Rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá trong dạy học nội dung phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức ở trường trung học cơ sở

Lịch sử nghiên cứu Có nhiều công trình nghiên cứu về các kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá, tuy nhiên qua tìm hiểu chúng tôi chưa thấy có công trình khoa học nào xây dựng các phương

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRỊNH THỊ QUYÊN

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH, TỔNG HỢP, ĐÁNH GIÁ TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG

“PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC” Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Chuyên ngành: LÍ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 10

HÀ NỘI – 2010

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRỊNH THỊ QUYÊN

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH, TỔNG HỢP, ĐÁNH GIÁ TRONG DẠY HỌC NỘI DUNG

“PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT ĐẲNG THỨC” Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 10

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Vũ Lương

HÀ NỘI – 2010

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên trong luận văn này, tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo trường Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội cùng các thầy cô giáo tham gia giảng dạy tại trường đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu

Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn

Vũ Lương - người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo tác giả trong

quá trình nghiên cứu, thực hiện đề tài

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô trường THCS Nam Trung Yên, gia đình và bạn bè đã quan tâm giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này

Mặc dù có nhiều cố gắng, tuy nhiên luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong được lượng thứ và rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn

Hà Nội, tháng 12 năm 2010

Tác giả

Trịnh Thị Quyên

M ỤC L ỤC

Trang

MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài 1

2 Lịch sử nghiên cứu 2

3 Mục tiêu nghiên cứu 2

4 Phạm vi nghiên cứu 3

5 Mẫu khảo sát 3

6.Vấn đề nghiên cứu 3

7 Giả thuyết nghiên cứu 3

8 Phương pháp nghiên cứu 3

9 Kết quả đóng góp của luận văn 4

10 Cấu trúc luận văn 4

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 6

1.1 Khái quát về tư duy toán học 6

1.1.1.Tư duy là gì? 6

1.1.2 Đặc điểm của tư duy 6

1.1.3 Tư duy toán học 8

1.2 Kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá 8

1.2.1 Kĩ năng 8

1.2.1 Kỹ năng phân tích 10

1.2.3 Kĩ năng tổng hợp 11

1.2.4 Kỹ năng đánh giá 12

1.2.5 Mối quan hệ giữa kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá trong dạy học toán 14

1.3 Những căn cứ để rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá trong dạy học nội dung “phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức” ở trường trung học cơ sở 20

1.3.1 Dạy tư duy 20 1.3.2 Nội dung chủ đề PT, HPT, BĐT ở THCS với vấn đề rèn luyện

Kết luận chương 1 22

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HÀNH GIẢNG DẠY VÀ VẬN DỤNG THIẾT KẾ BÀI GIẢNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH, TỔNG HỢP, ĐÁNH GIÁ CHO HS TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PT, HPT, BĐT Ở TRƯỜNG THCS 24

2.1 Rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp 24

2.1.1.Rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp qua từng bài tập 24

2.1.2 Phân tích, tổng hợp qua từng lớp bài tập 32 2.2 Rèn luyện kĩ năng đánh giá 37

2.2.1 Rèn luyện cách đánh giá lời giải bài toán 37

2.2.2 Rèn luyện kĩ năng đánh giá các giải pháp 39

2.2.3 Rèn luyện kĩ năng đánh giá qua phát hiện và khắc phục sai lầm khi giải toán 41

2.3 Kết luận 46

2.4 Thiết kế một số giáo án dạy học nội dung PT, HPT, BĐT ở trường THCS theo hướng rèn luyện các kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá 47

Chương 3: THỰC NGHỆM SƯ PHẠM 109

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 109

3.1.1 Mục đích 109

3.1.2 Nhiệm vụ của thực nghiệm 109

3.2 Nội dung thực nghiệm 109

3.3.Tổ chức thực nghiệm 110

3.3.1 Kế hoạch và đối tượng thực nghiệm 110

3.3.2 Phương pháp và tiến trình thực nghiệm 111

3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm 116

3.4.1 Cơ sở để đánh giá kết quả thực nghiệm 116

3.4.2 Phân tích kết quả thực nghiệm 117

3.5 Kết luận chung về thực nghiệm 120

KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 123

1 Kết luận 123

2 Khuyến nghị 124

TÀI LIỆU THAM KHẢO 125 PHỤ LỤC

MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài

Trong xã hội hiện đại, dạy phương pháp học trong đó cốt lõi là phương pháp tự học là một trong những mục tiêu dạy học ở tất cả các nước trên thế giới Quá trình đổi mới phương pháp dạy học cũng đòi hỏi phải quan tâm hơn nữa đến việc dạy cách học, cách tư duy, dạy cho HS có phương pháp tư duy tốt để các em có thể tiếp tục tự học suốt đời Để tự học môn toán đòi hỏi người học phải có những kĩ năng cần thiết như đào sâu suy nghĩ, khai thác bài toán, đặc biệt hóa, tổng quát hóa bài toán, kĩ năng tự tổng kết các vấn đề…hay nói cách khác đòi hỏi người học cần có kĩ năng tư duy phân tích, tổng hợp, đánh giá Trang bị cho HS các kĩ năng đó cũng góp phần làm cho việc học ở nhà của HS đạt hiệu quả, nâng cao chất lượng giáo dục

Thực tế cho thấy nhiều nội dung thi HS giỏi toán quốc tế thuộc chương trình toán ở THCS trong đó nội dung: bất đẳng thức, phương trình, hệ phương trình chiếm vị trí quan trọng Đó cũng là nội dung then chốt trong các đề thi vào 10, đặc biệt đề thi vào các trường THPT chuyên Hầu hết các dạng toán nâng cao ở các nội dung đó đều giàu tính thách thức và đó cũng chính là các

cơ hội tốt để HS rèn luyện các kĩ năng tư duy: phân tích, tổng hợp, đánh giá

Với đối tượng HS cấp THCS, khối lượng kiến thức toán học được tiếp cận còn ít nên khoảng cách chênh lệch về kiến thức giữa HS giỏi và HS kém chưa nhiều Việc rèn cho HS đại trà các kĩ năng tư duy phân tích, tổng hợp, đánh giá là cần thiết và hoàn toàn có thể thực hiện được

Mặc dù đã có nhiều công trình đề cập đến rèn luyện các kĩ năng tư duy,

nhưng việc chỉ ra cách thức tổ chức hoạt động thực hành giảng dạy như thế nào để rèn các kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá khi dạy học nội dung

cụ thể còn ít được đề cập đến Với đối tượng HS THCS, việc rèn các kĩ năng trên thường ít được quan tâm đúng mức Chính vì vậy tác giả bản luận văn

tìm cách xây dựng các phương pháp thực hành giảng dạy nội dung phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức, để rèn luyện các kĩ năng tư duy này cho các HS còn nhỏ tuổi Phải khẳng định rằng mọi hoạt động giảng dạy theo hướng rèn các kĩ năng tư duy phân tích, tổng hợp, đánh giá cho HS THCS là hiệu quả nhưng nhiều hay ít phụ thuộc vào phương pháp, hình thức tổ chức giảng dạy và trình độ, nghệ thuật giảng dạy của giáo viên Sự trưởng thành, thành công của nhiều thế hệ HS giỏi được rèn luyện, đào tạo từ rất sớm ở Việt Nam chính là cơ sở vững chắc cho công việc này

Vì các lí do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của bản luận văn

là: “Rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá trong dạy học nội dung “ phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức” ở trường trung học

cơ sở ”

2 Lịch sử nghiên cứu

Có nhiều công trình nghiên cứu về các kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá, tuy nhiên qua tìm hiểu chúng tôi chưa thấy có công trình khoa học nào xây dựng các phương pháp thực hành giảng dạy nội dung phương trình,

hệ phương trình, bất đẳng thức để rèn luyện các kĩ năng tư duy phân tích, tổng hợp, đánh giá cho đối tượng học sinh THCS

3 Mục tiêu nghiên cứu

Trong luận văn này tác giả đưa ra các mục tiêu sau :

- Nghiên cứu cơ sở lí luận về tư duy toán học, các kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá trong tư duy Nghiên cứu cơ sở lý luận về rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá của người học

- Đề xuất một số biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy nội dung phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức theo hướng rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá cho HS trung học cơ sở

- Thiết kế một số bài giảng về nội dung phương trình, hệ phương trình,

- Thực nghiệm sư phạm nhằm bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất

4 Phạm vi nghiên cứu

- Rèn luyện cho học sinh THCS kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá trong dạy học nội dung phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức

- Đưa ra các số liệu khảo sát, thực nghiệm được thực hiện đối với một

số lớp và GV giảng dạy môn Toán trường THCS Nam Trung Yên, quận Cầu Giấy, Hà Nội

5 Mẫu khảo sát

- HS khối 9 trường THCS Nam Trung Yên, quận Cầu Giấy, Hà Nội

6.Vấn đề nghiên cứu

- Xây dựng, tổ chức các hoạt động thực hành giảng dạy nội dung

phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức ở trường THCS như thế nào để rèn luyện cho HS các kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá?

7 Giả thuyết nghiên cứu

- Nếu đề xuất và xây dựng được những biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy thích hợp khi dạy học nội dung phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức

ở trường THCS thì sẽ rèn luyện các kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá cho

HS, từ đó góp phần nâng cao chất lượng khi dạy học nội dung này

8 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn chúng tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

8.1 Phương pháp nghiên cứu dựa trên tài liệu

- Nghiên cứu lý thuyết đã có về kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá qua các tài liệu trong và ngoài nước liên quan đến đề tài

- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến nội dung phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức ở trường THCS, chương trình sách giáo khoa, sách tham khảo, mục tiêu dạy học, phương pháp dạy học phục vụ chuyên môn giảng dạy nội dung trên

8.2 Phương pháp điều tra, quan sát

- Dự giờ trao đổi với các đồng nghiệp cùng chuyên môn trong trường

- Quan sát những hoạt động của GV và HS trong một số giờ dạy để rút ra những nhận xét về việc rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá trong dạy học nội dung phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức ở trường THCS

- Điều tra hoạt động dạy của GV, hoạt động học của HS bằng trao đổi, hỏi, phỏng vấn nhằm đánh giá hiệu quả việc vận dụng các biện pháp đã nghiên cứu trong đề tài, tìm hướng khắc phục, kịp thời hỗ trợ cho việc đánh giá kết quả thực nghiệm

8.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Dạy thực nghiệm tại một số lớp khối 9 ở trường THCS Nam Trung Yên, quận Cầu Giấy, Hà Nội

8.4 Phương pháp thống kê toán học

Xử lí các số liệu sau khi điều tra

9 Kết quả đóng góp của luận văn

- Hệ thống hoá các vấn đề lý luận có liên quan đến tư duy, rèn các kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá

- Đề xuất, xây dựng một số biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá trong dạy học môn Toán nói chung và dạy nội dung phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức ở trường THCS nói riêng

- Thiết kế một số bài giảng thuộc nội dung phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức vận dụng các biện pháp trên

10 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được trình bày trong 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận

Chương 2: Một số biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy và vận dụng

thiết kế bài giảng rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá cho HS trong dạy học chủ đề phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức ở trường THCS

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.3 Khái quát về tư duy toán học

1.1.1.Tư duy là gì?

Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính chất qui luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan [20, tr.1]

Theo từ điển Tiếng Việt [14], tư duy: “ Giai đoạn cao của quá trình nhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính qui luật của sự vật bằng những hình thức như biểu tượng, phán đoán, suy lý”

Ở mức độ nhận thức cảm tính, con người chỉ phản ánh các thuộc tính

cụ thể, trực quan, bề ngoài Nảy sinh trên cơ sở cảm tính và vượt xa giới hạn nhận thức cảm tính, tư duy là quá trình tâm lý nhờ đó con người phản ánh được các đối tượng, các hiện tượng của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng, vạch ra được những mối liên hệ khác nhau trong mỗi đối tượng, hiện tượng và giữa các đối tượng, hiện tượng với nhau.[6]

1.1.2 Đặc điểm của tư duy

Nhiều nhà tâm lý học đã chỉ ra tư duy có một số đặc điểm chính sau: + Tư duy có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ : “Tư duy chỉ tồn tại dưới cái vỏ ngôn ngữ” [6, tr.94] Hay nói cách khác ngôn ngữ được xem như là phương tiện của tư duy Tư duy mang tính gián tiếp, nó được phản ánh bằng ngôn ngữ

+ Tư duy mang tính khái quát: Phản ánh những thuộc tính chung, những mối quan hệ có tính qui luật của hàng loạt sự vật, hiện tượng Tư duy mang tính trừu tượng

+ Tư duy có quan hệ chặt chẽ với nhận thức cảm tính Tư duy thường được bắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có vấn đề Trong quá trình diễn biến của tư duy, nhất thiết

phải sử dụng nguồn tài liệu phong phú do nhận thức cảm tính đem lại Dù cho

tư duy có khái quát và trừu tượng thế nào thì trong nội dung của tư duy cũng chứa đựng những thành phần cảm tính Và ngược lại, tư duy và những kết quả của nó chi phối khả năng phản ánh của cảm giác, tri giác, làm cho khả năng cảm giác của con người tinh vi, nhạy bén hơn, làm cho tri giác của con người mang tính lựa chọn, tính ý nghĩa

+ Tư duy luôn luôn hướng vào việc giải quyết một nhiệm vụ nào đó

Tư duy chỉ nảy sinh khi có vấn đề, có nhiệm vụ nhận thức, đặc điểm này được gọi là tính “có vấn đề” của tư duy Tính có vấn đề của tư duy được tính đến trong quá trình dạy học, thầy giáo đặt HS trước một nhiệm vụ nhận thức (câu hỏi, bài toán…) HS phải đi tìm cách giải quyết nhiệm vụ ấy, đi tìm cái giống

nhau, cái khác nhau, khái quát các sự kiện và tự mình rút ra các kết luận Vai trò của bài toán mà người thầy đưa ra đặc biệt được coi trọng, nó được xem như một lực thúc đẩy tư duy HS tích cực học tập, do đó để dạy tư duy cho HS, người thầy cần chọn lựa được hệ thống bài tập phù hợp

Theo [6, tr.103], trong quá trình giải toán, kiến thức và tư duy có mối quan hệ tương hỗ với nhau Những kiến thức tham gia vào quá trình tư duy có thể được chia làm hai loại: Thứ nhất là những kiến thức mà người giải toán thu nhận trực tiếp từ điều kiện của bài toán khi đọc kĩ đề bài; Thứ hai là những kiến thức về định nghĩa, định lí, định luật toán học mà người giải toán

đã thu thập được từ trước để thiết lập mối quan hệ lôgic giữa điều kiện và kết luận của bài toán Quá trình tư duy trong giải toán có tiến triển được hay không là tuỳ thuộc ở chỗ hai loại kiến thức trên có thiết lập được mối liên hệ qua lại hay không Những mối liên hệ qua lại này được thực hiện thông qua những hành động trí tuệ với những kiến thức loại thứ nhất Sự phát triển của các năng lực tư duy đòi hỏi phát triển cả mặt nội dung của tư duy (các kiến thức) lẫn mặt hành động của tư duy (các hành động trí tuệ)

1.1.3 Tư duy toán học

Tư duy toán học được nảy sinh trong quá trình học tập, nghiên cứu với những đối tượng và quan hệ toán học Tư duy toán học bao gồm các thao tác

tư duy như: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, qui nạp, suy đoán…trong đó phân tích, tổng hợp là các thao tác tư duy cơ bản

1.4 Kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá

1.2.1 Kĩ năng

1.4.1 1 Khái niệm kĩ năng

Theo định nghĩa trong từ điển Tiếng Việt [14] : “Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong lĩnh vực nào đó vào thực tế”

