1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

ứng dụng của tích phân xác định để tính độ dài cung và diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay trong MAPLE

20 4,4K 3

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 20
Dung lượng 325,61 KB

Nội dung

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC BÀI TẬP LỚN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI CUNG VÀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH CỦA VẬT THỂ TRÒN

Trang 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

BÀI TẬP LỚN

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI CUNG VÀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH

CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY

TRONG MAPLE

Sinh viên thực hiện: Phạm Hương Giang

Môn học: Thực hành tính toán Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Hữu Điển

Hà Nội - 12/2013

Trang 2

Mục lục

0.1 Giới thiệu về Maple 3

0.1.1 Maple là gì? 3

0.1.2 Các chức năng chính 3

0.2 Tích phân 4

0.2.1 Tích phân không xác định 4

0.2.2 Tích phân xác định 4

0.3 Tính độ dài cung 6

0.3.1 Xây dựng công thức trong giải tích 6

0.3.2 Xây dựng thuật toán trong Maple 9

0.4 Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 11

0.4.1 Xây dựng công thức trong giải tích 11

0.4.2 Xây dựng thuật toán trong Maple 14

0.5 Maple là gì ? 19

Trang 3

MỤC LỤC 2

Lời nói đầu

Tích phân xác định có rất nhiều ứng dụng Trong đó, tính độ dài cung và

diện tích vật thể tròn xoay là một trong số đó Thông thường, chúng ta tính

trực tiếp mất rất nhiều thời gian và công sức Nhưng với phần mềm Maple,

một phần mềm tính toán thông minh thì việc này trở nên dễ dàng hơn rất

nhiều Nội dung bài tập lớn này, em muốn trình bày về việc sử dụng Maple

để tính độ dài cung và diện tích vật thể tròn xoay

Nhân đây em xin gửi lời cảm ơn, lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS

Nguyễn Hữu Điển đã hướng dẫn em rất nhiệt tình, giúp giải đáp mọi thắc

mắc của em khi cần thiết để em có thể hoàn thành tốt bài tập lớn này Nhờ

có những bài giảng của thầy mà em được tiếp cận những phần mềm thú vị

và hữu ích như Maple và VieTeX

Bài tập lớn này vẫn còn nhiều sai sót Mọi đóng góp xin gửi về địa chỉ

email: giangbeo1612@gmail.com

Một lần nữa xin chân thành cảm ơn

Sinh viên trình bày: Phạm Hương Giang

Lớp : K56 - Toán học A1T2

Mã sinh viên: 1100 1604

Trang 4

0.1 Giới thiệu về Maple 3

0.1 Giới thiệu về Maple

0.1.1 Maple là gì?

Maple là một phần mềm Toán học do Đại học Tổng hợp Waterloo

(Canada) xây dựng và đưa vào sử dụng năm 1985 Phần mềm này ngày

càng được hoàn thiện sau nhiều lần cải tiến và phát triển qua nhiều phiên

bản khác nhau Maple chạy được trên tất cả các hệ điều hành, có trình trợ

giúp (Help) rất dễ sử dụng Từ các phiên bản 7, Maple cung cấp ngày càng

nhiều các công cụ trực quan, các gói lẹnh tự học gắn liền với toán phổ thông

và đại học Ưu điểm đó khiến ngày càng có nhiều các nước trên thế giới

chọn sử dụng Maple trong dạy - học toán tương tác trước đòi hỏi của thực

tiễn và sự phát triển của giáo dục

0.1.2 Các chức năng chính

Maple là một phần mềm đặc biệt, có tính ứng dụng cao trong nhiều

ngành khoa học và kỹ thuật Trong đó, ta có thể nêu vắn tắt một số các chức

năng chính của Maple như sau:

- Thực hiện các tính toán với khối lượng lớn, với thời gian nhanh và độ

chính xác cao

- Ngôn ngữ lập trình đơn giản, mạnh mẽ, có khả năng tương tác với các

ngôn ngữ lập trình khác

- Sử dụng các gói lệnh chuyên dụng của Maple để giải quyết các bài

toán cụ thể như: Vẽ đồ thị (gói plots), Hình học giải tích (gói geometry),

Đại số tuyến tính (gói linalgs), Giải tích (gói student), Phương trình vi

phân (gói DEtools), Lý thuyết số (gói numtheory), Dữ liệu rời rạc (gói

DiscreteTransforms),

- Tính toán trên các biểu thức đại số

- Thiết kế các đối tượng 3 chiều

- Minh họa hình học thuận tiện gồm: vẽ đồ thị tĩnh và động của các

đường và mặt được cho bởi các hàm tùy ý trong nhiều hệ tọa độ khác

nhau

- Có thể thực hiện được hầu hết các phép toán cơ bản trong chương

trình toán đại học và sau đại học

- Một công cụ biên soạn giáo án và bài giảng điện tử, thích hợp với các

lớp học tương tác trực tiếp

Trang 5

0.2 Tích phân 4

- Một công cụ hữu ích cho học sinh, sinh viên trong việc tự học Ngoài

ra, Maple còn rất nhiều tính năng ở các vấn đề khác nữa

0.2 Tích phân

Có hai loại tích phân là: Tích phân không xác định và Tích phân xác

định.

0.2.1 Tích phân không xác định

Cho hàm f xác định trên một khoảng bất kỳ U (một đoạn, khoảng hay

nửa khoảng hữu hạn hay vô hạn trong một tập số thực) Hàm khả vi F trên

U được gọi là nguyên hàm của f trên khoảng bất kỳ đó nếu F0(x) = f(x)

với mọi x∈ U

Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f trên khoảng bất kỳ U được

gọi là tích phân không xác định của hàm f trên U và ký hiệu làR

f(x)dx

Giả sử F là một nguyên hàm của f trên U, khi đó:R

f(x)dx =F(x) +C, trong đó C hằng số tùy ý

* Cách tính tích phân không xác định với Maple

> int(<Biểu thức>,<Biến lấy tích phân>);

Ví dụ:

- Với lệnh >int(x3cos(x), x); ta tìm được

Z

x3cos(x)dx =x3sin(x) +3 x2cos(x) −6 cos(x) −6 x sin(x)

- Với lệnh >int(sqrt(x2+a), x); ta tìm được

Z

p

x2+adx =1/2 xpx2+a+1/2 a lnx+px2+a

0.2.2 Tích phân xác định

Cho một đoạn thẳng ∆ trong tập số thực R với hai đầu mút a, b (không

nhất thiết a≤b) và xét một cách chia đoạn∆ thành các đoạn con ∆ivới các

đầu mút xi− 1, xibởi các điểm chia tùy ý lần lượt là

a=x0, x1, , xn =b

Ta gọi phép chia đó là một phân hoạch đoạn∆ và ký hiệu là T

Gọi ∆xi = xi−xi − 1, như vậy nếu a ≤ b thì ∆xi ≥ 0 và nếu a ≥ b thì

∆ ≤0∀i =1, 2, , n

Trang 6

0.2 Tích phân 5

Số d(T) =max

i |∆xi| = max

i |xi−xi − 1|được gọi là đường kính của phân hoạch T

GọiP (∆) là tập hợp tất cả các phân hoạch trên ∆ Giả sử T1 ∈ P (∆), ta

nói T2mịn hơn T1và ký hiệu T2 ≥T1nếu tập hợp các điểm chia của T2bao

gồm các điểm chia của T1 hay nói cách khác mọi đoạn con của phân hoạch

T2đều chứa trong một đoạn con nào đó của phân hoạch T1

Giả sử f là một hàm xác định trên đoạn∆ Trên mỗi đoạn con ∆1với hai

đầu mút xi− 1, xita lấy một điểm ξitùy ý và lập thành tổng

σf(T, ξ) =

n

i = 1

f(ξi)(xi−xi−1) =

n

i − 1

f(ξi)∆xi

Tổng σf(T, ξ) được gọi là tổng tích phân của hàm f trên đoạn∆ ứng với

phân hoạch T và điểm chọn ξ = (ξ1, ξ2, , ξn)với ξi ∈∆i(i =1, 2, , n) Khi

phân hoạch T và điểm ξ thay đổi ta có một họ không đếm được tổng tích

phân{σf(T, ξ)}

Ta nói họ tổng tích phân này có giới hạn I ∈ R khi d(T) → 0 nếu cho

trước ε > 0 bé tùy ý thì luôn luôn tồn tại một số δ(ε) > 0 sao cho với mọi

T ∈ P (∆)với d(T) < δ với mọi cách lấy điểm ξ ta đều có|σf(T, ξ) −I| < ε.

