Phương trình - Hệ phương trình (Toán THPT)

MỤC LỤC Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i MỞ ĐẦU 1 Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5 1.1. Tư duy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Tư duy sáng tạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Một số yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo . . . . . . . . 9 1.3.1. Tính mềm dẻo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2. Tính nhuần nhuyễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3. Tính độc đáo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.4. Tính hoàn thiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.5. Tính nhạy cảm vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.6. Vận dụng tư duy biện chứng để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4. Tiềm năng của các bài toán về phương trình và hệ phương trình trong việc bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh . 19 1.5. Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 2. MỘT SỐ NỘI DUNG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THEO ĐỊNH HƯỚNG RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO 22 2.1. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài toán về phương trình và hệ phương trình giải bằng phương pháp đánh giá giá trị hai vế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1. Nội dung của phương pháp đánh giá giá trị hai vế . 22 2.1.2. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2. Xây dựng hệ thống bài toán gốc giúp học sinh qui lạ về quen 28 2.3. Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho một phương trình, hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4. Rèn luyện tư duy sáng tạo thông qua việc hướng dẫn học sinh xây dựng phương trình và hệ phương trình mới . . . . 43 2.4.1. Xây dựng phương trình giải được bằng cách đưa về hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4.2. Xây dựng phương trình mới từ phương trình bậc hai cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4.3. Xây dựng phương trình và hệ phương trình đại số bằng số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4.4. Xây dựng phương trình lượng giác từ những đẳng thức lượng giác đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.5. Chuyển việc tìm tòi lời giải phương trình và hệ phương trình về các bài toán hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.5.1. Phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.5.2. Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình bằng tọa độ vectơ trong mặt phẳng . . . . . . . . . 62 2.5.3. Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình bằng tọa độ vectơ trong không gian . . . . . . . . . 67 ii 2.6. Rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề và tư duy biện chứng cho học sinh thông qua hoạt động tìm tòi cái mới khi giải phương trình và hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . 73 2.7. Rèn luyện tư duy sáng tạo thông qua việc tập cho học sinh làm quen dần với nghiên cứu toán học . . . . . . . . . . . 79 2.8. Thực nghiệm sư phạm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.8.1. Mục đích thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.8.2. Nhiệm vụ thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.8.3. Đối tượng và địa bàn thực nghiệm . . . . . . . . . . 85 2.8.4. Kế hoạch thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.8.5. Nội dung và tổ chức thực nghiệm . . . . . . . . . . 85 2.9. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ . . . . . . . . . . . . . . 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 iii MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nghị quyết trung ương Đảng khoá VII đã nhận định rằng: “Con người được đào tạo thường thiếu năng động, chậm thích nghi với nền kinh tế xã hội đang đổi mới”, từ đó chỉ đạo chúng ta phải đổi mới giáo dục và đào tạo, đổi mới phương pháp giáo dục. Điều 24.2 trong Luật Giáo dục ghi rõ: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh ”. Nghị quyết Trung ương 2 khoá VIII đã khẳng định: “Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện và thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”. Những qui định