Có những quan niệm khác nhau của các tác giả trong và ngoài nước khi xem xét khái niệm kĩ năng A.Petrovaxki coi kĩ năng là cách thức thực hiện hành động phù hợp với mục đích và điều kiện của hành động mà con người nắm vững [15] Như vậy với quan niệm này tác giả xem xét kĩ năng nghiêng

về mặt kĩ năng của hành động Trong giáo trình Tâm lí học đại cương [22], Nguyễn Quang Uẩn cho rằng kĩ năng là năng lực thực hiện có kết quả với chất lượng cần thiết và thời gian tương ứng không những trong điều kiện quen thuộc nhất định mà còn trong những điều kiện mới Quan điểm này không chỉ coi kĩ năng là kĩ thuật hành động mà còn là năng lực, biểu hiện của năng lực con người, đòi hỏi con người phải luyện tập theo một qui trình xác định mới hình thành được các kĩ năng

Từ điển giáo dục học [5] chia kĩ năng thành hai bậc Kĩ năng bậc I là khả năng thực hiện đúng hành động, hoạt động phù hợp với những mục tiêu

và điều kiện cụ thể tiến hành cho hoạt động ấy, cho dù đó là hành động cụ thể hay hành động trí tuệ Kĩ năng bậc II là khả năng thực hiện hành động, hoạt động một cách thành thạo, linh hoạt, sáng tạo phù hợp với những mục tiêu trong các điều kiện khác nhau

Như vậy dù phát biểu dưới góc độ nào, các tác giả đều thống nhất rằng

kĩ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương

pháp…) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra Kĩ năng vừa thể hiện kĩ thuật hành động vừa thể hiện năng lực của con người trong hoạt động nhận thức, hoạt

động xã hội

1.2.1.2 Sự hình thành kĩ năng

Sự hình thành kĩ năng đó là một quá trình nắm vững cả một hệ thống phức tạp các thao tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và tiếp thu được từ các đối tượng, qua một quá trình đối chiếu và xác lập thông tin với các hành động

Kĩ năng được hình thành bằng con đường luyện tập, tạo khả năng cho con người thực hiện các hoạt động không chỉ trong các điều kiện quen thuộc

mà cả trong những điều kiện thay đổi Thông qua quá trình tư duy để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, kĩ năng được hình thành Khi tiến hành tư duy trên các sự vật thì chủ thể thường phải biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra những khía cạnh và những thuộc tính mới Tất cả những điều này được ghi lại trong tri thức của chủ thể tư duy và biểu hiện bằng ngôn ngữ

Hoạt động tư duy của HS được thể hiện ở các thao tác tư duy : phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, qui nạp, diễn dịch…Mỗi bước thực hiện các thao tác tư duy mà nhờ việc khám phá ra những khía cạnh mới của đối tượng đã thúc đẩy tư duy tiến lên, đồng thời quyết định bước tiếp theo của tư duy

Kĩ năng bậc thấp được hình thành đầu tiên qua các hoạt động giản đơn Khi kĩ năng đạt tới thành thạo, khéo léo thì trở thành kĩ xảo, và khi có tri thức kết hợp với kĩ xảo thì sẽ nảy sinh kĩ năng bậc cao

Quá trình hình thành kĩ năng được chia thành 5 giai đoạn:

+ Giai đoạn 1: Kĩ năng sơ đẳng, ý thức được mục đích hành động, biết được cách thức thực hiện hành động dựa trên vốn hiểu biết đã có Giai đoạn này được đánh giá là kĩ năng bậc thấp

+ Giai đoạn 2: Biết cách làm nhưng chưa thành thạo Có thể hiểu biết

về phương thức hành động, sử dụng được những kĩ xảo đã có

+ Giai đoạn 3: Có hàng loạt kĩ năng nhưng còn mang tính riêng lẻ , chưa kết hợp được với nhau

+ Giai đoạn 4: Có kĩ năng phát triển cao, có sự phối hợp và sử dụng sáng tạo vốn hiểu biết và các kĩ xảo đã có Biết lựa chọn kĩ năng phù hợp với mục đích

+ Giai đoạn 5: Có tay nghề cao, sử dụng thành thạo, sáng tạo các khả năng khác nhau

Một kĩ năng chỉ biểu hiện thông qua một nội dung, tác động của kĩ năng lên nội dung ta đạt được mục tiêu Yêu cầu cơ bản của hoạt động giáo dục, dạy học, chính là làm cho HS nắm được kĩ năng bậc cao trong từng hoạt động cụ thể mà chương trình đề ra

1.4.2 Kỹ năng phân tích

“Phân tích là chia cái toàn thể ra từng phần, là phân cái toàn thể ra từng

bộ phận, là chia nhỏ, là tách ra hoặc trừu xuất hoá đi một mặt nào đó những dấu hiệu và những phần riêng lẻ nào đó” [6, tr.109]

Theo J Mason, phân tích là một quá trình nhằm tách các bộ phận của những sự vật hiện tượng của hiện thực với các dấu hiệu và thuộc tính của chúng, cũng như các mối liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất định Quá trình đó nhằm mục tiêu nghiên cứu chúng đầy đủ hơn, sâu sắc hơn

từ đó nhận thức trọn vẹn các sự vật, hiện tượng Hay nói cách khác phân tích

là thao tác chia nhỏ sự vật hay hiện tượng thành các phần, các tính chất, các dấu hiệu, các yếu tố thuộc tính của chúng cũng như các mối liên hệ và quan

Biểu hiện của kĩ năng phân tích đó là khả năng vận dụng thành thạo, sáng tạo, có mục đích các thao tác phân chia sự vật, hiện tượng, từ đó nhận biết các xu hướng, nhận biết cấu trúc, nhận ra những ẩn ý và nhận biết được các bộ phận cấu thành của sự vật, hiện tượng

Học toán ở trường phổ thông chính là hoạt động toán học, trong đó hình thức hoạt động chủ yếu của HS là giải bài tập Giải bài tập toán được coi là một mắt xích của quá trình giảng dạy toán học Kĩ năng phân tích trong giải

bài tập toán thể hiện ở hai hoạt động phân tích chủ yếu là: phân tích theo từng

bài tập và phân tích theo từng lớp bài tập

Theo G.Polya, khi giải một bài toán, việc phân tích bài toán đó thể hiện ở khả năng tách ra những yếu tố chính của bài toán để từ đó nghiên cứu từng yếu tố chính, thiết lập quan hệ có thể có được giữa một chi tiết và những chi tiết khác, giữa mỗi một chi tiết với toàn bài toán [18] Làm được như vậy có thể vạch ra những chi tiết của bài toán mà sau này đóng một vai trò nhất định trong việc tìm ra lời giải Kĩ năng phân tích khi giải toán cũng thể hiện ở khả năng tách một bài toán thành các bài toán nhỏ (hay chia thành các trường hợp nhỏ) đã biết cách giải để từ đó giải được bài toán ban đầu

Sau khi đã tìm được lời giải một bài toán, việc rất quan trọng cần rèn cho

HS là nhìn lại cách giải đã tìm ra, khảo sát và phân tích lại kết quả, con đường

đã đi Việc làm đó giúp HS củng cố kiến thức và phát triển khả năng giải các bài toán

Với từng lớp bài tập, mục tiêu phân tích đòi hỏi người học phải biết phân loại các dạng bài tập, xây dựng các phương pháp giải từ cụ thể đến hướng chung

1.2.3 Kĩ năng tổng hợp

“Tổng hợp là kết các thành phần riêng lẻ lại, là khái quát hoá các dấu hiệu, là tạo lập một cái toàn vẹn”.[6]

Tổng hợp là thao tác kết hợp các bộ phận, các thuộc tính và mối quan

hệ của đối tượng thành tổng thể, là thao tác liên kết những yếu tố có liên hệ với nhau thành một khối thống nhất Tổng hợp là hoạt động nhận thức sự vật trong mối quan hệ qua lại giữa các yếu tố cấu thành của nó

Biểu hiện của kĩ năng tổng hợp là khả năng sử dụng những kiến thức đã học để tạo ra những cái mới Khái quát hoá những dữ kiện đã biết, liên hệ những điều đã học từ nhiều lĩnh vực khác nhau, khả năng dự đoán, rút ra kết luận

Kĩ năng tổng hợp có thể cụ thể hoá bằng khả năng : kết hợp nhiều yếu tố riêng thành một tổng thể hoàn chỉnh, khái quát hoá những vấn đề riêng lẻ, cụ thể, phát hiện các mô hình mới đối xứng, biến đổi hoặc mở rộng từ mô hình

đã biết ban đầu

Kĩ năng tổng hợp là một trong những kĩ năng thuộc nhóm kĩ năng về tư duy Trong giải toán, kĩ năng tổng hợp thể hiện ở :

+ Khả năng liên kết các dữ kiện trong bài toán, tóm tắt đựơc nội dung bài toán, kết cấu lại đề toán, định hướng được tiến trình giải toán

+ Khả năng đưa ra một kế hoạch hay phát triển một qui tắc giải toán + Khả năng trìu tượng hoá, tổng quát hoá bài toán

+ Khả năng vận dụng các kiến thức đã học, tổng kết các phương pháp giải khác nhau cho cùng một bài tập

+ Khả năng nhận dạng bài tập và thuật giải, từ đó viết được các bài tập tổng kết của một chương dựa trên các kiến thức đã học

1.2.4 Kỹ năng đánh giá

Đánh giá là khả năng xác định giá trị của tài liệu, bình xét, nhận định, xác định được giá trị của một tư tưởng, một phương pháp, một nội dung kiến thức mới

Các hành vi của kĩ năng đánh giá biểu hiện bằng các hoạt động tương ứng như:

+ Sẵn sàng xem xét các ý tưởng, các giải pháp khác nhau và cân nhắc chúng một cách thận trọng Có khả năng tìm kiếm những bằng chứng để ủng

hộ các ý tưởng, các giải pháp

+ Sẵn sàng tranh luận, đánh giá các quan điểm Có khả năng xác định được các tiêu chí đánh giá khác nhau và vận dụng chúng để đánh giá các ý tưởng, các giải pháp

+ Biết tóm tắt các ý tưởng và giải thích chúng một cách hiệu quả

+ Có khả năng phát hiện và loại bỏ những thông tin sai lệch

Từ việc nghiên cứu về tư duy, tư duy toán học, tham khảo tài liệu, kết quả nghiên cứu của một số tác giả đã nghiên cứu về tư duy phê phán, chúng tôi thấy rằng kĩ năng đánh giá của HS trong môn Toán thể hiện qua một số dấu hiệu:

+ Sẵn sàng xem xét các ý kiến khác nhau, các lời giải khác nhau của một bài toán Có khả năng xác định được các tiêu chí đánh giá khác nhau, và vận dụng chúng để đánh giá các ý tưởng, các lời giải, các phương pháp Sẵn sàng tranh luận để tìm ra cách giải quyết tốt nhất Cụ thể với bài toán có nhiều lời giải khác nhau, kĩ năng đánh giá thể hiện ở khả năng phân tích từng giải pháp , nhận xét được ưu điểm và nhược điểm của từng giải pháp, đưa ra nhận xét lời giải nào đơn giản, ngắn gọn, lời giải nào độc đáo, sáng tạo, lời giải nào có phạm vi áp dụng cao… và nên lựa chọn cách giải nào trong những tình huống

cụ thể, có lợi theo những tiêu chí đặt ra

+ Có khả năng đưa ra những kết luận và những cách giải quyết tốt phù hợp với kiến thức đã học, và những tiêu chí đã đưa ra (đánh giá lời giải của bạn, của mình, dựa vào đáp án, hướng dẫn) Khi đứng trước lời giải bài toán trong phạm vi kiến thức đã học, HS phải có khả năng đưa ra ý kiến cá nhân của mình nhận xét tính đúng sai của lời giải, công nhận hoặc bác bỏ đáp số bằng cách phân tích các bước giải

+ Có khả năng phát hiện những thiếu sót, sai lầm trong lập luận và khả

năng sửa chữa những sai lầm

Sự phân chia các dấu hiệu trên chỉ mang tính tương đối Các dấu hiệu

có liên quan chặt chẽ với nhau và có sự giao thoa

1.2.5 Mối quan hệ giữa kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá trong dạy học toán

Khi giải toán, quá trình phân tích các dữ kiện đã cho, phân tích các yêu cầu của bài toán, tìm mối liên hệ giữa giả thiết với những kiến thức đã biết, đòi hỏi phải có suy xét, cân nhắc, tổng hợp các kiến thức đã học Việc lựa chọn giải pháp nào để đưa ra lời giải của bài toán lại đòi hỏi phải có kĩ năng đánh giá Phân tích lời giải của các bài toán cùng loại từ đó đưa ra phương pháp giải của một dạng toán đòi hỏi phải có kĩ năng tổng hợp Xuất phát từ đề

và lời giải bài toán gốc, mở rộng bài toán, tổng quát hoá bài toán, sáng tạo bài toán mới đòi hỏi kết hợp cả kĩ năng phân tích, tổng hợp và đánh giá Trong quá trình tư duy, phân tích và tổng hợp tốt là cơ sở cho kĩ năng đánh giá, và ngược lại, kĩ năng đánh giá tốt sẽ định hướng cho phân tích và tổng hợp Như vậy phân tích, tổng hợp, đánh giá luôn gắn bó với nhau, đan xen nhau, thẩm thấu nhau trong quá trình tư duy

Trong dạy học toán, các kĩ năng phân tích, tổng hợp và đánh giá luôn

có cơ hội được rèn luyện Dù dạy một đơn vị kiến thức hay chỉ qua hướng dẫn

HS giải một bài tập, nếu GV biết khai thác và tổ chức các hoạt động hợp lí đều có thể rèn luyện cả ba kĩ năng này cho HS Ta xét một số ví dụ minh hoạ sau đây:

GV hướng dẫn HS giải bài toán 1.1 sau khi HS đã học những kiến thức

cơ bản về HPT: HPT tương đương; một số phép biến đổi tương đương HPT

Bài toán 1.1 Giải hệ    



 



2 2 3

2x x y (2)

*GV dành thời gian cho HS suy nghĩ tìm đường lối giải; đặt câu hỏi gợi

ý ở những thời điểm cần thiết, hướng dẫn HS phân tích đề bài, tổng hợp các kiến thức đã học về HPT, từ đó HS có thể:

+ Xác định được mục tiêu chung: để giải hệ, cần biến đổi HPT đã cho thành HPT mới tương đương đơn giản hơn, (thông thường HPT mới có một

PT chỉ còn một ẩn ) Để đạt được mục tiêu đó cần biến đổi, tìm kiếm mối liên

hệ đơn giản giữa x và y

+ Phát hiện được đặc điểm của HPT : Nếu nhân vế trái của PT(1) với

vế phải của PT(2) ta thu được hằng đẳng thức chứa x3, y3, từ đó ta thu được

PT hệ quả biểu thị mối liên hệ đơn giản giữa x và y

Kết quả của quá trình phân tích đó gợi ý HS tìm đường lối giải bài toán: Viết PT(2) thành 2x3 = (x + y ).1; sử dụng PT(1) để biến đổi PT(2) 2x3 = (x + y )(x2 + y2 - xy )

Đến đây công việc trở nên đơn giản

Như vậy quá trình tổ chức các hoạt động giúp HS định hướng tìm ra đường lối giải quyết bài toán cũng chính là quá trình rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp

*Sau khi đã có lời giải, GV yêu cầu HS “ nhìn lại lời giải”, trả lời các câu hỏi: +Điểm mấu chốt của cách giải này là gì?

+Cơ sở để thực hiện được cách giải đó là gì?

+Dấu hiệu để thực hiện được cách giải (ý tưởng) đó?

