chuyên đề chứng minh toán 9

z Chuyên đề hình 9 THCS Kim Hoa. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS KIM HOA CHUYÊN ĐỀ TOÁN THI VÀO PTTH NĂM HỌC 2013 – 2014 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP DẠNG CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC GIÁO VIÊN : Nguyễn Thị Lan THỰC HIỆN CHUYÊN ĐỀ : Nguyễn Thị Minh Tâm 1 Chuyờn hỡnh 9 THCS Kim Hoa. A/ t vn I/ Cơ sở lí luận *Môn hình học giúp học sinh có sự rèn luyện t duy, chính xác và hợp lôgic, rèn luyện cho học sinh kỹ năng cơ bản trong toán học nói riêng và áp dụng trong đời sống nói chung Những kỹ năng cơ bản đó là sự phán đoán nhận xét, lập luận liên hệ kiến thức cũ và mới liên hệ với bài toán thực tế. Hình thành cho học sinh tính cẩn thận cần cù và phát triển năng lực t duy. *Qua việc ôn thi vào lớp 10 cho thấy không ít học sinh cha tự lực tìm tòi kiến thức cha tập trung thời gian để học tập, cha nắm vững kiến thức cơ bản cha biết cách chứng minh bài toán hình học. Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh đẳng thức hình học thờng có trong đề thi. Vì vậy cần bồi dỡng ôn luyện cho học sinh l rt cn thit II/ Cơ sở thực tiễn : Bi toỏn chng minh t giỏc ni tip chim 1 v trớ quan trng trong chng trỡnh Nhằm nâng cao điểm trung bình thi tuyển sinh vào PTTH ngời thầy cần bồi dỡng ôn luyện cho học sinh chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh đẳng thức trong hình học. Ngời thầy cần tạo cho học sinh nếp suy nghĩ để tìm ra đờng lối giải quyết bài tập bắt nguồn từ điều phải chứng minh qua các yếu tố trung gian để đi đến giải quyết yêu cầu đề bài. B/ Ni dung PHNI/ HNG DN HC SINH CHNG MINH T GIC NI TIP NG TRềN I/ Kin thc c bn 1/ nh ngha t giỏc ni tip: Mt t giỏc cú bn nh nm trờn mt ng trũn c gi l t giỏc ni tip ng trũn (gi tt l t giỏc ni tip). 2/ Tớnh cht ca t giỏc ni tip (nh lớ): + nh lý : Trong mt t giỏc ni tip, tng s o hai gúc i nhau bng 180 0 . + nh lớ o: Nu mt t giỏc cú tng s o hai gúc i nhau bng 180 0 thỡ t giỏc ú ni tip c ng trũn. 3/ Cỏc phng phỏp c bn chng minh mt t giỏc l t giỏc ni tip: Muốn chứng minh tứ giác nội tiếp ta cần chứng minh theo một trong các dấu hiệu sau: - Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0 - Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc . - Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm ( mà ta có thể xác định đợc ) điểm đó chính là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác. - Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện của đỉnh đó. * Mt s iu cn lu ý: - Nu bi toỏn yờu cu chng minh 4 im cựng thuc mt ng trũn thỡ ta phi lu ý n th t ca cỏc im trc khi chng minh t giỏc cú cỏc nh l cỏc im ú ni tip. - Nu bi toỏn yờu cu chng minh 5 im cựng thuc mt ng trũn thỡ ta i chng minh hai t giỏc (cú chung 3 nh) ni tip. - V hỡnh l khõu rt quan trng (hỡnh v cú ỳng thỡ mi gii c bi toỏn). Giỏo viờn cn yờu cu