pt, bpt vô tỷ (bạn sẽ tiếc khi không tải về đấy!)

ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Page 1 03/01/2013 Tôi ñưa ra ở ñây một số hướng biến ñổi có thể nghĩ ñến trong quá trình giải phương trình, bất phương trình vô tỷ. Một số bài tập có thể giải bằng nhiều cách khác nhau mà, tôi cố gắng ñưa ra các cách ñể bạn ñọc ñược biết. Một ñiều quan trọng là bạn ñọc cần tự mình luyện giải một lượng bài tập nhất ñịnh ñể nắm ñược các kĩ năng ñó. Kĩ năng thứ nhất: Lũy thừa 2 0 g f g f g  ≥   = ⇔   =   , 3 3 f g f g = ⇔ = ; ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 1 2 0 f g g f g f f g g f g f g   ≥       >    <      < ⇔ ≥ > ⇔     ≥      <      >     <1>. Giải phương trình: 1 1 1 1 x x x x x − − − − = . ðáp số: x = 1 và 1 5 2 x ± = <2>. Giải phương trình: 2 2 3 19 42 7 6 6 x x x x − + + − + − = . ð/s: x = 6; 2; 3/2; 7/2 <3>. Giải phương trình: 1 1 2 1 3 x x x x + = − + − − ð/s : 2 7 2 7 ; 2 2 x x − + = = . <4>. Giải phương trình: 2 2 2 2 12 12 12 x x x x − + − = . ðáp số x = ± 2 <5>. Giải phương trình: 3 3 x x x − = + . ðáp số: 3 10 1 3 − <6>. Giải phương trình: 2 2 2 9 2 1 4 x x x x x + + + − + = + . ðáp số: x = 0 v x = 8 7 <7>. Giải phương trình: 3 2 1 1 1 3 3 x x x x x x + + + = − + + + + . ðáp số: 1 3, 1 3 x x= − = + <8>. Giải phương trình: 2 2 5 6 3 21 19 42 x x x x x x − + + − + + = + − . ðáp số: x = 3; x = 6; x = 11 <9>. Giải phương trình: ( )( ) ( )( ) 2 2 5 2 10 x x x x x − − = + − − . ðáp số: 2 5515 ;1 + == xx <10>. Giải phương trình: 4 5 3 1 2 7 3 x x x x + + + = + + + <11>. Gpt: 2 2 3 1 11 33 3 5 x x x x x + + + = − + + − . ð/s: x = 3; x = 8. <12>. Giải phương trình: 3 3 1 2 2 2 x x x x + + + = + + . ð/s: x = 1. <13>. Giải các phương trình: 3 3 3 1 1 5 x x x + + − = ; 1 6 3 1 2 1 3 x x x x − + − = − + − ; 4 1 2 x x − − = − ; 4 3 10 3 2 x x − − = − ; 2 1 3 x x − > − ; 2 2 8 8 x x x − − > − ; 1 4 2 3 x x x + + − > + ; 16 17 8 23 x x + = − ; 2 4 2 2 x x x − + = − ; 5 1 3 2 1 0 x x x − − − − − = ; 3 2 1 3 2 x x x + − − = − ; 3 4 2 1 3 x x x + − + = + ; 2 6 5 8 2 x x x − + − > − ; 2 1 8 x x − < − ; 2 2 1 1 x x x − + + > − ; ( )( ) 1 4 2 x x x + − > − ; 5 4 3 x x x + − + > + ; 5 1 1 2 4 x x x − − − > − ; 2 3 5 2 x x x + − − < − ; 5 1 4 1 3 x x x − − − < ; 1 3 4 x x + > − + ; 2 51 2 1 1 x x x − − < − ; 2 4 3 2 x x x − + − > ; 3 3 3 2 1 1 3 1 x x x − + − = + ð/s: x = 7/6 <14>. Giải bất phương trình: − − + − > − − 2 2( 16) 7 3 3 3 x x x x x . ð/s: > − 10 34 x RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ PT, BPT Vô tỷ Page 2 03/01/2013 <15>. Giải bất phương trình: 3 2 1 x x − < − . ðáp số: 3 x ≥ ; 2 1 3 x x x − + ≤ + . ðáp số: 8 7 x ≥− 3 2 4 3 x x − > − . ðáp số: 2 1 3 x ≤ < ; 2 3 4 1 x x x + − ≥ + . ðáp số: 4 1 41 ; ; 3 4 x     +      ∈ −∞ − ∪ +∞             2 3 10 2 x x x − − ≥ − . ðáp số: 2 x ≤− và 14 x ≥ ; 5 1 1 2 4 x x x − − − > − . ðáp số: 2 10 x ≤ < 3 4 1 3 x x x + − + < + ; 3 7 2 8 x x x + − − > − . ðáp số: [ - 4; 5) và (6; 7] <16>. Giải bất phương trình : 12 3 2 1 x x x + ≥ − + + ; 2 7 5 2 3 2 x x x + − − ≥ − <17>. 