Trả lời các câu hỏi đó đòi hỏi HS phải phân tích, tóm tắt ý tưởng của lời giải để đưa ra nhận xét: điểm mấu chốt của lời giải đó là tạo dựng được hằng đẳng thức từ các PT của hệ để thiết lập PT thay thế Áp dụng được cách

giải này dựa vào dấu hiệu về đặc điểm của các PT trong hệ có thể biến đổi tạo dựng được PT hệ quả có dạng các hằng đẳng thức, từ đó thiết lập được PT thay thế đơn giản hơn

Quá trình HS tóm tắt ý tưởng, phân tích lời giải, đưa ra nhận xét đồng nghĩa với HS được rèn kĩ năng đánh giá Đánh giá đó giúp HS mở rộng cách giải cho những bài tập cùng loại và từ đó tổng quát hoá thành phương pháp chung giải cho các bài cùng dạng:

Bước 1: Tìm hằng đẳng thức có bậc tương ứng (với bậc cao nhất của số

hạng trong các PT của hệ)

Bước 2: Kết nối các PT của hệ (cộng, trừ vế với vế các PT, thế PT này

vào PT kia…) tạo ra hằng đẳng thức, chọn làm PT thay thế

Bước 3: Lập HPT mới tương đương, trong đó có một PT là PT thay thế

ở bước 2 Giải HPT mới

Qua đó HS được rèn kỹ năng tổng hợp

* Từ phân tích, đánh giá lời giải, GV có thể hướng dẫn HS sáng tạo các bài toán mới tương tự bắt đầu từ khai triển một hằng đẳng thức bất kì Ví dụ

Bài toán 1.2 [21, tr.82]

Tìm giá trị của m để phương trình : (m – 1)x2 + 2x + m = 0 (1)

Với bài toán này, GV có thể dạy cho HS cách phân tích, tổng hợp, đánh giá thông qua các hoạt động sau:

* GV dành thời gian cho HS suy nghĩ Hướng dẫn HS cách phân tích bài toán để tìm đường lối giải giải bài toán thông qua các câu hỏi gợi ý:

- Đề bài cho gì? hỏi gì?

- Nêu các trường hợp để PT (1) có ít nhất một nghiệm không âm?

HS phân tích và cần chỉ ra được hai trường hợp lớn:

+ Trường hợp 1: PT (1) là PT bậc nhất và có 1 nghiệm không âm + Trường hợp 2: PT (1) là PT bậc hai và PT đó có nghiệm không âm

Trong trường hợp 2, HS cần phân tích và trả lời được câu hỏi, khi

m 1 PT(1) có nghiệm không âm khi nào?

i) PT (1) là PT bậc hai và PT đó có 1 nghiệm không âm (x1  0 x2) ii) PT (1) là PT bậc hai và PT đó có 2 nghiệm không âm (0  x1 x2) Đến đây HS thảo luận đưa ra các hướng giải quyết trường hợp 2:

Cách 1: Tìm m để PT(1) có hai nghiệm và giải điều kiện nghiệm lớn

PT (1) có nghiệm x = 0  P = 0

PT (1) có hai nghiệm trái dấu P < 0

- Điều kiện (ii) 

'

0 0 0

P S

Cách 3: GV: Tiếp tục hướng dẫn HS phân tích bài toán theo bằng cách

gợi ý: Có thể giải bài toán gián tiếp được không? Phát biểu bài toán gián tiếp?

HS đưa ra được bài toán gián tiếp: Tìm m để PT (1) không có nghiệm không âm nào

Tiếp tục như vậy, GV có thể đưa ra các câu hỏi gợi ý để HS giải bài toán gián tiếp

- Hoặc PT(1) vô nghiệm

- Hoặc PT (1) có hai nghiệm, và cả hai nghiệm đó đều nhỏ hơn 0

Cách 4: Khi '

0

  , PT (1) có 2 nghiệm, khi đó nhận thấy tổng S = 2

1 mbiểu thị theo tham số m đơn giản hơn Và nếu S > 0 thì PT(1) hiển nhiên có ít nhất một nghiệm dương Khi S < 0, để PT(1) có ít nhất một nghiệm không âm cần bổ sung P  0

Để có được các cách giải khác nhau đó, đòi hỏi HS phải phân tích đề bài, chia bài toán cần giải thành các trường hợp Đưa bài toán đã cho thành các bài toán cơ bản quen thuộc Đồng thời HS cũng phải tổng hợp các kiến thức liên quan để giải quyết bài toán

* Sau khi HS đã đưa ra được các hướng giải quyết khác nhau cho cùng một bài toán, GV có thể chia lớp thành các nhóm, mỗi nhóm làm theo một cách GV cho cả lớp nhận xét bổ xung cho từng nhóm: về tính chính xác của lời giải, về ưu nhược điểm của từng cách, như vậy HS được rèn kĩ năng đánh giá Cụ thể cả 4 cách đều là các hướng giải quyết khác nhau cho cùng một loại bài tập tương tự, tuy nhiên:

+ Cách 1 nên sử dụng khi việc tìm nghiệm x2 là đơn giản và việc giải bất phương trình x2 > 0 là không quá phức tạp

+ Cách 2 đòi hỏi phải phân chia nhiều trường hợp, không tinh ý dễ dẫn đến thiếu trường hợp, tuy nhiên cách 2 dẫn đến việc giải các BPT không quá phức tạp

+ Cách 3 sáng tạo, nhưng chỉ nên áp dụng khi bài toán gián tiếp là đơn giản và dễ giải hơn bài toán trực tiếp

+ Cách 4 về cơ bản cơ sở giải tương tự cách 2, tuy nhiên do nhận xét được đặc điểm riêng của PT (1), tổng S biểu thị qua tham số đơn giản nên ưu tiên xét tổng S do đó cho lời giải ngắn gọn hơn

Những nhận xét đó chính là rèn luyện kĩ năng đánh giá lời giải, đánh giá phương pháp Qua việc giải bài toán, phân tích, đánh giá các cách giải của bài toán, HS học được cách phân tích tìm ra đường lối giải trong các trường hợp tương tự HS đồng thời cũng tự tổng hợp được các phương pháp để giải dạng toán đó, cũng như tổng hợp, khái quát thành phương pháp chung để giải một lớp các bài tập cùng loại

Rèn luyện cho HS các kĩ năng tư duy phân tích, tổng hợp, đánh giá chính là rèn luyện cho HS tư duy sáng tạo và tư duy phê phán Đây là các dạng của tư duy độc lập và thuộc tư duy bậc cao (Higher Order Thinking) Hàng loạt các công trình nghiên cứu gần đây chứng tỏ rằng HS rất cần có sự hướng dẫn giảng dạy các kĩ năng tư duy ở cấp độ cao Trong quá trình giảng dạy GV cần chú ý đến việc dạy HS các kĩ năng tư duy này GV cần tạo điều kiện để HS phân tích, trao đổi, bàn bạc đưa ra những cách giải quyết khác nhau Cần tạo điều kiện để HS nhìn nhận, đánh giá các cách giải đó, thấy được cơ sở của từng cách giải, phân tích được ưu nhược điểm của từng cách giải, suy nghĩ mở rộng cách giải cho những bài tập cùng loại, tổng quát hoá thành phương pháp giải cho một dạng bài, mở rộng đưa ra kết quả, bài toán tổng quát…

1.3 Những căn cứ để rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá trong dạy học nội dung “phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức”

ở trường trung học cơ sở

1.3.1 Dạy tư duy

Dạy học truyền thống nặng về dạy kiến thức mà xem nhẹ dạy các kĩ năng

tư duy Dạy học hiện đại đã quan tâm đến phát triển tư duy song song với trang bị kiến thức môn học, đã chú trọng đến dạy cách học trong quá trình dạy các môn khoa học cụ thể

Tại sao chúng ta phải rèn luyện cho học sinh các kĩ năng tư duy?