hc sinh c k bi, v hỡnh ra giy nhỏp trc (xỏc nh hỡnh 2 Chuyờn hỡnh 9 THCS Kim Hoa. dng ca hỡnh v, v cỏi gỡ trc, khụng v hỡnh trong trng hp c bit ), sau ú yờu cu hc sinh v hỡnh, rừ rng chớnh xỏc vo v. - Phỏt hin v ghi vo giy nhỏp cỏc kt qu cú ngay c t hỡnh v: cỏc gúc vuụng, cỏc gúc bng nhau, cỏc on thng bng nhau - Rốn cho hc sinh k nng phõn tớch tỡm li gii bi tp. II/ Mt s vớ d minh ha: 1. Ví dụ 1. Cho ABC nhọn. Kẻ đờng cao BE; CF. H là trực tâm của ABC. Chứng minh tứ giác BFEC và AFHE nội tiếp Hớng dẫn học sinh: B1 :Học sinh đọc kỹ đề bài. B2: Vẽ hình : Vẽ đờng cao BE; CF bằng êke H là giao điểm của CF và BE Yêu cầu học sinh nhắc lại khái niệm: - Đờng cao của tam giác. - Trực tâm tam giác B3: Xác định giả thiết kết luận của bài - Xác định trên hình vẽ tứ giác cần chứng minh nội tiếp. - Vận dụng dấu hiệu để chứng minh. B4: Hớng dẫn học sinh chứng minh. Tứ giác AFHE nội tiếp 0 90=AEH (gt) Tứ giác BFEC nội tiếp 0 90=BFC (gt) 3 )(90 gtAFH = =+ 180AEHAFH )(90 gtBEC = == 90BECBFC H E F C B A Chuyờn hỡnh 9 THCS Kim Hoa. B5 Trinh bay chng minh Sai lầm học sinh mắc phải + Vẽ đờng cao BE; CF không vuông góc với AC, AB. + Trình bày: ã ã AEH AFH= = 90 0 Tứ giác AFHE nội tiếp (thiếu căn cứ chứng minh và trình bày cha đúng theo dấu hiệu 1: Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180 0 . + Trình bày: ã ã 0 180BFC BEC + = Tứ giác BFEC nội tiếp (thiếu căn cứ chứng minh và trình bày cha đúng theo dấu hiệu 2: Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau nhìn cạnh chứa 2 đỉnh còn lại dới 1 góc . Giáo viên cần l u ý cho học sinh + Nhận biết 2 đỉnh kề nhau của tứ giác, 2 góc đối nhau của tứ giác + Nhận biết các góc vuông trong hình vẽ và căn cứ khẳng định nó + Để nhận biết tứ giác nội tiếp trớc hết học sinh phải quan sát tứ giác đã cho để phát hiện cách chứng minh theo dấu hiệu nào - Thông thờng với tứ giác cha có sẵn 2 đờng chéo ta sử dụng dấu hiệu 1: Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180 0 . 4 Chuyờn hỡnh 9 THCS Kim Hoa. - Với tứ giác có sẵn 2 đờng chéo ta sử dụng dấu hiệu 2: Tứ giác có 2 đỉnh kề nhau nhìn cạnh chứa 2 đỉnh còn lại dới 1 góc Nhận biết tứ giác nội tiếp bằng cách lợi dụng các tam giác vuông có chung cạnh huyền: Nếu hai tam giác vuông có chung cạnh huyền thì tứ giác tao thành bởi các đỉnh của 2 tam giác vuông đó nội tiếp. Để ý thấy 2 đỉnh góc vuông nằm ở 2 phía đối với cạnh huyền chung thì là hai đỉnh đối của tứ giác (dấu hiệu 1), còn 2 đỉnh góc vuông nằm cùng một phía đối với cạnh huyền chung thì là hai đỉnh kề của tứ giác (dấu hiệu 2). + Cần trình bày chứng minh lập luận đủ căn cứ, chính xác 2/ Ví dụ 2 Chứng minh rằng nếu hai đờng thẳng AB và CD cắt nhau ở M và MA.MB=MC.MD thì bốn điểm A,B,C,D c-ùng thuộc một đờng tròn. Hớng dẫn học sinh: B1: Học sinh đọc đề bài. B2: Vẽ hình trong hai trờng hợp : - AB cắt CD trong đoạn thẳng - AB cắt CD