Toán tổng hợp chương I Câu 1. Cho tam giác ABC đều cạnh a. 1) Tính độ dài các vectơ: AB CA BC+ + uuur uuur uuur , AB AC− uuur uuur 2) Xác định điểm M sao cho: AB AC AM+ = uuur uuur uuuur . Câu 2. Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AM. 1) Chứng minh rằng: 2 0IA IB IC+ + = uur uur uur r . 2) Với điểm O bất kỳ. Chứng minh: 2 4OA OB OC OI+ + = uuur uuur uuur uur . Câu 3. Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Hãy phân tích AI uur theo hai vectơ AB uuur và AC uuur . Câu 4 1) Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng 2AD BC EF+ = uuur uuur uuur . 2) Tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M, N là các điểm xác định bởi 2AM AB= uuuur uuur , 2 5 AN AC= uuur uuur . Chứng minh rằng: M, N, G thẳng hàng. Câu 5 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A( 2; 1), B( 1; 1), C( 3; 4). 1) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng. Xác định điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. 2) Xác định điểm N trên trục Oy sao cho | 4 |NA NB NC+ + uuur uuur uuur đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 6. Cho các véc tơ : (2;3)a = r , ( 5;1)b = − r và ( 4;11)c = − r . a. Tính toạ độ véc tơ u a b = + r r r b. Tính toạ độ véc tơ 5v c a = − r r r c. Phân tích véc tơ c r theo véc tơ a r và b r . Câu 7. Cho tam giác ABC có A(-1;3) , B(2;1) , C( 4;-3). a. Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. b. Tìm toạ độ điểm E đối xứng với điểm A qua điểm C. c. Tìm toạ độ điểm M trên Oy sao cho 3 điểm A, B, M thẳng hàng. Câu 9. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm đoạn AB . a. CMR : OD uuur + OC uuur = AD uuur + BC uuur b. Các điểm I, K lần lượt thuộc đoạn AD và BC sao cho: IA KB m ID KC n = = . Chứng minh rằng: nAB mDC IK m n + = + uuur uuur uur Câu 10. Cho ABC∆ đều cạnh a. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. a) Tìm các vectơ bằng MN uuuur . b) Tìm số thực m thỏa mãn: EM mAC= uuuur uuur . Câu 11. Cho hình chữ nhật ABCD. Xác định các vectơ sau: CB CD+ uuur uuur và CB AB− uuur uuur . Câu 12 Cho ABC ∆ có đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM. Chứng minh các đẳng thức vectơ sau: a) AB CI AI CB+ = + uuur uur uur uuur b) 2 0IA IB IC+ + = uur uur uur r Câu 13 Cho ABC ∆ . Điểm P là điểm thỏa mãn: 2PA AB= uuur uuur . Điểm M là điểm thỏa mãn: 3AM AC= − uuuur uuur . Và N là điểm thỏa mãn: 4 6PN AB AC= − + uuur uuur uuur a) Phân tích PM uuuur theo hai vec tơ AB uuur và AC uuur . b) Chứng minh ba điểm P, M, N thẳng hàng. Bài 14 Cho tam giác ABC, gọi N, P lần lượt là trung điểm của AC, BC. a. Chứng minh rằng: 2 0BN AC− = uuur uuur r . b. Tìm điểm M nằm trên đoạn thẳng AB sao cho: AP BN BM BC+ + = uuur uuur uuuur uuur Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(-4;1); B(0;3); C(1;-2). a. Chứng minh ba điểm A, B, C lập thành ba đỉnh của một tam giác. b. Tìm tọa độ của trung điểm cạnh AB. c. Cho D (2;-1), hãy phân tích vectơ AD uuur theo vectơ AC uuur và BC uuur . d. Tìm tọa độ điểm E sao cho C là trọng tâm tam giác ABE. Câu 16. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Hãy tính tổng AB EC BE CD+ + + uuur uuur uuur uuur Câu 17. Cho (1; 2), (3;4), (7; 2)a b c= − = = − r r r a/ Tìm tọa độ 3 5 2x b a c= − + r r r r ; b/ Hãy phân tích a r theo hai vec tơ b r và c r . Câu 18. Trong mặt phẳng Oxy cho (1;1) ; (2; 3) ; ( 3; 2)A B C− − − a)Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b)Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB và tọa độ trọng tâm tam giác ABC c)Tìm tọa độ của D để DABC là hình bình Câu 20. Rút gọn a) AB AD BC− + uuur uuur uuur ; b) 2MN ME NE+ + uuuur uuur uuur . Câu 21. Cho ABCD là tứ giác. M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD, O là trung điểm của MN. Chứng minh: a) AB DC AC DB + = + uuur uuur uuur uuur ; 2MN MB MD= + uuuur uuur uuuur ; b) 0OA OB OC OD + + + = uuur uuur uuur uuur r ; 0MB MD NA NC + + + = uuur uuuur uuur uuur r . Câu 22. Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a. Tính a) AB AC − uuur uuur ; b) AB AC + uuur uuur . Câu 24. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của AB. a) Tính DM uuuur theo DA uuur và DC uuur ; b) Gọi N là điểm thỏa mãn 2 0NC NA+ = uuur uuur r . Chứng minh D, N, M thẳng hàng. . Câu 2. Cho tam giác ABC, g i M là trung i m của BC và I là trung i m của AM. 1) Chứng minh rằng: 2 0IA IB IC+ + = uur uur uur r . 2) V i i m O bất kỳ. Chứng minh: 2 4OA OB OC OI+ + = uuur uuur. Cho tam giác ABC. G i I là i m trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Hãy phân tích AI uur theo hai vectơ AB uuur và AC uuur . Câu 4 1) Cho tứ giác ABCD. G i E, F lần lượt là trung i m của AB. tuyến AM. G i I là trung i m của AM. Chứng minh các đẳng thức vectơ sau: a) AB CI AI CB+ = + uuur uur uur uuur b) 2 0IA IB IC+ + = uur uur uur r Câu 13 Cho ABC ∆ . i m P là i m thỏa mãn: