ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC BÀI TẬP LỚN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI CUNG VÀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH CỦA VẬT THỂ TRÒN
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC
BÀI TẬP LỚN
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI CUNG VÀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH
CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY
TRONG MAPLE
Sinh viên thực hiện: Phạm Hương Giang
Môn học: Thực hành tính toán Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Hữu Điển
Hà Nội - 12/2013
Trang 2Mục lục
0.1 Giới thiệu về Maple 3
0.1.1 Maple là gì? 3
0.1.2 Các chức năng chính 3
0.2 Tích phân 4
0.2.1 Tích phân không xác định 4
0.2.2 Tích phân xác định 4
0.3 Tính độ dài cung 6
0.3.1 Xây dựng công thức trong giải tích 6
0.3.2 Xây dựng thuật toán trong Maple 9
0.4 Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 11
0.4.1 Xây dựng công thức trong giải tích 11
0.4.2 Xây dựng thuật toán trong Maple 14
0.5 Maple là gì ? 19
Trang 3MỤC LỤC 2
Lời nói đầu
Tích phân xác định có rất nhiều ứng dụng Trong đó, tính độ dài cung và
diện tích vật thể tròn xoay là một trong số đó Thông thường, chúng ta tính
trực tiếp mất rất nhiều thời gian và công sức Nhưng với phần mềm Maple,
một phần mềm tính toán thông minh thì việc này trở nên dễ dàng hơn rất
nhiều Nội dung bài tập lớn này, em muốn trình bày về việc sử dụng Maple
để tính độ dài cung và diện tích vật thể tròn xoay
Nhân đây em xin gửi lời cảm ơn, lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS
Nguyễn Hữu Điển đã hướng dẫn em rất nhiệt tình, giúp giải đáp mọi thắc
mắc của em khi cần thiết để em có thể hoàn thành tốt bài tập lớn này Nhờ
có những bài giảng của thầy mà em được tiếp cận những phần mềm thú vị
và hữu ích như Maple và VieTeX
Bài tập lớn này vẫn còn nhiều sai sót Mọi đóng góp xin gửi về địa chỉ
email: giangbeo1612@gmail.com
Một lần nữa xin chân thành cảm ơn
Sinh viên trình bày: Phạm Hương Giang
Lớp : K56 - Toán học A1T2
Mã sinh viên: 1100 1604
Trang 40.1 Giới thiệu về Maple 3
0.1 Giới thiệu về Maple
0.1.1 Maple là gì?
Maple là một phần mềm Toán học do Đại học Tổng hợp Waterloo
(Canada) xây dựng và đưa vào sử dụng năm 1985 Phần mềm này ngày
càng được hoàn thiện sau nhiều lần cải tiến và phát triển qua nhiều phiên
bản khác nhau Maple chạy được trên tất cả các hệ điều hành, có trình trợ
giúp (Help) rất dễ sử dụng Từ các phiên bản 7, Maple cung cấp ngày càng
nhiều các công cụ trực quan, các gói lẹnh tự học gắn liền với toán phổ thông
và đại học Ưu điểm đó khiến ngày càng có nhiều các nước trên thế giới
chọn sử dụng Maple trong dạy - học toán tương tác trước đòi hỏi của thực
tiễn và sự phát triển của giáo dục
0.1.2 Các chức năng chính
Maple là một phần mềm đặc biệt, có tính ứng dụng cao trong nhiều
ngành khoa học và kỹ thuật Trong đó, ta có thể nêu vắn tắt một số các chức
năng chính của Maple như sau:
- Thực hiện các tính toán với khối lượng lớn, với thời gian nhanh và độ
chính xác cao
- Ngôn ngữ lập trình đơn giản, mạnh mẽ, có khả năng tương tác với các
ngôn ngữ lập trình khác
- Sử dụng các gói lệnh chuyên dụng của Maple để giải quyết các bài
toán cụ thể như: Vẽ đồ thị (gói plots), Hình học giải tích (gói geometry),
Đại số tuyến tính (gói linalgs), Giải tích (gói student), Phương trình vi
phân (gói DEtools), Lý thuyết số (gói numtheory), Dữ liệu rời rạc (gói
DiscreteTransforms),
- Tính toán trên các biểu thức đại số
- Thiết kế các đối tượng 3 chiều
- Minh họa hình học thuận tiện gồm: vẽ đồ thị tĩnh và động của các
đường và mặt được cho bởi các hàm tùy ý trong nhiều hệ tọa độ khác
nhau
- Có thể thực hiện được hầu hết các phép toán cơ bản trong chương
trình toán đại học và sau đại học
- Một công cụ biên soạn giáo án và bài giảng điện tử, thích hợp với các
lớp học tương tác trực tiếp
Trang 50.2 Tích phân 4
- Một công cụ hữu ích cho học sinh, sinh viên trong việc tự học Ngoài
ra, Maple còn rất nhiều tính năng ở các vấn đề khác nữa
0.2 Tích phân
Có hai loại tích phân là: Tích phân không xác định và Tích phân xác
định.
