chuyên đề phương trì nh bất phương trì nh gv nguyến tất thu – trường thpt lê hồng phong – biên hò a – đồng nai 1 phương trì nh chứa ẩn ở căn thức

http://kinhhoa.violet.vn Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh Phương trì nh chứa ẩn thức Ví dụ : Giải phương trì nh:  x  x2  x   x Giải: ĐK  x  Để giải phương trì nh rõ ràng ta phải tìm cách loại bỏ thức Có cách để loại bỏ thức ? Điều nghĩ tới lũy thừa hai vế Vì hai vế phương trì nh cho ln khơng âm nên bì nh phương hai vế ta thu phương trì nh tương đương 2   (1)  1  x  x2      x  1 x   1 4 x  x  (x  x )   x  x   2(x  x )  x  x   x  x 2 x  x    x  x2   x  0; x     VN   xx 4  Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm phương trì nh: x  0;x  Qua lời giải ta thấy thức  x  1 x  x  x biểu diến qua x   x nhờ vào đẳng   x  x (*) Cụ thể ta đặt t  x   x t2  xx  phương trì nh cho trở thành phương trì nh bậc hai với ẩn t2   t  t  3t    t  1; t  t:  2 x  x   x  1 x 1   x  0; x  Vậy ta có:   x   x   VN (VT  2)   Việc thay biểu thức x   x ẩn t (mà ta gọi ẩn phụ) suy nghĩ hoàn toàn phù hợp với tự nhiên ( nhớ lại tì m cách làm thức !) Cách làm ta thường gặp sống ngày chúng ta, chẳng hạn xa khơng tiện cho việc mang theo tiền mặt ta đổi qua đô la, hay thẻ ATM, séc,…Cũng việc chuyển đổi tiền trên, để làm thức ta tìm cách đặt biểu thức chứa thức biểu thức ẩn cho phương trì nh ẩn có hình thức kết cấu đơn giản phương trì nh ban đầu Đặt biểu thức chứa biểu thức ẩn vấn đề quan trọng nhất, bước làm định đến có lời giải hay khơng lời giải tốt hay dở Để chọn được cách đặt ẩn phụ thích hợp ta cần phải tìm mối quan hệ biểu thức tham gia phương trì nh cách giải ta tạo mối quan hệ đẳng thức (*) Có nhiều cách để tạo mối quan hệ đối tượng tham gia GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh phương trì nh chẳng hạn phương trì nh ngồi đẳng thức (*) ta cịn có mối quan hệ biểu thức tham gia phương trì nh:    x  1 x   x   x  (**) mà từ phương trì nh ta rút thức qua 1 x  3t  Do đặt t   x  x  thay vào 2t  1 x  (**) biến đổi ta thu phương trì nh t(t  1)(2t  4t  3)   t  0,t  hay x  0,x  nghiệm phương trì nh Phương trì nh cho chứa tổng tích hai thức, đồng thời hai thức thỏa mãn (**) ta đặt a  x , b   x từ phương trì nh cho kết hợp với  1  ab  a  b (**) ta có hệ phương trì nh:  hệ đối xứng loại I, giải hệ ta a  b   nghiệm phương trì nh x=0 x=1 Bản chất cách giải cách đặt ẩn phụ t   x mà ta giải Tiếp tục nhận xét đẳng thức (**) giúp ta liên tưởng đến đẳng thức mà ta biết ? Chắc hẳn bạn dễ dàng trả lời đẳng thức lượng giác: sin   cos   Điều dẫn đến cách giải sau:  Đặt x  sin t, t  [0; ] (Điều hồn tồn hợp lí x  [0;1] ) Khi phương trì nh cho trở thành:  sin t.cos t  sin t  cos t  3(1  sin t)  (1  sin t)(1  sin t)(2sin t  3)  sin t   x  x  x     x0  sin t  (3  2sin t)  sin t sin t(4sin t  6sin t  8)     Qua ví dụ ta thấy có nhiều cách để giải phương trì nh bất phương trì nh vơ tỉ Mọi phương pháp chung tưởng tì m cách loại bỏ thức đưa phương trì nh cho phương trì nh mà ta biết cách giải Sau vào phương pháp giải cụ thể thức lại: x  GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh I Phương pháp biến đổi tương đương : Nội dung phương pháp sử dụng tính chất lũy thừa phép biến đổi tương đương phương trì nh, bất phương trì nh biến đổi phương trì nh, bất phương trì nh ban đầu phương trì nh, bất phương trì nh biết cách giải Ta nhơ lại tính chất lũy thừa phép biến đổi tương đổi phương trì nh bất phương trì nh 1) ( n a ) n  a ( Nếu n chẵn cần thêm điều kiện a  ) 2) a  b  a 2n  b 2n với a b dấu 3) a  b  a 2n 1  b 2n 1 với a,b 4) a  b   a 2n  b 2n (Chú ý a,b0 Ap dụng BĐT Côsi ta có  2 VP(*)  5x  x  2(x  2)     2 (5x  x)2(x  2) 2  (5x  x)(x  2) Dấu “=” xảy x  1 x  Từ ta có nghiệm PT (*) x=-1 Ví dụ 11: Giải bất phương trì nh : (4  x)(x  2)  4  x  x   6x 3x  x  30 Giải: ĐK  x  Ví dụ 12: Giải phương trì nh: x  2x   2x  x   3x  3x (1)   15 x0  Giải: ĐK:  1  15  x 2 Áp dụng BĐT Bunhicovski ta có: VT(1)  2(2x  x   3x  3x )  2(1  2x  x )  2[2  (1  x)2 ]  Dấu “=” xảy  x  Mặt