BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7

Trực tâm H của tam giác ABE giao của ba đường cao có thể thay bằng trọng tâm G hoặc giao của ba đường phân giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABE hoặc giao của ba đường trung trực đườ

Lê Văn Hà - Giáo viên trường THCS Định Liên - Yên Định - Thanh Hoá

Gmail: hadinhlien@gmail.com Điện thoại: 0977442256

Bài 1. Nếu trong tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh ấy bằng 30◦

Lời giải Xét △ABC vuông tại A có AC= 1

2BC Trên tia đối của tia AC lấy

A

điểm D sao cho AD=AC.

△ABD=△ABC(c.g.c) ⇒ BD=BC.

Do AC=1

2BC, AC= 1

2DC nên BC=DC.

Tam giác BDC có BD=BC=DCnên là tam giác đều, do đó bC=60◦ Suy

ra dABC=30◦

Bài 2. Tính các góc của tam giác ABC Biết rằng đường cao AH và trung tuyến AM chia góc d BAC

thành ba góc bằng nhau

Lời giải.

Vẽ MK⊥AC thì △KAM=△HAM(cạnh huyền-góc nhọn) nên MK= A

K

C

MH.

Do đó MK =MB

2 = MC

2

△MKC vuông có MK= MC

2 nên bC=30◦ Suy ra [HAC=60◦, dBAC=90◦, bB=60◦

Bài 3. Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngoài tam giác ấy các tam

giác đều ABE, ACF Gọi I là trung điểm của BC, H là trực tâm của

tam giác ABE Tính các góc của tam giác FIH.

Hướng dẫn Đối với bài tập này cần xét ba trường hợp:

E

H

B

F

C

K I

Trên tia đối của tia IH lấy điểm K sao cho IH =IK thì

△IBH=△ICK(c.g.c)

⇒ CK =BH=HA Chú ý rằng:

d

FAH =60◦+30◦+A < 180b ◦

d

KCI =HBId =Bb+30◦ Suy ra

[

FCK=360◦−

[

KCN+ACBd +ACFd

=360◦−

90◦+Bb+ACBd

=90◦+Ab=FAH.d

và AF =CF

Do đó △AHF =△CKF(c.g.c) Suy ra FH =FK nên tam giác FHK cân tại đỉnh F.

Mặt khác, do hai tam giác AHF và CKF bằng nhau nên [ AFH =CFK, mà d[ AFC=60◦nên [HF K=

60◦

Vậy tam giác FHK đều Suy ra d HIF =90◦, dIHF =60◦, dIFH=30◦

Chú ý Ta cũng có thể vẽ điểm K sao cho I là trung điểm KF thì

Lại có

[

HBK=360◦− dHBA − d ABC − d IBG=360◦− 30◦− dABC −

 d

BCA+60◦



=270◦−

d

ABC+BCAd

Từ (1), (2), (3) suy ra △BHK=△AHF (c.g.c) ⇒ HK=HF.

Tam giác HKF cân tại H, có HI là đường trung tuyến

A E

H

B

F

C I

đồng thời là đường cao nên HI⊥KF Vậy d HIF =90◦

+ Trường hợp 2: dBAC=90◦ Ta thấy H, A, F thẳng hàng;

E, H, I thẳng hàng và EI//AC đồng thời IF//AB.

Do đó EI⊥IF suy ra

d

HIF =90◦, dIHF=60◦, dIFH =30◦

+ Trường hợp 3: dBAC > 90◦chứng minh tương tự trường

hợp dBAC < 90◦

Chú ý Trực tâm H của tam giác ABE (giao của ba đường

cao) có thể thay bằng trọng tâm G hoặc giao của ba đường phân giác (tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABE) hoặc giao của ba đường trung trực (đường tròn đi qua ba điểm A, B, E) là như nhau.

Bài 4. Cho tam giác ABC có d ABC=45◦, dACB=120◦ Trên tia A

H

1

1

1 2 2

đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD =2CB Tính số đo góc

d

ADB.

Lời giải Vì c C1và cC2là hai góc kề bù, mà cC1=120◦nên cC2=60◦

Vẽ DH⊥CA ta được tam giác CDH vuông tại H có [ CDH =30◦

nên CH=1

2CD, mà BC= 1

2CD (giả thiết, CD=2BC) nên CH=

BC hay tam giác BCH cân tại H suy ra HB=HD. (1)

Ta có cB1=15◦và cA1=15◦nên tam giác HAB cân tại H Do đó

Từ (1) và (2) suy ra tam giác HAD cân tại H, mà [ AHD=90◦ Suy ra tam giác AHD vuông cân tại H.

Từ đó tính được dADB=30◦+45◦=75◦

Bài 5. Cho tam giác ABC có d BAC tù, đường cao AH, đường phân giác BD thoả mãn [ AHD=45◦ Tính dADB.

Lời giải.

Cách 1 Vẽ BK⊥AC Xét tam giác ABH có

A K

D

C

1 1

1 2

2

x

BD là đường phân giác trong; HD là đường

phân giác ngoài đỉnh H nên AD là đường phân

giác ngoài đỉnh A, suy ra c A1=Ac2

Mà cA1=KBH[ (cùng phụ với bC) nên c A1 =

[

Mặt khác cA2=Dc1+cB2 (2)

Vì cA1=cA2; cB1=cB2 nên từ (1) và (2) suy ra

[

KBD=Dc1 Do đó tam giác KBD vuông cân tại đỉnh K, suy ra [KBD=ADBd =45◦

Cách 2 Để vẽ hình chính xác, ta vẽ tam giác BHD có [ BHD=135◦, rồi vẽ điểm A sau đó vẽ điểm C Xét △ABH ta có:

d

HAx=ABH[+90◦=2cB2+90◦

Ta lại có dHAx=2cA2 Do đó

2cA2=2cB2+90◦⇒ cA2=cB2+45◦ (1)

Mặt khác, xét △ABD ta có

c

Từ (1) và (2) suy ra cD1=45◦

Chú ý Trước khi làm bài tập này, ta giải bài toán phụ dưới đây: Cho

E

A

D B

I

tam giác ABC Chứng minh rằng hai tia phân giác ngoài của hai góc

tại hai đỉnh B và C và tia phân giác trong của góc A cắt nhau tại một

điểm (xem một số bài tập liên qua đến bài toán này sau bài tập này)

Lời giải Thật vậy, gọi I là giao điểm hai tia phân giác ngoài của góc

B và C.

Từ I kẻ IE⊥AB; IF⊥AC theo tính chất tia phân giác ta có IE=IFvà

ID=IF.

Điều đó chứng tỏ I nằm trên tia phân giác của góc A Nói cách khác hai tia phân giác của hai góc ngoài ở đỉnh B và C và tia phân giác trong của góc A cắt nhau tại một điểm.

Bài 5.1. Cho tam giác ABC có b A=120◦, các đường phân giác AD và BE Tính số đo của [ BED.

Lời giải Kẻ tia Ax là tia đối của tia AB, ta có d BAD=CADd =

A

E

2

x

60◦nên dCAx=60◦

Xét tam giác ABD có AE là phân giác ngoài tại đỉnh A, BD

là phân giác trong tại đỉnh B Do đó DE là phân giác ngoài

tại đỉnh D Do đó

[

BED=Dc1− cB1= ADC − dd ABC

2 = BADd

2 = 60

◦

2 =30◦

Bài 5.2. Cho tam giác ABC có d ACBvà bA tù Kẻ tia BD cắt tia đối của tia CA ở D sao cho d CBD=ABC.d

Kẻ AH vuông góc với BD tại H Tính [ CHD.

Lời giải Gọi tia đối của tia AB là tia Ax.

A

C

1 1

1 2

2

x Xét tam giác ABH, theo tính chất góc ngoài của tam

giác ta có dHAx=90◦+2cB1(hình vẽ bài 5)

Xét tam giác ABC có

c

A2=Cc1+cB1=45◦+cB1= 1

2HAx.d

Suy ra AC là tia phân giác của d HAx.