2 3 4 2 2 x x x − + + + < . ðáp số: [ ) 9 4 ; 1;0 7 3 x     ∈ ∪ −      <18>. Giải bất phương trình: 2 1 1 2 1 2 3 5 x x x > − + − ð/s: ( ) 5 3 ; 1; 2; 2 2 S         = −∞ − ∪ ∪ +∞             <19>. Giải bất phương trình: 2 2 2 3 2 x x x x x − + + ≥ ðiều kiện: 2, 0, 3 x x x ≥ = ≤− Theo “dáng ñiệu” của (2) thì có các trường hợp: x = 0, x 3 ≤ − làm cho 2x 0 ≤ nên chúng là nghiệm của bất phương trình. Với 2 x ≥ bất phương trình tương ñương: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 3 4 2 2 . 3 2 x x x x x x x x x x x x x + + − + ≥ ⇔ − + ≥ − Do 2 vế ñều không âm, tiếp tục theo (2) ñược: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 25 4 2 3 2 8 25 0 8 x x x x x x x x x− + ≥ − ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ðáp số: ( ] { } 25 ; 3 0 ; 8     −∞ − ∪ ∪ +∞      là tập nghiệm của bất phương trình. <20>. Giải bất phương trình: 3 1 2 1 1 3 3 x x x x − ≥ − − + − − Với ñiều kiện 3 x ≥ thì mẫu số 2 vế ñều dương, nhân chéo ñược: 2 2 9 3 2 1 1 9 4 2 1 x x x x x x − − + ≥ − − ⇔ − ≥ − + − (*) Với ñiều kiện 3 x ≥ thì vế phải của (*) dương, bình phương hai vế ta ñược: ( ) ( ) 2 2 9 8 16 2 1 2 4 2 1 24 6 2 4 2 1 0 x x x x x x x x x − ≥ − + + − + − − ⇔ − + − − ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) 4 8 40 4 2 2 1 6 0 0 4 5 2 2 1 6 x x x x x x − − ⇔ − − − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ≤ − + ðáp số: S = [4; 5] là tập nghiệm của bất phương trình. <21>. Giải bất phương trình: 2 2 ( 6) 2 0 x x x x − − − − ≥ Học sinh rất dễ biến ñổi tương ñương thành: 2 2 6 0 2 0 x x x x   − − ≥    − − ≥   . Theo bạn có ñúng không???? ðáp số: ( ] { } [ ) ; 2 1 3; −∞ − ∪ − ∪ +∞ . <22>. Giải bất phương trình: ( ) 2 2 3 2 3 2 0 x x x x − − − ≥ . ðáp số: { } [ ) 1 ; 2 3; 2   −∞ − +∞     ∪ ∪ <23>. Giải bất phương trình: 2 2 2 11 15 2 3 6 x x x x x + + + + − ≥ + ðáp số: 7 3 ; ; 2 2 S         = −∞ − ∪ +∞           <24>. Giải bất phương trình: 4 1 2 x x − − > − ðáp số: 13 5 ;1 2 S   − =      ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Page 3 03/01/2013 <25>. Giải bất phương trình: 2 51 2 1 1 x x x − − < − ðáp số: ( ) 1; 1 2 3 1 2 13; 5 S   = − + ∪ − − −   <26>. Giải bất phương trình: 2 2 2 11 15 2 3 6 x x x x x + + + + − ≥ + ðáp số: 7 3 ; ; 2 2 S         = −∞ − ∪ +∞           <27>. Giải bất phương trình: 4 1 2 x x − − > − ðáp số: 13 5 ;1 2 S   − =      <28>. Giải bất phương trình: 2 4 2 3 3 2 x x x x − + − − > − . ð/s: [ ) { } 1; \ 2 +∞ <29>. Giải bất phương trình: 2 1 2 1 2 2 . x x x − + + ≥ − ðáp số: 1 1 ; 2 2     −     Kĩ năng thứ hai: ðặt 1 ẩn phụ hoàn toàn Với một lớp các phương trình, ñặt ( ) t x ϕ = ñưa phương trình ẩn x về phương trình ẩn t. Trường hợp ( ) x ax b ϕ = + việc này là thực sự rõ ràng. <30>. 2 3 2 6 2 4 4 10 3 x x x x + − − + − = − (B2011) <31>. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 1 3 1 2 x x x − = − + − <32>. Giải các phương trình: 2 2 3 2 1 x x x x − + − + − = ; ( )( ) 2 5 2 3 3 x x x x + − = + ; ( )( ) 2 4 1 3 5 2 6 x x x x + + − + + = ; ( )( ) 2 1 2 1 2 2 x x x x + − = + − ; 2 2 4 10 9 5 2 5 3 x x x x + + = + + ; 3 2 2 18 18 5 3 9 9 2 x x x x − + = − + ; 2 2 3 21 18 2 7 7 2 x x x x + + + + + = ; 2 2 4 5 1 4 5 7 3 x x x x + + + + + = ; 2 3 2 1 4 9 2 3 5 2 x x x x x − + − = − + − + ; 2 2 4 2 3 4 x x x x + − = + − ; ( )( ) 1 3 1 3 2 x x x x + + − − + − = ; 2 2 3 1 3 2 5 3 16 x x x x x + + + = + + + − ; 2 2 2 4 1 2 2 9 x x x x x x + + + + + = + + ; 4 2 1 1 x x + − > ; 2 2 3 15 2 5 1 2 x x x x + + + + = . ð/s: 0; - 5.; 2 2 5 10 1 7 2 x x x x + + > − − ; 2 2 2 4 3 3 2 1 x x x x + + − − > ; ( ) ( ) 2 2 4 4 2 2 x x x x x − − + + − > ; ( ) ( ) 3 6 3 6 3 x x x x + + − − + − > ; 3443 23 +=++ xxxx <33>. 