ngoài đoạn thẳng Giáo viên có thể hớng dẫn học sinh lợi dụng kết luận để vẽ hình, dùng compa xác định bốn điểm A, B, C, D B3: Xác định yêu cầu của bài vận dụng giả thiết để chứng minh. B4: Hớng dẫn chứng minh Hai điểm B , D nằm về một phía của AC và cùng nhìn xuống AC dới hai góc bằng nhau nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đ- ờng tròn AMD ng dng vi CMD MB MD MC MA = MA.MB = MC.MD Nhn xột: Bi toỏn cho ta mt du hiu nhn bit t giỏc ni tip : Nếu hai đờng thẳng AB và CD cắt nhau ở M và MA.MB=MC.MD thì bốn điểm A,B,C,D cùng thuộc một đờng tròn (hay tứ giác ABCD nội tiếp) 5 CBMADM = CMBAMD = Chuyên đề hình 9 THCS Kim Hoa. PHẦN II – CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC DẠNG : a.d = b.c HOẶC a 2 = b.c . I- Kiến thức cơ bản: Học sinh cần nắm được các nội dung kiến thức cơ bản sau: 1. Tính chất của tỉ lệ thức: . . a c a d b c b d = ⇔ = Áp dụng cho đoạn thẳng tỉ lệ cũng ta có: ' ' . ' ' ' '. ' ' AB A B AB C D A B CD CD C D = ⇔ = 2. Định lí Talet trong tam giác: * Định lí Ta let: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lai thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. ABC ∆ , DE // BC ⇒ ; ; AD AE AD AE BD CE DB EC AB AC AB AC = = = * Hệ quả: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. ABC ∆ , DE // BC ⇒ AD AE DE AB AC BC = = * Định lí Talet đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì nó song song với cạnh còn lại . AD AE DB EC = ⇒ DE // BC 3. Tính chất đường phân giác trong tam giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy. µ ¶ µ ¶ 1 2 3 4 , ,ABC A A A A∆ = = DB EB AB DC EC AC ⇒ = = 4. Hai tam giác đồng dạng: * Định nghĩa: µ µ µ µ µ µ ' ; ' ; ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' A A B B C C A B C ABC A B A C B C AB AC BC  = = =  ∆ ∆ ⇔  = =   : * Các trường hợp đồng dạng của tam giác: • ' ' ' ' ' 'A B A C B C AB AC BC = = ' ' 'A B C ABC ⇒ ∆ ∆ : (c.c.c) • µ µ ' ' ' ' , ' ' ' ' A B A C A A A B C ABC AB AC = = ⇒ ∆ ∆: (c.g.c) • µ ¶ µ ¶ ' , ' ' ' 'A A B B A B C ABC= = ⇒ ∆ ∆: (g.g) 6 Chuyên đề hình 9 THCS Kim Hoa. * Trường hợp đồng dạng đặc biệt của tam giác vuông: µ ¶ 0 ' ' ' ' , ' 90 ' ' ' A B B C A A A B C ABC AB BC = = = ⇒ ∆ ∆: (cạnh huyền-cạnh góc vuông). 5. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông: 1/ b 2 = ab’; c 2 = ac’ 2/ h 2 = b’.c’ 3/ a.h= b.c 4/ 2 2 2 1 1 1 h b c = + II- Các Phương pháp chứng minh đẳng thức hình học dạng a.d = b.c hoặc a 2 = b.c . Muốn chứng minh một đẳng thức hình học có dạng a.d = b.c hoặc a 2 = b.c ta có thể dùng một trong các cách sau: 1. Phương pháp 1: Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông. Nếu các đoạn thẳng trong hình vẽ là các cạnh hoặc đường cao, hình chiếu của cạnh góc vuông của tam giác vuông trong hình vẽ ta cần quan sát kĩ xem có áp dụng được các hệ thức lượng trong tam giác vuông không, áp dụng hệ thức