Kết hợp với giả thiết BC là tia phân giác của [ ABH, suy

ra HC là tia phân giác của [ AHD Vậy [ CHD=45◦

Bài 5.3.

Cho tam giác ABC, b B=120◦, phân giác BD và CE.

Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài tại đỉnh A của

tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại F Chứng minh

rằng

a) [ADF=BDF.[

b) Ba điểm D, E, F thẳng hàng.

Lời giải.

a) Vẽ tia đối của tia phân giác BD là By Khi đó dễ thấy d ABD=ABFd =FByd =60◦.

Xét tam giác ABD có hai tia phân giác ngoài của góc A và B cắt nhau tại F suy ra DF là tia phân giác trong của góc D Vậy [ ADF =BDF[

b) Xét tam giác BCD có tia phân giác của góc C và tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt nhau tại E, suy

ra DE là tia phân giác của d ADB.

Ta có DE, DF đều là tia phân giác của góc d ADB nên ba điểm D, E, F thẳng hàng.

Bài 5.4. Cho tam giác ABC, b B=45◦, phân giác BD, đường cao AH Cho biết d BDA=45◦ Chứng

minh rằng HD//AB.

Lời giải Xét tam giác BCD có d ADBlà góc ngoài của

A

D

C

1 1

1 2

2

x tam giác BCD nên d ADB=Bc2+Cbsuy ra bC=ADB −d

c

B2hay bC=45◦−Bb

2

Xét tam giác ABC có c A1là góc ngoài tại đỉnh A nên

c

A1=Bb+Cb=Bb+45◦−Bb

2 ⇒ cA1=45◦+Bb

2 (1)

Xét tam giác AHC vuông tại H có c A2=90◦− bC=45◦+Bb

Từ (1), (2) suy ra cA1=cA2

Xét tam giác ABH có D là giao điểm của một tia phân giác ngoài với một tia phân giác trong không

kề nên tia HD là tia phân giác ngoài tại điểm H do đó [ DHC=45◦, suy ra HD//AB (vì có cặp góc

đồng vị bằng nhau)

Bài 5.5. Cho tam giác ABC, b A=120◦, các đường phân giác AD, BE,CF.

a) Chứng minh rằng DE là tia phân giác ngoài của tam giác ADB.

b) Tính [EDF.

Lời giải a) Vẽ Ax là tia đối của AB Khi đó d BAC và CAx là

A

E

1 2

x

3

F

hai góc kề bù nên dBAD=CADd =CAxd =60◦

Xét tam giác ABD có AE là tia phân giác ngoài tại đỉnh A; BE

là tia phân giác trong tại B nên DE là tia phân giác ngoài tại

đỉnh D của tam giác ADB.

b) Chứng minh tương tự DF là tia phân giác ngoài tại đỉnh

D của tam giác ACD.

Mặt khác, dADC và ADB là hai góc kề bù nên [ EDF =90◦

Bài 5.6. Cho tam giác ABC có các đường phân giác BD,CE cắt nhau tại I và ID=IE Chứng minh rằng bB=Cbhoặc bB+Cb=120◦

Lời giải.

Cách 1 Kẻ IH⊥AB,IK⊥AC, ta có △HIE=△KID(cạnh huyền-cạnh góc vuông) suy ra dIEH=IDKd (1)

Xét bốn trường hợp sau:

a) H thuộc BE; K thuộc CD.

Từ (1) suy ra bA+Cb

2 =Ab+Bb

2 Do đó bC=B.b

b) H thuộc AE; K thuộc AD.

Chứng minh tương tự phần a) ta được bB=C.b

c) H thuộc BE; K thuộc AD.

