Phương pháp giải bài toán cực trị và ứng dụng

Phần đầu của chương trình bày định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất của hàm số trên một tập, điều kiện đủ để tồn tại giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm một biến và các tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI

Mục lục

Mục lục i

Lời nói đầu iii

Lời cảm ơn iv

Bảng kí hiệu v

1 Cực trị hàm số 1 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1

1.2 Các phương pháp tìm cực trị 2

1.2.1 Áp dụng điều kiện cần, điều kiện đủ 2

1.2.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 9

1.3 Một số bài toán tổng quát và ứng dụng 11

1.3.1 Bài toán tổng quát 11

1.3.2 Bài tập tham khảo 14

2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 19 2.1 Các khái niệm cơ bản 19

2.1.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 19

2.1.2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một tập hợp 20 2.1.3 Một số tính chất của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 22

2.1.4 Một số định lý về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 24 2.2 Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 26 2.2.1 Phương pháp sử dụng đạo hàm 26

2.2.2 Phương pháp tập giá trị 31

2.2.3 Phương pháp lượng giác 37

2.2.4 Phương pháp hình học 44

2.2.5 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 51

2.2.6 Một số bài tập vận dụng 63

Kết luận 69

Tài liệu tham khảo 70

Lời nói đầu

Bài toán cực trị địa phương và cực trị tuyệt đối là những bài toánrất quan trọng trong giải tích toán học và có nhiều ứng dụng khác nhautrong toán học cũng như trong nhiều ngành khoa học khác như: Kinh

tế, Khoa học công nghệ, v.v

Để giải bài toán cực trị, có nhiều phương pháp khác nhau Mục đíchcủa luận văn là giới thiệu các phương pháp giải dạng toán này, cho bìnhluận về các phương pháp đó đồng thời đưa ra một số ứng dụng Nhữngứng dụng của bài toán cực trị có rất nhiều, nhưng vì giới hạn trongphương pháp toán sơ cấp và hạn chế trong một luận văn thạc sĩ nên bảnluận văn chỉ nêu ra một số ứng dụng cơ bản

Bản luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: Cực trị hàm số

Trình bày bài toán cực trị địa phương, đưa ra điều kiện cần, điều kiện

đủ để có cực trị Cho những ví dụ không thỏa mãn điều kiện đủ nhưngvẫn có cực trị Trình bày các phương pháp khác nhau để giải bài toáncực trị, tổng quát hóa một số bài toán về cực trị với mong muốn đưa racách giải nhanh gọn cho các bài toán dạng này

Chương 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Phần đầu của chương trình bày định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏnhất của hàm số trên một tập, điều kiện đủ để tồn tại giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm một biến và các tính chất của giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất Trong phạm vi chương trình phổ thông, hàm số nhiềubiến không được nghiên cứu Vì vậy để tìm giá trị lớn nhất, giá nhỏ nhấtcủa hàm nhiều biến, ta phải quy về bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trịnhỏ nhất của một tập hợp số Phần tiếp theo luận văn trình bày một

số phương pháp khác nhau để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trịnhỏ nhất trong đó dành nhiều thời gian cho phương pháp bất đẳng thức.Phần cuối chương là một số bài toán vận dụng phối hợp nhiều phươngpháp

Lời cảm ơn

Hoàn thành được luận văn này, ngoài sự nỗ lực của bản thân, tôi đãnhận được sự chỉ bảo, giúp đỡ từ nhiều phía của các thầy, cô giáo, giađình và bạn bè

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính mến PGS.TS.Nguyễn Đình Sang, người đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, quyết địnhhướng nghiên cứu và tận tình hướng dẫn cho tôi hoàn thành bản luậnvăn

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học,Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, nhữngngười đã trực tiếp giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tạitrường cùng toàn thể bạn bè và người thân đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ,động viên tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luậnvăn này

Ứng dụng của bài toán cực trị có rất nhiều, nhưng vì giới hạn trongphương pháp toán sơ cấp và hạn chế trong một luận văn thạc sĩ nên bảnluận văn mới chỉ trình bày được một phần nào đó Do thời gian có hạn

và năng lực có phần hạn chế nên chắc chắn luận văn không tránh khỏinhững thiếu sót Kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô

và bạn bè đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn chỉnh hơn

Xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2012

Học viên

Vũ Thị Hải Thanh

Chương 1

Cực trị hàm số

Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày khái niệm về cực trị hàm số.Điều kiện để có cực trị hàm số, đưa ra một số ví dụ minh họa điều kiệncần, điều kiện đủ cũng như giới thiệu các phương pháp tìm cực trị kèmtheo các ví dụ và bài tập