khác : VT(1)  (x  1)   Dấu “=” xảy  x  Từ suy phương trì nh cho có nghiệm x  Ví dụ 13: Giải phương trì nh: 13x  6x  10  5x  13x  17  17x  48x  36  (36x  8x  21) (2) 2 Giải: Ta có VT(2)  (3x  1)2  (2x  3)2  (2x  )  (x  )  x  (4x  6)  2  3x   2x   x 3  VT(2)  3x   2x   x  6x   6x  Dấu “=” xảy x  2 2 GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 46 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh Mặt khác: VP(6)  12x   2(4x  12x  9)    2 1  12x   2(2x  3)2   (12x  3)  6x   2 Dấu “=” xảy x  (f) Từ ta có nghiêm PT (2) x  Giải phương trì nh sau 1) x   x   ;2) x   x  x  3) x  x  x   3x  x  4) ( x  2) x   x  5) ( x  2)(2 x  1)  x    ( x  6)(2 x  1)  x  6) 32 x  x   x(8 x  1) GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 47 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh Phương pháp hàm số: Định lí 1: Nếu hàm số y=f(x) ln đb (hoặc ln ngb) số nghiệm pt : f(x)=k Không nhiều f(x)=f(y) x=y Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) đb (hoặc ngb) hàm số y=g(x) ln ngb (hoặc ln đb) D số nghiệm D pt: f(x)=g(x) không nhiều Định lí 3: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n pt f (k) (x)  có m nghiệm, pt f (k 1) (x)  có nhiều m+1 nghiệm Định lí 4: Nếu hàm số y=f(x) đồng biến( nghịch biến) D f (x)  f (y)  x  y (x  y) Các ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trì nh sau: 3x   x  7x   1) 2) 5x   2x   x  3) 3 x   x   2x   2x Giải: 1) Xét hàm số f (x)  3x   x  7x  , ta có: 1 7x   nên hàm số f(x) đồng biến  f '(x)  3x  x  7x  Mặt khác: f (1)   pt  f (x)  f (1)  x  Vậy x=1 nghiệm phương trì nh cho 2) Phương trì nh  5x   2x    x  f (x)  g(x) 3 Với f ( x)  x   x  có f '(x)  15x   nên f(x) hàm 5x  (2x  1) đồng biến g(x)   x hàm nghịch biến Mà f (1)  g(1)  nên phương trì nh cho có nghiệm x=1 3) Đặt u  x  1, v  2x phương trì nh cho trở thành 3 u   u  v   v  f (u)  f (v) , f (t)  t   t GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 48 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh Ta có: f '(t)  t 3 (t  1)   nên f(t) hàm đồng biến Do đó: f (u)  f (v)  u  v  2x  x   x  1, x   Vậy phương trì nh có hai nghiệm: x  1, x   2 Ví dụ 2: Giải bất phương trì nh sau: 1) 5x   x   2) 3  2x  3)  2x  2x  (x  2)(2x  1)  x    (x  6)(2x  1)  x  2x  3x  6x  16    x Giải:1) Đk: x  4) Xét hàm số f (x)  5x   x  , ta có f '(x)  1   x  5x  x  Mà f (1)   bpt  f (x)  f (1)  x  Vậy Bpt cho có nghiệm x   2x   f (x)  g(x) (*) 2) Đk:  x  Bpt  3  2x  2 2x  3    f (x) Trong đó: f (x)  3  2x  , có f '(x)   2x ( 2x  1)3 2x  hàm đồng biến, g(x)  2x  hàm đồng biến f (1)  g(1)  *Nếu x   f (x)  f (1)   g(1)  g(x)  (*) *Nếu x   f (x)  f (1)   g(1)  g(x)  (*) vô nghiệm Vậy nghiệm Bpt cho là:  x  3) Đk: x  Khi đó: Bpt  ( x   x  6)( 2x   3)  (*) *Nếu 2x     x   (*) GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 49 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh *Nếu x  , ta xét hàm số f (x)  ( x   x  6)( 2x   3) có: 1 x2 x6 )( 2x   3)    nên f(x) hàm đồng x2 x6 2x  biến f (7)  nên (*)  f (x)  f (7)  x  Vậy nghiệm Bpt cho là:  x  2x  3x  6x  16    2  x  4) Đk:  4  x   f '(x)  ( Khi đó, Bpt  2x  3x  6x  16   x   f (x)  (*) Trong đó: f (x)  2x  3x  6x  16   x có f '(x)  3(x  x  1)   nên f(x) hàm đồng biến 4x 2x  3x  6x  16 Mà ta có: f (1)   (*)  f (x)  f (1)  x  Kết hợp với điều kiện, ta có nghiệm Bpt cho là: 2  x  http://kinhhoa.violet.vn GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 50 ... phương trì nh hai ẩn gồm ẩn cũ ẩn phụ v? ?a đặt Ta xét dạng toán sau GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 21 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh Dạng 4: a. f...  1) (8  x)  GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 29 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh Đặt ẩn phụ đ? ?a hệ phương trì nh Ví dụ 1: Giải phương trì nh: ... tập: Bài 1: Giải phương trì nh sau: 2 tan t   tan t   GV: Nguyến Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hò a – Đồng Nai 28 Chuyên đề phương trì nh – Bất phương trì nh 1)   x  x (1  