Thực tế nếu dạy học chỉ trang bị cho HS một vốn kiến thức thì kết quả họ thu được chỉ là những sản phẩm “tĩnh tại”, khô cứng, không có khả năng tái sinh, không vận dụng linh hoạt vào các tình huống phức tạp trong nhận thức

và đời sống Chỉ khi HS thu nhận kiến thức bằng chính hoạt động nhận thức, tìm tòi, gia công trí tuệ …thì kiến thức thu được mới là sở hữu trí tuệ của người học Kiến thức HS thu được bằng quá trình hoạt động đó sẽ vừa là sản phẩm, vừa là cơ sở của hoạt động tư duy

Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài này, chúng tôi chỉ tập trung vào nghiên cứu cơ sở lí luận, nguyên tắc và biện pháp rèn kĩ năng tư duy phân tích, tổng hợp, đánh giá cho học sinh THCS

Tâm lý lĩnh hội kiến thức trong nhà trường chỉ ra rằng tích cực hoá HS trong dạy học không phải chỉ ở lĩnh vực hoàn thiện lĩnh hội kiến thức mà phải

đề cập đến việc tích cực hoá hoạt động nhận thức Bởi lẽ tư duy không thể tồn tại nếu thiếu tri thức và ngược lại Sẽ sai lầm nếu coi trọng tri thức hơn kĩ năng tư duy, điều này sẽ chỉ làm cho người học phải học nhưng luôn luôn thiếu kiến thức Tích luỹ kiến thức và học các phương pháp để tích luỹ kiến thức cũng như vận dụng chúng là một quá trình hai mặt Bởi vậy đòi hỏi phải dạy cho HS các kĩ năng tư duy

Theo lý luận dạy học, dạy học có mục tiêu làm cho HS có một vốn hiểu biết về khoa học tự nhiên, khoa học xã hội nhân văn và năng lực nhận thức Dạy học sẽ phát triển thực sự nếu nó đảm bảo phát triển trí tuệ HS Nhằm mục đích đó cần phải tổ chức hoạt động học tập sao cho trong đó cùng với việc lĩnh hội kiến thức là động cơ vận dụng các kĩ năng tư duy Kĩ năng tư duy sẽ không được phát triển nếu chúng ta không sử dụng chúng Chính vì vậy HS cần được khuyến khích vận dụng các kĩ năng tư duy, được hướng dẫn

để sử dụng chúng Kĩ năng tư duy phải trở thành một bộ phận của chương trình học tập và một phần của cuộc sống hàng ngày

Trong nhà trường phổ thông, điều cốt yếu không phải là cung cấp tri thức mà là dạy HS phương pháp chiếm lĩnh tri thức, cụ thể trong học tập đó là phương pháp học, phương pháp nghiên cứu Người GV cần phải ý thức được

điều cốt yếu đó Nên chăng với mỗi thao tác tư duy phải vạch ra được hệ thống các phương pháp, cách thức cụ thể tạo điều kiện phát triển năng lực nhận thức ở HS Đó cũng là xuất phát điểm cho việc nghiên cứu các biện

pháp rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá trong dạy học nội dung phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức ở THCS

1.3.2 Nội dung chủ đề PT, HPT, BĐT ở THCS với vấn đề rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá

Trong chương trình toán THCS, chủ đề PT, HPT, BĐT được học tập trung ở chương III, IV đại số 8, và chương III đại số 9, đồng thời các nội dung này sẽ tiếp tục chiếm vị trí quan trọng xuyên suốt chương trình toánTHPT

Các loại PT, HPT cơ bản như PT bậc nhất, bậc hai; PT tích; PT chứa ẩn

ở mẫu dạng thường gặp; hệ hai PT bậc nhất hai ẩn trong chương trình đều đã

có thuật giải Tuy nhiên đi sâu vào các bài toán cụ thể về giải PT, HPT thì không phải bài nào cũng có thuật giải Ngay cả với những bài toán đã có thuật giải thì cũng không đơn thuần chỉ cần áp dụng các thuật giải cơ bản là có thể giải quyết được Để giải quyết các bài toán đó đòi hỏi HS phải phân tích đặc

điểm của từng PT, HPT, tổng hợp kiến thức đã có để từ đó định hướng cách giải quyết Nhiều bài tập về PT, HPT, BĐT để giải được đòi hỏi HS phải biết phân chia bài toán thành những trường hợp riêng, chia nhỏ bài toán thành những bài toán cơ bản đã biết cách giải, như vậy HS có nhiều cơ hội để rèn kĩ năng phân tích, tổng hợp Bên cạnh đó, các bài toán trong nội dung PT, HPT, BĐT thường có nhiều cách giải khác nhau Đó là cơ hội tốt để HS thực hành phân tích đánh giá lời giải, đánh giá phương pháp theo các tiêu chí, điều đó đồng nghĩa với HS được rèn các kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá

Thực tế giảng dạy cho thấy HS rất dễ mắc sai lầm trong quá trình biến đổi PT, HPT như: nhầm lẫn giữa biến đổi tương đương và biến đổi hệ quả; đặt

ẩn phụ còn thừa thiếu các điều kiện; phân chia không đầy đủ các trường hợp khi giải các bài toán cần phân chia trường hợp…Những khó khăn và sai lầm này cũng đồng thời là cơ hội để rèn kĩ năng đánh giá cho HS

Trong phân phối chương trình toán THCS, nội dung BĐT mới chỉ được giới thiệu ở những nội dung cơ bản: liên hệ giữa thứ tự và phép cộng; liên hệ giữa thứ tự và phép nhân; BĐT Côsi Nhưng từng đó cũng đủ để hấp dẫn với

HS say mê toán Các bài toán về BĐT thường không có thuật giải cụ thể, bản thân mỗi bài toán luôn chứa đựng những thách thức, chứa đựng những tiềm năng phát triển trí tuệ cho HS Đồng thời trong thực tế giảng dạy cũng cho thấy HS rất hay gặp sai lầm khi giải các bài toán về BĐT

Những phân tích trên khẳng định ưu thế của các chủ đề PT, HPT, BĐT trong việc khai thác để rèn luyện các kĩ năng tư duy phân tích, tổng hợp, đánh giá cho HS

Kết luận chương 1

Trong chương 1, qua nghiên cứu các tài liệu, chúng tôi đã tìm hiểu các khái niệm về tư duy, đặc điểm của tư duy, khái niệm kĩ năng và sự hình thành các kĩ năng, các kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá cũng như biểu hiện của

các kĩ năng đó trong hoạt động học tập nói chung và hoạt động học tập toán nói riêng

Kết quả nghiên cứu trong chương 1 cũng cho thấy vai trò của việc dạy các kĩ năng tư duy cho HS, đồng thời cũng chỉ ra rằng với mỗi thao tác tư duy phải vạch ra được hệ thống các phương pháp, cách thức cụ thể tạo điều kiện phát triển năng lực nhận thức ở HS Kết quả nghiên cứu cũng khẳng định các

kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá có tác động qua lại lẫn nhau, luôn gắn

bó với nhau, đan xen nhau, thẩm thấu nhau trong quá trình tư duy, do đó việc rèn các kĩ năng trên là quá trình đan xen, không hoàn toàn tách bạch

Nghiên cứu kĩ nội dung PT, HPT, BĐT ở trường THCS, chúng tôi cũng nhận thấy được đây là những nội dung quan trọng trong chương trình môn toán ở THCS, đồng thời tiếp tục xuyên suốt chương trình toán THPT Các nội dung trên có nhiều tiềm năng để rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá cho HS

Việc nghiên cứu những cơ sở lí luận nói trên là cơ sở quan trọng để chúng tôi đề ra các biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy đồng thời từ đó áp dụng thiết kế các bài giảng rèn luyện tư duy phân tích, tổng hợp, đánh giá trong dạy học nội dung PT, HPT, BĐT ở trường THCS

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HÀNH GIẢNG DẠY VÀ VẬN DỤNG THIẾT KẾ BÀI GIẢNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG PHÂN TÍCH, TỔNG HỢP, ĐÁNH GIÁ CHO HS TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ PT, HPT, BĐT Ở TRƯỜNG THCS

Những phân tích trong phần đầu luận văn đã làm sáng tỏ khái niệm kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá và một số yếu tố đặc trưng cùng biểu hiện của các yếu tố ấy trong học tập toán học của HS THCS