Định nghĩa 1.1 Cho khoảng (a; b) ⊂ R và hàm số f : (a; b) → R

Ta nói rằng, hàm f đạt cực đại địa phương(tương ứng cực tiểu địaphương) tại x0 ∈ (a; b) nếu: ∃δ sao cho (x0 − δ; x0 + δ) ⊂ (a; b) và

f (x0) ≥ f (x) (tương ứng f (x0) ≤ f (x)), với mọi x ∈ (x0 − δ; x0 + δ) và

f không phải là một hằng số trong một lân cận nào đó của x0

Điểm x0 mà tại đó hàm đạt cực đại địa phương hoặc cực tiểu địaphương được gọi chung là điểm cực trị của hàm số

Định lý 1.1 (Định lý Fermat - Điều kiện cần để hàm số có cực trị)Cho khoảng (a; b) ⊂ R và hàm số f : (a; b) → R

Nếu điểm c ∈ (a; b) là điểm cực trị của hàm số f và nếu tồn tại f0(c)thì f0(c) = 0

Điểm x0 mà tại đó f0(x0) = 0 hoặc đạo hàm không xác định được gọi

- Nếu f00(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0.

- Nếu f00(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0

1.2.1 Áp dụng điều kiện cần, điều kiện đủ

Dựa vào điều kiện cần, điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị, ta xâydựng các quy tắc tìm cực trị của hàm số f (x) liên tục trên khoảng (a; b)sau đây:

y0 = 0 ⇔ x = 1

3Lập bảng biến thiên của hàm y:

3

√ 4 3

0

+∞

0

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số đạt cực đại tại x = 13, giá trị cực đại của hàm số là y(13) = 3

√ 4

3 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu của hàm số là y(1) = 0.Chú ý: Khi qua điểm x = 0 đạo hàm y0 không đổi dấu nên hàm số đãcho không có cực trị tại điểm x = 0

Ví dụ 1.2 Tìm cực trị của hàm số:

y = −x2 + 2x + 3 Lời giải

x

y0y

Từ bảng biến thiên ta suy ra

Giá trị cực đại của hàm số y(1) = 4Giá trị cực tiểu của hàm số y(−1) = 0; y(3) = 0

Ví dụ 1.3 Tìm cực trị của hai hàm số sau:

f (x) =  xe− 1

x với x 6= 0

0 với x = 0g(x) =  e− 1

x2 với x 6= 0

0 với x = 0Lời giải

Từ bảng biến thiên suy ra, giá trị cực tiểu của hàm số là g(0) = 0.Nhận xét: Hai hàm f (x) và g(x) đều có đạo hàm không xác định tạiđiểm x = 0 Nhưng khi qua điểm x = 0: hàm g(x) có đạo hàm đổi dấunên g(x) mới có cực trị, còn hàm f (x) thì đạo hàm không đổi dấu nênkhông tồn tại cực trị.

−x, n ∈ N∗.Lời giải

Như vậy f0(x) đổi dấu trong khoảng (0;kπ1 )

Tuy vậy ta vẫn kết luận được giá trị cực đại của hàm f (x) là f (0) = 2.Nhận xét: Như vậy không phải hàm số nào cũng có đạo hàm khôngđổi dấu về một lân cận ở phía phải (hay phía trái) của điểm cực trị Hàm

số trong ví dụ (1.5) không thỏa mãn điều kiện đủ nhưng vẫn có cực trị.Các hàm sơ cấp thường không có tình trạng này

Quy tắc 2

- Tìm f0(x) ;

- Tìm các nghiệm xi, (i = 1, 2, 3, ) của phương trình f0(x) = 0;

- Tìm f00(x) và tính f00(xi) :

Nếu f00(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi

Nếu f00(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi

Ví dụ 1.6 Tìm cực trị của hàm số:

y = x − sin2x + 2Lời giải

Hàm số đã cho xác định trên R

Ta có y0 = 1 − 2 cos 2x;

y0 = 0 ⇔ x = ±π

6 + kπ (k ∈ Z)

• Vì y00 = (π6 + kπ) = 4 sin(π3 + k2π) > 0

Nên hàm số đạt cưc tiểu tại x = π6 + kπ và giá trị cực tiểu của hàm

số là y(π6 + kπ) = π6 −

√ 3

2 + 2 + kπ, k ∈ Z

Ví dụ 1.7 Tìm cực trị của hàm số:

y = e

x+ e−x2Lời giải

Hàm số đã cho xác định trên R

Ta có

y0 = e

x− e−x2

y0 = 0 ⇔ ex = e−x ⇔ x = 0Lại có

y00 = e

x+ e−x

2 ⇒ y00(0) = 1 > 0Như vậy y0(0) = 0; y00(0) > 0

Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là y(0) = 1

p

x2 − x + 1+px2 + x + 1 =

r(x + 1

2)

2 + 3

4+

r(x − 1

2)

2 + 3

4 ≥ 2

√3

2 > 1, ∀xNên y0 = 0 ⇔ x = 0

y00 = k(x2 + 1)√

x2 + 1

Do đó y0 và y00 xác định và liên tục với mọi x ∈ R

Xét các trường hợp:

• Nếu k = 0 thì y = −2x, nên hàm số không có cực tri

• Nếu k < 0 thì y00 < 0, ∀x ∈ R, nên hàm số hoặc không có cực trị, hoặcchỉ có cực đại

• Nếu k > 0 thì y00 > 0, ∀x ∈ R, nên hàm số đã cho có cực tiểu khi vàchỉ khi phương trình y0 = 0 có nghiệm

y0 = 0 ⇔ 2px2 + 1 = kx

⇔

(

kx ≥ 04(x2 + 1) = k2x2

Vậy k > 2 hàm số đã cho có cực tiểu

Nhận xét: Quy tắc 2 tìm cực trị hàm số được áp dụng trong trườnghợp hàm số chứa tham số hoặc khó xét dấu đạo hàm bậc nhất

1.2.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

Khi tìm cực trị của các hàm số không tính được đạo hàm hoặc tínhđược đạo hàm nhưng việc tìm nghiệm của phương trình y0 = 0 gặp nhiềukhó khăn, ta có thể sử dụng phương pháp bất đẳng thức để tìm cực trịcủa hàm số Nội dung của phương pháp như sau:

Cho hàm số y = f (x) xác định trên D

+ Nếu ta tìm được giá trị x0 mà f (x) ≥ f (x0), ∀x0 ∈ (x0− δ, x0+ δ)với (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ D, ∀δ > 0 và f không phải là hằng số trong mộtlân cận của x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0

+ Nếu ta tìm được giá trị x1 mà f (x) ≤ f (x1), ∀x1 ∈ (x1− δ, x1+ δ)với (x1 − δ, x1 + δ) ⊂ D, ∀δ > 0 và f không phải là hằng số trong mộtlân cận của x1 thì hàm số đạt cực đại tại x1

Sau đây ta sẽ xét một số ví dụ vận dụng phương pháp bất đẳng thức

để tìm cực trị hàm số

Ví dụ 1.11 Tìm cực trị của hàm số:

y =

√sin x −√4

cos x

Trong trường hợp này, nếu sử dụng phương pháp xét dấu đạo hàmthì sẽ phức tạp hơn rất nhiều Mặc dù đây là hàm lượng giác nhưng tacũng không vận dụng được quy tắc 2 cho ví dụ này, do đó ta cần vậndụng một phương pháp khác

Lời giải

Với mọi x thuộc tập xác định của hàm số, ta luôn có: 0 ≤ √sin x ≤ 1

−1 ≤ −√4

cos x ≤ 0Suy ra −1 ≤ y =√

sin x −√4

cos x ≤ 1Vậy hàm số đạt cực đại tại x = π2 + k2π, k ∈ Z, giá trị cực đại của hàm

Đây là một hàm số 2 biến, trong phạm vi chương trình phổ thông takhông sử dụng được hai quy tắc tìm cực trị trong trường hợp này Ví dụnày được giải bằng phương pháp bất đẳng thức như sau

Lời giải

Hàm số đã cho xác định trên R

Ta thấy  f (x; y) ≥ 0, ∀(x; y)

f (0; 0) = 0Suy ra f (x; y) ≥ f (0; 0), ∀(x; y)

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại một điểm duy nhất khi x = y = 0, và giátrị cực tiểu của hàm số là f (0; 0) = 0

Hàm số đã cho xác định với mọi x ≥ 0 Ta có

f (x) =

q(px3 + 1 + 1)2 +

q(px3 + 1 − 1)2

=

p

x3 + 1 + 1

... giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số ta s? ?dụng nhiều phương pháp Trong thực tế, bắt gặp nhữngbài tốn giải phương pháp, có nhữngbài tốn giải nhiều phương pháp hay toán cầnphối hợp nhiều phương pháp. .. pháp giải được.Điều nói lên tính

đa dạng, phong phú phương pháp giải tốn nói chung phươngpháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nói riêng Vì vậy, việc nắmvững phương pháp giúp người làm toán. .. cho có cực tiểu

Nhận xét: Quy tắc tìm cực trị hàm số áp dụng trườnghợp hàm số chứa tham số khó xét dấu đạo hàm bậc

1.2.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

Khi tìm cực trị hàm