Từ (1) ta có

b

A+Cb

2 =Cb+Bb

2 ⇒ bA= Bb

2+Cb 2

⇒2 bA=Bb+C ⇒ 3 bb A=Ab+Bb+Cb=180◦⇒ bA=60◦, bB+Cb=120◦

d) H thuộc AE; K thuộc CD Chứng minh tương tự phần c), ta được b B+Cb=120◦

Cách 2 Không mất tính tổng quát, giả sử AD ≥ AE, xét hai trường hợp:

A

E

E

F

1 1

2 2

1

△ADI=△AEI(c.c.c) ⇒ d ADI=AEI.d

△ADB và △AEC có b A chung, dADI =AEId nên

c

B1=Cc1 Do đó bB=C.b

b) AD > AE Lấy F trên AD sao cho AF =AE.

△AFI =△AEI(c.g.c) ⇒ IF=IE,

b

F1=cE1.

Do IE =ID nên IF =ID, do đó b F1=Dc1 Suy

ra cD1=cE1, tức là bA+Bb

2 =Bb+Cb

2 Biến đổi như cách 1, ta được bB+Cb=120◦

Bài 5.7. Tam giác ABC có b A 6=90◦, B và C là các góc nhọn, các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC thứ tự tại E và F Chứng minh rằng AO là tia phân giác của d EAF

O

Trường hợp 1: bA < 90◦

Ta có EA=EB nên EO là tia phân giác của d AEB.

Chứng minh tương tự FO là tia phân giác của d AFE

Vì EO và FO là các tia phân giác trong tại đỉnh E và đỉnh F của

tam giác AEF nên AO là tia phân giác của d EAF

Trường hợp 2: bA > 90◦

Vì O là giao điểm của các đường trung trực AB và AC nên OA=OB=OC.

Điểm E nằm trên đường trung trực của AB nên EA=EB.

Điểm F nằm trên đường trung trực của AC nên FA=FB.

△AOE =△BOM(c.c.c) ⇒ c A1=cB1

E

O

A

12

Tương tự △AOF =△COF(c.c.c) ⇒ cA1=Cc1.

Mặt khác cB1=cC1 (vì △BOC cân tại O).

Suy ra cA1=cA2suy ra AO là tia phân giác của d EAF

Chú ý.

Từ bài toán trên ta thấy nếu bB > 90◦khi đó AO là tia phân giác

ngoài tại đỉnh A Thật vậy, xét △AEF, EO là tia phân giác trong

của bE, FO là tia phân giác ngoài tại đỉnh F Khi đó AO là tia

phân giác ngoài tại đỉnh A (hình vẽ bên).

Bài 5.8. Tam giác ABC có b B=60◦, bC=30◦ Lấy điểm D trên cạnh AC, điểm E trên cạnh AB sao

cho dABD=20◦, dACE=10◦ Gọi K là giao điểm của BD và CE Tính các góc của tam giác KDE.

Lời giải Gọi I là giao điểm của các tia phân giác d KBCvà dKCB Khi đó KI là tia phân giác của d BKC Mặt khác, tam giác KBC có d BKC=120◦(vì dKBC=40◦, dKCB=20◦), do đó dBKI=CKId =BKE[= [

CKD=60◦(dễ dàng tính được điều này)

+ Xét △BKI và △BKE có











c

B2=Bc3(giả thiết)

BK(chung) d

BKI=BKE[=60◦

Từ (1), (2) suy ra KE =KD hay △KED cân tại K.

Mặt khác, [EKD=120◦=BKCd (đối đỉnh)

Do đó [KED=KDE[ = 180

◦− 120◦

2 =30◦

Bài 5.9. Cho tam giác ABC

b

A 6=90◦, bB, b C < 90◦

, kẻ AH vuông góc với BC vẽ các điểm D và E sao cho AB là đường trung trực của HD, AC là đường trung trực của HE Gọi I, K thứ tự là giao điểm của DE với AB và AC Tính d AIC, d AKB.

Hướng dẫn Ta xét hai trường hợp:

a) Nếu bA < 90◦

b) Nếu bA > 90◦

Chú ý 1) Ở bài tập này ta đã sử dụng hai kết quả sau:

+ Hai tia phân giác của hai góc đối đỉnh là hai tia đối nhau (ở kết quả này ta cần dùng đến bài toán

sau: Nếu Ox, Oy thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ chứa tia Oz sao cho d zOx+zOyd=180◦thì Ox

và Oy đối nhau).

+ Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông

2) + Trong trường hợp bB > 90◦, tam giác HIK có IB và KB là các tia phân giác trong, IC, KC là các

tia phân giác ngoài

+ Trong trường hợp bC > 90◦, tam giác HIK có IB và KB là các tia phân giác ngoài, IC, KC là các tia

phân giác trong Các trường hợp này ta vẫn có dAIC=AKBd =90◦

Bài 5.10. Cho tam giác ABC có b B=75◦, bC=45◦ Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho d BAD=45◦

Đường vuông góc với DC tại C cắt tia phân giác của d ADC tại E Tính d CBE.

Bài 6. Cho tam giác ABC cân có b B=Cb=50◦ Gọi K là điểm trong của tam giác sao cho d KBC=

10◦, dKCB=30◦ Chứng minh rằng tam giác ABK cân và tính d BAK.

Hướng dẫn.

Cách 1 Vẽ tam giác đều EBC sao cho E và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC.

Cách 2 Vẽ tam giác đều ACE sao cho E và A khác phía đối với BC.

Cách 3 Vẽ tia phân giác của dABK.

Bài 7. Cho tam giác ABC cân có b A=20◦ Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD=BC Tính d ACD.

Hướng dẫn.

Cách 1 Vẽ tam giác đều BCE sao cho A và E cùng phía đối với BC.

Cách 2 Vẽ tam giác đều ADE sao cho C và E nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB.

Cách 3 Vẽ tam giác đều ACE sao cho D và E khác phía đối với AC.

Cách 4 Vẽ tam giác đều ABE sao cho C và E cùng phía đối với AB.

Bài 8. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm E nằm trong tam giác, tam giác EAC cân ở E và

góc ở đáy bằng 15◦ Tính dAEB.

Hướng dẫn.

Cách 1 Vẽ về phía trong tam giác ABC sao cho tam giác AED đều.

Cách 2 Về phía trong tam giác ABC lấy điểm D sao cho tam giác ABD cân ở D và có góc ở đáy bằng

Cách 3 Vẽ tam giác đều ACD sao cho E và D khác phía đối với AC.

Cách 4 Vẽ tam giác CDE đều sao cho E và D khác phía đối với BC.

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông cân với đáy BC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC Kẻ

NH vuông góc với CM tại H Kẻ HE vuông góc với AB tại E Chứng minh rằng tam giác ABH cân và

HM là tia phân giác của [BHE

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M là trung điểm của BC, G là điểm thuộc cạnh AB sao cho AG= 1

3AB, E là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CG Các đường thẳng MG và AC cắt nhau tại D So sánh độ dài DE và BC.

Bài 11. Cho tam giác ABC cân tại A với d BAC =80◦ Lấy điểm M nằm trong tam giác sao cho

[

MAC=20◦và [MCA=30◦ Tính [MBC.

Hướng dẫn Trên đường cao AH lấy điểm P sao cho AP=AB=AC.

Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A và d ABC=60◦ Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho AB+

BM=AC+CM Tính [ CAM.

Bài 13. Cho tam giác ABC có d BAC=55◦, dABC=115◦ Trên tia phân giác của dACB lấy điểm M sao

cho [MAC=25◦ Tính BMC.

Bài 14. Cho tam giác ABC cân tại A Gọi E là điểm tuỳ ý nằm giữa B và C Đường thẳng qua E vuông góc với AB và đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt nhau tại D Gọi K là trung điểm của

BE Tính độ lớn của [AKD.

Bài 15. Cho tam giác ABC cân tại A Trên đường thẳng AC lấy điểm M tuỳ ý Đường thẳng vuông góc với BC qua M cắt đường thẳng BC tại H Gọi I là trung điểm của BM Tính d HAI.

