61 sai lầm tích phân

http://ebooktoan.com/forum THPTTAN HUNG CHUYENDE-TP 1 phần I: mở đầu I/đặt vấn đề. Trong đề thi tốt nghiệp THPT , Đại học , Cao đẳng, THCN của các năm bài toán tích phân hầu nh- không thể thiếu nh-ng đối với học sinh THPT bài toán tích phân là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, các tính chất , các ph-ơng pháp tính của tích phân. Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc ph-ơng pháp đổi biến số, ph-ơng pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm đ-ợc có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? phép đặt biến mới trong ph-ơng pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có t-ơng đ-ơng không? vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh th-ờng mắc phải những sai lầm dẫn đến lời giải sai qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này của học sinh vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến : Một số sai lầm thờng gặp của học sinh khi tính tích phân Nhằm giúp học sinh khắc phục đ-ợc những yếu điểm nêu trên từ đó đạt đ-ợc kết quả cao khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung. II/ ph-ơng pháp + Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những sai lầm của học sinh vận dụng hoạt động năng lực t- duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của học sinh để từ đó đ-a ra lời giải đúng của bài toán. +Thực nghiệm s- phạm http://ebooktoan.com/forum THPTTAN HUNG CHUYENDE-TP 2 Phần II: nội dung I/ cơ sở khoa học Dựa trên nguyên tắc quá trình nhận thức của con ngời đi từ: cái sai đến cái gần đúng rồi mới đến khái niệm đúng, các nguyên tắc dạy học v đặc điểm quá trình nhận thức của học sinh II/ nội dung cụ thể. Một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân Bài tập minh hoạ: Bài 1: Tính tích phân: I = 2 2 2 )1(x dx * Sai lầm th-ờng gặp: I = 2 2 2 )1(x dx = 2 2 2 )1( )1( x xd =- 1 1 x 2 2 =- 3 1 -1 = - 3 4 * Nguyên nhân sai lầm : Hàm số y = 2 )1( 1 x không xác định tại x= -1 2;2 suy ra hàm số không liên tục trên 2;2 nên không sử dụng đ-ợc công thức newtơn leibnitz nh- cách giải trên. * Lời giải đúng Hàm số y = 2 )1( 1 x không xác định tại x= -1 2;2 suy ra hàm số không liên tục trên 2;2 do đó tích phân trên không tồn tại. * Chú ý đối với học sinh: http://ebooktoan.com/forum THPTTAN HUNG CHUYENDE-TP 3 Khi tính dxxf b a )( cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên ba; không? nếu có thì áp dụng ph-ơng pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại. * Một số bài tập t-ơng tự: Tính các tích phân sau: 1/ 5 0 4 )4(x dx . 2/ dxxx 2 1 3 2 2 )1( . 3/ dx x 2 0 4 cos 1 4/ dx x xex x 1 1 3 23 . Bài 2 :Tính tích phân: I = 0 sin1 x dx * Sai lầm th-ờng gặp: Đặt t = tg 2 x thì dx = 2 1 2 t dt ; xsin1 1 = 2 2 )1( 1 t t x dx s in1 = 2 )1( 2 t dt = 2 )1(2 t d(t+1) = 1 2 t + c I = 0 sin1 x dx = 1 2 2 x tg 0 = 1 2 2 tg - 10 2 tg do tg 2 không xác định nên tích phân trên không tồn tại *Nguyên nhân sai lầm: Đặt t = tg 2 x x ;0 tại x = thì tg 2 x không có nghĩa. * Lời giải đúng: http://ebooktoan.com/forum THPTTAN HUNG CHUYENDE-TP 4 I = 0 sin1 x dx = 0 0 2 0 42 42 cos 42 2 cos1 x tg x x d x dx = tg 2 44 tg . * Chú ý đối với học sinh: Đối với ph-ơng pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên ba; . *Một số bài tập t-ơng tự: Tính các tích phân sau: 1/ 0 sin x dx 2/ 0 cos1 x dx Bài 3: Tính I = 4 0 2 96xx dx * Sai lầm th-ờng gặp: I = 4 0 2 96xx dx = 