skkn hàm số - bình thường

Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng ĐẶT VẤN ĐỀ 1.Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu Trên thực tế học sinh Trung học đã được tiếp cận với rất nhiều dạng toán về tiếp tuyến của các đồ thị hàm số và giao điểm các đồ thị các hàm số. Ngay từ lớp 9 học sinh đã biết đến bài toán về giao điểm của các đường thẳng hoặc của đường thẳng với các Parabol. Lên lớp 11 và 12 học sinh lại được nghiên cưu rất kỹ về tiếp tuyến của đồ thị các hàm số và giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng. Trong Sách giáo khoa có khá nhiều bài toán về các vấn đề nói trên. Trong hầu hết các đề thi Tốt nghiệp Trung học phổ thông, đề thi tuyển sinh Đại học và đề thi Học sinh giỏi thành phố đều có ít nhất một ý đề cập đến vấn đề tiếp tuyến của đồ thị hàm số và giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng. Với hơn mười năm làm nghề dạy học tôi đã may mắn được tham gia giảng dạy cho khá nhiều lớp ôn thi Đại học và ôn thi Học sinh giỏi tôi thấy có một số vấn đề cần phải giải quyết: Một là: Theo qua điểm của ngành Giáo dục và thời lượng chương trình nên các bài tập về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng trong Sách giáo khoa rất đơn giản học sinh tiếp cận rất dễ dành và thực hiện lời giải rất tốt vì các bài tập đó chỉ đề cập đến các vấn đề trên một các đơn lẻ và rất cụ thể. Nhưng các bài tập loại này trong các đề thi tuyển sinh Đại học có rất nhiều bài tập đòi hỏi biến đổi tương đối phức tạp qua nhiều bước phải sử dụng nhiều công thức một cách linh hoạt. Hai là: Từ năm 2006 sách giáo khoa không nói đến định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, trong khi đó sách tham khảo suất bản trước đó có rất nhiều bài toán sử dụng định lý đó để thực hiện việc so sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai hoặc các hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm sô cho trước với các số cụ thể nên học sinh đọc sách rất hoang mang. Do đó người giáo viên phải định hướng cho học sinh biến đổi về bài toán sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nếu là tình huống không thể giải quyết đơn thuần theo kiểu tính biệt thức đenta hoặc chuyển từ việc so sánh một nghiệm với một số khác không về việc so sánh một biểu thức chứa nghiệm đó với số không để đưa về sử dụng định lí Vi-et. Những vấn đề trên chính là lý do để tôi chọn đề tài: Ôn tập về tiếp tuyến và cát tuyến của đồ thị hàm số. 2. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau: Một là: Truyền đạt đến học sinh một cái nhìn toàn diện về phương pháp giải các bài toán đề cập đến vấn đề tiếp tuyến của đồ thị hàm số và giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng. Hai là: Qua việc luyện tập các bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng và giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng sẽ giúp học sinh ôn tập được khá nhiều công thức của hình học và đại số ở các phần khác một các vui vẻ và tự nhiên giảm bớt sự khô khan nhàm chán của các con số đồng thời thấy được sự liên hệ chặt chẽ của các công thức đó. Ba là: Giúp các em học sinh tự tin hơn, tích cự hơn trong việc chuyển các bài toán mới lạ về các bài toán quen thuộc để đưa ra lời giải ngắn gọn và chính xác. 3. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số đa thức bậc hai, hàm số đa thức bậc ba, hàm số đa thức trùng phương, hàm số phân thức hữu tỉ bậc nhất chia bậc nhất và hàm số phân thức hữu tỉ bậc hai chia bậc nhất. Phạm vi nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào chương trình lớp 12, các đề thi Tốt nghiệp Trung học phổ thông, các đề thị Tuyến sinh Đại học. 4 . Kế hoạch nghiên cứu Trong quá trình dạy học với những trăn trở như đã trình bày trong phần cơ sở thực tiến để đưa ra lý do chọn đề tài tôi thấy khi cho các em học sinh lớp 12 làm các bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng trong Sách giáo khoa hoặc trong đề thi Tốt nghiệp thì các em làm bài đều khá chính xác vì các bài tập này thường yêu cầu giải quyết các vấn đề rất cụ thể và thường chỉ cần sử dụng một công thức đơn giản. Tuy nhiên trong các đề thi Đại học và đề thi Học sinh giỏi thành phố thường yêu cầu giải quyết các vến đề trên trong sự kết hợp của nhiều công thức và tính chất do đó nhiều học sinh lúng túng khi tìm lời giải hoặc khi thực hiện lời giải có những lập luận hời hợt không rõ ràng. Từ những khúc mắc nói trên tôi đã nghiên cứu đề tài ôn tập về tiếp tuyến và cát tuyến của đồ thị hàm số qua một số giờ tự chon nâng cao tại lớp 12A4 năm học 2010 – 2011 và lớp 12A4 năm học 2011 – 2012 từ đó xây dựng, hoàn thiện bài viết của mình. 2 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1. Cơ sở lý luận a) Tiếp tuyến, cát tuyến của đồ thị hàm số Cho hàm số ( ) y f x= có đồ thị ( ) C . Điểm 0 M cố định trên ( ) C , điểm M di chuyển trên ( ) C - Nếu M và 0 M phân biệt thì đường thẳng đi qua hai điểm 0 M , M gọi là cát tuyến của ( ) C . Như vậy ta có thể coi cát tuyến của đồ thị hàm số là các đường thẳng đi qua hai điểm khác nhau của đồ thị. - Nếu M tiến tới 0 M thì đường thẳng 0 M M trở thành tiếp tuyến của đồ thị ( ) C tại tiếp điểm 0 M . b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị hai hàm số * Cho hàm số ( ) y f x= có đồ thị ( ) C , điểm ( ) ( ) 0 0 0 ;M x y C∈ . Nếu hàm số ( ) y f x= có đạo hàm tại 0 x thì : - Hệ số góc của tiếp tuyến với ( ) C tại 0 M là ( ) 0 k f x ′ = . - Phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại 0 M là ( ) ( ) 0 0 0 y y f x x x ′ − = − . * Ta đã biết các hàm số đa thức và hàm số phân thức hữu tỉ có đạo hàm tại mọi điểm 0 x trên tập xác định của nó do đó tiếp tuyến của các đồ thị hàm số này đều có hệ số góc k nào đó nói các khác tiếp tuyến của đồ thị các hàm số loại này không thể vuông góc với trục hoành. * Gọi ( ) C là đồ thị của hàm số ( ) y f x= và ( ) C ′ là đồ thị của hàm số ( ) y g x= ( ) C và ( ) C ′ tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm : ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x  =  ′ ′ =  (các bài tập thương đề cập đến một trong hai đồ thị là đường thẳng). c) Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số Gọi ( ) C là đồ thị của hàm số ( ) y f x= và ( ) C ′ là đồ thị của hàm số ( ) y g x= Tọa độ giao điểm của ( ) C và ( ) C ′ là nghiệm của hệ phương trình ( ) ( ) y f x y g x  =  =  Từ hệ trên suy ra phương trình ( ) ( ) ( ) , *f x g x= Phương trình (*) gọi là phương trình hoành độ giao điểm của ( ) C và ( ) C ′ . 3 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Rõ ràng số nghiệm của (*) là số giao điểm của hai đồ thị đã cho. (các bài tập thương đề cập đến một trong hai đồ thị là đường thẳng). d) Phương trình đường thẳng, công thức tính góc giữa hai đường thẳng, công thức tính khoảng các từ một điểm đến một đường thẳng. * Nếu đường thẳng d đi qua điểm ( ) 0 0 0 ;M x y và có hệ số góc k thì phương trình d : ( ) 0 0 y k x x y= − + . * Nếu đường thẳng 2 2 : 0; 0d ax by c a b+ + = + ≠ suy ra d có một vectơ pháp tuyến ( ) ;n a b= r suy ra d có một vectơ chỉ phương ( ) ;u b a= − r * Nếu đường thẳng d có một vectơ chỉ phương ( ) ; ; 0u a b a= ≠ r thì d có hệ số góc b k a = * Cho đường thẳng ( ) 0 0 : 0, ;ax by c M x y∆ + + = Khoảng các từ M đến ∆ là ( ) 0 0 2 2 , ax by c d M a b + + ∆ = + * Cho đường thẳng ∆ có một vectơ pháp tuyến n r và ′ ∆ có một vectơ pháp tuyến n ′ ur thì ( ) . os , . n n c n n ′ ′ ∆ ∆ = ′ r ur r ur . Đặc biệt nếu 1 1 2 2 : ; :y k x b y k x b ′ ∆ = + ∆ = + khi đó : +) 1 2 . 1k k ′ ∆ ⊥ ∆ ⇔ = − +) 1 2 // k k ′ ∆ ∆ ⇔ = và 1 2 b b≠ 2. Thực trạng của vấn đề Để thực hiện được đề tài của mình tôi đã thực hiện khảo sát thực tế như sau: Trong năm học 2009 – 2010 sau khi học sinh lớp 12 đã học hết chương 1 tức là khi đã nghiên cứu khá đầy đủ về ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số tôi cho học sinh lớp 12A4 và 12A5 làm bài kiểm tra khảo sát 45 phút trong giờ tự chọn nâng cao với đề kiểm tra như sau: Câu I (3 điểm) Gọi ( ) C là đồ thị của hàm số 3 2 6 9 1y x x x= − + − + . Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C biết tiếp tuyến đó đi qua điểm ( ) 3;1A Câu II (3,5 điểm) Cho hàm số 2 1 1 x y x + = + có đồ thị ( ) 1 C với tâm đối xứng là I. Tìm điểm ( ) 1 M C∈ để tiếp tuyến của ( ) 1 C tại M cắt các tiệm cận của ( ) 1 C tại A, B và đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có chu vi bé nhất. 4 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Câu III (3,5 điểm) Gọi ( ) m C là đồ thị của hàm số ( ) 4 2 2 1 2 2y x m x m= − + + + Tìm m để đường thẳng 1y = cắt ( ) m C tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D sao cho 4 2 2OA OB OC OD+ + + = + Với đáp án và thang điểm như sau : CÂU NỘI DUNG ĐIỂM I (3đ) Gọi ∆ là tiếp tến của ( ) C với hệ số góc k ( ) : 3 1 3 1y k x y kx k∆ = − + ⇔ = − + Vì ∆ là tiếp tến của ( ) C nên ta có hệ ( ) ( ) 3 2 2 6 9 1 3 1 1 3 12 9 2 x x x kx k x x k  − + − + = − +   − + − =   1.0 Thế (2) vào (1) suy ra ( ) ( ) 3 2 2 2 6 9 1 3 12 9 3 3 12 9 1x x x x x x x x− + − + = − + − − − + − + ( ) ( ) 3 2 2 2 15 36 27 0 3 2 9 9 0 3 3; 2 x x x x x x x x ⇔ − + − = ⇔ − − + = ⇔ = = 1,0 với 3 9 3 0; 2 4 x k x k= ⇒ = = ⇒ = Vậy phương trình các tiếp tuyến là 9 24 1; 4 4 y y x= = − 1,0 II (3,5đ) Dễ thấy ( ) 1 C có tiệm cận đứng 1x = − và tiệm cận ngang 2y = nên tâm đối xứng của ( ) 1 C là giao điểm của hai tiệm cận ( ) 1;2I − . Hàm số đã cho có tập xác định { } \ 1R − và ( ) 2 1 1 y x ′ = + 0,5 Xét ( ) 1 M C∈ có ( ) 1 1 1 2 ; 0 M M x a y y a a a = − ⇒ = − = − ≠ Phương trình tiếp tuyến d của ( ) 1 C tại M là 0,5 5 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng ( ) ( ) M M M y y x x x y ′ = − + hay ( ) 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 x y x a y a a a a a = − + + − ⇔ = − + + (d) Gọi A là giao điểm của d và tiệm cận đứng 1x⇒ = − thế vào phương trình d 2 2y a ⇒ = − 2 1;2A a   ⇒ − −  ÷   0,5 Gọi B là giao điểm của d và tiệm cận ngang 2y⇒ = thế vào phương trình d suy ra ( ) 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 ;2 x x a B a a a a = − + + ⇔ = − + ⇒ − + 0,5 Chú ý rằng tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có đường kính là AB và chu vi là .AB π Do đó theo yêu cầu của đề bài ta phải có đoạn AB ngắn nhất. 0,5 Ta có 2 2 2 4 2 ; 4AB a AB a a a   = ⇒ = +  ÷   uuur Theo bất đẳng thức Côsi, ta có 2 2 4 4 8 2 2a AB a + ≥ ⇒ ≥ Đẳng thức xảy ra khi 2 2 4 4 1a a a = ⇔ = ± Vậy tam giác IAB có chu vi bé nhất là 2 2 π khi tọa độ M là ( ) 0;1 hoặc ( ) 2;3− 1,0 III (3,5 đ) Xét phương trình hoành độ giao điểm ( ) ( ) 4 2 4 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 0x m x m x m x m− + + + = ⇔ − + + + = Đặt ( ) 2 0t x t= ≥ , ta có phương trình ( ) ( ) 2 2 1 2 1 0, *t m t m− + + + = 0,5 Để có 4 giao điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm dương phân biệt ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 1 0 0 0 2 1 0 1 0 2 1 0 2 m m m P m m S m  ′ ∆ > + − + >  ≠      ⇔ > ⇔ + > ⇔    > −    > + >     0,5 Với điều kiện trên phương trình (*) có hai nghiệm dương 1 2 ,t t . Theo Vi-et ta có, ( ) 1 2 1 2 2 1 , 2 1t t m t t m+ = + = + 6 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Từ 2 2 1 1 2 2 ;t x x t t x x t= ⇒ = ± = ⇒ = ± Đặt 1 1 2 2 , , , A B C D x t x t x t x t= = − = = − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 ;1 , ;1 , ;1 , ;1A t B t C t D t⇒ − − 1 1 2 1 2 1OA OB OC OD t t⇒ + + + = + + + 1,0 Theo đề 1 2 2 1 2 1 4 2 2t t⇒ + + + = + ( ) 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 6 4 2 t t t t ⇔ + + + = + ⇔ + + + = + 1 2 1 2 1 2 2 1 4 4 2t t t t t t⇔ + + + + + = + 0,5 ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 1 1 4 4 2 4 4 1 2 2 m m m m m ⇒ + + + + + + = + ⇔ + = + − ( ) 2 1 2 2 0 4 4 1 2 2 m m m  + − ≥  ⇔  + = + −   ( ) 2 1 2 2 2 3 2 2 5 4 2 0 m m m  ≤ +  ⇔  − + + + =   1m⇔ = Vậy điều kiện phải tìm là 1m = 1,0 Chó ý: NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× ®îc ®ñ ®iÓm tõng phÇn nh ®¸p ¸n quy ®Þnh. Kết quả thu được với các mức điểm được tính tỉ lệ phần trăm như sau: Điểm Lớp 1 – 2,5 3 – 4,5 5 – 6,5 7 – 8,5 9 – 10 Lớp 12A4 ( 50 HS ) 4,0% 20% 60% 12% 4,0% Lớp 12A5 ( 49 HS ) 6,1% 30,6% 51,3% 10% 2% Học sinh có điểm kiểm tra thấp như trên vì các lí do sau : Câu I. - Một số học sinh thấy điểm ( ) A C∈ nên viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại A và chỉ tìm được một tiếp tuyến là 1y = 7 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng - Một số học sinh có cách giải theo hướng trên hoặc giải theo các đi tìm các tiếp điểm ( ) 0 0 ;x y nhưng tính toán không chính xác. Câu II và III. - Một số học sinh không có lời giải. - Một số học sinh có các giải tương tự đáp án trên nhưng tính toán không chính xác hoặc chưa đi đến kết quả cuối cùng. 3. Các phương pháp đã tiến hành Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn đề tài và phần khảo sát thực tiễn nên trong quá trình dạy lớp 12A4 năm học 2010 – 2011 và lớp 12A4 năm học 2011 - 2012, ngay từ cuối năm lớp 11 trước đó với một số tiết học tự chọn nâng cao tôi đã lồng nghép các bài tập về cát tuyến và tiếp tuyến của đồ thị với mức độ đề thi vào Đại học. Nhưng vì thời gian không có nhiều, hơn thế để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi cho