Bài 16. Cho tam giác ABC cân tại A với d BAC < 90◦và các đường cao BD, AH Trên tia BD lấy điểm

K sao cho BK=BA Tính [ HAK.

Chú ý Nếu dBAC > 90◦ta có kết quả [HAK=135◦

Bài 17. Cho tam giác ABC vuông tại A với d ACB=15◦ Đặt BC=a, AC=b, AB=c Chứng minh rằng a2=4bc.

Hướng dẫn.

Cách 1 + Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho d CBD=15◦

+ Sử dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác ABD và tam giác ABC ta có đpcm.

Cách 2 Kẻ đường cao AH và gọi M là trung điểm BC để làm.

Bài 18. Cho tam giác ABC cân tại A có d BAC ≥ 90◦ Lấy điểm M nằm giữa A và C, hạ AH và CK cùng vuông góc với BM (H, K thuộc BM) sao cho BH =HK+KC Tính d BAC.

Bài 19. Cho tam giác ABC cân tại C có d ACB=100◦ Điểm M thuộc tia CA sao cho CM=AB Tính

[

CMB.

Bài 20. Trong hình vuông ABCD lấy hai điểm P, Q sao cho BP song song với DQ với BP2+DQ2=

PQ2 Tính dPAQ.

Bài 21. Cho tam giác ABC có AB=AC và dBAC =80◦ Lấy điểm I ở trong tam giác sao cho

d

IAC=10◦, dICA=20◦ Tính dCBI.

Bài 22. Cho tam giác ABC có d BAC=45◦, AM là trung tuyến, AD là phân giác trong của tam giác MAC, kẻ DK vuông góc với AB (K ∈ AB) Gọi giao điểm của AM và DK là I Chứng minh rằng nếu

AMlà tia phân giác của dBAD thì BI là tia phân giác của d ABD.

Bài 23. Cho tam giác ABC cân tại A Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E sao cho d DAE =ABD.d Chứng minh rằng dDAE=ECB.d

Bài 24. Cho tam giác ABC cân tại A Lấy điểm M nằm trong tam giác sao cho [ MAC=MBA[=MCB.[

Hãy so sánh diện tích hai tam giác ABM và CBM.

Bài 25. Cho tam giác ABC vuông tại A có b B=75◦ Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho

BH =2AC Tính [ BHC.

Hướng dẫn.

Cách 1 Vẽ tam giác đều BCD sao cho A và D cùng phía đối với BC, lấy E là trung điểm của BH Cách 2 Vẽ tam giác đều HBD sao cho D và B thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ HC, sau đó gọi

M là trung điểm BD và chứng minh cho C, M, H thẳng hàng từ đó suy ra đpcm.

Cách 3 Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ tia Cy sao cho d BCy=75◦ Gọi H′là

giao điểm của tia Cy và BA, sau đó tìm cách chứng minh H ≡ H′

Cách 4 Gọi D là giao điểm của đường trung trực của BC với AB, khi đó tam giác DBC cân tại D, cuối

cùng tìm cách chứng minh D ≡ H.

Bài 26. Cho tam giác ABC cân tại A có d BAC=20◦ Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ các tia Ax,Cy sao cho d CAx=20◦, dCAy=130◦ Gọi D là giao điểm của hai tia Ax và Cy Tính d ABD.

Hướng dẫn Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AD có chứa B vẽ tam giác đều ADE.

Bài 27. Cho tam giác ABC cân tại A có d BAC=40◦, đường cao AH Các điểm E, F thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho d EBA=F BCd =30◦ Chứng minh rằng AE =AF.

Bài 28. Cho tam giác ABC cân có b B=Cb=50◦ Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho d CAD=30◦ Trên

cạnh AC lấy điểm E sao cho d ABE =30◦ Gọi I là giao điểm của AD và BE Chứng minh rằng tam giác IDE cân và tính các góc của tam giác đó.

Hướng dẫn Trên nửa mặt phẳng bờ BC vẽ tam giác ABH đều sao cho A và H thuộc hai nửa mặt

phẳng bờ BC.