0.2.1 Tích phân không xác định
Cho hàm f xác định trên một khoảng bất kỳ U (một đoạn, khoảng hay
nửa khoảng hữu hạn hay vô hạn trong một tập số thực) Hàm khả vi F trên
U được gọi là nguyên hàm của f trên khoảng bất kỳ đó nếu F0(x) = f(x)
với mọi x∈ U
Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f trên khoảng bất kỳ U được
gọi là tích phân không xác định của hàm f trên U và ký hiệu làR
f(x)dx
Giả sử F là một nguyên hàm của f trên U, khi đó:R
f(x)dx =F(x) +C, trong đó C hằng số tùy ý
* Cách tính tích phân không xác định với Maple
> int(<Biểu thức>,<Biến lấy tích phân>);
Ví dụ:
- Với lệnh >int(x3cos(x), x); ta tìm được
Z
x3cos(x)dx =x3sin(x) +3 x2cos(x) −6 cos(x) −6 x sin(x)
- Với lệnh >int(sqrt(x2+a), x); ta tìm được
Z
p
x2+adx =1/2 xpx2+a+1/2 a lnx+px2+a
0.2.2 Tích phân xác định
Cho một đoạn thẳng ∆ trong tập số thực R với hai đầu mút a, b (không
nhất thiết a≤b) và xét một cách chia đoạn∆ thành các đoạn con ∆ivới các
đầu mút xi− 1, xibởi các điểm chia tùy ý lần lượt là
a=x0, x1, , xn =b
Ta gọi phép chia đó là một phân hoạch đoạn∆ và ký hiệu là T
Gọi ∆xi = xi−xi − 1, như vậy nếu a ≤ b thì ∆xi ≥ 0 và nếu a ≥ b thì
∆ ≤0∀i =1, 2, , n
Trang 60.2 Tích phân 5
Số d(T) =max
i |∆xi| = max
i |xi−xi − 1|được gọi là đường kính của phân hoạch T
GọiP (∆) là tập hợp tất cả các phân hoạch trên ∆ Giả sử T1 ∈ P (∆), ta
nói T2mịn hơn T1và ký hiệu T2 ≥T1nếu tập hợp các điểm chia của T2bao
gồm các điểm chia của T1 hay nói cách khác mọi đoạn con của phân hoạch
T2đều chứa trong một đoạn con nào đó của phân hoạch T1
Giả sử f là một hàm xác định trên đoạn∆ Trên mỗi đoạn con ∆1với hai
đầu mút xi− 1, xita lấy một điểm ξitùy ý và lập thành tổng
σf(T, ξ) =
n
∑
i = 1
f(ξi)(xi−xi−1) =
n
∑
i − 1
f(ξi)∆xi
Tổng σf(T, ξ) được gọi là tổng tích phân của hàm f trên đoạn∆ ứng với
phân hoạch T và điểm chọn ξ = (ξ1, ξ2, , ξn)với ξi ∈∆i(i =1, 2, , n) Khi
phân hoạch T và điểm ξ thay đổi ta có một họ không đếm được tổng tích
phân{σf(T, ξ)}
Ta nói họ tổng tích phân này có giới hạn I ∈ R khi d(T) → 0 nếu cho
trước ε > 0 bé tùy ý thì luôn luôn tồn tại một số δ(ε) > 0 sao cho với mọi
T ∈ P (∆)với d(T) < δ với mọi cách lấy điểm ξ ta đều có|σf(T, ξ) −I| < ε.
Khi đó ta viết
lim
d ( T )→ 0σf(T, ξ) = I
Giới hạn I đó nếu tồn tại thì được gọi là tích phân xác định của hàm f
trên đoạn∆ với hai đầu mút a, b và ký hiệu:
I =
b
Z
a
f(x)dx
* Cách tính tích phân xác định trong Maple
> int(<Biểu thức>,<Biến lấy tích phân>=<Cận trên>,<Cận dưới>);
Ví dụ:
- Với lệnh> f := arcsin(sqrt(x/(x+1))) : và> int(f , x = 0 3); ta tính
được
3
Z
0 arcsin
r x
x+1
dx= −√
3+4/3 π
- Với lệnh g :=1/(x2+x+1); và>int(g, x= −1 1); ta tìm được
3
Z
0
1
x2+x+1 =1/3 π
√
3
Trang 70.3 Tính độ dài cung 6
0.3 Tính độ dài cung
0.3.1 Xây dựng công thức trong giải tích
Định nghĩa
Trước hết ta hiểu cung là một ánh xạ liên tục γ : [a, b] → R3, ta thường
yêu cầu thêm ánh xạ γ là một đơn ánh (cung Jordan) và khi đó có thể đồng
nhất γ với ảnh γ([a, b]) ⊆R3
Bài toán đặt ra là hãy đưa ra định nghĩa và cách tính độ dài cung γ.
Đặt A = γ(a), B = γ(b), lấy một phân hoạch T của [a, b] với các điểm
chia a = t0 < t1 < <tn = btừ đó ta có một phân hoạch γ([a, b])bởi các
điểm chia A=γ(a) = M0, γ(t1) = M1, , γ(tn) = Mn = B
Nối các điểm Mi− 1, Mibằng một đoạn thẳng (i =1, 2, , n) ta được một
đường gấp khúc ký hiệu là γ(T), một cách tự nhiên ta lấy độ dài đường gấp
khúc γ(T)làm giá trị gần đúng của độ dài cung γ.
Đặt ρ(γ(T)) = max
1 ≤ i ≤ nρ(Mi − 1, Mi) trong đó ρ(Mi − 1, Mi) là khoảng cách giữa hai điểm Mi− 1, Mi trong không gian R3 Do tính liên tục của ánh xạ γ
ta có thể suy ra rằng khi d(T) → 0 (d(T)là đường kính của phân hoạch T)
thì ρ(γ(T))cũng tiến đến không
Định nghĩa
Nếu độ dài đường gấp khúc γ(T)có giới hạn hữu hạn khi ρ(γ(T)) → 0
thì ta nói cung γ có độ dài (hay còn gọi là đo được) và giới hạn đó được lấy
làm độ dài của cung γ.