3 1 3 2 7 2 2 x x x x + < + − ; 2 1 4 2 2 2 x x x x + < + + <34>. 1 2 3 1 x x x x + − > + . ðáp số: 4 1 3 x − < <− <35>. 1 1 5 2 4 2 2 x x x x     + < + +        . ðáp số: 3 3 0; 2 2; 2 2         − ∪ + +∞             <36>. 2 1 2 3 1 x x x x x + − = + ð/s: 1 5 2 ± <37>. ( ) ( ) 2 5 3 1 2 15 8 x x x x + − − + + − = ; ( ) ( ) 2 2 1 2 2 3 x x x x + − − + − − = <38>. Giải bất phương trình: 2 2 2 5 2 2 9 10 23 3 x x x x x + + + + + + ≥ − . ð/s: [2; + ∞) <39>. Giải bất phương trình: 2 1 4 3 9 x x x x + + − ≥ − + . ð/s: [0; 3] <40>. Giải bất phương trình: 3 10 4 ( 3)(10 ) 29 x x x x + + − + + − ≤ . ð/s: [-3;1] và [6;10] <41>. Giải phương trình: 2 4 2 3 2 1 x x x x + − = + . ð/s: 1 5 2 x = ± <42>. Giải phương trình: 2 4 3 1 x x x x x + + + = − . Chia cho x rồi ñặt <43>. Giải phương trình: ( ) ( ) xxxxxx 23413 22 =++++−+ ð/S: 2 131 ; 2 51 + = + = xx PT, BPT Vô tỷ Page 4 03/01/2013 <44>. Giải bất phương trình: 2 2 3 2 2 3 4x x x x + + ≤ + . ð/s: x = 1 <45>. Giải phương trình: 2 2 5 4 1 2 4 4 17 4 x x x x x + + + = + + + + <46>. Giải phương trình: 3 24 12 6 x x + + − = <47>. Giải bất phương trình: 3 2 3 1 3 1 5 8 x x + + − < . ð/s: 1 3 5 x − < ≤ <48>. Gbpt: 2 5 8 4 1 2 4 4 3 4 0 x x x x x − − + + − − − − > . ð/s: 40 4 ; 8 9 x x ≤ < > Kĩ năng thứ ba: ðặt 1 ẩn phụ t ñưa về phương trình ẩn t và x “giải ñược” <49>. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 x x x x x − + − = − − ðặt 2 2 1 t x x = + − viết phương trình thành: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 4 0 2 2 0 t x t x t t x + − − = ⇔ − + = <50>. Giải phương trình: ( ) 2 2 4 1 1 2 2 1 x x x x − + = + + ðặt 2 1 t x = + viết phương trình thành: ( ) ( ) ( ) 2 2 4 1 2 1 0 2 1 2 1 0 t x t x t t x − − + − = ⇔ − − + = <51>. Giải phương trình: 2 1 2 3 1 4 3x x x x + + = − + + ðáp số: 3 17 3 37 ; 4 14 x x − + = = <52>. Giải phương trình: 3)15(326 323 +−=+−+ xxxxx ðáp số: x =1; 234; 2 213 += ± = xx <53>. Giải các phương trình: ( ) 3 3 4 1 1 2 2 1 x x x x − + = + + ; ( ) 2 2 3 11 3 11 x x x x + + = + + ; ( ) 2 2 1 2 2 2 x x x x x + − = + − + ; ( ) 2 2 2 3 2 1 2 2 x x x x + − + = + + ; 2 2 3 3 2 2 3 1 x x x x x + + + + = + ; ( ) 2 2 1 2 3 1 x x x x + − + = + ; ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 x x x x x − + − = − − ; ( ) 2 3 7 8 4 2 8 0 x x x x + + − + + = ; 3)13(323 22 ++=++ xxxx . ð/s: x = 1; )61(31310 22 xxxx ++=++ . ð/s: x = 1; x = 7 3 4 − Kĩ năng thứ tư: ðặt 1 ẩn phụ t ñưa về hệ phương trình t và x <54>. Giải phương trình: 3 2 3 12 17 3 16 19 x x x x − + = − + − <55>. Giải phương trình 2 2 2 2 1 x x x − = − ; 2 9 6 14 3 16 x x x + − = + ; 2 2 6 1 4 5 x x x − − = + ; 3 3 2 2 1 1 x x = − − ; 3 2 3 3 4 3 2 x x x x + = + + − Kĩ năng thứ năm: ðặt 2 ẩn phụ u và v hoàn toàn, ñưa về phương trình ẩn u và v “giải ñược” “Giải ñược” ñược hiểu với 2 khả năng sau: Thứ nhất: ñó là một phương trình thuần nhất bậc (thường là bậc 2 hoặc bậc 3). Thứ hai: ñó là một phương trình bậc 2 với ẩn này, ẩn kia coi là tham số mà 2 ξ ∆ = Thứ ba: ñó là một phương trình sinh ra do một