nào cho thích hợp. 2. Phương pháp 2: Sử dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác. Trong trường hợp không áp dung được hệ thức lượng trong tam giác vuông ta nên nghĩ đến các tường hợp đồng dạng của tam giác và hướng dẫn HS phân tích theo sơ đồ phân tích đi lên. Ví dụ: Để chứng minh MA . MD = MB . MC ta có thể phân tích như sau: . .MA MD MB MC MA MB MC MD MAB MCD = ⇑ = ⇑ ∆ ∆ : hoặc MAC MBD ∆ ∆ : HS cần biết lựa chọn cặp tam giác nào cho thích hợp. 3. Phương pháp 3: Chứng minh mỗi vế của đẳng thức bằng một tích thứ ba. Khi hai cách trên đều không khả thi ta có thể nghĩ đến một tích thứ ba. Chứng minh mỗi vế bằng tích đó. Cũng có thể phải lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng rồi chứng minh mỗi tỉ số đó bằng một tỉ số thứ ba. 4. Phương pháp 4: Sử dụng tính chất đường phân giác, định lí Talet hoặc hệ quả của định lí Talet. Nếu các đoạn thẳng trong hệ thức có liên quan đến đường phân giác hoặc đường thẳng song song với một cạnh của tam giác thì có thể sử dụng tính chất đường phân giác trong (ngoài) tam giác hoặc định lí Talet hay hệ quả của nó. 7 Chuyên đề hình 9 THCS Kim Hoa. III- Một số lưu ý khi chứng minh đẳng thức hình học. - Khi chứng minh bài toán dạng này GV cần cho HS quan sát đẳng thức, đối chiếu với hình vẽ, xem xét vị trí của các đoạn thẳng trong đẳng thức ở hình vẽ, tìm mối liên hệ giữa chúng với kiến thức liên quan để có lựa chọn phương pháp cho hợp lí. - Với đẳng thức dạng a.d = b.c hoặc a 2 = b.c ta luôn có thể thiết lập được các tỉ lệ thức tương ứng. Chẳng hạn: . . MA MC MA MD MB MC MB MD = ⇔ = Có thể hiểu MA, MD là 2 ngoại tỉ, MB, MC là hai trung tỉ hoặc ngược lại. Khi chuyển thành tỉ lệ thức cần đặt đúng vị trí đảm bảo khi suy ngược lại được đẳng thức đã cho. - Khi có tỉ lệ thức MA MC MB MD = thì việc chọn cặp tam giác đồng dạng cũng cần để ý cách viết tương ứng các đỉnh của chúng . Trong trường hợp này có hai cách để lựa chọn MAB MCD ∆ ∆ : hoặc MAC MBD ∆ ∆ : . IV- Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm O bán kính R, điểm M nằm ngoài đường tròn . Kẻ các tiếp tuyến MA, MB với đường tròn( A, B là các tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của AB và OM. Chứng minh OI . OM = R 2 . Hướng dẫn học sinh: Bước1: Tìm hiểu đề. - Giáo viên yêu cầu học sinh đọc kĩ đề bài, vẽ hình theo yêu cầu đề bài. Sử dụng đúng các kí hiệu . * Lưu ý cách vẽ hình: Hình vẽ phải rõ ràng, bán kính của đường tròn khoảng 2-3 cm, vị trí điểm M không quá gần hoặc quá xa đường tròn. Vẽ tiếp tuyến vừa đủ để tiếp xúc với đường tròn và kéo dài qua tiếp điểm. Xác định tiếp điểm là chân đường vuông góc kẻ từ O tới tiếp tuyến. (GV yêu cầu HS phải dùng êke để vẽ đoạn vuông góc này). - Qua hình GV cho HS nhắc lại nội dung bài toán. Bước 2: Xây dựng chương trình giải. - GV cho HS quan sát đẳng thức cần chứng minh và hình vẽ, cho biết