học sinh một số bài tập để các em thảo luận trao đổi và về nhà nghiên cứu tìm lời giải. Trên lớp tôi cho một số học sinh lên bảng làm bài và một số học sinh khác nhận xét lời giải. Sau đó tôi phân tích lời giải cho cả lớp để các em tìm được lời giải tối ưu và nhấn mạnh một số điểm quan trọng trong mỗi bài, qua mỗi dạng. Để cho việc tiếp thu bài học được dễ dàng tôi chia nội dung bài viết của mình thành hai phần sau: - Tiếp tuyến và cát tuyến của đồ thị hàm số đa thức. - Tiếp tuyến và cát tuyến của đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ. PHẦN I : TIẾP TUYẾN VÀ CÁT TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐA THỨC Vì mức độ yêu cầu của Sách giáo khoa, mức độ yêu cầu của đề thị Tốt nghiệp Trung học phổ thông và đề thi Tuyển sinh Đại học nên trong bài viết này tôi chỉ đề cập đến tiếp tuyến và cát tuyến của đồ thị hàm số đa thức bậc ba, hàm số đa thức trùng phương. Bài 1. Gọi (C) là đồ thị của hàm số 3 2 3 3y x x= + − 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm ( ) 3; 3M − − 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm ( ) 3; 3M − − 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng có phương trình : 1 3 9 y x= − + . 4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết đó là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. 8 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng 5. Tìm điểm A trên (C) để tiếp tuyến của (C) tại A tạo với đường thẳng : 2d y x= − + một góc α với 4 41 os 41 c α = 6. Xét điểm M trên (C) có M x a= . Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại M. Hãy biện luận theo a số giao điểm của d và (C) 7. Từ một điểm M bất kỳ trên (C) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C) Lời giải Trong khi thức hiện lời giải của các ý trong bài tập này không nhất thiết phải vẽ đồ thị. Tuy nhiên để thuận tiện cho việc định hướng lời giải học sinh nên vẽ minh họa đồ thị có thể vẽ ra giấy nháp bằng cách dựa vào bảng biến thiên của hàm số. Hàm số 3 2 3 3y x x= + − có đồ thị sau : 1. Dễ thấy điểm ( ) 3; 3M − − thuộc (C). Ta có 2 3 6y x x ′ = + Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M là ( ) ( ) ( ) 3 3 3 9 3 3 9 24y y x y x y x ′ = − + − ⇒ = + − ⇒ = + Chú ý : Nếu hàm số ( ) y f x= có đồ thị (C) và ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ;M x y C y f x∈ ⇔ = Do đó khi cho hoành độ của M ta sẽ tìm được tung độ của M, cho tung độ của M ta cũng có thể tìm được hoành độ của M và phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M được viết theo công thức : ( ) ( ) 0 0 0 y f x x x y ′ = − + 2. Xét đường thẳng ∆ đi qua ( ) 3; 3M − − và có hệ số góc k suy ra phương trình của ∆ : ( ) 3 3 3 3y k x y kx k= + − ⇔ = + − 9 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng ∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ sau có nghiệm : ( ) ( ) 3 2 2 3 3 3 3 1 3 6 2 x x kx k x x k  + − = + −  + =  Thế (2) vào (1) ( ) ( ) 3 2 2 2 3 3 6 3 3 6x x x x x x x⇒ + = + + + ( ) 2 6 9 0 0 3x x x x x⇔ + + = ⇔ = ∨ = − +) Với 0 0 : 3x k y= ⇒ = ⇒ ∆ = − +) Với 3 9 : 9 24x k y x= − ⇒ = ⇒ ∆ = + Vậy các tiếp tuyến phải tìm là 3y = − và 9 24y x= + Chú ý : Mặc dù điểm ( ) M C∈ nhưng đề bài yêu cầu viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M nên ta không được phép sử dụng công thức như ý số 1 vì