Công thức tính độ dài cung
Bây giờ ta lập công thức tính độ dài của các cung thuộc lớp C1, để đơn
giản ta xây dựng công thức cho cung trong R2, trong R3được làm tương tự
Giả sử cho cung γ : [a, b] → R2với γ(t) = (x(t), y(t)) ∈ R2, x(t), y(t)là
hai hàm có các đạo hàm liên tục trên[a, b] và x02(t) +y02(t) > 0∀t ∈ [a, b],
một cung như thế được gọi là cung trơn
Xét một phân hoạch T bất kỳ của[a, b]
a =t0<t1<t <2< <tn =b gọi d(T) là đường kính của phân hoạch T, Mi = γ(ti) = (x(ti), y(ti)), i =
0, 1, 2, , n Theo công thức số gia giới nội
x(ti) −x(ti− 1) = x0(ξ)∆ti
y(ti) −y(ti− 1) = y0(ηi)∆ti
Trang 80.3 Tính độ dài cung 7
∆ti =ti−ti − 1 Khi đó độ đài đoạn thẳng
Mi− 1Mi =
q
[x(ti) −x(ti− 1)]2+ [y(ti) −y(ti− 1)]2
=
q
[x0(ξi)]2+ [y0(ηi)]2∆ti
và độ dài đường gấp khúc γ(T)sẽ là
pn =
n
∑
i = 1
q
[x0(ξi)]2+ [y0(ηi)]2∆ti
Đặt σ(T, ξ) =∑n
i = 1 p
[x0(ξi)]2+ [y0(ηi)]2∆ti
Áp dụng bất đẳng thức |√u2−v2−√u2−w2| ≤ |v−w|, với mọi số
thực u, v, w
|pn−σ(T, ξ)| ≤
n
∑
i = 1
|q[x0(ξi)]2+ [y0(ηi)]2−q[x0(ξi)]2+ [y0(ξi)]2|∆ti
≤
n
∑
i = 1
|y0(ηi) −y0(ξi)|∆ti
Vì y0(t)liên tục trên[a, b]nên nó liên tục đều trên đó
Khi đó ∀ε > 0 cho trước ∃ một số δ > 0 sao cho ∀T ∈ P ([a, b]) mà
d(T) < δ1ta đều có:
|y0(ξi) −y0(ηi)| < ε
2(b−a)
điều này có được vì ξi, ηiđều thuộc∆inên|ξi−ηi| < d(T) < δ1
Vì vậy:
pn−σ(T, ξ) ≤
n
∑
i = 1
|y0(ξi) −y0(ηi)|∆ti < ε
2(b−a)(b−a) = ε
2.
Mặt khác do x0(t), y0(t) là những hàm liên tục trên [a, b] nên
p
[x0(t)]2+ [y0(t)]2khả tích trên đoạn đó
Đặt L =
a
R
b
p
[x0(t)]2+ [y0(t)]2dt khi đó ∃δ2 > 0 sao cho ∀T ∈ P ([a, b])
mà d(T) <δ2ta có|σ(T, ξ) −L| < ε
2.
Nếu chọn δ=min(δ1, δ2)), và∀T∈ P ([a, b])mà d(T) <δthì:
|pη−L| ≤ |pη−σ(T, ξ)| + |σ(T, ξ) −L| < ε
2 +
ε
2 =ε
Trang 90.3 Tính độ dài cung 8
có nghĩa là lim
d ( t )→ 0pn =
a
R
b
p
[x0(t)]2+ [y0(t)]2dt
Vậy công thức tính độ dài cung phẳng là L =
a
R
b
p
[x0(t)]2+ [y0(t)]2dt
Nếu γ :[a, b] → R3, với γ(t) = (x(t), y(t), z(t))là hàm véc tơ có đạo hàm
cấp 1 liên tục trên[a, b]thì γ có độ dài và độ dài của nó được tính theo công
thức:
L =
a
Z
b
q
[x0(t)]2+ [y0(t)]2+ [z0(t)]2dt
Trường hợp đặc biệt khi γ : [a, b] → R2 là đường cong phẳng γ(x) =
(x, f(x))f ∈ C1([a, b])thì
L =
a
Z
b
q
1+ [f0(x)]2dx
Các ví dụ
Ví dụ 1: Tính độ dài cung OA nằm trên parabol y = x2
2p, trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm nằm trên parabol có hoành độ là t
L=
t
Z
0
q
1+ [f0(x)]2dx
= 1 p
t
Z
0
q
x2+p2dx
= 1 p
x 2
q
x2+p2+ p2
2 ln(x+
q
x2+p2)
t 0
= t 2p
q
t2+p2+ p
2ln
t+pt2+p2
Ví dụ 2:Tính độ dài cung xoắn ốc Archimede
x =a cos t
y =a sin t 0≤t ≤2π
z =at a>0
L =
2π
Z
0
q
[x0(t)]2+ [y0(t)]2+ [z0(t)]2dt= a√2
