc của nghiệm.

Bài toán 3: Tìm m đê hệ (6.7) có hai nghiệm (x1, y1) và (x2, y2) sao choy1 < 0 < y2

Bài làm :

Cách 1:

Để hệ có 2 nghiệm (x1,y1) và (x2,y2) sao cho sao choy1 < 0 < y2cần và đủ là

phương trình (7’) phải có 2 nghiệm y1,y2 thoả mản điều kiện y1 < 0 < y2 tức a.c <

2

2

t x

m t

x t

y < < thì hệ này phải có hai nghiệm thoả mãn t1 <0 t< 2

Vì vậy phương trình :X2 − 4X + 8 −m = 0 có 2 nghiệm trái dấu tức a.c < 0

Bài toán 4: Tìm m để hệ (6.7) có hai nghiệm (x1,y1) và (x2,y2) sao cho0 < y2 ,y2

Vẫn sử dụng được cả 3 cách ở bài toán 3 Đáp số: 8 ≤m< 16

GV: Ta lại thay đổi yêu cầu bài toán từ ràng buộc của y thay bằng ràng buộc của x tức là:

Bài toán 5 : Tìm m để hệ phương trình (6.7) có 2 nghiệm (x1,y1) và (x2,y2) sao cho :

0 < x1, x2

GV : Đây là vấn đề đặt lên cho học sinh vướng mắc.

Vấn đề ở đây là ta đưa về phương trình ẩn y trong đó yêu cầu là ràng buộc của x.

Vì vậy ta có hai hướng giải quyết :

- Chuyển ràng buộc của x thành ràng buộc của y.

- Chuyển thành phương trình của x.

Ta thấy cách 2 khả thi hơn.

Vậy yêu cầu bài toán ⇔phương trình (8) có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn điều kiện:

0 < x1, x2

0 '

P

S ⇔ 8 ≤m< 16

(GV:Tất nhiên bài toán này có thể giải dựa theo cách 2 và cách 3 của bài toán 3)

Tiếp tục ta mở rộng cho sự ràng buộc của x và y.

Bài toán 6 : Tìm m để hệ phương trình (6.7) có 2 nghiệm (x1,y1 )và( x2,y2) thoả

0 , 2 1

2 1

y y

x x

GV : Ta phân tích bài toán 6 như sau :

Bài toán trên tương đương với bài toán: tìm m để hệ phương trình có 2 nghiệm (x 1 ,y 1 ) và (x 2 ,y 2 ) thoả mãn điều kiện x 1 ,x 2 > 0 và y 1 ,y 2 > 0.

Vậy những giá trị của m thoả mãn cả hai bài toán 4 và 5 thì thoả mãn bài toán

6, đồng thời thoả mãn bài toán 6 thì thoả mãn cả hai bài toán 4 và 5.

Vậy giá trị cần tìm của m là giao hai tập giá trị của m ở hai bài toán 4 và 5 Tức là : [8 ; 16)∩[8 ; 16)=[8 ; 16)

GV : (Tất nhiên bài toán này có thể giải theo cách 2 và cách 3 của bài toán 3)

nghiệm (x,y) thoả mãn điều kiện :

GV : Từ đó ta có thể đưa ra bài toán

Bài toán 7 : Tìm m để hệ sau có ít nhất 2 nghiệm

−

+

−

= +

) 4 )(

1 ( 4 4 1

2

) 4 )(

1 ( 4

y x y

x

y x m y x

Ta thấy hệ có nghiệm: x=1; y= -4 Ngoài ra với ∀m thì những cặp nghiệm còn lại dạng (1; y) hoặc (x; -4) đều không phải là nghiệm (Hay ngoài nghiệm (1;-4)

+

−

= +

+

−

4 4

2 1 1

4

4 1 1

y x

m y

= + 4 2

4 2 2

Y X

m Y X

Khi đó yêu cầu bài toán ⇔ Tìm m để hệ







= +

= + 4 2

4 2 2

Y X

m Y X

có nghiệm (X,Y) thoả

điều này tương đương với m∈[ 8,16)

GV: Từ bài tập 6 với nhận xét: y = 2-4x nếu x> 0 ⇔ y< 2 ta tiếp tục đưa ra bài

toán sau:

Bài toán 8: Tìm m để hệ phương trình (6.7) có 2 nghiệm (x1,y1) và (x2,y2) thoã mãn điều kiện : 0 < y1,y2 <2

(GV: Ta lưu ý khi học bài: Hệ phương trình bậc 2 thì chưa học định lý so sánh

nghiệm của phương trình bậc 2 Vì vậy học sinh chưa thể áp dụng định lý này vào để giải bài toán).

Vậy bài toán 8 đưa về bài toán sau: Tìm m để hệ phương trình có 2 nghiệm

(x1,y1) và (x2,y2) thoả mãn điều kiện sau:

2 1 , 0

, 0

y y

x x

Đây chính là bài toán 6 vậy ta suy ra kết quả m∈[ 8,16)

GV: Ta lại phân tích bài toán 8

Ta thấy bài toán 8 tương đương với bài toán : Tìm m để phương trình bậc 2 :

y 2 - 2 + 2 -

8

m

= 0 có 2 nghiệm y 1 ,y 2 thoã mãn điều kiện 0 < y 1 , y 2 <2 (*)

Đây rõ ràng là bài toán so sánh số 2 với các nghiệm của phương trình bậc hai

Ta thử phân tích xem mấu chốt ở đâu mà ta đã chuyển sang được bài toán (*)

Để từ đó tổng quát hoá bài toán thành bài toán so sánh nghiệm với một số bất kì (chứ không chỉ là với số 0 nữa )

Xem xét bài toán 8: Thấy từ ràng buộc của x với 0 ta chuyển sang ràng buộc của y, được điều kiện (*) và phép chuyển chính là phương trình (7).

Vì vậy nếu xem phương trình (7) là một phép đặt ( đổi biến ) thì ta sẽ có cách giải quyết bài toán so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kì thể hiện ở các bài toán sau:

Bài toán 9 : Cho f(x) =ax2 + bx +c (I)

Tìm điều kiện để phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1,x2 thoã mãn điều kiện :

Vậy bài toán 9 tương đương với bài toán sau:

Tìm điều kiện để phương trình g(y) = 0 có 2 nghiệm y1 < 0 < y2

⇔ a(aα2 +bα +c) <0 ⇔ a.f(α) <0.

Bài toán 10: Tìm điều kiện để phương trình (I) có 2 nghiệm x1, x2 < α

Đặt y= x- α, vậy bài toán tương đương với bài toán sau:

Tìm điều kiện để g(y) = 0 có 2 nghiệm âm

0Δ

+

0α

0α2

04α4α4α4α

2

)(.aa

ab

acab

aaba

0α2

04

0 α 2

0 Δ

) ( a s

Bài toán 11: Tìm điều kiện để phương trình (I) có 2 nghiệm x1,x2 > α

GV : Yêu cầu học sinh tự làm.

Vậy ta đã giải quyết bài toán so sánh nghiệm với một số, như một ứng dụng của định lý Viét ( mà không cần sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc 2 – mà SGK đã trình bày) áp dụng bài tập tổng quát này, yêu cầu học sinh giải một số bài toán sau:

Bài toán 12: Tìm m để hệ phương trình có hai nghiệm (x1,y1),(x2,y2) thoã mãn điều kiện : y2

1+y2

2 = 20 (*)

Bài làm:

Để hệ có 2 nghiệm (x1,y1),(x2,y2) theo bài toán 1 cần ĐK : m ≥ 8

Khi đó phương trình : y2 -2y+2-

GV: Sử dụng định nghĩa của hệ ta tiếp tục đưa ra các bài toán sau:

Bài toán 14: Tìm m để hệ pt (6-7) có 2 nghiệm (x1,y1) và (x2,y2) sao cho :

x12 + 2x22 +y12+5y22 =27 (***)