Khi đó ta viết

lim

d ( T )→ 0σf(T, ξ) = I

Giới hạn I đó nếu tồn tại thì được gọi là tích phân xác định của hàm f

trên đoạn∆ với hai đầu mút a, b và ký hiệu:

I =

b

Z

a

f(x)dx

* Cách tính tích phân xác định trong Maple

> int(<Biểu thức>,<Biến lấy tích phân>=<Cận trên>,<Cận dưới>);

Ví dụ:

- Với lệnh> f := arcsin(sqrt(x/(x+1))) : và> int(f , x = 0 3); ta tính

được

3

Z

0 arcsin

r x

x+1



dx= −√

3+4/3 π

- Với lệnh g :=1/(x2+x+1); và>int(g, x= −1 1); ta tìm được

3

Z

0

1

x2+x+1 =1/3 π

3

Trang 7

0.3 Tính độ dài cung 6

0.3 Tính độ dài cung

0.3.1 Xây dựng công thức trong giải tích

Định nghĩa

Trước hết ta hiểu cung là một ánh xạ liên tục γ : [a, b] → R3, ta thường

yêu cầu thêm ánh xạ γ là một đơn ánh (cung Jordan) và khi đó có thể đồng

nhất γ với ảnh γ([a, b]) ⊆R3

Bài toán đặt ra là hãy đưa ra định nghĩa và cách tính độ dài cung γ.

Đặt A = γ(a), B = γ(b), lấy một phân hoạch T của [a, b] với các điểm

chia a = t0 < t1 < <tn = btừ đó ta có một phân hoạch γ([a, b])bởi các

điểm chia A=γ(a) = M0, γ(t1) = M1, , γ(tn) = Mn = B

Nối các điểm Mi− 1, Mibằng một đoạn thẳng (i =1, 2, , n) ta được một

đường gấp khúc ký hiệu là γ(T), một cách tự nhiên ta lấy độ dài đường gấp

khúc γ(T)làm giá trị gần đúng của độ dài cung γ.

Đặt ρ(γ(T)) = max

1 ≤ i ≤ nρ(Mi − 1, Mi) trong đó ρ(Mi − 1, Mi) là khoảng cách giữa hai điểm Mi− 1, Mi trong không gian R3 Do tính liên tục của ánh xạ γ

ta có thể suy ra rằng khi d(T) → 0 (d(T)là đường kính của phân hoạch T)

thì ρ(γ(T))cũng tiến đến không

Định nghĩa

Nếu độ dài đường gấp khúc γ(T)có giới hạn hữu hạn khi ρ(γ(T)) → 0

thì ta nói cung γ có độ dài (hay còn gọi là đo được) và giới hạn đó được lấy

làm độ dài của cung γ.

Công thức tính độ dài cung

Bây giờ ta lập công thức tính độ dài của các cung thuộc lớp C1, để đơn

giản ta xây dựng công thức cho cung trong R2, trong R3được làm tương tự

Giả sử cho cung γ : [a, b] → R2với γ(t) = (x(t), y(t)) ∈ R2, x(t), y(t)là

hai hàm có các đạo hàm liên tục trên[a, b] và x02(t) +y02(t) > 0∀t ∈ [a, b],

một cung như thế được gọi là cung trơn

Xét một phân hoạch T bất kỳ của[a, b]

a =t0<t1<t <2< <tn =b gọi d(T) là đường kính của phân hoạch T, Mi = γ(ti) = (x(ti), y(ti)), i =

