NHI THUC NIUTON

Chuyên đề Đại số tổ hợp lớp 11 Th.s Nguyễn Văn Hải CHỦ ĐỀ: CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON I. Công thức nhị thức Newton:   0 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 0 n n n n n n n n n n n k n k k n n n n n n n k a b C a C a b C a b C a b C ab C b C a b                    . Công thức số hạng tổng quát: kknk nk baCT    1 , 0 ≤ k ≤ n. Chú ý: 1 a b   ta có 0 1 2 1 2 n k n n n n n n n n C C C C C C         1; 1 a b    ta có 0 1 2 0 ( 1) ( 1) k k n n n n n n n C C C C C            0 1 2 2 1 1 1 n n n n n n n n n n x C C x C x C x C x            0 1 2 2 1 1 1 1 ( 1) ( 1) n n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C x             II. Tam giác Pa-xcan: 0 1 2 2 2 3 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 5 5 4 3 2 2 3 4 5 ( ) 1 1 ( ) 1 1 ( ) 2 1 2 1 ( ) 3 3 1 3 3 1 ( ) 4 6 4 1 4 6 4 1 ( ) 5 10 10 5 1 5 10 10 5 1 a b a b a b a b a ab b a b a a b ab b a b a a b a b ab b a b a a b a b a b ab b                             Các hệ số trong tam giác Pa-xcan là các hệ số của khai triển nhị thức ( ) n a b  III. Bài tập Baøi 1. Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển nhị thức 18 4 2 x x        Baøi 2. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức của 8 3 1 x x        Baøi 3. Tìm hệ số của 3 x trong khai triển nhị thức Newton: 6 2 2 x x        . Baøi 4. Biết hệ số của x 2 trong khai triển (1 3 ) n x  là 90 . Tìm số nguyên dương n ? Baøi 5. Tìm hệ số của 5 8 x y trong khai triển nhị thức Newton của 13 ( ) x y  Baøi 6. Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của 18 5 1 2 , 0 x x x         Baøi 7. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 2 3 1 n x x        biết số nguyên dương n thỏa: 1 3 13 n n C C n   . Baøi 8. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của 2 4 1 n x x        , biết số nguyên dương n thỏa: 0 1 2 2 109 n n n C C A   Baøi 9. ((ĐH_Khối A 2012) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 1 3 5 n n n C C   . Tìm số hạng chứa x 5 trong khai triển nhị thức Niu-tơn 2 1 14 n nx x        , x ≠ 0. Baøi 10. Tìm hệ số của số hạng chứa 8 x trong khai triển thành đa thức của biểu thức   8 2 1 1 P x x        Baøi 11. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa 10 x trong khai triển nhị thức Newton của   2 n x  biết: 3 n C n 0 3 n1 C n 1 +3 n2 C n 2 3 n3 C n 3 + … +(1) n C n n =2048. Chuyên đề Đại số tổ hợp lớp 11 Th.s Nguyễn Văn Hải Baøi 12. (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Newton của n x x        7 4 1 , biết rằng 12 20 12 2 12 1 12   n nnn CCC  Baøi 13. (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 7 4 3 1          x x với x > 0. Baøi 14. (ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Newton của n x x        5 3 1 , biết rằng   37 3 1 4     nCC n n n n , (n nguyên dương, x > 0) Baøi 15. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức n x n n n x x n n x n x n n x n n x x CCCC                                                                        3 1 32 1 1 3 1 2 1 1 2 1 0 32 1 22222222  Biết rằng trong khai triển đó 13 5 nn CC  và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x. Baøi 16. Từ khai triển biểu thức 17 (3 4) x  thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được. Baøi 17. Chứng minh rằng: 10 11 1  chia hết cho 10 Baøi 18. (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của 5 x khai triển thành đa thức của x(12x) 5 +x 2 (1+3x) 10 . Baøi 19. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a 3n3 là hệ số của x 3n3 trong khai triển thành đa thức của (x 2 +1) n (x+2) n . Tìm n để a 3n3 =26n. Baøi 20. (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x) n =a 0 +a 1 x+ … +a n x n , trong đó nN* và các hệ số a 0 , a 1 ,…a n thỏa mãn hệ thức 4096 2 2 1 0  n n aa a  . Tìm số lớn nhất trong các số a 0 , a 1 ,…a n . Baøi 21. (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho:   20052.122.42.32.2 12 12 24 12 33 12 22 12 1 12    n n n nnnn CnCCCC  Baøi 22. (ĐH_Khối B 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng n n n nnn C n CCC 1 12 3 12 2 12 1 2 3 1 2 0          Baøi 23. (ĐH_Khối A 2007) Chứng minh rằng 2 1 3 5 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 . 2 4 6 2 2 1 n n n n n n C C C C n n          . Baøi 24. (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 1 3 2 1 2 2 2 2048 n n n n C C C       Baøi 25. (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho 0 1 2 2 4 2 243 n n n n n n C C C C      . Baøi 26. Tìm số nguyên dương n sao cho 1 2 3 8 9 10 1023 n n n n n n n n n n n n C C C C C C              Baøi 27. Với n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: 1 2 2 1 1 1 4 4 4 4 5 n n n n n n n n n C C C C         Baøi 28. Tính tổng 0 2 4 2012 2014 2014 2014 2014 2014 2014 S C C C C C      Baøi 29. Tính tổng 1 2 3 1005 1006 2013 2013 2013 2013 2013 S C C C C C       Baøi 30. Tính tổng 0 1 2 2 2013 2013 2014 2014 2014 2014 2014 2014 2014 4 4 4 4S C C C C C      . Baøi 31. Tính tổng 1 2 3 2013 2014 2014 2014 2014 2014 2014 1. 2. 3. 2013. 2014.S C C C C C      . Baøi 32. Tính tổng 2 1 2 2 2 3 2 2013 2 2014 2014 2014 2014 2014 2014 1 2 3 2013 2014S C C C C C      Baøi 33. Tính tổng         2 2 2 2 0 1 2013 2014 2014 2014 2014 2014 C C C CS      Baøi 34. Tính tổng 0 2013 1 2012 2 2011 2013 2013 0 2014 2014 2014 2013 2014 2012 2014 2014 2014 1 . . . . . k k k S C C C C C C C C C C          Chuyên đề Đại số tổ hợp lớp 11 Th.s Nguyễn Văn Hải Baøi 35. Tính tổng 0 2 4 6 2014 2014 2014 2014 2014 2014 1 1 1 1 . . . 2 3 4 1008 S C C C C C      Baøi 36. Tính tổng 1 2 2013 0 1 2 2012 2013 2013 2013 2012 2012 2012 2012 1 1 1 1007 1 1 1 1 2013 S C C C C C C C                Baøi 37. Tính tổng   1 1 2 3 4 2 3 4 1 n n n n n n n C C C C nC        Baøi 38. Tính tổng 0 1 2 2. 3. ( 1). n n n n n C C C n C      Baøi 39. Tính tổng 2 3 4 2 2 2.1. 3.2. . 4.3. . .( 1). . , 3 n n n n n n C C x C x n n C x n        Baøi 40. Chứng minh rằng: 1113221 )1( 3 2   nn n nk n k nnn xnCxnCxkCxCxC Baøi 41. Chứng minh rằng: 2 4 6 2 2 1 2 2 2 2 2 4 6 2 .2 . n n n n n n C C C nC n        Baøi 42. Chứng minh rằng:   0 2 2 4 4 2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 1 n n n n n n n n C C C C        Baøi 43. Chứng minh rằng 2 2 4 4 6 6 2 2 2 1 2 2 2 2 1.2 2.4 3.6 .2 (3 1). n n n n n n n C C C n C n         Baøi 44. Chứng minh rằng 3 4 5 3 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 2)( 1) ( 1)( 2).2 . n n n n n n C C C n n nC n n n            Baøi 45. Chứng minh rằng: 1 0 1 2 1 1 1 2 1 . . . 2 3 1 1 n n n n n n C C C C n n          Baøi 46. Chứng minh rằng: 1 0 2 4 2 2 2 2 2 1 1 1 2 3 5 2 1 2 1 n n n n n n C C C C n n         Baøi 47. Chứng minh rằng: 2 1 0 2 4 2 2 2 2 2 1 1 1 1 .2 1 2 4 6 2 2 (2 1)(2 2) n n n n n n n C C C C n n n           Baøi 48. Chứng minh rằng: 2 4 6 2 2 1 3 5 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3(3 1) 2 4 6 2 2(2 1) n n n n n n n C C C C n n         Baøi 49. Chứng minh rằng: 1 0 1 2 1 1 1 1 2 1 3 6 9 3 3 3 3 n n n n n n C C C C n n          Baøi 50. Chứng minh rằng: 1 1 3 1 1 1 2 1 1 2 3 1 1 n n n n n C C C n n          Baøi 51. Chứng minh rằng:   0 1 2 3 1 1 1 1 1 1 2 4 6 8 2 2 2 2 n n n n n n n C C C C C n n          Baøi 52. Chứng minh rằng: 1 2 3 1 2 3 2 3 4 1 1 k n n n n n n k n C C C C C k n         Baøi 53. Chứng minh rằng: 0 1 2 1 1 1 1 1 . . . . 2 3 4 2 2 k n n n n n n C C C C C k n         Baøi 54. Chứng minh rằng:     0 2 1 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 3 1 1 n n n n n n n n C C C C n n                Baøi 55. Chứng minh rằng: 2 0 1 2 1 1 1 1 2 3 1.2 2.3 3.4 ( 1).( 2) ( 1).( 2) n n n n n n n C C C C n n n n             Baøi 56. Chứng minh rằng: 4 2 0 1 2 1 1 1 1 2 7 14 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1).( 2)( 3) 2( 1).( 2)( 3) n n n n n n n n C C C C n n n n n n               