đường thẳng phải tìm có thể là đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với (C) tại một điểm nào đó khác M. Chẳng hạn như ý số 2 nói trên đường thẳng 3y = − đi qua ( ) 3; 3M − − nhưng tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ 0x = Tuy nhiên với câu hỏi như trên cũng có thể giải theo cách sau : Giả sử ( ) 0 0 0 ;M x y là tiếp điểm 3 2 0 0 0 3 3y x x⇒ = + − và phương trình tiếp tuyến của (C) tại 0 M là ( ) ( ) 0 0 0 y f x x x y ′ = − + ( ) ( ) 2 3 2 0 0 0 0 0 3 6 3 3y x x x x x x⇒ = + − + + − Vì tiếp tuyến qua ( ) 3; 3M − − ( ) ( ) 2 3 2 0 0 0 0 0 3 3 6 3 3 3x x x x x⇒ − = + − − + + − Giải phương trình trên ta thu được 0 0 0 3x x= ∨ = − từ đó suy ra phương trình các tiếp tuyến như trên. 3. Xét ( ) ( ) 0 0 0 ;M x y C∈ là tiếp điểm suy ra 3 2 0 0 0 3 3y x x⇒ = + − và hệ số góc của tiếp tuyến là ( ) 2 0 0 0 3 6k y x x x ′ = = + . Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đã cho nên 0 2 2 0 0 0 0 0 1 1 . 1 9 3 6 9 2 3 0 3 9 x k k x x x x x =  −   = − ⇔ = ⇒ + = ⇔ + − = ⇔  ÷  = −    Với 0 0 1 1x y= ⇒ = ⇒ phương trình tiếp tuyến là : ( ) 9 1 1 9 8y x y x= − + ⇒ = − Với 0 0 3 3x y= − ⇒ = − ⇒ phương trình tiếp tuyến là : 9 24y x= + Vậy phương trình các tiếp tuyến phải tìm là : 9 8y x= − và 9 24y x= + . Nhận xét : Ta vừa giải quyết bài toán lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với một đường thẳng cho trước hay tiếp tuyến tạo với đường thẳng cho trước một góc 0 90 . Trong các đề thi còn thường đề cập đến tiếp tuyến song song với một đường thẳng cho trước. Nếu sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng ta có thể lập được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó tạo với một đường thẳng cho trước một góc nào đó. 10 [...]... một tiếp tuyến với ( C ) 1 25 Tìm tham số m để đường thẳng y = x + m cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A, 2 45 B sao cho tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến với ( C ) tại A và B là 4 Lời giải Theo sơ đồ khảo sát hàm số ta có đồ thị ( C ) như hình sau ( C ) có tiệm cận đứng x = 1 Tiệm cận ngang y = −2 và tâm đối xứng I ( 1; −2 ) 8 6 4 2 -1 0 -5 5 10 -2 -4 -6 -8 1 Viết phương trình tiếp tuyến của (... Xét hàm số f ( x ) = lim f ( x ) = +∞ ; lim f ( x ) = +∞ x → 0− x → 0+ Hàm số có bảng biếm thiên x −∞ f ′( x ) f ( x) +∞ − −2 0 0 + +∞ +∞ 3 − +∞ −∞ Từ bảng biến thiên suy ra phương trình (*4) có ba nghiệm phân biệt khi m −1 > 3 ⇔ m > 4 Vậy điều kiện phải tìm là m > 4 Nhận xét : Với cách làm như trên ta có thể biện luận theo m số nghiệm của (4) vì số nghiệm của (4) là số giao điểm của đồ thị hàm số f... xét : Với hàm số đa thức trùng phương có hệ số a < 0 Tương tự cách trên ta suy ra đồ thị tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi hàm số có ba cực trị và giá trị cực đại phải bằng 0 Trong câu hỏi trên có thể thay trục hoành bởi đường thẳng song song với trục hoành ta vẫn có lời giải tương tự Hàm số có ba cực trị ⇔ − ( 2m + 1) > 0 ⇔ m < − Bài tập tương tự 3 2 Bài 1 Cho hàm số y =... nghiệm của đa thức bậc ba Việc so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số bất kỳ luôn chuyên được về việc so sánh một số với số 0 Chẳng hạn x < α ⇔ x − α < 0 3 2 Bài 3 Cho hàm số y = 2 x − 3 ( 2m + 1) x + 6m ( m + 1) x + 1 , trong đó m là tham số, đường thẳng d : y = 