hàm ψ ñơn ñiệu trên miền D ⊂ ℝ nào ñó. Tức là phương trình ñó có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) u x v x ψ ψ = <56>. Giải bất phương trình: ( ) 2 1 1 1 2 1 2 4 8 x x x x + + − + ≥ − + ðặt ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 2 1 8 1 4 a x x a b x x b    = −  +   ⇒ + = − +   +   =    ta ñược bất phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 a b a b a b a b a b a b + ≥ + ⇔ + ≥ + ⇔ − ≤ ⇔ = ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Page 5 03/01/2013 Dẫn ñến: 2 2 1 1 1 1 2 7 40 2 2 4 1 2 1 14 9 0 2 16 x x x x x x x x x x     ≥    ≥ +    − = ⇔ ⇔ ⇔ = ±     + +   − + = − =       Nhận xét: - Có thể tạo ra một loạt các bài tập dạng này với nguồn gốc là bất phương trình ( ) 2 0 a b − ≤ <57>. Giải bất phương trình: 2 2 6 8 1 3 x x x x + + + + ≤ + . ðáp số: x = - 2 <58>. Giải bất phương trình: ( ) 2 1 1 2 1 x x x x − ≥ − − + . (A2010) ðáp số: 3 5 2 x − = <59>. Giải phương trình: 2 2 2 ( 6 11) 1 2( 4 7) 2 x x x x x x x − + − + = − + − Kết luận: 5 6 x = ± <60>. Giải phương trình: 3 3 3 3 7 5 6 7 5 x x x x x − − − = − − + − ðáp số: x = 5; x = 6; x = 7 <61>. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 1 2 1 3 6 6 x x x x − − + + = + . ðáp số: x = 2. <62>. Giải phương trình: ( ) 2 3 2 5 2 4 2 21 20 x x x x− + = − − . ðáp số: 9 193 17 3 73 , 4 4 x x ± ± = = <63>. Giải phương trình: 13)13(24572 23 −−=+++ xxxxx ðáp số:x =1 <64>. Giải phương trình: 3 223 497654 −+=+−− xxxxx ðáp số: 2 51 ;5 ±− = x <65>. Giải phương trình: xxxx 315333 3 23 −=+−+ ðáp số : 2;1 − = x <66>. Giải phương trình: 2 9 12 2 3 8 x x x + − = + ðáp số: 6 215 ; 3 1 −− == xx <67>. 2 2 4 5 1 2 1 9 3 x x x x x + + − − + = − ; 2 2 9 24 6 59 149 5 x x x x x − + − − + = − <68>. 2 1 4 1 3 x x x x + + − + ≥ (B2012) Giải phương trình bằng cách ñặt 2 ẩn phụ ñưa về phương trình thuần nhất bậc 2: ( ) ( ) 2 2 2 3 3 4 4 5 x x x x x − + = + − − ; 2 3 2 7 3 2 3 0 x x x x − + − + + = ; 2 3 2 5 1 7 1 x x x + − = − ; 2 4 2 3 3 1 1 3 x x x x − + = − + + ; 2 3 2 6 3 2 2 3 4 2 30 x x x x x − − = + + + ; ( ) 2 3 4 6 3 13 x x x + − + = 2 2 6 3 1 3 6 19 0 x x x x x + − + − − − + = ;; 2 4 4 2 2 4 1 x x x − + = + ; 2 3 2 5 22 5 11 20 x x x x − + = − + Giải phương trình bằng cách ñặt 2 ẩn phụ tạo tích: 2 1 3 1 3 1 x x x x + + + = − + − ; 2 4 1 1 3 2 1 1 x x x x + − = + − + − Kĩ năng thứ sáu: ðặt 2 ẩn phụ u và v hoàn toàn, ñưa về hệ phương trình <69>. Giải phương trình: 3 24 12 6 x x + + − = . ðáp số: 24, 88, 3 x x x = − = − = . <70>. Giải phương trình: 6 2 6 2 8 3 5 5 x x x x − + + = − + . ðáp số: x = 4; x = - 4. <71>. Giải phương trình: ( ) 2 3 14 5 2 7 1 2 x x x x x + + − = + + − − . ðáp số: x = 3. <72>. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 4 1 3 2 7 4 2 1 2 4 8 3 4 x x x x x x − − + − − = − + − + <73>. Giải bất phương trình: ( ) 7 3 7 4 7 7 32 x x x − + − − = . ð/s: 11 2 2 2 ± <74>. Giải phương trình: ( ) ( ) 5 1 2 1 7 3 1 x x x x + + − + = PT, BPT Vô tỷ Page 6 03/01/2013 <75>. ( ) ( ) 2 2 1 2 2 3 x x x x + − − + − − = <76>. ( ) ( ) 2 2 2 3 2 1 2 5 3 1 0 x x x x x + + − + + + + − = . ð/s: - 1; -1/2; 3. <77>. 2 2 5 4 1 2 4 4 17 4 x x x x x + + + = + + + + . ð/s: 0; 12 <78>. 