2π
Z
0
dt=πa2√2
Trang 100.3 Tính độ dài cung 9
0.3.2 Xây dựng thuật toán trong Maple
+) Thuật toán:
Bước 1 Khai báo 2 gói lệnh là "Student[Calculus1] " và "plots"
Bước 2 Nhập f(x), g(x) và a, b (nếu có)
Bước 3 Vẽ đồ thị hàm số Tính độ dài cung theo công thức
+) Trên Maple
> with(Student[Calculus1]):
>with(plots);
> sapxeptang := proc(danhsach::list)
local tg, i, j, A, n;
A:= danhsach;
n:=nops(danhsach);
for i to n do
for j from i+1 to n do
if eval f(A[j]) <eval f(A[i])then
tg := A[i];
A[i] := A[j];
A[j] :=tg
fi;
od;
od;
return A
end;
>dodaicung := proc
local t, q, a, b, f , g, L, i ;
f :=readstat("Nhap f(x)= ");
g:=readstat("Nhap g(x)= ");
a := readstat("Nhap a = «neu khong co Enter bo qua» ");
b:= readstat("Nhap b = «neu khong co Enter bo qua» ");
print("——————–Bai giai——————–");
if a6=NULL and b6=NULL then
print("Do dai cung gioi han boi cac duong ");
print(y= f , y= g, x= a, x=b);
print("Do thi cac duong cong ");
print(plot({ f , g}, x = −10 10, y = −10 10, color=[red, green]));
print(("Vay do dai cung la: S="Int([Di f f(f , x)]2+ [Di f f(g, x)]2, x= a b) =
(int(([di f f(f , x)]2+ [di f f(g, x)]2), x=a b))"
fi;
if a=NULL and b=NULL
Trang 110.3 Tính độ dài cung 10
then
print("Do dai cung gioi han boi cac duong ");
print(y= f , y= g);
print("Hoanh do giao diem cua hai duong cong la nghiem cua phuong trinh
: ");
print( f −g =0);
print("Ta duoc "solve({ f = g}, {x}));
print("Do thi ");
print(plot({f , g}, x = −5 5, y= −8 8));
t :=solve(f =g, x);
t := [t];
q:=sapxeptang(t);
L :=0;
i :=1;
while i < nops(q) do
L := L + int(4 ∗ Pi ∗ g ∗ sqrt([di f f(f , x)]2) + ([di f f(g, x)]2), x =
q[1] q[i+1]);
i :=i+1;
od;
print("Vay do dai cung la: ");
print(L);
fi;
end;
+) Ví dụ:
Tính độ dài cung của đường cong y=2x−x2trong đoạn [0,1]
"——————–Bai giai——————–"
"Do dai cung gioi han boi cac duong "
y=2x−x2, y=0, x=0, x =1
"Do thi cac duong cong "
Vay do dai cung la:
L=
1
Z
0
d
dx2x−x
2
2
+ d
dx0
2! dx
=
1
Z
0
([2−2x]2+ [0]2)dx
Trang 120.4 Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 11
Hình 1:
0.4 Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay
0.4.1 Xây dựng công thức trong giải tích
Cho hình thang cong giới hạn bởi
(
a≤ x≤b
0≤y≤ f(x) với f(x)là một hàm
thuộc lớp C1trên[a, b]
Quay hình thang cong quanh trục Ox ta được một hình tròn xoayΩ Bài
toán đặt ra là hãy tính diện tích xung quanh của vật thể này
Ta hãy xác định khái niệm diện tích xung quanh và xây dựng công thức
tính
Xét một phân hoạch T đoạn[a, b]
a=x0 <x1< <xn =b
Khi đó đường cong y = f(x) được chia ra làm n phần bởi các điểm
(a, f(a)) = A= M0, M1, , Mn = (b, f(b))