OI, OM là đoạn thẳng nào trong hình vẽ, đoạn thẳng nào có độ dài bằng R? - HS dễ dàng nhận ra OI, OM nằm trên cạnh huyền của tam giác vuông OAM ( hoặc OBM) và OA = OB = R . Vậy AI có là đường cao của tam giác vuông OAM không? vì sao? - Lật lại giả thiết ta có AM và BM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên có MA=MB mà OA = OB, suy ra OM là trung trực của AB. Do đó OM vuông góc với AB tai I. Hay AI là đường cao của tam giác vuông OAM. ( Kết quả này được sử dụng rất nhiều nên cần cho HS ghi nhớ). Bước 3: Trình bày lời giải. Ta có: OA = OB = R MA = MB ( t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ OM là trung trực của AB ⇒ OM vuông góc với AB tai I Hay AI là đường cao của tam giác vuông OAM. 8 Chuyên đề hình 9 THCS Kim Hoa. ⇒ OI . OM = OA 2 (hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông) ⇒ OI . OM = R 2 . Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải. - GV Cho HS kiểm tra lại các bước trình bày xem đúng và đủ căn cứ chưa, đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra hay chưa . - Tìm cách giải khác : từ OI . OM = R 2 ⇒ OI . OM = OA 2 Ta có cách phân tích như sau: · · 2 0 9 . 0 OI OA OA OM O OI OM IA OAM OIA O O AM A ⇑ = ⇑ ∆ ∆ ⇑ = = = : So sánh đối chiếu với cách đã làm xem cách nào ưu thế hơn. Rõ dàng trong cách làm thứ hai vẫn phải chứng minh OM vuông góc với AB tai I. Vậy sử dụng phương pháp 1 hợp lí hơn. Khi chứng minh OM vuông góc với AB tai I cũng có thể làm bằng nhiều cách khác nhau. GV nên cho HS tìm thêm các cách khác để so sánh đối chiếu và lựa chọn cách làm hợp lí nhất nhằm phát triển tư duy của HS. - Nghiên cứu, khai thác bài toán : Từ hình vẽ GV cho HS phát hiện các kết quả khác. Chẳng hạn: + AI là đường cao của tam giác vuông OAM nên có AI 2 = OI.IM; MA 2 = MI.MO; AO.AM = OM.AI. + Tứ giác OAMB nội tiếp ( ¶ µ 0 180A B+ = ) nên có IA.IB = IO.IM = IA 2 . + Kẻ đường thẳng OB căt MA tại E lại có EA.EM = EO.EB + Đường thẳng OB cắt (O) tại D ta có AD ⊥ AB( · 0 90DAB = - góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ AD//OM ⇒ . . EA ED EA EO ED EM EM EO = ⇒ = . + MO là phân giác góc AMB, nếu kẻ đường thẳng qua A cắt OM tại K và MB tại T ta lại có . . KA MA KA MT KT MA KT MT = ⇒ = . Từ đó ta có thêm các BT mới, HS được củng cố, khắc sâu kiến thức, có kĩ năng phát hiện vấn đề, có cách nhìn sâu, rộng vấn đề, phát huy tính năng động sáng tạo của học sinh. Tuỳ theo đối tượng học sinh GV có thể lựa chọn cách thức và mức độ khai thác cho phù hợp. 9 Chuyên đề hình 9 THCS Kim Hoa. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh AE . AC = A F . AB và HB . HE = HC . HF . Hướng dẫn học sinh: Bước1: Tìm hiểu đề . - Giáo viên yêu cầu học sinh đọc kĩ đề bài, vẽ hình theo yêu cầu đề bài. Sử dụng đúng các kí hiệu cần thiết. * Lưu ý cách vẽ hình: không nên vẽ tam giác ABC cân (hoặc đều). Chú ý kĩ năng vẽ đường cao trong tam giác. - Qua hình vẽ GV cho HS nhắc lại nội dung bài toán. Bước 2: Xây dựng chương trình giải. - GV cho HS quan sát đẳng thức cần chứng minh và hình vẽ, cho biết vị trí các đoạn thẳng trong hình vẽ. - Nhận thấy trong hình cũng có các đường cao, có các tam giác vuông nhưng các đoạn thẳng trong đẳng thức lại nằm ở hai tam giác vuông khác nhau nên nghĩ đến phương pháp 2. - GV hướng dẫn HS phân tích theo sơ đồ phân tích đi lên. . . AE AB AE AC AF AF AC B F A A B A E C ⇑ = ⇑ ∆ = ∆ : hoặc AEF ABC ∆ ∆ : Đến đây HS cần biết lựa chọn cặp tam giác đồng dạng nào thích hợp hơn. - Hai tam giác ABE và ACF là hai tam giác vuông có chung góc A nên dễ chứng minh được ABE ACF ∆ ∆ : (g.g). - Tương tự cách suy nghĩ đó ta có : . . HB HF HB HE HC HC HE B H E HF H F C ⇑ = ⇑ ∆ = ∆ : hoặc HBC HFE ∆ ∆ : Bước 3: Trình bày lời giải. * Hai tam giác ABE và ACF có: · · 0 90AEB AFC= = (gt) ¶ A chung ⇒ ABE ACF∆ ∆: (g.g). . . AE AC AF AB AE AB AF AC ⇒ == ⇒ *Hai tam giác HBF và HCE có: 10 [...]... O 1/ Chng minh rng t giỏc AMCI ni tip Hc sinh d dng chng minh theo phng phỏp 2 2/ Chng minh t giỏc CHIK ni tip + Vỡ t giỏc CHIK cha cú sn hai ng chộo nờn nh hng chng minh theo phng phỏp 2 ã + Nhn thy ACB = 90 0, trc giỏc giỳp ta nhn thy gúc HIK vuụng + Vỡ vy ta cú th hng dn hc sinh chng minh theo s sau: 15 Chuyờn hỡnh 9 - THCS Kim Hoa T giỏc CHIK ni tip 0 ã ã HCK + HIK = 180 0 ã HCK = 90 (gúc ni... ã HIK = 90 à à 1 + N 1 = 90 0 M à M 1 = 1 (do t giỏc AICM ni tip) à à N 1 = B 1 (chng minh tng t) à 1 + B 1 = 90 0 ( ACB vuụng ti C) * Lu ý: Trong quỏ trỡnh ging dy cn tụn trng ý kin ca hc sinh Chng hn bi tp ny hc sinh cú th a ra phng ỏn khỏc chng minh gúc HIK vuụng Khi ú giỏo viờn cn cho hc sinh phỏt huy tớnh t ch ca mỡnh Hc sinh cú th phõn tớch chng minh gúc HIK vuụng nh sau: 0 ã HIK = 90 0 ã... giai: a) T giỏc ABOC cú: ã ABO = 90 0 (tớnh cht tip tuyn) ã ACO = 90 0 (tớnh cht tip tuyn) ã ã ABO + ACO = 90 0 + 90 0 = 1800 t giỏc ABOC ni tip ng trũn ng kớnh AO b) T giỏc ECOM cú: ã OME = 90 0 (gt) ã OCE = 90 0 (tớnh cht tip tuyn) ã ã Suy ra OME + OCE = 1800 do ú t giỏc ECOM ni tip ng trũn ng kớnh OE T giỏc BDOM cú: ã DMO = 90 0 (gt) ã DBO = 90 0 (tớnh cht tip tuyn) Suy ra 4 im B, D, O, M nm trờn ng trũn... BEC = 90 0 , BFD = 90 0 nờn BE v CF l hai ng cao trong tam giỏc ABC HS d xỏc nh c hng lm phn a,b + chng minh 5 im A, B, K, M, C cựng thuc mt ng trũn ta cú th chng minh hai t giỏc ABKC v ABMC ni tip T giỏc ABKC ó cú sn hai ng chộo nờn nh hng chng minh theo phng phỏp 3 + Giỏo viờn s dng s phõn tớch i lờn hng dn hc sinh: T giỏc ABKC ni tip ã ã BAK = BCK ã BAK = (1) ã BCK = (2) 13 Chuyờn hỡnh 9 - THCS... tớnh s o gúc hoc chng minh cỏc gúc bng nhau im ny gv cn nhn mnh cho hs nhn ra cỏc gúc ú nhm s dng chng minh cỏc gúc bng nhau suy ra cỏc on thng bng nhau,cỏc tam giỏc ng dng, cỏc ng thng song song M rng: 1) Gi