Báo cáo mạng hàng đợi

Theo kí pháp của Kendall một hệ thống xếp hàng được phân loại qua các kí hiệu của bộ mô tả kendall tổng quát có dạng α/δ/m/β/N/Q α: phân bố xác suất của khoảng thời gian yêu cầu để phục

Báo cáo mạng: Hàng đợi

MỤC LỤC

Mở đầu

Chương I: Giới thiệu

1.Lịch sử hình thành hàng

đợi

2.Chức năng và tầm quan

trọng của hàng đợi

Chương II: Các khái niệm cơ

bản

1.Định nghĩa về hàng đợi

2.Các tham số đặc trưng

của một hàng đợi

3.Mô tả trạng thái cho hệ

thống hàng đợi

4.Các thông số hiệu năng

thường dùng trong mô hình

mạng hàng đợi

Chương III: Một số hàng đợi

cơ bản

1.Hàng đợi Markov M/M/1

2.Các hàng đợi nhiều trạm

dịch vụ: M/M/m

3.Các hàng đợi có số khách

hàng hạn chế M/M/m/N/N

4.Hàng đợi M/G/1

5.Các hệ thống có phản hồi

Chương IV: Mạng các hàng

đợi

1.Định lý đến 2.Thuật toán nhân chập 3.Thuật toán phân tích giá trị trung bình

Kết luận Tài liệu tham khảo

Mở đầu

Sự phát triển của mạng máy tính có tác động sâu sắc đến nhiều khía cạnh của khoa học

kĩ thuật cũng như cuộc sống con người Việc ra đời và phát triển của các mạng tốc

độ cao đã đẩy nhanh sự phát triển của mạng máy tính Qua mạng tốc độ cao, quá trình truy xuất các luồng thông tin khác nhau được thực hiện nhanh hơn với giá thành thấp hơn Hệ thống thông tin cũng như mạng máy tính cần phải được xây dựng phức tạp hơn

để đáp ứng nhu cầu xử lí, truyền tải thông tin với tốc độ nhanh và dung lượng lớn Sự phát triển của mạng máy tính hiện nay đã dẫn đến sự hình thành và phát triển của mạng Internet, Internet cung cấp cho thế giới rất nhiều dịch vụ

đa dạng, một trong những

dịch vụ của Internet được sử

dụng rộng rãi và được nhiểu

người quan tâm nhất nhất là

Word Wide Web Các trang

Web được lưu trữ trong các

WebServer, với số lượng các

trang Web tăng một cách

nhanh chóng hiện nay thì việc

đảm bảo cho các WebServer

hoạt động có hiệu quả là một

yêu cầu hết sức cần thiết

Trong quá trình thiết kế xây

dựng mạng máy tính đặc biệt

là hệ thống Internet thì một

nhiệm vụ đặt ra hết sức quan

trọng là phải phân tích đánh

giá được hiệu năng của hệ

thống để hỗ trợ cho việc xây

dựng và phát triển hệ thông

tin

Việc phân tích đánh giá hiệu

năng của mạng máy tính là

một việc tương đối phức tạp

Một trong những phương

pháp đánh giá được sử dụng

rộng rãi và có hiệu quả trên

thực tế là phương pháp mô

hình hoá và các mô hình được

sử dụng hiện nay là mô hình

hàng đợi, mạng Petri, đồ thị,

và các mô hình lai ghép

Trong đó mô hình hàng đợi là

một mô hình đơn giản và tỏ ra

có hiệu quả trong thực tế Lý thuyết xếp hàng đã được nghiên cứu rộng rãi trên thế giới đầu thế kỉ 20 Có nhiều ứng dụng được cài đặt sử dụng lí thuyết này, có các thư viện mở được xây dựng để giải quyết các bài toán trên

mô hình hàng đợi một trong

số đó có thể kể đến là thư viện PDQ

Chương 1 Giới thiệu

1 Lịch sử hình thành hàng đợi

2 Chức năng và tầm quan trong

Lý thuyết hàng đợi

(Queueing theory) là một

chuyên ngành thú vị của xác suất Những bài báo đầu tiên viết về nó cách đây khoản vài chục năm nhưng ứng dụng của nó mang lại là rất lớn trong công nghệ thông tin, kinh tế…

