BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7

BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 Lê Văn Hà - Giáo viên trường THCS Định Liên - Yên Định - Thanh Hoá Gmail: hadinhlien@gmail.com Điện thoại: 097744 2256 Bài 1. Nếu trong tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh ấy bằng 30 ◦ . Lời giải. Xét △ABC vu ô ng tại A có AC = 1 2 BC. Trên tia đối của tia AC lấy A D A C điểm D sao cho AD = AC. △ABD = △ABC(c.g.c) ⇒ BD = BC. Do AC = 1 2 BC,AC = 1 2 DC nên BC = DC. Tam giác BDC có BD = BC = DC nên là tam giác đều, do đó  C = 60 ◦ . Suy ra  ABC = 30 ◦ . Bài 2. Tính các góc của tam giác ABC. Biết rằng đường cao AH và trung tuyến AM chia góc  BAC thành ba góc bằng nhau. Lời giải. Vẽ MK⊥AC thì △KAM = △HAM(cạnh h uyền-góc nhọn) nên MK = A B H M K C MH. Do đó MK = MB 2 = MC 2 . △MKC vuông có MK = MC 2 nên  C = 30 ◦ . Suy ra  HAC = 60 ◦ ,  BAC = 90 ◦ ,  B = 60 ◦ . Bài 3. Cho tam giác ABC, vẽ về phía ngoài t am giác ấy các tam giác đều ABE,ACF. Gọi I là trung điểm của BC,H là trực tâm của tam giác ABE. Tính các góc của tam giác FIH. Hướng dẫn. Đối với bài tập này cần xét ba trường hợp: + Trường hợp 1:  BAC < 90 ◦ . A E H B F C K I Trên tia đối của tia IH lấy điểm K sao cho IH = IK thì △IBH = △ICK(c.g.c) ⇒ CK = BH = HA. Chú ý rằng:  FAH = 60 ◦ + 30 ◦ +  A < 180 ◦ .  KCI =  HBI =  B+ 30 ◦ . Suy ra  FCK = 360 ◦ −   KCN +  ACB+  ACF  = 360 ◦ −  90 ◦ +  B+  ACB  = 90 ◦ +  A =  FAH. và AF = CF. Do đó △AHF = △CKF(c.g.c). Suy ra FH = FK nên tam giác FHK cân tại đỉnh F. Mặt khác, do hai tam giác AHF và CKF bằng nhau nên  AFH =  CFK, mà  AFC = 60 ◦ nên  HFK = 60 ◦ . Vậy tam giác FHK đều. Suy ra  HIF = 90 ◦ ,  IHF = 60 ◦ ,  IFH = 30 ◦ . Chú ý. Ta cũng có th ể vẽ điểm K s ao cho I là trung điểm KF thì △BIK = △CIF(c.g.c) ⇒ BK = CF = AF (1) Vì H là trực t âm của tam giác đều ABE nên AH = BH (2) 1 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 Lại có  HBK = 360 ◦ −  HBA−  ABC−  IBG = 360 ◦ − 30 ◦ −  ABC−   BCA+ 60 ◦  = 270 ◦ −   ABC+  BCA  = 90 ◦ +  BAC =  HAF (3) Từ (1), (2), (3) suy ra △BHK = △ AHF(c.g.c) ⇒ HK = HF. Tam giác HKF cân tại H, có HI là đường trung tuyến A E H B F C I đồng thời là đường cao nên HI⊥KF. Vậy  HIF = 90 ◦ . + Trường hợp 2:  BAC = 90 ◦ . Ta thấy H,A,F thẳng h àng ; E,H,I thẳng hàng và EI//AC đồng thời IF//AB. Do đó EI⊥IF suy ra  HIF = 90 ◦ ,  IHF = 60 ◦ ,  IFH = 30 ◦ . + Trường hợp 3:  BAC > 90 ◦ chứng minh tươ ng tự trường hợp  BAC < 90 ◦ . Chú ý. Trực tâm H của t am giác ABE (gi ao của ba đường cao) có thể thay bằng trọng tâm G hoặc g iao của ba đường phân giác (t âm đường tròn nộ i tiếp tam giác ABE) hoặc gi ao của ba đường trung trực (đường tròn đi qua ba điểm A,B,E) là như nhau. Bài 4. Cho tam giác ABC có  ABC = 45 ◦ ,  ACB = 120 ◦ . Trên tia A H B C D 1 1 1 2 2 đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tính số đo góc  ADB. Lời giải. Vì  C 1 và  C 2 là hai góc kề bù, mà  C 1 = 120 ◦ nên  C 2 = 60 ◦ . Vẽ DH⊥CA ta được tam giác CDH vuông tại H có  CDH = 30 ◦ nên CH = 1 2 CD, mà BC = 1 2 CD (giả thiết, CD = 2BC) nên CH = BC hay tam gi ác BCH cân tại H suy ra HB = HD. (1) Ta có  B 1 = 15 ◦ và  A 1 = 15 ◦ nên tam giác HAB cân tại H. Do đó HB = HA. (2) Từ (1) và (2) suy ra tam giác HAD cân tại H, mà  AHD = 90 ◦ . Suy ra tam giác AHD vuông cân tại H. Từ đó tính được  ADB = 30 ◦ + 45 ◦ = 75 ◦ . Bài 5. Cho tam giác ABC có  BAC tù, đường cao AH, đường phân giác BD thoả mãn  AHD = 45 ◦ . Tính  ADB. Lời giải. Cách 1. Vẽ BK⊥AC. Xét tam gi ác ABH có A K B H D C 1 1 1 2 2 x BD là đườ ng phân giác trong; HD là đường phân giác ngoài đỉnh H nên AD là đường phân giác ngoài đỉnh A, suy ra  A 1 =  A 2 . Mà  A 1 =  KBH (cùng phụ với  C) nên  A 1 =  KBD+  B 1 . (1) Mặt khác  A 2 =  D 1 +  B 2 . (2) Vì  A 1 =  A 2 ;  B 1 =  B 2 nên từ (1) và (2) suy ra  KBD =  D 1 . Do đó tam giác KBD vuông cân tại đỉnh K, suy ra  KBD =  ADB = 45 ◦ . Cách 2. Để vẽ hình chính xác, ta vẽ tam g iác BHD có  BHD = 135 ◦ , rồi vẽ điểm A sau đó vẽ điểm C. Xét △ABH ta có:  HAx =  ABH + 90 ◦ = 2  B 2 + 90 ◦ . 2 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 Ta lại có  HAx = 2  A 2 . Do đó 2  A 2 = 2  B 2 + 90 ◦ ⇒  A 2 =  B 2 + 45 ◦ (1) Mặt khác, xét △ABD ta có  A 2 =  B 2 +  D 1 (2) Từ (1) và (2) s uy ra  D 1 = 45 ◦ . Chú ý. Trước khi làm bài tập này, ta giải bài toán phụ dưới đây: Cho E A D B C F I tam giác ABC. Chứng minh rằng hai tia phân g iác ngoài của hai góc tại hai đỉ nh B và C và tia phân giác trong của góc A cắt nhau tại một điểm (xem một số bài tập liên qua đến b ài t oán này sau bài tập này). Lời giải. Thật vậy, gọi I là giao điểm hai tia ph ân giác ngoài của góc B và C. Từ I kẻ IE⊥AB;IF⊥AC theo tính chất tia phân giác ta có IE = IF và ID = IF. Điều đó chứng tỏ I nằm trên ti a phân gi ác của góc A. Nói cách khác hai t ia phân giác của hai góc ngoài ở đỉnh B và C và tia phân giác trong của góc A cắt nhau tại một điểm. Bài 5.1. Cho tam giác ABC có  A = 120 ◦ , các đường phân giác AD và BE. Tính số đo của  BED. Lời giải. Kẻ tia Ax là tia đối của tia AB, ta có  BAD =  CAD = A B D C E 1 1 2 2 x 60 ◦ nên  CAx = 60 ◦ . Xét tam giác ABD có AE là phân giác ngoài tại đỉnh A,BD là phân giác trong tại đỉnh B. Do đó DE là phân giác ngoài tại đỉnh D. Do đó  BED =  D 1 −  B 1 =  ADC−  ABC 2 =  BAD 2 = 60 ◦ 2 = 30 ◦ . Bài 5.2. Cho tam giác ABC có  ACB và  A tù. Kẻ tia BD cắt tia đối của tiaCA ở D sao cho  CBD =  ABC. Kẻ AH vuông góc với BD tại H. Tính  CHD. Lời giải. Gọi tia đối của tia AB là tia Ax. A B H D C 1 1 1 2 2 x Xét tam giác ABH, theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có  HAx = 90 ◦ + 2  B 1 (hình vẽ bài 5). Xét tam giác ABC có  A 2 =  C 1 +  B 1 = 45 ◦ +  B 1 = 1 2  HAx. Suy ra AC là tia phân giác của  HAx. Kết hợ p với giả th iết BC là tia phân g iác của  ABH, suy ra HC là tia phân giác của  AHD. Vậy  CHD = 45 ◦ . Bài 5.3. Cho tam giác ABC,  B = 120 ◦ , phân gi ác BD và CE. Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh rằng. a)  ADF =  BDF. b) Ba điểm D,E,F thẳng hàng. Lời giải. 3 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 a) Vẽ tia đố i của tia phân giác BD là By. Khi đó dễ thấy  ABD =  ABF =  FBy = 60 ◦ . Xét tam giác ABD có hai tia phân giác ngoài của góc A và B cắt nhau tại F suy ra DF là tia phân giác trong của góc D. Vậy  ADF =  BDF. b) Xét tam giác BCD có tia phân giác của góc C và tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt nhau tại E, suy ra DE là ti a phân giác của  ADB. Ta có DE,DF đều là tia phân giác của góc  ADB nên ba điểm D,E,F thẳng hàng. Bài 5.4. Cho tam giác ABC,  B = 45 ◦ , ph ân giác BD, đườn g cao AH. Cho biết  BDA = 45 ◦ . Chứng minh rằng HD//AB. Lời giải. Xét tam giác BCD có  ADB là góc ngoài của A B H D C 1 1 1 2 2 x tam giác BCD nên  ADB =  B 2 +  C suy ra  C =  ADB−  B 2 hay  C = 45 ◦ −  B 2 . Xét tam giác ABC có  A 1 là góc ngoài tại đỉnh A nên  A 1 =  B+  C =  B+ 45 ◦ −  B 2 ⇒  A 1 = 45 ◦ +  B 2 (1) Xét tam giác AHC vuông tại H có  A 2 = 90 ◦ −  C = 45 ◦ +  B 2 (2) Từ (1), (2) suy ra  A 1 =  A 2 . Xét tam giác ABH có D là giao điểm của một tia phân giác ngoài với một tia phân giác trong không kề nên tia HD là t ia phân giác ngoài tại điểm H do đó  DHC = 45 ◦ , suy ra HD//AB (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau). Bài 5.5. Cho tam giác ABC,  A = 120 ◦ , các đường phân giác AD,BE,CF. a) Chứng minh rằng DE là tia phân giác ngoài của tam giác ADB. b) Tính  EDF. Lời giải. a) Vẽ Ax là tia đối của AB. Khi đó  BAC và CAx là A B D C E 1 2 x 3 F hai góc kề bù nên  BAD =  CAD =  CAx = 60 ◦ . Xét tam giác ABD có AE là tia phân giác ngoài tại đỉnh A;BE là tia phân giác trong tại B nên DE là tia phân giác ngoài tại đỉnh D của tam giác ADB. b) Chứng minh tương tự DF là tia phân giác ngoài tại đỉnh D của tam giác ACD. Mặt khác,  ADC và ADB là hai góc kề bù nên  EDF = 90 ◦ . Bài 5.6. Cho tam giác ABC có các đường p hân giác BD,CE cắt nhau tại I và ID = IE. Chứng minh rằng  B =  C hoặc  B+  C = 120 ◦ . Lời giải. Cách 1. Kẻ IH⊥AB,IK⊥AC, ta có △HIE = △KID (cạnh huyền-cạnh góc vuông) suy ra  IEH =  IDK (1) Xét bốn trường hợ p sau: a) H thuộc BE;K thuộc CD. Từ (1) suy ra  A+  C 2 =  A+  B 2 . Do đó  C =  B. b) H thuộc AE;K thu ộc AD. Chứng minh tương tự phần a) ta được  B =  C. c) H thuộc BE;K thuộc AD. 4 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 Từ (1) ta có  A+  C 2 =  C +  B 2 ⇒  A =  B 2 +  C 2 ⇒2  A =  B+  C ⇒ 3  A =  A+  B+  C = 180 ◦ ⇒  A = 60 ◦ ,  B+  C = 120 ◦ . d) H thuộc AE;K thu ộc CD. Chứng minh tương tự phần c), ta đượ c  B+  C = 120 ◦ . Cách 2. Kh ô ng mất tính tổng quát, giả sử AD ≥ AE, xét hai trường hợp: a) AD = AE. A A E E D D I I F B B C C 1 1 1 1 2 2 1 △ADI = △AEI(c.c.c) ⇒  ADI =  AEI. △ADB và △AEC có  A chung,  ADI =  AEI nên  B 1 =  C 1 . Do đó  B =  C. b) AD > AE. Lấy F trên AD sao cho AF = AE. △AFI = △AEI(c.g.c) ⇒ IF = IE,  F 1 =  E 1 . Do IE = ID nên IF = ID, do đó  F 1 =  D 1 . Suy ra  D 1 =  E 1 , tức là  A+  B 2 =  B+  C 2 . Biến đổi như cách 1, ta được  B+  C = 120 ◦ . Bài 5.7. Tam giác ABC có  A = 90 ◦ ,B và C là các góc nhọn, các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC thứ tự tại E và F. Chứng m inh rằng AO là tia phân giác của  EAF. Lời giải. Ta xét hai trường hợp: A O B F E C Trường hợp 1:  A < 90 ◦ . Ta có EA = EB nên EO là tia phân g iác của  AEB. Chứng minh tương tự FO là tia phân giác của  AFE. Vì EO và FO là các tia phân giác trong tại đỉnh E và đỉnh F của tam giác AEF nên AO là tia phân giác của  EAF. Trường hợp 2:  A > 90 ◦ . Vì O là giao đi ểm của các đường trung tr ực AB và AC nên OA = OB = OC. Điểm E nằm trên đườn g t rung trực của AB nên EA = EB. Điểm F nằm trên đường trung trực của AC nên FA = FB. △AOE = △BOM(c.c.c) ⇒  A 1 =  B 1 . EB F C O A 1 1 1 2 Tương tự △AOF = △COF(c.c.c) ⇒  A 1 =  C 1 . Mặt khác  B 1 =  C 1 (vì △BOC cân tại O). Suy ra  A 1 =  A 2 suy ra AO là tia phân giác của  EAF. Chú ý. Từ bài toán trên ta thấy nếu  B > 90 ◦ khi đó AO là tia phân giác ngoài tại đỉnh A. Thật vậy, xét △AEF,EO là tia phân giác trong của  E, FO là tia phân giác ngoài tại đ ỉnh F. Khi đó AO là tia phân giác ngoài tại đỉnh A (hình vẽ bên). Bài 5.8. Tam giác ABC có  B = 60 ◦ ,  C = 30 ◦ . Lấy đ iểm D trên cạnh AC, điểm E trên cạnh AB sao cho  ABD = 20 ◦ ,  ACE = 10 ◦ . Gọi K là giao điểm của BD và CE. Tính các góc của tam giác KDE. Lời giải. Gọi I l à giao điểm của các tia phân giác  KBC và  KCB. Khi đó KI là tia phân g iác của  BKC. Mặt khác, t am giác KBC có  BKC = 120 ◦ (vì  KBC = 40 ◦ ,  KCB = 20 ◦ ), do đó  BKI =  CKI =  BKE =  CKD = 60 ◦ (dễ dàng tính được điều này). 5 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 + Xét △BKI và △BKE có         B 2 =  B 3 (giả thiết) BK (chung)  BKI =  BKE = 60 ◦ Suy ra △BKI = △BKE(g.c.g) ⇒ KE = KI (1) + Chứng min h tương tự KD = KI (2) Từ (1), (2) suy ra KE = KD hay △KED cân tại K. Mặt khác,  EKD = 120 ◦ =  BKC (đối đỉnh). Do đó  KED =  KDE = 180 ◦ − 120 ◦ 2 = 30 ◦ . Bài 5.9. Cho tam giác ABC   A = 90 ◦ ,  B,  C < 90 ◦  , kẻ AH vuông góc với BC vẽ các điểm D và E sao cho AB là đường tru n g trực của HD,AC là đường trung trực của HE. Gọi I,K thứ tự là giao điểm của DE với AB và AC. Tính  AIC,  AKB. Hướng dẫn. Ta xét hai trường hợp: a) Nếu  A < 90 ◦ . b) Nếu  A > 90 ◦ . Chú ý. 1) Ở bài tập này ta đã sử dụng hai kết quả sau: + Hai tia phân giác của hai góc đối đỉnh là hai tia đối nhau (ở kết quả này ta cần dùng đến bài toán sau: Nếu Ox,Oy thuộc hai nửa mặt phẳng đ ối nhau bờ chứa tia Oz sao cho  zOx +  zOy = 180 ◦ thì Ox và Oy đối nhau). + Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông. 2) + Trong trường hợp  B > 90 ◦ , tam giác HIK có IB và KB là các tia phân giác trong, IC,KC là các tia phân giác ng oài. + Trong trường hợp  C > 90 ◦ , tam gi ác HIK có IB và KB là các tia phân giác ngoài, IC,KC là các tia phân giác trong. Các trường hợp này ta vẫn có  AIC =  AKB = 90 ◦ . Bài 5.10. Cho tam giác ABC có  B = 75 ◦ ,  C = 45 ◦ . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho  BAD = 45 ◦ . Đường vuông góc với DC tại C cắt tia phân giác của  ADC tại E. Tính  CBE. Bài 6. Cho tam giác ABC cân có  B =  C = 50 ◦ . Gọi K là điểm trong của tam giác sao cho  KBC = 10 ◦ ,  KCB = 30 ◦ . Chứng minh rằng tam giác ABK cân và tín h  BAK. Hướng dẫn. Cách 1. Vẽ tam giác đều EBC sao cho E và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BC. Cách 2. Vẽ tam giác đều ACE sao cho E và A khác phía đối với BC. Cách 3. Vẽ tia phân giác của  ABK. Bài 7. Cho tam giác ABC cân có  A = 20 ◦ . Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Tính  ACD. Hướng dẫn. Cách 1. Vẽ tam giác đều BCE sao cho A và E cùng ph ía đ ối với BC. Cách 2. Vẽ tam giác đều ADE sao cho C và E nằm trên h ai nửa mặt phẳng đối nh au bờ AB. Cách 3. Vẽ tam giác đều ACE sao cho D và E khác phía đố i với AC. Cách 4. Vẽ tam giác đều ABE sao cho C và E cùng phía đối với AB. Bài 8. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, điểm E nằm trong tam giác, tam giác EAC cân ở E và góc ở đáy bằng 15 ◦ . Tính  AEB. Hướng dẫn. Cách 1. Vẽ về phía trong tam giác ABC sao cho tam giác AED đều. Cách 2. Về phía trong t am giác ABC lấy điểm D sao cho tam giác ABD cân ở D và có góc ở đáy bằng 6 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 15 ◦ . Cách 3. Vẽ tam giác đều ACD sao cho E và D khác phía đối với AC. Cách 4. Vẽ tam giác CDE đều sao cho E và D khác phía đối với BC. Bài 9. Cho tam giác ABC vuông cân với đáy BC. Gọi M,N lần lượt là t rung điểm của AB và AC. Kẻ NH vuông góc với CM tại H. Kẻ HE vuông góc với AB tại E. Chứng minh rằng tam giác ABH cân và HM l à tia phân giác của  BHE. Bài 10. Cho t am giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC,G là điểm thuộc cạnh AB sao cho AG = 1 3 AB,E là chân đườn g vuông góc hạ từ M xuống CG. Các đường thẳng MG và AC cắt nhau tại D. So sánh độ dài DE và BC. Bài 11. Cho t am giác ABC cân tại A với  BAC = 80 ◦ . Lấy điểm M nằm trong tam giác sao cho  MAC = 20 ◦ và  MCA = 30 ◦ . Tính  MBC. Hướng dẫn. Trên đường cao AH lấy điểm P sao cho AP = AB = AC. Bài 12. Cho tam giác ABC vuông tại A và  ABC = 60 ◦ . Lấy đ iểm M thuộc cạnh BC sao cho AB + BM = AC+CM. Tính  CAM. Bài 13. Cho tam giác ABC có  BAC = 55 ◦ ,  ABC = 115 ◦ . Trên tia phân giác của  ACB lấy điểm M sao cho  MAC = 25 ◦ . Tính BMC. Bài 14. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọ i E là điểm tuỳ ý nằm giữa B và C. Đường thẳng qua E vuông góc với AB và đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt nhau tại D. Gọi K là trung đi ểm của BE. Tính độ lớn của  AKD. Bài 15. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đ ườ ng thẳng AC lấy điểm M tuỳ ý. Đường thẳng vuông góc với BC qua M cắt đ ườ ng thẳng BC tại H. Gọi I là trung điểm của BM. Tính  HAI. Bài 16. Cho tam g iác ABC cân tại A với  BAC < 90 ◦ và các đườn g cao BD,AH. Trên tia BD lấy đi ểm K sao cho BK = BA. Tính  HAK. Chú ý. Nếu  BAC > 90 ◦ ta có kết quả  HAK = 135 ◦ . Bài 17. Cho tam giác ABC vuông t ại A với  ACB = 15 ◦ . Đặt BC = a,AC = b,AB = c. Chứng minh rằng a 2 = 4bc. Hướng dẫn. Cách 1. + Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho  CBD = 15 ◦ . + Sử dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác ABD và tam giác ABC ta có đpcm. Cách 2. Kẻ đường cao AH và gọi M là trung điểm BC để làm. Bài 18. Cho t am giác ABC cân t ại A có  BAC ≥ 90 ◦ . Lấy điểm M nằm giữa A và C, h ạ AH và CK cùng vuông góc với BM (H,K thuộc BM) sao cho BH = HK + KC. Tính  BAC. Bài 19. Cho tam giác ABC cân tại C có  ACB = 100 ◦ . Điểm M thuộc tia CA sao cho CM = AB. Tính  CMB. Bài 20. Trong hình vuông ABCD lấy hai điểm P,Q sao cho BP song song với DQ với BP 2 + DQ 2 = PQ 2 . Tính  PAQ. Bài 21. Cho tam giác ABC có AB = AC và  BAC = 80 ◦ . Lấy điểm I ở trong t am giác sao cho  IAC = 10 ◦ ,  ICA = 20 ◦ . Tính  CBI. Bài 22. Cho tam giác ABC có  BAC = 45 ◦ ,AM là tru n g tuyến, AD là phân giác trong của tam giác MAC, kẻ DK vuông góc với AB (K ∈ AB). Gọi giao điểm của AM và DK là I. Chứng minh rằng nếu AM là tia phân giác của  BAD thì BI là tia phân giác của  ABD. Bài 23. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E s ao cho  DAE =  ABD. Chứng minh rằng  DAE =  ECB. 7 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 Bài 24. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm M nằm trong tam giác sao cho  MAC =  MBA =  MCB. Hãy so sánh diện tích hai t am giác ABM và CBM. Bài 25. Cho tam g iác ABC vuông tại A có  B = 75 ◦ . Trên t ia đối của tia AB lấy điểm H sao cho BH = 2AC. Tính  BHC. Hướng dẫn. Cách 1. Vẽ tam giác đều BCD sao cho A và D cùng phía đối với BC, lấy E là trung điểm của BH. Cách 2. Vẽ tam giác đều HBD sao cho D và B thuộc h ai nửa m ặt phẳng đối nhau b ờ HC, sau đó gọi M là trung điểm BD và chứng minh cho C,M,H th ẳng hàng từ đó suy ra đpcm. Cách 3. Trên cùng một nửa mặt ph ẳng bờ BC có chứa điểm A vẽ tia Cy sao cho  BCy = 75 ◦ . Gọi H ′ là giao điểm của tia Cy và BA, sau đó tìm cách chứng minh H ≡ H ′ . Cách 4. Gọi D là giao điểm của đường trun g trực của BC với AB, khi đó t am giác DBC cân tại D, cuối cùng tìm cách chứng minh D ≡ H. Bài 26. Cho tam giác ABC cân tại A có  BAC = 20 ◦ . Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ các tia Ax,Cy s ao cho  CAx = 20 ◦ ,  CAy = 130 ◦ . Gọi D là giao điểm của hai ti a Ax và Cy. Tính  ABD. Hướng dẫn. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AD có chứa B vẽ tam giác đ ều ADE. Bài 27. Cho tam giác ABC cân tại A có  BAC = 40 ◦ , đường cao AH. Các điểm E,F thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH,AC s ao cho  EBA =  FBC = 30 ◦ . Chứng minh rằng AE = AF. Bài 28. Cho tam giác ABC cân có  B =  C = 50 ◦ . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho  CAD = 30 ◦ . Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho  ABE = 30 ◦ . Gọi I là giao điểm của AD và BE. Chứng minh rằng tam giác IDE cân và tính các góc của tam giác đ ó. Hướng dẫn. Trên n ửa mặt phẳng bờ BC vẽ tam giác ABH đều sao cho A và H thuộc hai nửa mặt phẳng bờ BC. Bài 29. Cho tam giác ABC cân tại A có  A = 40 ◦ . Trên nửa mặt bờ BC không chứa điểm A, vẽ ti a Bx sao cho  CBx = 10 ◦ . Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD = BA. Tính  BDC. Hướng dẫn Cách 1. Vẽ tam giác ABE đều sao cho E và C cùng phía đối với AB. Cách 2. Vẽ tam giác ACM đều sao cho B và M cùng phía đối với AC. Cách 3. Vẽ tam giác BCE đều sao cho E và A cùng ph ía đối với BC. Bài 30. Điểm M nằm trong tam giác đều ABC sao cho MA : MB : MC = 3 : 4 : 5. Tính  AMB. Hướng dẫn. Đặt MA = 3a,MB = 4a,MC = 5a, sau đó ta có thể chọn một trong hai cách sau: Cách 1. Vẽ tam giác MBK đều sao cho K và C khác phía đối với BM. Cách 2. Vẽ tam giác AME đều sao cho E và C khác phía đối với AM. Bài 31. Điểm M nằm b ên trong tam giác vuông cân tại B sao cho MA : MB : MC = 1 : 2 : 3. Tính  AMB. SỬ DỤNG MỘT TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC CÂN ĐỂ GIẢI TOÁN Tính chất. Trong tam g iác cân ABC ( AB = AC ) thì  ABC =  ACB = 180 ◦ −  BAC 2  =  B+  C 2  . Sau đây là một s ố ví dụ minh họa. Ví dụ 1. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của ba cạnh BC,CA,AB. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng  BAH =  OAC. 8 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 Lời giải A B H C O Gọi O là giao điểm các đườn g trung trực của tam giác A E K D I B C 1 2 3 ABC nên OA = OB = OC. Tam giác OBC cân tại O nên  OBC = 180 ◦ −  BOC 2 . Tam giác OAC cân tại O nên  OAC = 180 ◦ −  AOC 2 . Tam giác ABC nhọn nên O nằm trong tam giác đó, suy ra  BAH = 90 ◦ −  ABC = 90 ◦ −   OBC+  OBA  = 90 ◦ −  180 ◦ −  BOC 2 + 180 ◦ −  AOB 2  = 90 ◦ −  AOC 2 = 180 ◦ −  AOC 2 =  OAC  =  OCA  . Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn ABC với các đường cao BE,CF. Chứng minh rằng  BEF =  BCF. Lời giải A B C F E M Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho  MFB =  MBF. Lại có  MFB+  MFC = 90 ◦ ;  MBF +  MCF = 90 ◦ nên  MFC =  MCF, suy ra MC = MF = MB. Tương tự ME = MB = MC. 9 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 Do các tam giác MBF,MEF và MCE cân tại M nên  MBF = 180 ◦ −  BMF 2 ;  MEF = 180 ◦ −  EMF 2 ;  MEC = 180 ◦ −  CME 2 . Vậy  CBF +  CEF =  MBF +  MEC +  MEF = 180 ◦ −  BMF 2 + 180 ◦ −  CME 2 + 180 ◦ −  EMF 2 = 90 ◦ . nên  BEF =  BCF. Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B lấy điểm D sao cho  ADB =  ACB. Chứng minh rằng  BAC =  BDC. Lời giải. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác ABC thì O nằm trong tam giác ABC và OA= OB = OC. Do các tam giác OBC,OAC cân tại O nên  OCB = 180 ◦ −  BOC 2 ;  OCA = 180 ◦ −  AOC 2 . Suy ra  ACB =  OCA+  OCB = 180 ◦ −  AOC 2 + 180 ◦ −  BOC 2 =  AOB 2 ⇒  ADB =  AOB 2 (1) A D ≡ H O B C Trên ti a OD lấy điểm H sao cho OH = OA. Khi đó  AHB =  AHO−  BHO = 180 ◦ −  AOH 2 − 180 ◦ −  BOH 2 =  AOB 2 (2) Từ (1) và (2) s uy ra  ADB =  AHB nên H ≡ D. Từ đó OD = OA = OB = OC. Tương tự ta có  BAC =  BOC 2 ;  BDC =  BOC 2 ⇒  BAC =  BDC. Ví dụ 4. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đườn g tròn tâm O. Tia phân giác của góc  BAC cắt BC tại D, cắt đường tròn tại E khác A. Chứng minh rằng BE l à ti ếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB. Lời giải 10 [...]... ADB = 45◦ 3 Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác đều Bài toán 5 Cho △ABC vuông ở A và BAC = 75 ◦ Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho BH = 2AC Tính số đo BHC Lời giải (h.6a) 17 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 B H K E K A E B C A b) a) BC chứa đỉnh A vẽ △EBC thì E ở miền trong △HBC Trên nửa mặt phẳng bờ  KBE = 75 ◦ − 60◦ = 15◦ = ACB   Gọi K là trung điểm của BH Ta có C KB = AC ... PAB = 60◦ + 2 2 TÍNH SỐ ĐO GÓC 15 (2) BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 1 Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền Bài toán 1 Tính các góc của △ABC Biết rằng đường cao AH và trung tuyến AM chia ABC thành ba góc bằng nhau Lời giải (h.4a) F A 1 2 3 A E K H B H M C 2 B N a) 1 C 3 b) K Vẽ MK⊥AC △ABM cân tại đỉnh A (đường cao AH đồng thời là đường phân giác)... BEA = 75 ◦ 4 Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác cân có một góc đã biết số đo Bài toán 7 Cho △ABC có BAC = 50◦ , ABC = 20◦ Trên đường phân giác BE của tam giác ta lấy điểm F sao cho FAB = 20◦ Gọi N là trung điểm AF, EN cắt AB tại K Tính số đo KCB Lời giải (h.7a) 18 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 C 3 M 2 2 1 1 2 N 1 A K E A F O B B J N K H b) Giả sử CK cắta) tại M Ta có F2 = A1 + B1 = 30◦... − α Tính số đo CMB Lời giải (h.1a) D A D C C M B B A M b) a) 12 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 Về cùng phía với △ABC vẽ △ABD đều Khi đó CDB = 30◦ = MAB, CBD = 60◦ − α = MAB nên ta có △BAM = △BDC (g.c.g) suy ra BC = BM, mà CBM = 2α − 60◦ nên suy ra CMB = (180◦ − 2α + 60◦ ) : 2 = 120◦ − α Hãy giải bài toán đã cho trong trường hợp α = 50◦ Bài toán 2 Cho △ABC có ABC = ACB = α > 60◦ M là điểm nằm khác phía... Chú ý: Với mọi giá trị của góc α > 60◦ thì giá trị của AMC luôn không đổi và bằng 30◦ , mặt khác hai bài toán trên có quan hệ với nhau Bài toán 3 Cho △ABC có BAC = α (30◦ < α < 60◦ ), ABC = 60◦ + α Trên tia phân giác của ACB lấy điểm M sao cho BAM = 30◦ Tính số đo của BMC 13 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 Lời giải (h.2a) B D D A A M C E C b) a) Kéo dài CM cắt AB ở D Khi đó ta có BDC = BAC + B E F 180◦... 30◦ − FAB α = 2 2 (2) (3) 14 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 α Vì ADF = ACF = 60◦ + α nên FDB = 120◦ − α , do đó BDE = 60◦ − 2 ◦ − ADC − BDE = 180◦ − (30◦ + α ) − 60◦ − α = 90◦ − α Vậy CDE = 180 2 2 Với α = 20◦ ta có bài toán quen thuộc sau: Cho △ABC cân tại B, có ABC = 20◦ Trên các cạnh BA và BC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho ACD = 50◦ , CAE = 60◦ Tính số đo của AED Bài toán 5 Cho △ABC cân tại... KME = 180◦ − 2MQE 180◦ − MKE = = 90◦ − MQE 2 2 11 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 Tam giác MID cân tại I nên IMD = 180◦ − MID 180◦ − 2MPD = = 90◦ − MPD 2 2 ⌢ Tứ giác MPAC nội tiếp nên MCD = MAP, mà MBC = MAP (cùng chắn cung MA) suy ra MCD = MBC ⇒ MCQ = MBQ Do đó tứ giác MCBQ nội tiếp, dẫn đến MQE = MBC Từ đó IMD + DME + KME = 90◦ − MPD + 90◦ + 90◦ − MQE = 270 ◦ − MAC + MBC = 180◦ ⇒ IMK = 180◦ Do đó ba điểm... 90◦ , B = 60◦ , C = 30◦ Bài toán 2 Cho △ABC có ba góc nhọn Về phía ngoài của △ABC ta vẽ các tam giác đều ABE và ACF Gọi H là trực tâm của △ABE, N là trung điểm của BC Tính số đo FNH Lời giải (h.4b) Trên tia đối của tia NH ta lấy điểm K sao cho NH = NK thì △NBH = △NCK (c.g.c) ⇒ CK = BH = HA Chú ý rằng FAH = 60◦ + 30◦ + A < 180◦ C3 = HBN = B + 30◦ 16 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 Suy ra FCK = 360◦ − C3...BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 A K O B C D E Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB Trong tam giác KBD cân tại K ta có KBD = 180◦ − BKD 180◦ − 2BAD = ⇒ KBD = 90◦ − BAD 2 2 Lại có ⌢ ⌢ EAB = EAC ⇒ EB = EC ⇒ EAB... rằng tam giác AOD cân 1 Bài 4 Cho tam giác đều ABC Trên cạnh AB, BC thứ tự lấy các điểm E, F sao cho AE = EB, BF = 2 1 FC AF cắt CE tại I.BI cắt EF tại H Chứng minh rằng CH vuông góc với AB 2 Bài 5 Cho hình thang ABCD(AB//CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác OAB và OCD tiếp xúc nhau BÀI TOÁN TÍNH GÓC TỔNG QUÁT Bài toán 1 Cho △ABC có BAC . BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 Lê Văn Hà - Giáo viên trường THCS Định Liên - Yên Định - Thanh Hoá Gmail: hadinhlien@gmail.com Điện thoại: 0 977 44 2256 Bài 1. Nếu trong tam giác. giác của  ABD. Bài 23. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đường trung tuyến BD lấy điểm E s ao cho  DAE =  ABD. Chứng minh rằng  DAE =  ECB. 7 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 Bài 24. Cho tam giác. tam giác đều Bài toán 5. Cho △ABC vuông ở A và  BAC = 75 ◦ . Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho BH = 2AC. Tính số đo  BHC. Lời giải (h.6a) 17 BÀI TẬP NÂNG CAO HÌNH HỌC 7 H E K A B C a) A B C K E b) Trên