I, K ln lt l giao im ca DE vi (O) Chng minh DI = KE 2) Chng minh DB = CE, ADOE ni tip 3) Chng minh: OB.DE = OD.BC 4) T E k tip tuyn ET vi ng trũn( T l tit im, T khỏc C) Chng minh 5 im O, C, E,... im) a) Chng minh t giỏc ABOC ni tip b) Gi M l mt im trờn dõy BC, ng thng qua M vuụng gúc vi OM ct tia AB v AC ln lt ti D v E CMR Cỏc t giỏc: BDOM; ECOM ni tip c) Chng minh M l trung im ca DE 16 Chuyờn hỡnh 9 - THCS Kim Hoa *Hng dõn hoc sinh : - c bi - V hỡnh, nờn v v chng minh tng phn d quan sỏt, - Chỳ ý cỏch v tip tuyn - c ỳng th t nh, phỏt hin du hiu *Li giai: a) T giỏc ABOC cú: ã ABO = 90 0 (tớnh... OI OM = OH2 v OK ON = OH2 nờn chng minh c OI OM = OK ON v cũn chng minh c t giỏc IKNM ni tip 12 Chuyờn hỡnh 9 - THCS Kim Hoa PHN III MT S BI TON TNG HP Bi toỏn 1: (Tng t bi IV thi vo lp 10 - TP.H Ni nm hc 2011- 2012) Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn ng trũn ng kớnh BC ct AB, AC ln lt ti F v E Gi H l giao im ca BM v CN a) Chng minh t giỏc AEHF ni tip b) Chng minh AF AB = AE AC v HB HE = HC HF... = OA = OB OH2 = OA OB nờn chng minh AM.BN = OH2 ta chng minh AM BN = OA OB Ta cú s : AM BN = OA OB AM OB = OA BN AMO : BON à ả O1 = N1 HS cú th chng minh cỏc t giỏc ni tip ri ỏp dng h qu v gúc ni tiờp à ả chng minh O1 = N1 - Nghiờn cu, khai thỏc bi toỏn : T hỡnh v GV cho HS phỏt hin cỏc kt qu khỏc Chng hn: + H thuc ng trũn nờn OH = R khụng i Ta cú th chng minh tớch AM.BN khụng i khi H chuyn... *Ta cú: IB = IC, IH = IM (gi thit) T giỏc BHCM l hỡnh bỡnh hnh MB // CH M CH AB (gt) ã MB AB ABM = 90 0 ã Chng minh tng t cú ACM = 90 0 ã ã ABM + ACM = 1800 t giỏc ABMC ni tip Hay M thuc ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC.(2) T (1) v (2) suy ra 5 im A, B, K, M, C cựng thuc mt ng trũn 14 Chuyờn hỡnh 9 - THCS Kim Hoa Bc 4: Kim tra v nghiờn cu li gii - GV Cho HS kim tra li cỏc bc trỡnh by xem ỳng v cn... chộo nờn nh hng chng minh t giỏc ny ni tip theo phng phỏp 2 Ta cú s phõn tớch i lờn: T giỏc ABMC ni tip 0 ã ã ABM + ACM = 180 0 0 ã ã ABM = 90 , tng t ACM = 90 (bng trc giỏc nhn thy 2 gúc ny vuụng) MB AB MB // CH T giỏc BHCM l hỡnh bỡnh hnh IB = IC, IH = IM (gi thit) Bc 3: Trỡnh by li gii - T cỏc phõn tớch trờn hc sinh d dng trỡnh by c li gii bi toỏn nh sau: ã a) Ta cú BEC = 90 0 (gúc ni tip chn . z Chuyên đề hình 9 THCS Kim Hoa. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS KIM HOA CHUYÊN ĐỀ TOÁN THI VÀO PTTH NĂM HỌC 2013 – 2014 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP DẠNG CHỨNG MINH. TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC GIÁO VIÊN : Nguyễn Thị Lan THỰC HIỆN CHUYÊN ĐỀ : Nguyễn Thị Minh Tâm 1 Chuyờn hỡnh 9 THCS Kim Hoa. A/ t vn I/ Cơ. giác cần chứng minh nội tiếp. - Vận dụng dấu hiệu để chứng minh. B4: Hớng dẫn học sinh chứng minh. Tứ giác AFHE nội tiếp 0 90 =AEH (gt) Tứ giác BFEC nội tiếp 0 90 =BFC (gt) 3 ) (90 gtAFH = =+