Lý thuyết hàng đợi, nghiên cứu quá trình phục vụ Nó nghiên cứu những đặc trưng

và xác định các tính chất của

hệ thống được thiết lập bởi

các yêu cầu (của khách hàng)

Những yêu cầu, thời gian

phục vụ là những đại lượng

ngẫu nhiên Những hệ như

vậy thường là những mô hình

của các hệ thống thực tế, ví

dụ: mạng điện thoại, mạng

máy tính, hệ thống tính toán,

…

Thành phận quan trọng của

một hệ thống phục vụ:

+ Luồng các yêu cầu vào

+ Máy phục vụ

+ Phương pháp phục vụ

+ Hàng đợi

+ Luồng các yêu cầu ra

Mục đích nghiên cứu của

chuyên ngành:

+ Đánh giá tham số hệ thống

tự tế bằng phương pháp thống

kê

+ Tìm điều kiện dừng của hệ

thống

+ Tìm những đặc trưng cơ

bản của hệ thống: xác suất

được phục vụ, phân phối của

số các yêu cầu ở trong phục

vụ

+ Bài toán tối ưu của hệ

thống

Chương 2 Các khái niệm cơ bản

1 Định nghĩa về hàng đợi:

• Hàng đợi là hệ thống bao gồm các thành phần : khách hàng vào/ra hệ thống

(input/output), hệ thống phục vụ (server), hàng đợi(queue)

• Khách hàng vào hệ thống được đưa vào hàng đợi, đến lượt thì được phục vụ ở server, sau khi được phục vụ xong thì ra khỏi hệ thống Khi dùng hàng đợi ta hiểu là toàn bộ hệ thống xếp hàng bao gồm các yêu cầu đợi phục vụ và các yêu cầu đang được phục vụ

Ví dụ:

Các hệ thống điện

thoại: khi số lượng

lớn khách hàng quay

số để kết nối đến một

trong những đường ra

hữu hạn của tổng đài

Trong mạng máy tính:

khi mà gói tin được

chuyển từ nguồn tới

đích và đi qua một số

lượng các nút trung

gian Hệ thống hàng

đợi xuất hiện tại mỗi

nút ở quá trình lưu

tạm thông tin tại bộ

đệm

Hệ thống máy tính:

khi các công việc tính

toán và tuyến làm

việc của hệ thống yêu

cầu dịch vụ từ bộ xử

lý trung tâm và từ các

nguồn khác

Những tình huống này

được diễn tả bằng

hình vẽ sau:

Hình 2-1 Mô hình chung của hệ thống hàng đợi

Hình 2-2: Ví

dụ về mạng hàng đợi mở

Hình 2-3 Ví

dụ về mạng hàng đợi đóng

2 Các tham số đặc

trưng của hàng đợi

- Tính chất của

dòng khách

hàng đến hàng

đợi hay phân

bố xác suất

khoảng thời

gian giữa các

yêu cầu hàng

đợi

- Phân bố xác

suất khoảng

thời gian dịch

vụ cho mỗi

yêu cầu trong

hàng đợi

- Số các server

tại hàng đợi

- Dung lượng bộ

đệm hay dung

lượng lưu trữ

tại hàng đợi

- Tổng số các

yêu cầu hiện

đang có mặt tại

hàng đợi

- Các kiểu dịch

vụ

Theo kí pháp của Kendall một hệ thống xếp hàng được phân loại qua các kí hiệu của bộ

mô tả kendall tổng quát

có dạng α/δ/m/β/N/Q

α: phân bố xác suất của khoảng thời gian yêu cầu

để phục vụ các khách hàng trong hệ thống xếp hàng

δ: phân phối xác suất trong khoảng thời gian yêu cầu để phục vụ các khách hàng trong hệ thống xếp hàng