2 4 4 5 4 1 4 17 4 11 0 x x x x x − + − + + + + + = <79>. Giải phương trình: 2 2 5 2 2 9 10 3 8 x x x x x − − − + − + = − . <80>. Giải phương trình bằng cách ñặt 2 ẩn phụ ñưa về hệ ñối xứng: 4 4 57 40 5 x x − + + = ( ) ( ) n n a f x b f x c → + + − = : 3 3 9 3 x x + − = Kĩ năng thứ bảy: ðặt 2 ẩn phụ u và v, ñưa về hệ tạm còn x <81>. Giải phương trình: 2 2 2 9 2 1 4 x x x x x + + + − + = + . ðáp số: x = 0 v x = 8 7 Kĩ năng thứ tám: ðặt ẩn phụ ñưa về phương trình lượng giác Một số dấu hiệu ñặc trưng: Trong phương trình xuất hiện 2 1 x − thì ñặt sin ; 2 2 x t t π π     = ∈ −     Trong phương trình xuất hiện 2 1 x + thì ñặt tan ; 2 2 x t t π π     = ∈ −       <82>. Giải phương trình 2 3 1 4 3 x x x − = − . ðáp số: 1 2 2 , 4 2 x x + = − = ± . <83>. Giải phương trình ( ) ( ) 3 3 2 2 1 2 1 x x x x + − = − . ðáp số: 2 1 2 2 2 , 2 2 x x − − − = = <84>. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 (1 ) x x x x x x + + + + = − ðáp số: 1 3 x = <85>. Giải phương trình: 2 2 2 (1 ) 3 1 0 1 x x x x + − − = − ðáp số 1 2 x = Kĩ năng thứ chín: Kĩ năng biến ñổi liên hợp Liên hợp là một quy tắc mà bạn có thể khử căn “gián tiếp” ñể nhanh chóng lấy ñược biểu thức ñể tạo nhân tử mà ta mong muốn. f g f g f g − − = + , 3 3 2 2 3 3 f g f g f g f g − − = + + <86>. Giải phương trình: 3 2 4 1 2 3 x x x + = − + − . ð/s: x = 2 là nghiệm. Nhận xét: Trong nhiều tình huống thì sau khi lôi ñược nhân tử ra, phương trình còn lại sẽ vô nghiệm. Tất nhiên, với những tình huống phương trình còn lại có nghiệm thì ta sẽ thử tìm một hướng giải khác. <87>. Giải phương trình: ( )( ) ( )( ) 2 2 1 3 6 4 6 2 1 3 2 x x x x x x + − − + = − + − + + . ð/s: x = 7 <88>. Giải phương trình bằng cách nhân liên hợp: 2 2 1 5 4 2 0 x x x x + − − + − − = ; <89>. 3 1 24 4 x x x + − + = − <90>. Giải phương trình: ( ) 9 4 1 3 2 3 x x x + − − = + ð/s: x = 6 là nghiệm. Nhận xét: - Trong trường hợp không nhẩm ñược nghiệm của (*) thì ta còn 1 cách khác nữa ñể giải. Chú ý (*) và phương trình ñầu bài, ta có thể cộng ñại số ñể khử bớt 1 căn thức ñưa ñến 1 phương trình hệ quả, giải ra rồi thử lại. ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Page 7 03/01/2013 <91>. 2 2 15 3 2 8 x x x + > − + + . ðáp số: x<1 <92>. 2 2 4 2 5 1 x x x x − + − > − − <93>. Giải phương trình: 3 2 3 1 3 2 2 3 x x x − + − + = . ðáp số: x = 1 <94>. Giải phương trình: 1 1 1 1 3 2 3 4 3 5 6 x x x x   + = +   − − −   . ðáp số x = 3 <95>. Giải phương trình: ( ) 2 2 3 4 1 4 2 x x x x x − − = − − − . ð/s: x = 2; x = 5 <96>. Giải phương trình: 2 3 1 6 3 14 8 0 x x x x + − − + − − = (B 2010). ðáp số: x = 5 <97>. Giải phương trình: 2 3 2 x x x x + − = − − . ðáp số: 3 5 2 x + = <98>. Giải phương trình: 3(2 2) 2 6 x x x + − = + + . ðáp số: x =3; x = 11 15 2 − <99>. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2 3 5 1 2 3 1 3 4 x x x x x x x − + − − = − − − − + . ðáp số : x = 2 <100>. Giải bất phương trình: 2 2 2 3 3 6 11 1 x x x x x x − + − − ≥ − + − − ð/s: [2; 3] <101>. Giải bất phương trình: 2 1 1 4 3 x x x + + < + ð/s: 1 ; 2     +∞      <102>. 