này phản ánh nhu cầu đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay nhằm đào tạo những con người có đủ trình độ và kĩ năng tham gia quá trình công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước. Xã hội ngày nay đang phát triển với tốc độ chóng mặt, lượng thông tin bùng nổ. Cùng với đó, nó đòi hỏi con người phải có tính năng động và có khả năng thích nghi cao với sự phát triển mạnh mẽ về mọi mặt khoa học kĩ thuật, đời sống Như vậy rèn luyện khả năng sáng tạo cho học sinh là nhiệm vụ quan trọng, cấp thiết của nhà trường phổ thông. Mặt khác, Toán học là môn khoa học cơ bản, là công cụ để học tập và nghiên cứu các môn học khác. Toán học có vai trò to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa học kĩ thuật. Nó liên quan chặt chẽ và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kĩ thuật và đời sống. Vì thế, dạy học môn Toán ở nhà trường phổ thông giữ vai trò quan trọng trong việc rèn luyện, bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh. Từ trước đến nay đã có nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm đến vấn đề bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh. Trong cuốn "Sáng tạo toán học”, Polya đã đi sâu nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán , quá trình sáng tạo toán học và đúc rút những kinh nghiệm giảng dạy của bản thân. Krutecxki đã trình bày các nghiên cứu của ông về cấu trúc năng lực toán học của học sinh và nêu bật những phương pháp bồi dưỡng năng lực toán học cho học sinh trong cuốn “Tâm lí năng lực toán học của học sinh”. Ở nước ta cũng có nhiều công trình của các giáo sư Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn nghiên cứu về lí luận và thực tiễn việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Có thể thấy rằng vấn đề bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo trong giảng dạy bộ môn Toán đã thu hút được sự quan tâm chú ý của nhiều nhà nghiên cứu. Tuy nhiên, các tác giả thường không đi sâu khai thác vào nghiên cứu cụ thể việc phát triển tư duy sáng tạo thông qua dạy học phương trình và hệ phương trình trong chương trình phổ thông . Vì vậy, tôi chọn đề tài nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là: "Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài toán về phương trình và hệ phương trình ở trường trung học phổ thông" 2. Mục đích, nhiệm vụ của đề tài 2 Nghiên cứu và đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần phát triển khả năng sáng tạo cho học sinh qua các bài giảng về phương trình và hệ phương trình trong chương trình toán trung học phổ thông. 3. Phương pháp nghiên cứu 3.1. Nghiên cứu lí luận - Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lí học, lí luận dạy học môn Toán - Các tài liệu sách báo, bài viết phục vụ cho đề tài. 3.2. Điều tra, quan sát Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinh trong quá trình khai thác các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và hệ thống bài tập chọn lọc. 3.3. Thực nghiệm sư phạm Tiến hành thực nghiệm sư phạm với các lớp học thực nghiệm và lớp học đối chứng trên cùng một đối tượng. 4. Phạm vi đề tài Nghiên cứu các bài tập về phương trình và hệ phương trình trong chương trình toán trung học phổ thông. Thời gian: Năm học 2010 – 2011. 5. Đối tượng khảo sát Học sinh các lớp 10D1, 10A6, 12A5 trường trung học phổ thông Xuân Đỉnh, Hà Nội. 6. Giả thuyết khoa học Nếu dạy học phương trình và hệ phương trình trong chương trình toán trung học phổ thông theo các biện pháp đề xuất trong sáng kiến kinh nghiệm này thì sẽ phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. 3 7. Điểm mới của đề tài - Trình bày cơ sở lí luận về tư duy sáng tạo - Thực trạng dạy học môn Toán phần phương trình và hệ phương trình ở nhà trường phổ thông - Đề xuất được hai biện pháp dạy học giải phương trình và hệ phương trình theo hướng phát huy tư duy sáng tạo cho học sinh (kèm theo hai giáo án cụ thể). - Kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy đề tài có tính khả thi và hiệu quả - Kết quả của đề tài có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho đồng nghiệp và cho những ai quan tâm đến dạy học bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh. 8. Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm Ngoài phần mở đầu, kết luận và khuyến nghị, danh mục tài liệu tham khảo và mục lục, SKKN trình bày trong ba chương: Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn Chương 2. Một số nội dung dạy học phương trình và hệ phương trình theo định hướng phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Chương 3. Thực nghiệm sư phạm. 4 CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Tư duy Hiện thực xung quanh có nhiều cái mà con người chưa biết. Nhiệm vụ của cuộc sống và hoạt động thực tiễn luôn đòi hỏi con người phải hiểu biết cái chưa biết đó ngày một sâu sắc, đúng đắn và chính xác hơn, phải vạch ra những cái bản chất và những quy luật tác động của chúng. Quá trình nhận thức đó gọi là tư duy. Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết (theo tâm lý học đại cương - Nguyễn Quang Cẩn) Theo từ điển triết học: "Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận. Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chung, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm. Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó". Từ đó ta có thể rút ta những đặc điểm cơ bản của tư duy. • Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan. • Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ. • Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng được phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của con người nhằm phản ánh đối tượng. • Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo. • Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người. 1.2. Tư duy sáng tạo Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có. Nội dung của sáng tạo gồm hai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cái cũ). Như vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳ hoạt động nào của xã hội loài người. Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như là một năng lực của con người. Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo. Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính dộc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về 6 những mặt khác nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ" (Nguyễn Bá Kim - Phương pháp dạy học bộ môn Toán) Theo Tiến sỹ Tôn Thân: "Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý tưởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao". Và theo tác giả "Tư duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có. Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp. Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó. (Tôn Thân - Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi Toán ở trường THCS Việt Nam, luận án phó Tiến sỹ khoa học sư phạm - Tâm lý, Viện khoa học giáo dục Hà Nội). Nhà tâm lý học người Đức Mehlhow cho rằng "Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục" Theo ông, tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi mức độ cao của chất lượng, hoạt động trí tuệ như tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chính xác. Trong khi đó, J.DanTon lại cho rằng "Tư duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học bao gồm những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như: sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm". Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", G.Polya cho rằng: "Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này. Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ 7 [...]... được các phương pháp nhằm phát triển và rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh 21 CHƯƠNG 2 MỘT SỐ NỘI DUNG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THEO ĐỊNH HƯỚNG RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO 2.1 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài toán về phương trình và hệ phương trình giải bằng phương pháp đánh giá giá trị hai vế 2.1.1 Nội dung của phương pháp đánh giá giá trị hai vế Cho phương trình f... một phương trình, hệ phương trình Ví dụ 2.3.1 Cho phương trình √ 1+x+ √ 8−x+ (1 + x)(8 − x) = m 31 1 Giải phương trình khi m = 3 2 Tìm tham số thực m để phương trình có nghiệm Lời giải 1 Giải phương trình khi m = 3 Điều kiện xác định: −1 ≤ x ≤ 4 Với bài toán này ta có tới bốn