β: kích thước bộ đệm hoặc dung lượng lưu trữ tại hệ thống xếp hàng

N : số lượng khách hàng được phép chuyển qua

hệ thống

Q: phương thức phục vụ

3 Mô tả trạng thái cho hệ thống hàng đợi:

• Trạng thái của một

hệ thống hàng đợi

là một véc tơ biểu diễn số khách hàng

trong mỗi hàng đợi

của hệ thống tại mỗi

thời điểm cụ thể

Trạng thái hệ thống

hàng đợi cho phép

mô tả hàng đợi một

cách đầy đủ ở thời

điểm bất kì mà

không cần biết thêm

các đại lượng khác

như thời gian phục

vụ, thời gian giữa

hai lần đến liên tiếp

• Đối với hệ thống

xếp hàng ta thường

dùng mô hình

thống kê Markov để

tính toán , để mô tả

trạng thái hệ thống

ta tính Pn(t) là xác

suất để hệ thống có

véc tơ trạng thái n

tại thời điểm t

4 Các thông số hiệu

năng thường dùng

trong mô hình

mạng hàng đợi:

Ví dụ về hệ thống hàng đợi đơn giản

Hình 2-4 Hệ thống hàng đợi đơn giản

λ - tốc độ đến trung

bình , thời gian đến trung bình -1/λ

µ - tốc độ phục vụ

trung bình, thời gian phục vụ trung bình 1/µ

Với kích thước của

bộ đệm là vô hạn, quy tắc phục vụ là FCFS (đến trước phục vụ trước )

• Tốc độ đến của các khách hàng (λ) : λ

=T A

• trong đó A - số các khách hàng đến hệ

thống T-Thời gian

quan sát (hay thời

gian đó) Trong khi

A đếm số các yêu

cầu đến hàng đợi thì

λ biểu diễn tốc độ

mà các yêu cầu đó

đến Đơn vị đo của

tốc độ là : khách

hàng đơn vị thời

gian Ví dụ, nếu

một hệ điều hành

được cung cấp các

công cụ để mà đếm

số yêu cầu về phục

vụ một số tài

nguyên (CPU,

đĩa ) thì tổng số

lần đếm trong một

đơn vị thời gian

chính là tốc độ đến

(throughput) của hệ

thống xếp hàng hay

là tốc độ trung bình

các khách hàng

chuyển qua hệ

thống: X = T C

Trong đó C là số

các khách hàng

hoàn thành dịch vụ

Đại lượng này cũng

biểu thị tốc độ Do

nó là một đại lượng

có thể đo tốc độ hoàn thành dịch vụ một cách trực tiếp, giống như tốc độ đến Trong một số trường hợp ta sẽ thấy tốc độ đến hệ thống của các khách hàng λ sẽ bằng với thông lượng X

• Số khách hàng trung bình trong hệ thống xếp hàng :

Q = n = ∑∞

= 1

n np n

(khách hàng)

Độ đo này là trung bình trọng số của số các khách hàng trong hệ thống xếp hàng với các xác suất trạng thái được dùng như các trọng

số Các biểu diễn khác

Q =

T

τ

Trong đó, τ - tổng

thời gian thường trú

của tất cả khách

hàng đã hoàn thành

dịch vụ

• Thời gian đáp ứng

(R-Response time)

R =

C

τ

(giây)

trong đó, τ là tổng

thời gian thường trú

của tất cả các khách

hàng đã hoàn thành

dịch vụ

Cách biểu diễn

khác, thời gian đáp

ứng : R = W+S

(thời gian thường

trú bằng tổng thời

gian phục vụ và

thời gian mà khách

hàng đó phải đợi

trước khi được

phục vụ.

• Thời gian phục vụ

(S-service time)

được định nghĩa là :

S = C B

trong đó B - tổng thời gian hệ thống bận trong khoảng thời gian T Đại lượng này không phải là tốc độ mà nó biểu diễn tổng thời gian trung bình để hoàn thành phục vụ một yêu cầu đến

• Thời gian đợi (W-waiting time) thời

gian đợi của một khách hàng trước khi được phục vụ được xác định : W=SQ, trong đó Q

- số các khách hàng trung bình trong hàng đợi, S - tốc độ dịch vụ

• Độ hiệu dụng

(utilitization) hay là

xác suất để hệ thống xếp hàng là không rỗng và tất cả các server bận (trường hợp nhiều server):U

= 1 - p o

Cách định nghĩa khác : độ hiệu dạng trung bình U = T B :

Đại lượng này biểu diễn tổng thời gian trung bình mà server hay tài nguyên bị bận trong khoảng thời gian quan sát T Độ hiệu dụng không có đơn

vị mà thường được biểu diễn dưới dạng

%

• Xác suất để hệ

thống xếp hàng là rỗng po

• Xác suất để tất cả

các kênh phục vụ đều bận hay xác suất để 1 khách hàng bị từ chối là :

PN hay P[quetteing]

(trong đó N-kích thước hệ thống).

Chương III: Một số hàng

đợi cơ bản

Bất kỳ hệ thống xếp hàng

nào cũng được mô tả bởi :

Tiến trình đến

Nếu các khách hàng đến

vào các thời điểm t1, t2 … tjthì

các biến số ngẫu nhiên

Pj=tj-tj-1 được gọi là các thời điểm giữa các lần đến Các thời điểm này thường được giả thiết là các biến

số ngẫu nhiên độc lập và được phân bố đồng nhất IID (Independent and Identycally distributed) Các tiến trình đến thông dụng nhất là :

M: Tiến trình mũ (là tiến

trình Markov hay tiến trình không nhớ)

Er: Tiến trình Erlang bậc r Hr: Tiến trình siêu số mũ bậc r

D: Tiến trình tất định

(deterministic)

G: Tiến trình chung

Tiến trình phục vụ

Thời gian mà mỗi công việc tiêu tốn cần thiết tại server gọi là thời gian phục

vụ Các thời gian phục vụ thường giả thiết là các biến

số ngẫu nhiên IID Các tiến trình phục vụ thông dụng nhất cũng giống như thời gian đến

Số lượng các bộ server:

Số lượng các server phục

vụ cho hàng đợi

Dung lượng hệ thống

Kích thước bộ nhớ đệm

cực đại

Qui mô mật độ

Số lượng các công việc

đến tại hàng đợi Qui mô

mật độ luôn là hữu hạn

trong các hệ thống thực

Tuy nhiên phân tích hệ

thống với qui mô mật độ

lớn sẽ dễ dàng hơn nếu

giả thiết rằng qui mô mật

độ là vô hạn

Qui tắc phục vụ

Thứ tự mà theo đó các

công việc trong hàng xếp

được phục vụ Các qui tắc

phổ biến nhất là đến trước

phục vụ trước FCFS (First

Come First Served), đến

sau phục vụ trước LCFS

(Last Come First Served),

theo vòng tròn RR (Round

Robin), thời gian xử lý

ngắn nhất phục vụ trước

SPT (Shortest Procesing

Time First) và thời gian xử

lý ngắn nhất được đề cử

SRPT (Shortest Remaining Processing Time First)

1 hàng đợi Markov M/M/1.

Hình 2.2.Hàng đợi đơn giản

Hàng đợi đơn giản là hàng đợi chỉ có 1 server, với thời gian phục vụ cho mỗi khách hàng là như nhau, do đó, thời gian phục vụ trung bình S cố định Chiến lược của hàng đợi này là chiến lược FIFS

Hàng đợi M/M/1 có hai đặc trưng chủ yếu là :

- Tiến trình đến là tiến trình Poisson

- Hệ thống phục vụ ( Server) có thời gian dịch vụ cho mỗi khách hàng là biến ngẫu nhiên có phân bố mũ Sau đây ta sẽ khảo sát hai đặc trưng trên của hàng đợi này