3 2 4 11 x x x + − > + + . <103>. Giải bất phương trình: 2 11 3 8 1 5 x x x − − − + > . ð/s: (3; 8) <104>. Giải bất phương trình: 5 3 8 1 2 11 x x x − − + > − . ð/s: ( ) 11 3; 8; 2   ∪ +∞     <105>. Giải bất phương trình: 2 2 2 3 8 2 x x x x + − + − ≤ ðiều kiện: 2 4 x − ≤ ≤ Khi x = 1 thì hai vế bằng nhau. Viết bất phương trình về dạng: ( ) ( ) 2 2 3 1 2 1 2 2 2 3 3 3 8 2 0 0 1 2 2 3 3 3 8 2 x x x x x x x x x x x x − − + + − + + − + − ≤ ⇔ + ≤ ⇔ = + + + + + − Nhận xét: - Trong bài tập này, việc ghép nhóm ñể khử căn thức ñòi hỏi phải xem xét tỉ mỉ và có những dự ñoán về nghiệm của bất phương trình. - Việc lũy thừa ñể khử căn thức là hoàn toàn làm ñược bởi chắc chắn sau quá trình khử căn sẽ cho ta nhân tử (x – 1) 2 . <106>. Giải bất phương trình: 2 3 2 5 7 1 x x x x − + − + > − . ð/s: x < 1 <107>. Giải bất phương trình: 3 2 9 3 1 3 x x x x x − − > + + + (ðỗ Ngọc Nam) Lời giải: Chú ý mẫu phân thức ñầu có thể tạo nhân tử và nó có thừa số chung với tử. ðk: 1 x 9 − ≤ ≤ , x 0 ≠ ( ) ( ) x 1 4 2 9 x x 1 2 2 9 x x 1 2 2 9 x 0 x 1 1 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 2 + − − + − − + − − > ⇔ > ⇔ − > + − + − + − + + + + (*) Quy ñồng ta ñược: ( ) ( ) x 1 x 1 3 2 1 9 x x 1 3 x 1 2 2 9 x 0 0 x 1 1 x 1 1 + + − + − − + − + + − − > ⇔ > + − + − PT, BPT Vô tỷ Page 8 03/01/2013 Tương ñương: 8 8 1 2 8 8 8 1 3 1 9 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x − − + + − − − + + + − > ⇔ > ⇔ > ⇔ > + − + − + + Tương ñương: x > 8 hoặc x < 0 Kết hợp với ñiều kiện ta ñược: [ ) ( ] 1;0 8;9 S = − ∪ là nghiệm của bất phương trình. Nhận xét: Rõ ràng, cách giải trên là gọn, tuy nhiên, việc phát hiện ra nhân tử suốt quá trình là không ñơn giản! Việc tách nhân tử của hàm bậc 4 (với các hàm có thể tách ñược) có thể sử dụng máy tính casio 570ES mà tôi hi vọng sẽ ñược trình bày trong một dịp thích hợp. <108>. Giải bất phương trình: 1 2 1 4 1 x x x x > − + − + (ðỗ Ngọc Nam) ðáp số: [ ) 1;2 S = <109>. Giải: 2 2 2 6 8 2 4 6 3 4 3 3 1 0 x x x x x x + − + + − − + − + − > ð/s: ( ) 6;S = +∞ <110>. Giải bất phương trình: x 14 24 3x x 5 3 19 2x x 5 − − < − + − + − (ðỗ Ngọc Nam) ðáp số: S = [5; 9) <111>. Giải phương trình: 2 1 2 2 x x x − − + > − . ðáp số: 1;7 33 2;7 33 S     = − ∪ +         <112>. Giải bất phương trình: 2 1 5 3 x x x − − + > − ðáp số: ( ) 8 48;3 − Kĩ năng thứ mười: Kĩ năng sử dụng hàm số <113>. Giải bất phương trình: ( ) 2 2 2 1 2 1 2 3 0 x x x x x x + + + + + + + > Lời giải: Viết bất phương trình về dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 1 2 0 x x x x + + + + + + + > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 1 2 x x x x⇔ + + + + > − + − + (*) ðặt ( ) ( ) 2 1 2f t t t t = + + ∈ ℝ , có ( ) 2 2 2 ' 1 2 2 t f t t t t = + + + ∀ + nên f là hàm ñồng biến trên ℝ Vậy (*) ( ) ( ) 1 1 1 2 f x f x x x x ⇔ + > − ⇔ + >− ⇔ >− Vậy 1 ; 2 S     = − +∞       là tập nghiệm của bất phương trình. <114>. Giải bất phương trình: 3 2 1 5 8 x x x x − + − < + − + ðáp số: 1 3 x ≤ < Kĩ năng thứ mười một: Kĩ năng ñánh giá biểu thức Với phương trình f g = muốn khẳng ñịnh x 0 là một nghiệm duy nhất ta chứng minh ( ) ( ) 0 0 f f x g x g ≤ = ≤ <115>. Giải phương trình: 211 222 +−=++−+−+ xxxxxx . ð/s: x = 1. Nhận xét: - Trong bài toán này ta ñã chứng minh ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 4 2 xx x xx x x≤ ≤− − + −+ ++ + <116>. Giải phương trình: 2 2 1 1 2 2 4x x x x   − + − = − +     . ð/s: x = 1. Nhận xét: Trong bài toán ta ñã chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 4 12 2 1 1 2 2 4x xx x x xx x              ≤ − − = − + ≤                  − + − − +                         ðỗ Ngọc Nam_THPT Trung Giã Page 9 03/01/2013 <117>. Giải phương trình: ( ) 2 2 1 2 1 3 2 2 x x x − + + − = . ð/s: x = 1 2 − , 3 2 <118>. Giải phương trình 2 2 4 2 3 1 8 2 14 x x x x − + + = − + . ðáp số: x = 1 <119>. Giải phương trình: 2 4 1 4 1 1 x x − + − = . ðáp số 1 2 x = <120>. Giải phương trình: 5 3 15 11 28 1 3 x x x + + = − ðáp số: x = - 1 <121>. Giải phương trình: 2 2 12 5 3 5 x x x + + = + + . ðáp số: x = 2 <122>. Giải phương trình: 2 1 1 2 4 x x x+ + − = − . ðáp số x = 0 <123>. Giải phương trình: 2 2 . ðáp số: x = 1 <124>. Giải phương trình: ( ) 12 12 5 4 x x x x x + + = − + − . ðáp số: x = 4 <125>. Giải phương trình: 11642 2 +−=−+− xxxx ðS: 3 = x <126>. Giải phương trình: 2 1 3 2 1 x x x x + + − = + . ð/s: x = 1; 1 2 x = + . Bunhia. <127>. ( ) ( ) 2 2 2 1 1 4 2 2 6 2 x x x x x + + + − − = + (bu nhia) Kĩ năng thứ mười hai: Ra ñòn phối hợp Có những phương trình, bất phương trình bất trị với 11 kĩ năng trên; ñiều ñó ñòi hỏi chúng ta cần sử dụng miếng ñánh phối hợp. Thông thường nhất, ta sử dụng lũy thừa phối hợp ẩn phụ. <128>. Giải bất phương trình: 2 2 6 6 3 3 2 6 0 x x x x − − − + − ≤ (ðỗ Ngọc Nam) Lời giải: ðiều kiện: 3 x ≥ Biến ñổi bất phương trình thành: ( ) ( ) 2 3 3 6 3 1 x x x − + ≤ − + ðặt 2 3 3 t x t x = − ⇒ + = thế vào ta ñược: ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 6 1 t t t + + ≤ + Bình phương 2 vế ta ñược: 2(t 4 + 6t 3 – 6t 2 – 18t + 9) 0 ≤ ( ) ( ) 2 2 2 3 6 3 0 t t t ⇔ − + − ≤ 2 3 3 3 t ⇔ − ≤ ≤ Khi ñó, ( ) 2 2 3 3 3 3 24 12 3 6 x x − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ ðáp số: 24 12 3 6 x − ≤ ≤ là nghiệm của phương trình. <129>. Giải phương trình 2 2 5 14 9 20 5 1 x x x x x + + − − − = + . ð/s: 5 61 , 8 2 x x + = = . <130>. Giải phương trình: 2 2 3 4 3 3 16 0 x x x x + − + − + = ð/s: 21 341 2 x ± = <131>. Giải phương trình 2 2 2 1 x x x + = − 2 2 ax x b x a → + = − <132>. Giải phương trình: ( ) 3 2 2 8 13 6 6 3 5 5 0 x x x x x x − + + + − − + = <133>. Giải bất phương trình: 2 2 2 3 5 4 6 x x x x x − − + ≤ − − . ð/s: 3 13 x ≥ + <134>. Giải phương trình: 4 46 2242 2 + − =−−+ x x xx ðS: 2; 3 2 =x <135>. Giải bất phương trình 2 2 1 3 1 1 1 x x x + > − − ; 2 2 1 3 1 1 1 x x x > − − − <136>. Giải phương trình: ( ) 2 2 4 7 7 2 1 x x x x − = − − + . ð/s: x = 4; 2 11 ± Kỹ năng thứ mười ba: Giải phương trình tương ứng rồi xét dấu. PT, BPT Vô tỷ Page 10 03/01/2013 ðể giải bất phương trình: ( ) 0 f x ≥ ta tiến hành như sau: + Viết ñiều kiện tồn tại hàm f + Giải phương trình: ( ) 0 f x = + Lập bảng xét dấu hàm f và kết luận. <137>. Giải bất phương trình: 3 3 1 1 3 2 3 6x x + ≤ − + ð/s: ( ) ( ) [ ] ( ) 0 ; 6 5;2 3;f x x ≤ ⇔ ∈ −∞ − ∪ − ∪ +∞ <138>. Giải bất phương trình: 3 3 3 4 3 3 3 x x x x x + + − ≥ + − − <139>. Giải bất phương trình: 1 6 3 1 2 1 3 x x x x − + − ≥ − + − . ðặt 2 1 1 t x x t = − ⇒ = + ñược bất phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 2 6 3 1 0 1 1 2 1 5 4 0 0 2 5 3 1 2 2 2 t t t x t t t x t t t t + − +   ≤ ≤ ≤ ≤ − + +   − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ⇒   > > + − − − + +   Kĩ năng thứ mười bốn: Nhóm nhân tử <140>. Giải phương trình: ( ) 2 2 1 1 0 x x x x x x − − − − + − = ðáp số: x = 2 <141>. Giải phương trình: 2 2 7 2 1 8 7 1 x x x x x + − = − + − + − + . ð/s: x = 4; x = 5 <142>. 2 2 4 3 2 3 5 1 8 3 15 x x x x x x x − + + − = + + − − + <143>. Giải phương trình: 2 2 2 8 6 1 2 2 x x x x + + + − = + Kĩ năng thứ mười lăm: Phá căn bằng nội lực Một số biểu thức dưới dấu căn ngụy trang khiến ta chưa thể phát hiện ra nó chính là một bình phương của biểu thức khác. <144>. Giải phương trình 3 4 1 8 6 1 2 x x x x + − − + + − − = ; 1 1 2 2 4 x x x + + + + = ; x x x . 2 2 2 1 1 4 + + + − + = <145>. Giải bất phương trình : 3 2 1 2 1 2 x x x x + − + − − > . ðáp số: 1 x ≥ <146>. ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 1 1 2 1 x x x x   + − − − + = + −     CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN <147>. Giải phương trình: 4 1 5 2x x x x x x + − = + − ðS: x=2 <148>. Giải phương trình: ( ) ( ) xxx 21111 =+−−+ ðS:x = 0;-24/25 <149>. Giải phương trình: 243 30 6 223 232 +++=−− xxxxx ðS: 3 2 ;2 −= x <150>. Giải phương trình: 2 2 2 1 2 2 4 4 1 x x x x x + + + − = + + ðS: 3 ±= x <151>. Giải phương trình: 1)1(22 2 +=−++ xxxxx ðS:x =1 <152>. Giải phương trình: 5 3 2314 + =−−+ x xx ðS: 2 = x <153>. Giải phương trình: 2 2 1 21 x xx x x + + = − ðS: 2 1 =x [...]... nghe, cách trả lời thông minh và ngừng nói khi không còn gì nói nữa G Lafata o Sở dĩ người ta ít nhớ những điều đã đọc được chính là vì tại người ta tự suy nghĩ quá ít G Lin-then-béc o Hỏi một câu, chỉ dốt trong chốc lát Không dám hỏi sẽ dốt nát suốt đời Im lặng là cấp độ cao cả nhất của sự khôn ngoan Ai không biết im lặng là không biết nói Pithagos PT, BPT Vô t Page 14 03/01/2013 ... 10) = 3 ð/s: - 1; - 4 PT, BPT Vô t Page 12 03/01/2013 ( ) 3 2 + x − 2 = 2 x + x + 6 x + 2 + 3 − x = x 2 − x + 1 2x − 5 − x − 2 + 2x 2 − 9x + 10 = 3x − 8 Gi i b t phương trình: 3 ( ) ( ) ( ) 6  4 − x 2 − 1 < 6 1 + 2 − x ð/s:  −2;  5  2 + x +1 + 4 Gi i b t phương trình: x 2 − 3x + 6 ≥ 4 − x 2 − 3 x + 8 ð/s: x ≥ 5; x ≤ −2 3 5 Gi i bpt: (13 − 4x ) 2x − 3 +... > x − 4 ð/s: −1 ≤ x < 8 6 ≤ x≤6 7 Gi i b t phương trình: 7 x + 7 + 7 x − 6 + 2 49 x 2 + 7 x − 42 ≤ 181 − 14 x ð/s: Gi i b t phương trình: 1 2 1 x + x +1 −x 2 2 > −1 ð t ñư c 2 n ph sau khi quy ñ ng x −1 −1 4 − x + x = x 2 − 4 x + 2 ð/s: 0; 2 x 2 x 2 + 5 x + 3 = 4 x 2 − 5 x − 3 ð t căn b ng t, t o tích ð t n ph còn x t o tích Gpt: 3 x 2 + 4 x − 4 + 6 x 2 + 11x −10... i ñ t n ph ñưa v h ñ i x ng! (*)Gi i phương trình: x 2 − 2 3 x − 2 + x 2 − 3 3 x + 4 = 3 ð/s: x = 3 (tính ñơn ñi u) 1 2 1 x + x +1 −x 2 2 Gi i b t phương trình: > −1 ð t ñư c 2 n ph sau khi quy ñ ng ð/s: x −1 −1 Gi i phương trình: x + 2 + 3 − x = x 2 − x + 1 ð/s: x = 2; x = - 1 Gpt: 2 x + 1 + 6 9 − x 2 + 6 Gpt: (x + 1) ( 9 − x 2 ) = 38 + 10x − 2x 2 − x 3 ð/s: x = 0 . x x x x . ð/s: > − 10 34 x RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ PT, BPT Vô tỷ Page 2 03/01/2013 <15>. Giải bất phương trình: 3 2 1 x x − < − . ðáp. <43>. Giải phương trình: ( ) ( ) xxxxxx 23413 22 =++++−+ ð/S: 2 131 ; 2 51 + = + = xx PT, BPT Vô tỷ Page 4 03/01/2013 <44>. Giải bất phương trình: 2 2 3 2 2 3 4x x x x + + ≤ + ð/s: 11 2 2 2 ± <74>. Giải phương trình: ( ) ( ) 5 1 2 1 7 3 1 x x x x + + − + = PT, BPT Vô tỷ Page 6 03/01/2013 <75>. ( ) ( ) 2 2 1 2 2 3 x x x x + − − + − − = <76>.