2 x + 1 và điểm E ( 2;3) Hãy tìm tham số m đề d cắt đồ thị hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt I ( 0;1) , 5 A, B sao cho tam giác ABE... ; −4  ,  ÷,  ÷  ÷ 4 2   4 2  2   Chú ý : Với hàm số ⇒ y = = −2 x + 1 ta thường xét điểm M trên đồ thị có xM = a x −1 −2a + 1 Nhưng để thuận lợi trong việc tính toán đặc biệt là đối với các a −1 hàm số có dạng phân thức bậc hai chia bậc nhất, ta thường đặt xM = a + 1 tức là xét điểm M có hoành độ xM sao cho khi thay vào hàm số thì mẫu số xM − 1 = a ⇒ yM = 36 ... tham số m để đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ không bé hơn 1 1 3 Bài 6 Gọi ( C ) hàm số y = − x 4 + 3 x 2 − 2 2 3  1 Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm  0; − ÷ 2  2 M là điểm trên ( C ) có hoành độ xM = a Tìm điều kiện của a để tiếp tuyến của ( C ) tại M cắt ( C ) tại ba điểm phân biệt 4 2 Bài 7 Gọi ( Cm ) là đồ thị của hàm số. .. II : TIẾP TUYẾN VÀ CÁT TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ Trong thực tế Sách giáo khoa và các đề thi Tốt nghiệp THPT cũng như đề thi tuyển sinh Đại học chỉ đề cập đến hàm số phân thức hữu tỉ có dạng bậc nhất chia bậc nhất hoặc bậc hai chia bậc nhất nên trong bài viết này tôi cũng chỉ trình bày một số vấn đề về tiếp tuyến và cát tuyến của đồ thị các hàm số phân thức hữu tỉ nói trên −2 x + 1 có... duy nhất một tiếp tuyến với ( C) ( ) ( khi và chỉ khi điểm đó có hoành độ a ∈ −∞; − 6 ∪ ) 6; +∞ Nhận xét : Theo cách giải trên với mỗi hàm số đa thức trùng phương ta có thể biện luận số tiếp tuyến có thể kể đến đồ thị của hàm số từ một điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số đó 6 Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và đường thẳng y = b là x 4 − 4 x 2 + 2 = b ⇔ x 4 − 4 x 2 + 2 − b = 0 ; (6a) 2 Đặt t =... hệ số góc của tiếp tuyến là k = y′ ( x0 ) = 3 x0 + 6 x0 ⇒ k = 3  x02 + 2 x0 + 1 − 3 = 3 ( x0 + 1) − 3 ⇒ k ≥ −3   ⇒ min k = −3 đạt được khi x0 = −1 ⇒ y0 = −1 Suy ra phương trình tiếp tuyến phải tìm là y = −3 ( x + 1) − 1 hay y = −3x − 4 Nhận xét : - Điểm ( −1; −1) chính là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho - Theo cách trên ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau : 3 2 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số. .. sau : 17 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng y O x  xcd > 0; xct > 0  Vì vậy hàm số đã cho phải thỏa mãn tính chất :  ycd yct < 0 y 0 < 0  ( ) 2 2 Hàm số đã cho có tập xác định R và y′ = 3 x + 6mx + 3 ( m − 1) x =1− m 2 y′ = 0 ⇔ x 2 + 2mx + m 2 − 1 = 0 ⇔ ( x + m ) = 1 ⇔   x = −1 − m Xét dấu của y′ suy ra ∀m hàm số luôn có cực đại và cực tiểu, trong đó xcd = −1 − m ; xct = 1 − m  xcd > 0 −1 . thị hàm số, điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị hai hàm số * Cho hàm số ( ) y f x= có đồ thị ( ) C , điểm ( ) ( ) 0 0 0 ;M x y C∈ . Nếu hàm số ( ) y f x= có đạo hàm tại 0 x thì : - Hệ số. toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số đa thức bậc hai, hàm số đa thức bậc ba, hàm số đa thức trùng phương, hàm số phân thức hữu tỉ bậc nhất chia bậc nhất và hàm số phân thức hữu tỉ bậc hai chia. của các đồ thị hàm số này đều có hệ số góc k nào đó nói các khác tiếp tuyến của đồ thị các hàm số loại này không thể vuông góc với trục hoành. * Gọi ( ) C là đồ thị của hàm số ( ) y f x= và