Quá trình đến của khách

hàng là một tiến trình

Poisson

- Xác suất để 1 khách hàng

đến hệ thống trong khoảng

thời gian [t, t+∆t] là λ ∆ t

- Xác suất để không có khách

hàng nào đến hệ thống trong

khoảng thời gian [t, t+∆t] là

(1-λ ∆ t)

λ là tốc độ khách hàng đến

Sử dụng lí thuyết quá trình

Poisson ta có :

- Xác suất để có n khách hàng

đến hệ thống trong khoảng

thời gian t s là :

Pn(t)=

! x

e ) t ( λ x λ t

- Số khách hàng trung bình

đến hệ thống trong t(s) là :

t ) t ( nP n

0 n

= ∑∞

=

Thời gian phục vụ mỗi khách

hàng là biến ngẫu

nhiên tuân theo phân

bố mũ

Trong hệ thống xếp hàng

M/M/1 thì thời gian phục vụ

là các biến ngẫu nhiên tuân theo phân bố mũ nghĩa là:

- Xác suất để một dịch

vụ được hoàn thành trong khoảng thời gian [t, t+∆t] là

t

∆ µ

- Xác suất để không có một dịch vụ nào được hoàn thành trong khoảng thời gian

[t, t+∆t] là 1- µ ∆ t

Trong đó µ là tốc độ dịch vụ trung bình của server va 1/µ lf thời gian dịch vụ trung bình cho mỗi khách hàng của server Hệ thống serve phục

vụ như vậy là hệ thống không nhớ

2 Các hàng đợi nhiều trạm dịch vụ: M/M/m.

Trước hết, ta xét hàng đợi chỉ

có 2 server (hình 2.4)

Hình 2.4 Hàng đợi có 2 server

Với hàng đợi này, ta có thể làm giảm thời gian lưu trú của

khách hàng trong hệ thống

Ta có:

Q S

S

R= + 12 ρ

Công thức này xây dựng được

vì khi có 2 server cùng xử lý

một hàng đợi, thời gian phục

vụ của mỗi server giảm đi còn

một nửa Mặt khác, không

phải lúc nào 2 server cũng

bận, do đó có thể chưa cần

phục vụ xong khách hàng thứ

nhất (ví dụ ở server 1) ta đã

có thể phục vụ tiếp khách

hàng thứ 2 (ở server 2) nên

thời gian phục vụ thực tế phụ

thuộc vào xác suất bận của

server, tức là phụ thuộc vào

mức độ tận dụng hệ thống tại

một serverρ

Từ đây, ta có:

S

2

+

Suy ra: =1 − ρ 2

S

2

ρ

ρ

−

=

Q

Công thức này cũng được sử

dụng cho hệ thống đa server,

tuy nhiên, dạng của nó như

sau:

m

S

R

ρ

−

=

m Q

ρ

ρ

−

=

1 , với m là

số server của hệ

Thời gian đáp ứng chính xác

của các hệ thống đa server có

thể được tính bằng công thức











− +

=

) 1 (

) , ( 1

ρ

ρ

m

m C S

R , trong đó

) , (m S

C λ là xác suất mọi server đều bận và yêu cầu gửi đến sẽ được đặt vào hàng xếp

Thông thường, hàm này được

( )

!

) (

!

) ( 1

!

) ( )

,

m k

m m

m m

m

ρ ρ

ρ

ρ ρ

+

−

=

được gọi là hàm Erlang C Hàm Erlang B được định nghĩa cho hệ thống không có hàng đợi, tức là nếu khách hàng đến yêu cầu dịch vụ khi tất cả các server đều bận thì yêu cầu của họ sẽ bị huỷ Hàm này có dạng như sau:

∑−

0 !

) (

!

) ( ) ,

m

k m m

m m

B

ρ

ρ ρ

Các hàm này có khả năng tính toán khá dễ Do đó, nó cũng thường được sử dụng trong việc tính thời gian đáp ứng chính xác của hệ phân tán