Đề hsg vòng 1 huyện Thanh Chương (2013-2014)

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 9 VÒNG I NĂM HỌC 2013-2014. MÔN THI: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 2.0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A = 5 3 3 5 2 3 5 2 3 5 + − + + + − − b) Chứng minh B = a 5 - 5a 3 + 4a chia hết cho 120. c) Tìm số nguyên m để C = 2 1m m+ + là số nguyên. Bài 2: (2.0 điểm) Giải các phương trình sau: a) 3 1 1 4 x x x+ + + = + b) 2 5 8 2 2x x x− + = − c) 2 2 (4 1) 1 2 2 2x x x x− + = − + Bài 3: ( 2.5 điểm) a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức M = 2 2 5x x+ − b) Cho x; y là các số thực thỏa mãn 2 2 1 1 1.x y y x− + − = Tính N = x 2 + y 2 Bài 4: ( 3.0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. a) Chứng minh: tanB.tanC = AD HD b) Chứng minh: 2 . 4 BC DH DA ≤ c) Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Chứng minh rằng: bc aA 2 2 sin ≤ Bài 5: (0.5 điểm) Chứng minh rằng trong 2 n+1 - 1 số nguyên bất kỳ đều tồn tại 2n số có tổng là một số chẵn. Hết ./. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐÁP ÁN THI HSG MÔN: TOÁN 9 NĂM HỌC 2013-2014 Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) TT Ý Nội dung Điểm Bài 1 (2.5 điểm) a A = 5 3 3 5 2 3 5 2 3 5 + − + + + − − = 2( 5 3) 2(3 5) 2 6 2 5 2 6 2 5 + − + + + − − A = 2 2 2( 5 3) 2(3 5) 2( 5 3) 2(3 5) 5 3 3 5 2 ( 5 1) 2 ( 5 1) + − + − + = + + − + + − − A = 2 2 0.25 0,5 0.25 b B = a 5 - 5a 3 + 4a = a(a 4 - 5a 2 +4) = a(a 4 - a 2 - 4a 2 +4) B = a[a 2 (a 2 - 1) - 4(a 2 - 1)] = a(a 2 - 1)(a 2 - 4) B= (a - 2)(a - 1) a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 120 0.25 0.5 0.25 c Để C = 2 1m m+ + là số nguyên thì 2 2 1 ( )m m k k Z+ + = ∈ 2 2 2 2 4 4 4 4 (2 1) 3 4m m k m k⇔ + + = ⇔ + + = 2 2 (2 ) (2 1) 3 (2 2 1)(2 2 1) 3k m k m k m− + = ⇔ + + − − = Học sinh tìm được m = 0; m = -1 0,25 0,25 Bài 2 a ĐK 3 4 x − ≥ , 3 1 1 4 x x x+ + + = + 3 3 1 1 4 4 4 x x x⇔ + + + + = + 2 3 1 1 4 2 x x   ⇔ + + = +  ÷  ÷   3 1 1 4 2 x x⇔ + + = + 3 1 4 2 x x⇔ + = + Với 3 1 4 2 x − − ≤ ≤ Pt vô nghiệm; với 1 2 x − ≥ bình phương hai vế HS tìm được x = 2 2 0.25 0.25 0.25 b Đk: 2x ≥ , 2 2 5 8 2 2 6 9 2 2 2 1x x x x x x x− + = − ⇔ − + + − − − + 2 2 ( 3) ( 2 1) 0 3x x x− + − − = ⇔ = 0.25 0.5 c Đặt 2 1 1x y+ = ≥ phương trình trở thành 2 (4 1) 2 2x y y x− = − 4xy - y = 2y 2 - 2x ⇔ 2y 2 - 2x - 4xy + y = 0 ⇔ y(2y +1) - 2x(2y + 1) = 0 ⇔ ( 2y + 1)(y - 2x) = 0 ⇔ y = 2x (vì y = -1/2 loại). ⇔ 2 1 2x x+ = ⇔ 1 3 x = 0.25 0.25 Bài 3 a Đk: 5 5x− ≤ ≤ . *)Ta có M 2 = ( 2 2 5x x+ − ) 2 2 2 2 2 (2 1 )( 5 ) 25x x≤ + + − = ⇒ 2 25M ≤ ⇒ 5 5M − ≤ ≤ Nếu M = 5 thì M 2 = 25 dấu bằng BĐT xảy ra ⇔ 2 5 2 x x= − và 2 5x ≤ ⇔ x = 2. Vậy max M = 5 khi x = 2. 0.5 0.5 0,25 *) Theo trên thì 5 5M− ≤ ≤ nhưng giá trị nhỏ nhất của M không bằng - 5 vì 5 5x− ≤ ≤ ⇒ 2 5M ≥ − vậy min M = 2 5− khi x = 5− 0.5 b ĐK: 1 ; 1x y− ≤ ≤ .theo bài ra ta có 2 2 2 2 1 1 1 1x y y x x y y x− + − ≤ − + − = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 x y y x x y y x + − + − − + − ≤ + = Dấu bằng xảy ra khi: 2 1x y= − và 2 1y x= − hay x 2 = 1- y 2 hay x 2 + y 2 = 1 vậy N = 1 0,25 0,25 0,25 Bài 4 K G H E D A B C 0.25 a Ta có tanB = AD BD ; tanC = AD DC ⇒ tanB.tanC = 2 . AD BD DC (1) Xét 2 tam giác vuông ADC và BDH có · · DAC DBH= vì cùng phụ với góc C nên ta có : AD BD ADC BDH DC DH ∆ ∆ ⇒ =: . .AD DH DB DC⇒ = ⇒ 2 . AD AD BD DC HD = (2) Từ (1) và (2) ⇒ tanB.tanC = AD HD . 0.5 0.25 0.25 0,25 b Theo câu a. ta có: 2 2 ( ) . . 4 4 DB DC BC DH DA DB DC + = ≤ = 1.0 c x F M N A B C Gọi Ax là tia phân giác góc A, kẻ BM; CN lần lượt vuông góc với Ax Ta có · sin sin 2 A BM MAB AB = = suy ra .sin 2 A BM c= Tương tự .sin 2 A CN b= do đó ( ).sin 2 A BM CN b c+ = + Mặt khác ta luôn có: BM CN BF FC BC a + ≤ + = = Nên ( ).sin 2 A b c a+ ≤ sin 2 2 . A a a b c b c ⇒ ≤ ≤ + 0.25 0.25 Bài 5 Vì có tất cả 2 n+1 - 1 = 2(2 n - 1) + 1 số nên có ít nhất (2 n -1) + 1 = 2 n số cùng chẵn hoặc cùng lẻ, suy ra 2n cùng chẵn hoặc cùng lẻ. 0.5 Lưu ý: - Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa - Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì không chấm bài hình. . ĐK: 1 ; 1x y− ≤ ≤ .theo bài ra ta có 2 2 2 2 1 1 1 1x y y x x y y x− + − ≤ − + − = 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 x y y x x y y x + − + − − + − ≤ + = Dấu bằng xảy ra khi: 2 1x y= − và 2 1y x=. PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 9 VÒNG I NĂM HỌC 2 013 -2 014 . MÔN THI: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 12 0 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 2.0 điểm). - 1) a(a + 1) (a + 2) chia hết cho 12 0 0.25 0.5 0.25 c Để C = 2 1m m+ + là số nguyên thì 2 2 1 ( )m m k k Z+ + = ∈ 2 2 2 2 4 4 4 4 (2 1) 3 4m m k m k⇔ + + = ⇔ + + = 2 2 (2 ) (2 1) 3 (2 2 1) (2