cách giải √ √ Cách 1 Đặt t = 1 + x + 8 − x, ta có t2 = 9 + 2 (1 + x)(8 − x), t ≥ 3, Suy ra t2 − 9 (1 + x)(8 − x) = (2) 2 Phương. .. hệ phương trình   x3 y = 9  3x + y = 6 23 x2 + 4x + 9 (x2 + 9)2 − (4x)2 x4 + 2x2 + 81 ≥ 2.3 = 6 Lời giải Giả sử (x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ phương trình Nhận xét rằng từ hệ đã cho ta suy ra x0 , y0 cùng dấu dương Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: √ 4 6 = 3x0 + y0 = x0 + x0 + x0 + y0 ≥ 4 4 x3 y0 = 4 9 0 ⇔ 9 ≥ 12 Điều vô lý này chứng tỏ (x0 ; y0 ) không là nghiệm của hệ phương trình Hệ phương trình. .. tiếc phương trình này không rơi vào những dạng quen thuộc như vậy Ngay lập tức, ý tưởng thường trực mà mỗi khi ta giải phương trình bậc cao là đoán nghiệm để từ đó đưa về phương trình tích được áp dụng vì hệ số tự do ở đây là 25 Nhưng thật không may, phương trình này không có nghiệm hữu tỷ Khi những phương pháp thường dùng nhất không khả thi, ta sẽ nghĩ đến cách cuối cùng đó là dùng phương pháp hệ số... giải phương trình chứa tham số chúng ta thường được yêu cầu giải phương trình với một giá trị cho trước nào đó của tham số Đây là bài toán quen thuộc, tuy nhiên với phương trình trên hằng số đã quay ngược lại đóng vai trò là tham số Vì lẽ đó những phương trình dạng này thường được giải bằng phương pháp đặc biệt mà ta gọi là phương pháp hằng số biến thiên 18 1.4 Tiềm năng của các bài toán về phương trình. .. các mâu thuẫn, thiếu logic Chủ đề phương trình và hệ phương trình là một chủ để quan trọng và hấp dẫn của chương trình toán phổ thông Việc rèn luyện, bồi dưỡng cũng như phát triển tư suy sáng tạo cho học sinh luôn gắn liền với việc phát triển của phương pháp suy luận mà ở cấp độ cao đó là sự phát triển tư duy đại số Như vậy tiềm năng của chủ đề phương trình và hệ phương trình trong việc rèn luyện tư duy... 1 = 5x − 2 x=3 Do đó phương trình có hai nghiệm là x = 1, x = 3 Ví dụ 2.1.5 (Trích đề thi tuyển sinh Đại học-cao đẳng khối A-2006) Giải hệ phương trình   x + y − √xy = 3 √  x + 1 + √y + 1 = 4 Lời giải Xét hệ phương trình   x + y − √xy = 3 √ √  x+1+ y+1=4 (1) (2) Từ (1) và theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: x+y =3+ √ xy ≤ 3 + x+y ⇒x+y ≤6 2 (3) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Swatz với hai dãy: √... của phương trình về dạng (x2 + mx + n)(x2 + px + q) Tuy đây là cách về lý thuyết có thể thực hiện được nhưng vấn đề là ở chỗ ta phải giải một hệ phương trình với 4 ẩn m, n, p, q vốn là việc không hề đơn giản Khi mọi ngả đường để giải bài toán gần như đi vào bế tắc, ta nhớ lại rằng với phương trình chứa tham số, chúng ta có thể tráo đổi vai trò của ẩn và tham số để đưa phương trình bậc cao về phương trình. .. ⇔x=3  g(x) = 2  x−3=0 Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình Ví dụ 2.1.4 Giải phương trình 5x3 + 3x2 x2 1 + 3x − 2 = + 3x − 2 2 24 (2.2) Lời giải Viết lại phương trình đã cho dưới dạng (x2 x2 + x + 1 (5x − 2) + x + 1) (5x − 2) = 2 Do x2 +x+1 > 0, ∀x ∈ R nên phương trình đã cho xác định khi 5x−2 ≥ 0 Do đó: x≥ 2 5 là điều kiện để phương trình có nghĩa Từ (2.2) suy ra có dấu bằng trong bất đẳng... ra y 2 = 24 + 2x − x2 ⇒ x2 − 2x + 1 + y 2 = 25 ⇒ (x − 1)2 + y 2 = 25 Do đó vế trái của bất phương trình trên là nửa đường tròn tâm tại điểm I(1; 0) bán kính 5 Ta thấy y = x2 − 2x + m là parabol có cực tiểu nằm trên đường thẳng x = 1 y 9 8 7 6 M 5 4 3 2 1 x -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 -1 -2 Hình 1.2 Để bất phương trình đúng với mọi x : −4 ≤ x ≤ 6 thì parabol y = x2 − 2x + m luôn luôn nằm phía trên nửa . HỌC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THEO ĐỊNH HƯỚNG RÈN LUYỆN TƯ DUY SÁNG TẠO 22 2.1. Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua các bài toán về phương trình và hệ phương trình giải bằng phương. tài - Trình bày cơ sở lí luận về tư duy sáng tạo - Thực trạng dạy học môn Toán phần phương trình và hệ phương trình ở nhà trường phổ thông - Đề xuất được hai biện pháp dạy học giải phương trình. 57 2.5.2. Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình bằng tọa độ vectơ trong mặt phẳng . . . . . . . . . 62 2.5.3. Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình bằng tọa độ vectơ trong không