Khi quay xung quanh trục Ox đoạn thẳng Mi− 1Mi tạo thành mặt xung
quanh của hình nón cụt có diện tích xung quanh là
Si =πli[f(xi− 1) + f(xi)] i=1, 2, , n
Trang 130.4 Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 12 trong đó lilà độ dài đoạn thẳng Mi − 1Mi
Áp dụng công thức Lagrange
li =
q
(xi−xi− 1)2+ [f(xi) − f(xi− 1)]2=
q
1+ [f0(ξi)]2∆xi Khi đó tổng
Pn =
n
∑
i = 1
π
q
1+ [f0(ξi)]2[f(xi) − f(xi− 1)]∆xi
được lấy làm giá trị xấp xỉ của diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay
Ω Nếu khi d(T) → 0 mà pn dần đến một giới hạn hữu hạn thì giới hạn đó
được lấy làm diện tích xung quanh của hình tròn xoayΩ
Vì f có đạo hàm liên tục trên đoạn[a, b]nên tồn tại tích phân
a
Z
b
2π f(x)
q
1+ [f0(xi)]2dx = I
Đặt σ(T, ξ) = ∑n
i = 1
2π f(ξ)p1+ [f0(ξi)]2∆xi, khi đó ∀ε > 0,∃δ1 >0 sao cho∀T ∈ P ([a, b])mà d(T) < δ1, ta có:
|σ(T, ξ) −I| < ε
2. Mặt khác, do f là hàm liên tục trên [a, b]nên tồn tại δ2 < 0 sao cho khi
d(T) < δ2thì
| (xi) + f(xi− 1) −2 f(ξi)| < ε
2πM(b−a)
trong đó M=max
[ a,b ] p1+ [f0(x)]2
Chọn δ =min(δ1, δ2)khi đó∀T ∈ P ([a, b])mà d(T) < δ
|Pn−σ(T, ξ)| =π
n
∑
i = 1
[f(xi) + f(xi − 1) −2 f(ξi)]
q
1+ [f0(ξi)]2∆xi
=π ε 2πM(b−a)
n
∑
i − 1
∆xi = ε
2
Kết hợp với điều kiện|σ(T, ξ) −I| < ε
2 ta suy ra|Pn−I| < εhay
lim
d ( T )→ 0Pn =
b
Z
a
2π f(x)
q
1+ [f0(x)]2dx
Trang 140.4 Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 13 Vậy công thức tính diện tích xung quanh vật thể tròn xoay
s =2π
b
Z
a
f(x)
q
1+ [f0(x)]2dx
Ví dụ: Tính diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay được tạo thành
khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường astroid x
2
3 +y
2
3 = a
2
3 ,(a > 0)
quanh trục Ox
Do tính đối xứng của đường cong ta chỉ xét miền x ≥0, y≥ 0, xét dạng
tham số của đường cong
(
x =a cos3t 0≤t ≤ π
2.
y=a sin3t Khi đó diện tích xung quanh
s =4π
a
Z
0
f(x)
q
1+ [f0(x)]2dx
Bằng phép biến đổi x =a cos3t, ta có:
s =4π
π
2
Z
0
y(t)
s
1+ y0(t)
x0(t)
2
x0(t)dt
=4π
π
2
Z
0
y(t)
q
[x0(t)]2+ [y0(t)]2dt
=4π
π
2
Z
0
a sin3t3a sin t cos tdt
=12πa2
π
2
Z
0 sin4t cos tdt
= 12πa2
5 .
... thang cong quanh trục Ox ta hình trịn xoay? ?? Bàitốn đặt tính diện tích xung quanh vật thể
Ta xác định khái niệm diện tích xung quanh xây dựng cơng thức
tính
Xét phân hoạch... class="page_container" data-page="14">
0.4 Diện tích xung quanh vật thể trịn xoay< /i> 13 Vậy cơng thức tính diện tích xung quanh vật thể tròn xoay
s =2π
b... data-page="12">
0.4 Diện tích xung quanh vật thể trịn xoay< /i> 11
Hình 1:
0.4 Diện tích xung quanh vật thể trịn xoay< /b>
0.4.1 Xây dựng cơng thức giải tích< /b>
Cho