Vấn đề đặt ra là dạy môn Toán nói chung và dạy nội dung PT, HPT, BĐT nói riêng ở THCS như thế nào để HS được rèn các kĩ năng tư duy phân tích, tổng hợp, đánh giá Hay nói cách khác, người GV cần tổ chức các hoạt động thực hành giảng dạy như thế nào khi dạy các nội dung trên để qua đó HS được rèn các kĩ năng phân tích, tổng hợp, đánh giá

2.1 Rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp

2.1.1.Rèn luyện kĩ năng phân tích, tổng hợp qua từng bài tập

Trong cuốn sách “Giải một bài toán như thế nào”[18], tác giả G.Polya

đã chỉ ra: “ Muốn giải một bài toán, phải lần lượt:

1 Hiểu rõ bài toán

2 Xây dựng một chương trình (một dữ kiện)

- Tìm sự liên hệ giữa các dữ kiện đã biết và cái chưa biết (ẩn)

- Có thể phải xét đến các bài toán phụ nếu chưa tìm được trực tiếp sự liên hệ đó

- Cuối cùng phải xây dựng được một chương trình, một dữ kiện và cách giải

3 Thực hiện chương trình (dự kiến)

4 Khảo sát lời giải đã tìm được.”

i) Hai bước đầu mà G.Polya đưa ra chính là bước tìm đường lối giải bài

toán Trong bước này để rèn cho HS kĩ năng phân tích, tổng hợp, GV tổ chức

+ Đề bài cho gì, hỏi gì ?

+ Từ những giả thiết đã cho suy được những điều gì?

+ Những kiến thức nào liên quan đến giả thiết? Giả thiết này có thể biến đổi tương đương thành những điều kiện nào?

+ Những kiến thức nào liên quan đến kết luận? Kết luận này có thể biến đổi tương đương thành kết quả nào?

+ Tìm quan hệ giữa cái chưa biết và cái đã biết? Có bài toán nào quen thuộc cũng chứa cái chưa biết hoặc có cùng kết luận tương tự không? Mối liên hệ của bài toán với những bài toán đã biết cách giải? Có thể xếp bài toán thuộc dạng toán nào đã biết không?…

GV tạo cho HS thói quen nhắc lại các câu hỏi này mỗi khi gặp chướng ngại khiến ta phải dừng lại

Để trả lời được các câu hỏi đó đòi hỏi HS phải phân tích đề bài, tổng hợp các kiến thức liên quan Trả lời các câu hỏi đó giúp HS xác định được dạng bài, định hướng tìm ra đường lối giải bài toán

Để rèn luyện kĩ năng phân tích cho HS, GV nên chọn lựa bài toán đặc trưng cho nội dung kiến thức trong bài, đồng thời có thể phân tích theo nhiều hướng khác nhau, tìm được nhiều đặc điểm định hướng các cách giải khác nhau Tổ chức, hướng dẫn HS khai thác bài toán đó chính là rèn luyện cho HS

kĩ năng phân tích, tổng hợp

Ta xét ví dụ minh hoạ qua hướng dẫn HS giải bài toán sau:

Bài toán 2.1 Giải HPT : x3 y 31 (1)2 2

1 PT(1) cho mối liên hệ bậc nhất giữa x và y

2 Từng PT của hệ không thay đổi khi thay x bởi y và thay y bởi x (HPT đối xứng loại 1 với x và y)

3 Số mũ của x, y trong VT và VP của PT thứ hai hơn nhau 1, bằng đúng số mũ của x, y trong PT thứ nhất

Mỗi đặc điểm đó định hướng một cách giải tương ứng:

Đặc điểm thứ nhất gợi ý dùng phương pháp thế:

không rõ ràng, ngắn gọn Vì vậy GV phải hướng dẫn cho HS: bên cạnh phân

tích bài toán để tìm được đường lối giải chung, đồng thời phải phân tích phát hiện đặc điểm riêng của mỗi bài toán để chọn được đường lối thích hợp Cách giải bài toán dựa vào đặc điểm riêng của nó lại tiếp tục có thể tổng quát thành phương pháp để giải các bài toán có đặc điểm tương tự

Điều kiện xác định x  1

         (2) Đến đây HS sẽ gặp phải trở ngại: trong PT trên nếu tiếp tục bình phương hai vế để khử căn, ta không dẫn đến một PT đơn giản mà lại thu được

PT bậc 6 rất phức tạp Khi đó GV đưa ra những gợi ý hợp lý để HS phát hiện

ra được đặc điểm riêng của PT nhận được: các số hạng trong PT có thể biến đổi đưa về hằng đẳng thức

Việc phân tích đưa ra nhận xét riêng với PT này giúp tìm được cách giải ngắn gọn, sáng tạo

Vậy PT có nghiệm duy nhất x 1 5

2



Tương tự như vậy với bài toán sau:

Bài toán 2.3

Giải PT x 2   4x 1   5x  2x 1  (1)

Phân tích: đây là PT vô tỉ Cách khử căn thông thường là bình phương hai vế, tuy nhiên nếu thực hiện như vậy PT thu được vẫn còn căn thức Việc bình phương tiếp để khử căn sẽ dẫn tới PT mới rất phức tạp

Đặc điểm của bài toán cũng không gợi ý hướng đặt ẩn phụ để giải Với điều kiện xác định x 0, biến đổi PT ta được

Tương tự nếu xét x 2   2x 1   0 ta thu được x = 1

Thay x = 1 vào PT(1) ta thấy thoả mãn Vậy PT có nghiệm x = 1

Cách giải trên dựa vào đặc điểm riêng của bài toán, cách giải này cũng tổng hợp thành phương pháp so sánh để giải PT chứa căn

Trong chủ đề PT, HPT, BĐT, có những bài toán để giải đòi hỏi HS phải biết phân chia bài toán thành các bài toán nhỏ cơ bản, sau đó tổng hợp lại GV cần hướng dẫn HS xác định được qui trình: nội dung các công việc cần giải quyết và trình tự giải quyết các công việc Đây là công việc quan trọng sau khi đã phân tích tìm được đường lối giải Thực tế cho thấy có những tình huống HS đã nhận ra dạng toán, biết được đường lối giải nhưng không xác

định được rõ các công việc cần làm do đó dẫn đến bỏ sót các trường hợp, các công việc cần thiết từ đó dẫn đến lời giải sai, không ngắn gọn, không tối ưu

Nhiều HS giải bài toán này thường bỏ qua bước tìm m để phương trình

có hai nghiệm phân biệt mà áp dụng ngay định lý Viet dẫn đến kết quả sai

GV cần hướng dẫn HS xem xét, phân tích sẽ thấy được để có 2 2

1 2 10

x x  thì trước tiên PT phải có hai nghiệm phân biệt

ii) Sau khi tìm được lời giải bài toán, GV cần tạo cho HS cơ hội, ý thức

nhìn lại cách giải tìm ra Yêu cầu HS “phân tích kết quả và con đường họ đã đi” [18, tr.29] Hình thành cho HS thói quen trả lời các câu hỏi:

+ Để giải bài này cần thực hiện những bước nào?

+ Các bước biến đổi đó dựa trên cơ sở nào?

+ Đâu là điểm mấu chốt của lời giải?

+ Cơ sở, dấu hiệu để thực hiện cách giải đó là gì?

Qua đó, HS phải phân tích lời giải, tổng hợp các kiến thức đã học có liên quan Đồng thời kết quả phân tích thu được có thể đưa ra định hướng mở rộng cách giải cho những bài tập có những đặc trưng tương tự Khai thác vấn

đề này GV có thể đưa ra câu hỏi:

+ Những bài toán có đặc điểm (dấu hiệu) nào có thể áp dụng cách giải trên?