0, 1, 2, , n Theo công thức số gia giới nội

x(ti) −x(ti− 1) = x0(ξ)∆ti

y(ti) −y(ti− 1) = y0(ηi)∆ti

Trang 8

0.3 Tính độ dài cung 7

∆ti =ti−ti − 1 Khi đó độ đài đoạn thẳng

Mi− 1Mi =

q

[x(ti) −x(ti− 1)]2+ [y(ti) −y(ti− 1)]2

=

q

[x0(ξi)]2+ [y0(ηi)]2∆ti

và độ dài đường gấp khúc γ(T)sẽ là

pn =

n

i = 1

q

[x0(ξi)]2+ [y0(ηi)]2∆ti

Đặt σ(T, ξ) =∑n

i = 1 p

[x0(ξi)]2+ [y0(ηi)]2∆ti

Áp dụng bất đẳng thức |√u2−v2−√u2−w2| ≤ |v−w|, với mọi số

thực u, v, w

|pn−σ(T, ξ)| ≤

n

i = 1

|q[x0(ξi)]2+ [y0(ηi)]2−q[x0(ξi)]2+ [y0(ξi)]2|∆ti

n

i = 1

|y0(ηi) −y0(ξi)|∆ti

Vì y0(t)liên tục trên[a, b]nên nó liên tục đều trên đó

Khi đó ∀ε > 0 cho trước ∃ một số δ > 0 sao cho ∀T ∈ P ([a, b]) mà

d(T) < δ1ta đều có:

|y0(ξi) −y0(ηi)| < ε

2(b−a)

điều này có được vì ξi, ηiđều thuộc∆inên|ξi−ηi| < d(T) < δ1

Vì vậy:

pn−σ(T, ξ) ≤

n

i = 1

|y0(ξi) −y0(ηi)|∆ti < ε

2(b−a)(b−a) = ε

2.

Mặt khác do x0(t), y0(t) là những hàm liên tục trên [a, b] nên

p

[x0(t)]2+ [y0(t)]2khả tích trên đoạn đó

Đặt L =

a

R

b

p

[x0(t)]2+ [y0(t)]2dt khi đó ∃δ2 > 0 sao cho ∀T ∈ P ([a, b])

mà d(T) <δ2ta có|σ(T, ξ) −L| < ε

2.

Nếu chọn δ=min(δ1, δ2)), và∀T∈ P ([a, b])mà d(T) <δthì:

|pη−L| ≤ |pησ(T, ξ)| + |σ(T, ξ) −L| < ε

2 +

ε

2 =ε

Trang 9

0.3 Tính độ dài cung 8

có nghĩa là lim

d ( t )→ 0pn =

a

R

b

p

[x0(t)]2+ [y0(t)]2dt

Vậy công thức tính độ dài cung phẳng là L =

a

R

b

p

[x0(t)]2+ [y0(t)]2dt

Nếu γ :[a, b] → R3, với γ(t) = (x(t), y(t), z(t))là hàm véc tơ có đạo hàm

cấp 1 liên tục trên[a, b]thì γ có độ dài và độ dài của nó được tính theo công

thức:

L =

a

Z

b

q

[x0(t)]2+ [y0(t)]2+ [z0(t)]2dt

Trường hợp đặc biệt khi γ : [a, b] → R2 là đường cong phẳng γ(x) =

(x, f(x))f ∈ C1([a, b])thì

L =

a

Z

b

q

1+ [f0(x)]2dx

Các ví dụ

Ví dụ 1: Tính độ dài cung OA nằm trên parabol y = x2

2p, trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm nằm trên parabol có hoành độ là t

L=

t

Z

0

q

1+ [f0(x)]2dx

= 1 p

t

Z

0

q

x2+p2dx

= 1 p

 x 2

q

x2+p2+ p2

2 ln(x+

q

x2+p2)

 t 0

= t 2p

q

t2+p2+ p

2ln

t+pt2+p2

Ví dụ 2:Tính độ dài cung xoắn ốc Archimede

x =a cos t

y =a sin t 0≤t ≤

z =at a>0

L =

Z

0

q

[x0(t)]2+ [y0(t)]2+ [z0(t)]2dt= a√2

Z

0

dt=πa2√2

Trang 10

0.3 Tính độ dài cung 9

0.3.2 Xây dựng thuật toán trong Maple

+) Thuật toán:

Bước 1 Khai báo 2 gói lệnh là "Student[Calculus1] " và "plots"

Bước 2 Nhập f(x), g(x) và a, b (nếu có)

Bước 3 Vẽ đồ thị hàm số Tính độ dài cung theo công thức

+) Trên Maple

> with(Student[Calculus1]):

>with(plots);

> sapxeptang := proc(danhsach::list)

local tg, i, j, A, n;

A:= danhsach;

n:=nops(danhsach);

for i to n do

for j from i+1 to n do

if eval f(A[j]) <eval f(A[i])then

tg := A[i];

A[i] := A[j];

A[j] :=tg

fi;

od;

od;

return A

end;

>dodaicung := proc

local t, q, a, b, f , g, L, i ;

f :=readstat("Nhap f(x)= ");

g:=readstat("Nhap g(x)= ");

a := readstat("Nhap a = «neu khong co Enter bo qua» ");

b:= readstat("Nhap b = «neu khong co Enter bo qua» ");

print("——————–Bai giai——————–");

if a6=NULL and b6=NULL then

print("Do dai cung gioi han boi cac duong ");

print(y= f , y= g, x= a, x=b);

print("Do thi cac duong cong ");

print(plot({ f , g}, x = −10 10, y = −10 10, color=[red, green]));

print(("Vay do dai cung la: S="Int([Di f f(f , x)]2+ [Di f f(g, x)]2, x= a b) =

(int(([di f f(f , x)]2+ [di f f(g, x)]2), x=a b))"

fi;

if a=NULL and b=NULL

Trang 11

0.3 Tính độ dài cung 10

then

print("Do dai cung gioi han boi cac duong ");

print(y= f , y= g);

print("Hoanh do giao diem cua hai duong cong la nghiem cua phuong trinh

: ");

print( f −g =0);

print("Ta duoc "solve({ f = g}, {x}));

print("Do thi ");

print(plot({f , g}, x = −5 5, y= −8 8));

t :=solve(f =g, x);

t := [t];

q:=sapxeptang(t);

L :=0;

i :=1;

while i < nops(q) do

L := L + int(4 ∗ Pi ∗ g ∗ sqrt([di f f(f , x)]2) + ([di f f(g, x)]2), x =

q[1] q[i+1]);

i :=i+1;

od;

print("Vay do dai cung la: ");

print(L);

fi;

end;

+) Ví dụ:

Tính độ dài cung của đường cong y=2x−x2trong đoạn [0,1]

"——————–Bai giai——————–"

"Do dai cung gioi han boi cac duong "

y=2x−x2, y=0, x=0, x =1

"Do thi cac duong cong "

Vay do dai cung la:

L=

1

Z

0

 d

dx2x−x

2

2

+ d

dx0

2! dx

=

1

Z

0

([2−2x]2+ [0]2)dx

Trang 12

0.4 Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 11

Hình 1:

0.4 Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay

0.4.1 Xây dựng công thức trong giải tích

Cho hình thang cong giới hạn bởi

(

a≤ x≤b

0≤y≤ f(x) với f(x)là một hàm

thuộc lớp C1trên[a, b]

Quay hình thang cong quanh trục Ox ta được một hình tròn xoayΩ Bài

toán đặt ra là hãy tính diện tích xung quanh của vật thể này

Ta hãy xác định khái niệm diện tích xung quanh và xây dựng công thức

tính

Xét một phân hoạch T đoạn[a, b]

a=x0 <x1< <xn =b

Khi đó đường cong y = f(x) được chia ra làm n phần bởi các điểm

(a, f(a)) = A= M0, M1, , Mn = (b, f(b))

Khi quay xung quanh trục Ox đoạn thẳng Mi− 1Mi tạo thành mặt xung

quanh của hình nón cụt có diện tích xung quanh là

Si =πli[f(xi− 1) + f(xi)] i=1, 2, , n

Trang 13

0.4 Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 12 trong đó lilà độ dài đoạn thẳng Mi − 1Mi

Áp dụng công thức Lagrange

li =

q

(xi−xi− 1)2+ [f(xi) − f(xi− 1)]2=

q

1+ [f0(ξi)]2∆xi Khi đó tổng

Pn =

n

i = 1

π

q

1+ [f0(ξi)]2[f(xi) − f(xi− 1)]∆xi

được lấy làm giá trị xấp xỉ của diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay

Ω Nếu khi d(T) → 0 mà pn dần đến một giới hạn hữu hạn thì giới hạn đó

được lấy làm diện tích xung quanh của hình tròn xoayΩ

Vì f có đạo hàm liên tục trên đoạn[a, b]nên tồn tại tích phân

a

Z

b

2π f(x)

q

1+ [f0(xi)]2dx = I

Đặt σ(T, ξ) = ∑n

i = 1

2π f(ξ)p1+ [f0(ξi)]2∆xi, khi đó ∀ε > 0,∃δ1 >0 sao cho∀T ∈ P ([a, b])mà d(T) < δ1, ta có:

|σ(T, ξ) −I| < ε

2. Mặt khác, do f là hàm liên tục trên [a, b]nên tồn tại δ2 < 0 sao cho khi

d(T) < δ2thì

| (xi) + f(xi− 1) −2 f(ξi)| < ε

2πM(b−a)

trong đó M=max

[ a,b ] p1+ [f0(x)]2

Chọn δ =min(δ1, δ2)khi đó∀T ∈ P ([a, b])mà d(T) < δ

|Pn−σ(T, ξ)| =π

n

i = 1

[f(xi) + f(xi − 1) −2 f(ξi)]

q

1+ [f0(ξi)]2∆xi

=π ε 2πM(b−a)

n

i − 1

∆xi = ε

2

Kết hợp với điều kiện|σ(T, ξ) −I| < ε

2 ta suy ra|Pn−I| < εhay

lim

d ( T )→ 0Pn =

b

Z

a

2π f(x)

q

1+ [f0(x)]2dx

Trang 14

0.4 Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 13 Vậy công thức tính diện tích xung quanh vật thể tròn xoay

s =

b

Z

a

f(x)

q

1+ [f0(x)]2dx

Ví dụ: Tính diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay được tạo thành

khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường astroid x

2

3 +y

2

3 = a

2

3 ,(a > 0)

quanh trục Ox

Do tính đối xứng của đường cong ta chỉ xét miền x ≥0, y≥ 0, xét dạng

tham số của đường cong

(

x =a cos3t 0≤t ≤ π

2.

y=a sin3t Khi đó diện tích xung quanh

s =

a

Z

0

f(x)

q

1+ [f0(x)]2dx

Bằng phép biến đổi x =a cos3t, ta có:

s =

π

2

Z

0

y(t)

s

1+ y0(t)

x0(t)

2

x0(t)dt

=

π

2

Z

0

y(t)

q

[x0(t)]2+ [y0(t)]2dt

=

π

2

Z

0

a sin3t3a sin t cos tdt

=12πa2

π

2

Z

0 sin4t cos tdt

= 12πa2

5 .

... thang cong quanh trục Ox ta hình trịn xoay? ?? Bài

tốn đặt tính diện tích xung quanh vật thể

Ta xác định khái niệm diện tích xung quanh xây dựng cơng thức

tính

Xét phân hoạch... class="page_container" data-page="14">

0.4 Diện tích xung quanh vật thể trịn xoay< /i> 13 Vậy cơng thức tính diện tích xung quanh vật thể tròn xoay

s =

b... data-page="12">

0.4 Diện tích xung quanh vật thể trịn xoay< /i> 11

Hình 1:

0.4 Diện tích xung quanh vật thể trịn xoay< /b>

0.4.1 Xây dựng cơng thức giải tích< /b>

Cho

Ngày đăng: 27/03/2015, 11:06

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w