Bài 29. Cho tam giác ABC cân tại A có b A=40◦ Trên nửa mặt bờ BC không chứa điểm A, vẽ tia Bx

sao cho dCBx=10◦ Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD=BA Tính d BDC.

Hướng dẫn

Cách 1 Vẽ tam giác ABE đều sao cho E và C cùng phía đối với AB.

Cách 2 Vẽ tam giác ACM đều sao cho B và M cùng phía đối với AC.

Cách 3 Vẽ tam giác BCE đều sao cho E và A cùng phía đối với BC.

Bài 30. Điểm M nằm trong tam giác đều ABC sao cho MA : MB : MC=3 : 4 : 5 Tính [AMB.

Hướng dẫn Đặt MA=3a, MB=4a, MC=5a, sau đó ta có thể chọn một trong hai cách sau:

Cách 1 Vẽ tam giác MBK đều sao cho K và C khác phía đối với BM.

Cách 2 Vẽ tam giác AME đều sao cho E và C khác phía đối với AM.

Bài 31. Điểm M nằm bên trong tam giác vuông cân tại B sao cho MA : MB : MC=1 : 2 : 3 Tính [

AMB.

SỬ DỤNG MỘT TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC CÂN ĐỂ GIẢI TOÁN

Tính chất Trong tam giác cân ABC(AB=AC)thì

d

ABC=ACBd =180

◦− dBAC

2 =Bb+Cb

2

!

Sau đây là một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác nhọn ABC Gọi O là giao điểm các đường trung trực của ba cạnh BC,CA, AB.

Kẻ AH vuông góc với BC tại H Chứng minh rằng d BAH=OAC.d

Lời giải

A

O

Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác A

D

I

1 2 3

ABC nên OA=OB=OC.

Tam giác OBC cân tại O nên d OBC=180

◦− dBOC

Tam giác OAC cân tại O nên d OAC=180

◦− dAOC

Tam giác ABC nhọn nên O nằm trong tam giác đó, suy

ra

d

BAH=90◦− dABC=90◦−

d

OBC+OBAd

=90◦− 180

◦− dBOC

2 +180

◦− dAOB

2

!

=90◦−AOCd

2 =180

◦− dAOC

2 =OACd



=OCAd



Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn ABC với các đường cao BE,CF Chứng minh rằng d BEF =BCFd

Lời giải

A

F

E

M Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho [ MF B=MBF.[

Lại có [MFB+MFC[ =90◦; [MBF+MCF[ =90◦nên [MFC=MCF[,

suy ra MC=MF =MB.

Tương tự ME =MB=MC.

Do các tam giác MBF, MEF và MCE cân tại M nên

[

MBF= 180

◦− [BMF

[

MEF= 180

◦− [EMF

[

MEC= 180

◦− [CME

Vậy

d

CBF+CEF[=MBF[+MEC[ +MEF[

=180

◦− [BMF

2 +180

◦− [CME

2 +180

◦− [EMF

2 =90◦ nên dBEF =BCFd

Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B lấy điểm D sao cho

d

ADB=ACB Chứng minh rằng dd BAC=BDC.d

Lời giải Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC thì O nằm trong tam giác ABC và

OA=OB=OC Do các tam giác OBC, OAC cân tại O nên d OCB=180

◦− dBOC

2 ; dOCA=180

◦− dAOC

Suy ra

d

ACB=OCAd +OCBd =180

◦− dAOC

2 +180

◦− dBOC

2 = AOBd

2 ⇒ dADB=AOBd

O

Trên tia OD lấy điểm H sao cho OH =OA Khi đó

[

AHB=AHO − [[ BHO= 180◦− [AOH

2 −180

◦− [BOH

2 = AOBd

Từ (1) và (2) suy ra dADB=AHB[nên H ≡ D Từ đó OD=OA=OB=OC.

Tương tự ta có dBAC= BOCd

2 ; dBDC= BOCd

2 ⇒ dBAC=BDC.d

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Tia phân giác của góc d BAC cắt BC tại

D, cắt đường tròn tại E khác A Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB.

Lời giải