+ Khái quát thành phương pháp giải dạng toán

Việc làm đó cũng tạo cho HS ý thức được rằng ta có thể tìm thấy sự liên hệ của bài toán này với những bài toán khác khi chúng ta nhìn lại cách

giải bài toán đó Việc phân tích lời giải, trong một số trường hợp cũng giúp ta tổng hợp đưa ra bài toán tổng quát

Ta xét ví dụ minh hoạ: hướng dẫn HS phân tích cách 3, lời giải bài toán 2.1

+ Yêu cầu HS trả lời các câu hỏi phân tích: các bước thực hiện lời giải,

cơ sở các bước biến đổi, điểm mấu chốt của lời giải, dấu hiệu áp dụng HS sẽ tìm ra được điểm mấu chốt của cách 3 là sử dụng PT(1) để biến đổi PT(2) tạo

ra số mũ của hai vế bằng nhau, từ đó triệt tiêu x3; y3 Dấu hiệu để thực hiện được cách giải đó là số mũ của x, y trong VT và VP của PT(2) hơn nhau 1, bằng đúng số mũ VT của PT thứ nhất Cơ sở để thực hiện phép biến đổi này

là các phép biến đổi tương đương HPT

+ Từ kết quả những phân tích trên, yêu cầu HS trả lời câu hỏi: Những HPT có đặc điểm như thế nào thì có thể áp dụng cách giải trên? Hãy đưa ra phương pháp chung để giải những bài toán như thế? Có thể đưa ra một số bài toán tương tự, hay bài toán tổng quát không? HS sẽ không khó khăn để đưa ra phương pháp chung và một số bài toán tương tự, ví dụ:

Từ đó đưa ra cách giải: thực hiện trừ tương ứng các vế của hai PT sẽ thu được

PT hệ quả đơn giản ở dạng tích

y x y

GV yêu cầu HS tiếp tục phân tích đặc điểm riêng của bài toán Yêu cầu

HS nhận xét các số hạng VT của các PT trong hệ HS phát hiện được các số hạng ở VT các PT của hệ có dạng hằng đẳng thức lập phương của tổng Từ đó gợi ý cộng tương ứng hai vế các PT của hệ, xuất hiện hằng đẳng thức, tạo ra

PT trung gian đơn giản hơn

Cách 2: Cộng vế với vế các PT của hệ, ta thu được PT hệ quả

(x + y)3 = 8  x + y =2  y = 2 – x

Thay y = 2 – x vào PT đầu ta thu được:

x3 + 3x(2-x)2 = 4  4x3 – 12x2 + 12x – 4 = 0

 4(x-1)3 = 0  x = 1 Nghiệm của HPT là ( x =1, y = 1)

* Trong bước phân tích lời giải Yêu cầu HS phân tích cách giải 2 của bài toán theo các bước đã nêu ở mục ii HS sẽ nhận ra được, điểm then chốt của lời giải đó là thiết lập được hằng đẳng thức từ các PT của hệ, từ đó tìm được PT thay thế đơn giản hơn HS sẽ bước đầu nhận dạng được các PT có thể áp dụng được “ý tưởng” trong cách giải đó, đồng thời tổng hợp đưa ra phương pháp giải chung (có thể bước đầu còn mang tính ý tưởng, sơ sài, chưa chi tiết), ví dụ:

+ Bước 1: Thiết lập hằng đẳng thức từ các PT của hệ, chọn làm PT thay thế + Bước 2: Lập HPT mới tương đương, trong đó một PT là PT thay thế trong bước 2 Giải HPT mới

Việc phân tích để tìm ra đường lối giải bài toán là khâu có tính chất quyết định trong toàn bộ công việc giải toán Vì nếu chưa có phương hướng

hoặc chưa có phương hướng tốt thì không thể có lời giải tốt, đồng thời việc định hướng tìm ra phương hướng giải là công việc mang nhiều tính sáng tạo hơn khâu thực hiện các thao tác giải khi đã có phương hướng Rèn luyện kĩ năng phân tích bài toán, tìm ra đường lối giải bài toán chính là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng làm việc độc lập, sáng tạo, rèn luyện các kĩ năng tư duy bậc cao

Để trở thành kĩ năng, HS cần thường xuyên có cơ hội được thực hành

tư duy phân tích, tổng hợp Trong thiết kế bài giảng, GV phải chú ý đến chọn lựa bài tập đặc trưng với nội dung kiến thức, có nhiều hướng phân tích, khai thác Các phương pháp sử dụng giảng dạy cho từng bài giảng cũng cần được vận dụng, kết hợp linh hoạt nhiều hình thức Với bài toán cơ bản, GV nên sử dụng mô hình dạy học tích cực (thầy gợi ý các bước, HS tự hoạt động, trao đổi xây dựng bài giảng) Tuỳ vào nội dung kiến thức và trình độ HS, GV có thể tổ chức triển khai bài giảng ở mức độ thấp hoặc cao Ở mức độ thấp: sau khi hướng dẫn HS phân tích một bài toán cụ thể, tổng hợp đưa ra lời giải, phương pháp chung, GV cho bài toán tương tự yêu cầu HS thực hành phân tích, tổng hợp theo các bước tương tự bài toán trước Ở mức độ cao hơn, GV đưa ra bài toán thuộc dạng toán mới, yêu cầu HS thực hành phân tích, tổng hợp Các phương pháp gợi mở vấn đáp, giải quyết vấn đề, hướng dẫn làm việc theo nhóm, hướng dẫn HS tự học, tự nghiên cứu cũng cần sử dụng phối hợp

2.1.2 Phân tích, tổng hợp qua từng lớp bài tập

Mục tiêu phân tích, tổng hợp với lớp các bài tập đòi hỏi HS phải biết phân loại các dạng bài tập và xây dựng được các phương pháp giải từ cụ thể đến hướng chung, đồng thời mở rộng, tổng quát hoá bài toán nếu có thể Để

có được kĩ năng này HS cần phải được dạy và được thực hành kĩ năng phân tích, tổng hợp qua các lớp bài tập cụ thể Khi dạy đối tượng HS diện đại trà,

GV thường gặp phải một khó khăn đó là nếu dạy những bài toán ở mức độ dễ

tích, tổng hợp, đánh giá Những bài toán giàu tính thách thức, giàu cơ hội để rèn các kĩ năng tư duy thì lại khó với HS Gặp những bài toán khó, HS không biết bắt đầu từ đâu, không tìm được hướng giải sẽ khiến HS chán nản bỏ cuộc Để khắc phục điều này đòi hỏi sự “gia công” của GV vào bài dạy Chúng tôi mạnh dạn đề xuất một số hình thức dạy các kĩ năng này thông qua hoạt động dạy học như sau:

Trong bước lập kế hoạch bài dạy, sau khi xác định yêu cầu, mục tiêu,

GV soạn các cấu trúc nội dung dạy theo hướng nâng dần từ dễ đến khó GV cần chú ý đặc biệt đến thiết kế hệ thống (ngân hàng) bài tập thuộc các nội dung kiến thức dự định dạy trong tiết học Hệ thống bài tập này dùng thiết kế các phiếu bài tập trên lớp, phiếu bài tập về nhà

Các hoạt động giảng dạy có thể thiết kế, triển khai theo các mức độ:

* Ở mức độ thấp: GV chọn ra mỗi nội dung kiến thức một bài tập đặc trưng Tổ chức hoạt động học tập hướng dẫn HS phân tích, tổng hợp qua một bài tập mẫu đó Sau mỗi bài toán, yêu cầu HS :

+ Phân tích các bài tập trong hệ thống bài tập, tìm những bài nào có đặc

điểm chung với bài tập mẫu (về giả thiết, về yêu cầu, về những kiến thức liên quan đến giả thiết, những kiến thức liên quan đến kết luận, mối liên hệ với những bài toán cơ bản đã biết cách giải…)

+ Phân tích lời giải bài tập mẫu: tìm điểm mấu chốt trong cách giải bài

tập mẫu và cơ sở để áp dụng được cách giải đó, tìm lời giải cho các bài tập có cùng đặc điểm chung đã chọn ở trên Từ đó tổng hợp đưa ra phương pháp chung(các bước cụ thể) để giải dạng toán

+ Mở rộng tìm bài toán tương tự, hoặc tổng quát hoá bài toán nếu có thể

Ta xét ví dụ:

Để hình thành cho HS phương pháp giải HPT bằng cách thiết lập hằng đẳng thức để xây dựng PT thay thế, GV phát phiếu học tập gồm các bài toán: