http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Đề thi có 01 trang ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN - LỚP 11 CHUYÊN Ngày thi:31 /03/2013 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (4 điểm) 1) Giải phương trình 2 sin 2 cos2 4sin cos 3sin 2 os2 2cos 3 0, x x x x x c x x + − − − + = (x ∈ ℝ ). 2) Giải phương trình 2 1 7 3 2 0, x x x x − + + + − − = (x ∈ ℝ ). Câu 2. (4 điểm) 1) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 0 1 2 1 3, y x y x x x x y y + + = + + + + + = (x, y ∈ ℝ ). 2) Cho n là số nguyên dương thoả mãn: 1 2 3 1 2 3 128 . n n n n n C C C nC n + + + + = Tìm hệ số của x 6 trong khai triển thành đa thức của 1 ( ) 2(1 ) (2 ) n n f x x x x + = + + + . Câu 3. (4 điểm) 1) Cho dãy số (u n ) được xác định như sau 1 1 1 1 2013 , 1. 2 n n n x x x n x + = = + ≥ Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm lim n n x →+∞ . 2) Tính gi ớ i h ạ n 3 0 4 . 1 2 2 lim x x x x → + + − . Câu 4. (6 đ i ể m) 1) Trong m ặ t ph ẳ ng v ớ i h ệ to ạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Đườ ng th ẳ ng ch ứ a c ạ nh BD có ph ươ ng trình: 2x + y – 1 = 0. Đ i ể m M(6;-1) và đ i ể m N(2;1) l ầ n l ượ t n ằ m trên các đườ ng th ẳ ng (AB), (AD). Tìm to ạ độ các đỉ nh c ủ a hình vuông ABCD, bi ế t B có hoành độ d ươ ng. 2) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông c ạ nh a. Đườ ng th ẳ ng SA vuông góc v ớ i m ặ t ph ẳ ng (ABCD). Góc gi ữ a SB và (ABCD) b ằ ng 60 0 . G ọ i N là trung đ i ể m BC. a. Tính cosin góc gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng SD và AN. b. Tính kho ả ng cách gi ữ a hai đườ ng th ẳ ng SB và DN. Câu 5. (2 đ i ể m) Cho A, B, C là ba góc c ủ a m ộ t tam giác. Ch ứ ng minh r ằ ng sin sin sin 1. os os os 2 2 2 A B C A B C c c c + + ≤ + + Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. H ọ và tên thí sinh Số báo danh: Giám thị 1: (Họ tên và ký) Giám thị 2: (Họ tên và ký) http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NGÀY THI 31 /3/2013 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 CHUYÊN Bản hướng dẫn chấm có 03 .trang Câu Phương pháp – Kết quả Điểm Câu I 1) Phương trình đã cho tương đương với sin 2x(2cos 2 x -1) + 4sin x cos 2 x –3sin2x –(2cos 2 x – 1 ) –2cos x + 3 = 0 ⇔ (2sin2xcos 2 x – 2cos 2 x) + (4sinxcos 2 x – 2cos x) – 4sin 2x + 4 = 0 ⇔ 2cos 2 x(sin2x – 1) + 2cos x(sin2x – 1) – 4(sin 2x - 1) = 0 ⇔ (sin 2x - 1)(cos 2 x + cos x - 2) = 0 ⇔ sin 2 1 cos 1 4 2 cos 2 x x k x x k x π π π = = + = ⇔ = = − 2) Điều kiên x ≥ 1 Phương trình tương đương với ( ) ( ) 2 1 1 7 3 3 2 0 2 2 ( 1)( 2) 0 1 1 7 3 1 1 ( 2) 1 0 (*) 1 1 7 3 x x x x x x x x x x x x x x − − + + − + − + = − − ⇔ + + − − = − + + + ⇔ − + + − = − + + + Vì x ≥ 1 nên 1 1 1 1 1 7 3 x x x + + − − + + + > 0 Do đó (*) ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2. 1 1 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu II 1) Điều kiện y ≠ 0. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 2 2 ( 1 ) 0 x y x x y + + − + = 2 2 1 0 1 ( ) x y x x y x x x y y ⇔ + + + − = ⇔ + = − + Th ế vào ph ươ ng trình th ứ hai c ủ a h ệ ta đượ c 2 2 2 2 3 x x x y y y y + − + + = 2 2 3 x x y y y y ⇔ + − + = 1 3 x y y x y y + = − ⇔ + = 0,5 0,5 0,5 ĐỀ CHÍNH THỨC http://toanhocmuonmau.violet.vn thay vào ( ) 3 giải ra ta có nghiệm (x, y) = (0, -1). 2) Chứng minh được 1 2 3 1 1 2 3 .2 n n n n n n C C C nC n − + + + + = Từ đó suy ra 2 n – 1 = 128 ⇔ n = 8. Vậy 8 9 8 9 9 1 8 9 0 0 ( ) 2(1 ) (2 ) 2 2 k k i i i k i f x x x x C x C x − + = = = + + + = + ∑ ∑ T ừ đ ó tìm đượ c h ệ s ố c ầ n tìm là 6 5 4 8 9 2 .2 C C+ = 2072. 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu III 1) D ễ th ấ y x n > 0 v ớ i m ọ i n Ta có 1 1 2013 1 2013 .2 . 2013 2 2 n n n n n x x x x x + = + ≥ = Do đ ó x n ≥ 2013 v ớ i m ọ i n ≥ 1.nên (x n ) là dãy b ị ch ă n d ướ i M ặ t khác 2 1 2013 1 2013 ( ) 0 2 2 n n n n n n x x x x x x + − − = − = ≤ vì x n ≥ 2013 , 2 n ∀ ≥ Do đ ó dãy (x n ) gi ả m k ể t ừ s ố h ạ ng th ứ 3. T ừ đ ó suy ra dãy (x n ) có gi ớ i h ạ n h ữ u h ạ n. Đặ t a = lim n n x →+∞ suy ra 1 2013 2013 2013 2 a a a a a a = + ⇔ = ⇔ = ± Suy ra lim n n x →+∞ = 2013 vì x n > 0 v ớ i m ọ i n. 2) Ta có 3 3 0 0 4 . 1 2 2 4 .( 1 2 1) 4 2 lim lim x x x x x x x x x → → + + − + + − + + − = 3 0 2 0 3 3 4 .( 1 2 1) 4 2 lim 2 4 1 lim 4 2 (1 2 ) 1 2 1 4 1 19 . 3 4 12 x x x x x x x x x x x → → + + − + − = + + = + + + + + + + = + = 0,5 1 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu IV 1) G ọ i ( ; ) n a b là vect ơ pháp tuy ế n c ủ a đườ ng th ẳ ng AB. Vì góc gi ữ a AB và BD b ằ ng 45 0 nên ta có 2 2 2 2 2 | 2 | 3 8 3 0 2 5( ) a b a ab b a b + = ⇔ + − = + ⇔ 3 3 a b b a = − = TH1: a = - 3b, ch ọ n b = -1, a = 3 L ậ p đượ c ph ươ ng trình (AB): 3x – y – 19 = 0 (AD): x + 3y – 5 = 0. T ừ đ ó tìm đượ c 31 2 13 24 2 9 ( ; ), (4; 7), ( ; ), ( ; ) 5 5 5 5 5 5 A B C D− − − − − TH2: 3 b a = , ch ọ n b = 3, a = 1 L ậ p đượ c ph ươ ng trình (AB): x + 3y – 3 = 0 Tìm đượ c B(0; 1) (lo ạ i) 0,5 0,5 0,5 0,5 http://toanhocmuonmau.violet.vn 2) Góc giữa SB và (ABCD) là 0 60 SBA = Từ đó tính được SA = 3 a Gọi K, L lần lượt là trung điểm của AD và SA ⇒ KL//SD và CK // AN Do đó góc α giữa SD và AN chính là góc giữa KL và CK Tính được 5 11 , , 2 2 a a CK KL a LC= = = Do đ ó 2 2 2 5 cos 2 . 10 CK KL LC CKL CK KL + − = = − Suy ra 5 cos 10 α = . 2) D ễ ch ứ ng minh đượ c DN // (SBK) Do đ ó d(SB; DN) = d(D; (SBK)) Mà AD c ắ t (SBK) t ạ i K là trung đ i ể m AD nên d(D; (SBK)) = d(A; (SBK)) := h. T ứ di ệ n ABSK là t ứ di ệ n vuông nên 2 2 2 2 1 1 1 1 h AS AB AK = + + T ừ đ ó tìm đượ c d(SB; DN) = h = 3 4 a . 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu V Ch ứ ng minh đượ c sin sin 2 os 2 C A B c+ ≤ T ừ đ ó ch ứ ng minh đượ c sin sin sin os os os 2 2 2 A B C A B C c c c+ + ≤ + + Suy ra đ i ề u ph ả i ch ứ ng minh. Đẳ ng th ứ c x ả y ra khi và ch ỉ khi tam giác ABC đề u. 1 1 Lưu ý khi chấm bài : Trên đây chỉ là sơ lược đáp án, bài làm của học sinh phải được trình bày tỉ mỉ. Mọi cách giải khác, nếu đúng, vẫn cho điểm tương đương như trên. . Đề thi có 01 trang ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN - LỚP 11 CHUYÊN Ngày thi:31 /03/2013 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề . HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH NGÀY THI 31 /3/2013 MÔN THI: TOÁN LỚP 11 CHUYÊN Bản hướng dẫn chấm có 03 .trang Câu Phương pháp – Kết quả Điểm Câu I 1) Phương. SA ⇒ KL//SD và CK // AN Do đó góc α giữa SD và AN chính là góc giữa KL và CK Tính được 5 11 , , 2 2 a a CK KL a LC= = = Do đ ó 2 2 2 5 cos 2 . 10 CK KL LC CKL CK KL + − = = − Suy