4 2 9 2 1 2 3 333 4 0 4 0 2 4 0 2 x xdxdxx * Nguyên nhân sai lầm: Phép biến đổi 33 2 xx với x 4;0 là không t-ơng đ-ơng. * Lời giải đúng: I = 4 0 2 96xx dx = 3 0 4 3 4 0 4 0 2 3333333 xdxxdxxdxdxx = - 5 2 1 2 9 2 3 2 3 4 3 2 3 0 2 xx http://ebooktoan.com/forum THPTTAN HUNG CHUYENDE-TP 5 * Chú ý đối với học sinh: xfxf n n 2 2 Nnn ,1 I = b a n n xf 2 2 dxxf b a ta phải xét dấu hàm số f(x) trên ba; rồi dùng tính chất tích phân tách I thành tổng các phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Một số bài tập t-ơng tự: 1/ I = 0 2sin1 x dx ; 2/ I = 3 0 23 2 xxx dx 3/ I = 2 2 1 2 2 2 1 x x dx 4/ I = 3 6 22 2cot xgxtg dx Bài 4: Tính I = 0 1 2 22xx dx * Sai lầm th-ờng gặp: I = 4 011 11 1 0 1 0 1 2 arctgarctgxarctg x xd * Nguyên nhân sai lầm : Học sinh không học khái niệm arctgx trong sách giáo khoa hiện thời * Lời giải đúng: Đặt x+1 = tgt dtttgdx 2 1 với x=-1 thì t = 0 với x = 0 thì t = 4 http://ebooktoan.com/forum THPTTAN HUNG CHUYENDE-TP 6 Khi đó I = 4 0 4 0 4 0 2 4 1 1 tdt ttg dtttg * Chú ý đối với học sinh: Các khái niệm arcsinx , arctgx không trình bày trong sách giáo khoa hiện thời. Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (tr-ớc năm 2000). Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không đ-ợc áp dụng ph-ơng pháp này nữa. Vì vậy khi gặp tích phân dạng b a dx x 2 1 1 ta dùng ph-ơng pháp đổi biến số đặt t = tgx hoặc t = cotgx ; b a dx x 2 1 1 thì đặt x = sint hoặc x = cost *Một số bài tập t-ơng tự: 1/ I = 8 4 2 16 dx x x 2/ I = dx x xx 1 0 2 3 1 322 3/ I = 3 1 0 8 3 1 x dxx Bài 5: Tính :I = 4 1 0 2 3 1 dx x x *Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt dt t t dx x x cos sin 1 3 2 3 Đổi cận: với x = 0 thì t = 0 http://ebooktoan.com/forum THPTTAN HUNG CHUYENDE-TP 7 với x= 4 1 thì t = ? * Nguyên nhân sai lầm: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 2 1 x thì th-ờng đặt x = sint nh-ng đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x = 4 1 không tìm đ-ợc chính xác t = ? * Lời giải đúng: Đặt t = 2 1 x dt = xdxtdtdx x x 2 1 Đổi cận: với x = 0 thì t = 1; với x = 4 1 thì t = 4 15 I = 4 1 0 2 3 1 dx x x = 4 15 1 4 15 1 4 15 1 3 2 2 3 2 192 1533 3 2 192 1515 4 15 3 1 1 t tdtt t tdtt * Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 2 1 x thì th-ờng đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x 2 thì đặt x = tgt nh-ng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị l-ợng giác của góc đặc biệt thì mới làm đ-ợc theo ph-ơng pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đếnph-ơng pháp khác. *Một số bài tập t-ơng tự: 1/ tính I = dx x x 7 0 2 3 1 2/tính I = 2 1 2 1xx dx http://ebooktoan.com/forum THPTTAN HUNG CHUYENDE-TP 8 Bài 6: tính I = 1 1 4 2 1 1 dx x x * Sai lầm th-ờng mắc: I = 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 dx x x x x x x Đặt t = x+ dx x dt x 2 1 1 1 Đổi cận với x = -1 thì t = -2 ; với x=1 thì t=2; I = 2 2 2 2t dt = dt tt ) 2 1 2 1 ( 2 2 =(ln 2t -ln 2t ) 2 2 2 2 2 2 ln t t = ln 22 22 ln2 22 22 ln 22 22 * Nguyên nhân sai lầm: 2 2 2 4 2 1 1 1 1 1 x x x x x là sai vì trong 1;1 chứa x = 0 nên không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 đ-ợc * Lời giải đúng: xét hàm số F(x) = 12 12 ln 22 1 2 2 xx xx F (x) = 1 1 ) 12 12 (ln 22 1 4 2 2 2 x x xx xx Do đó I = 1 1 4 2 1 1 dx x x = 12 12 ln 22 1 2 2 xx xx ln 2 1 1 1 22 22 *Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0 . III/Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm: 1/Kết quả từ thực tiễn: http://ebooktoan.com/forum THPTTAN HUNG CHUYENDE-TP 9 Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc giải những dạng tích phân nh- đã nêu.Tuy nhiên giáo viên cần h-ớng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán tích phân từ hàm số d-ới dấu tích phân,cận của tích phân để lựa chọn ph-ơng pháp phù hợp trên cơ sở giáo viên đ-a ra những sai lầm mà học sinh th-ờng mắc phải trong quá trình suy luận,trong các b-ớc tính tích phân này rồi từ đó h-ớng các em đi đến lời giải đúng. Sau khi h-ớng dẫn học sinh nh- trên và yêu cầu học sinh giải một số bài tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các năm tr-ớc thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và đã giải đ-ợc một l-ợng lớn bài tập đó. 2/Kết quả thực nghiệm: Sáng kiến đ-ợc áp dụng trong năm học 2009-2010. Bài kiểm tra trên hai đối t-ợng lớp 12A4(36 học sinh) không áp dụng sáng kiến và 12A3(36 học sinh) áp dụng sáng kiến nh- sau: xếp loại đối t-ợng giỏi khá tb yếu 12A4 12A3 Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặc biệt là khi giải bài toán tích phân các em tính tích phân rất thận trọng và hiểu bản chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc nh- tr-ớc, đó là việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh. phần III:kết luận kiến nghị I/ kết luận: http://ebooktoan.com/forum THPTTAN HUNG CHUYENDE-TP 10 Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy học vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp học sinh nhìn thấy đ-ợc những điểm yếu và những hiểu biết ch-a thật thấu đáo của mình về vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh t- duy độc lập, năng lực suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau rồi thêm kiến thức về tính tích phân từ đó làm chủ đ-ợc kiến thức, đạt đ-ợc kết quả cao trong quá trình học tập và các kỳ thi tuyển sinh vào các tr-ờng đại học, cao đẳng , THCN II/ Kiến nghị: Hiện nay nhà tr-ờng đã có một số sách tham khảo tuy nhiên ch-a có một sách tham khảo nào viết về sai lầm của học sinh khi giải toán. Vì vậy nhà tr-ờng cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo loại này để học sinh đ-ợc tìm tòi về những sai lầm th-ờng mắc khi giải toán để các em có thể tránh đ-ợc những sai lầm đó trong khi làm bài tập . tài liệu tham khảo 1. Kiến thức cơ bản giải tích 12 ( Phan Văn Đức- Đỗ Quang Minh Nguyễn Thanh Sơn Lê Văn Tr-ờng NXB ĐH Quốc gia thành phố HCM - 2002) 2. Ph-ơng pháp giải toán Tích phân và Giải tích tổ hợp ( Nguyễn Cam NXB Trẻ ) 3. Ph-ơng pháp giải toán Tích phân (Trần Đức Huyên Trần Chí Trung NXB Giáo Dục) 4. Sách giáo khoa Giải tích 12 (Ngô Thúc Lanh Chủ biên NXB GD 2000) 5. Ph-ơng pháp giải toán Tích phân ( Lê Hồng Đức Lê Bích Ngọc NXB Hà Nội 2005) 6. Sai lầm th-ờng gặp và các sáng tạo khi giải toán ( Trần Ph-ơng và Nguyễn Đức Tấn NXB Hà Nội 2004) . việc giải những dạng tích phân nh- đã nêu.Tuy nhiên giáo viên cần h-ớng dẫn học sinh tỉ mỉ cách phân tích một bài toán tích phân từ hàm số d-ới dấu tích phân, cận của tích phân để lựa chọn ph-ơng. pháp tính của tích phân. Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là: tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc ph-ơng. hoạ: Bài 1: Tính tích phân: I = 2 2 2 )1(x dx * Sai lầm th-ờng gặp: I = 2 2 2 )1(x dx = 2 2 2 )1( )1( x xd =- 1 1 x 2 2 =- 3 1 -1 = - 3 4 * Nguyên nhân sai lầm : Hàm số y =