Quý_Ôn thi đại học phần lượng giác

Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác ThS. Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69 1 CHUYÊN ĐỀ LƢỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. CÁC CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC CẦN NẮM 1. Công thức lƣợng giác cơ bản:                             22 2 2 2 2 sin cos 1 tan .cot 1 1 1 tan ( , ) 2 cos 1 1 cot ( , ) sin sin : tan ( , ) cos 2 cos cot ( , ) sin xx xx x x k k x x x k k x x x x k k x x x x k k x Víi 2. Các cung liên quan đặc biệt Cung đối nhau:  sin(- x) = - sinx  cos(- x) = cosx  tan(- x) = - tanx 5. Biểu diễn cosa, sina, tana theo t = a tan 2 (tham khảo)        2 2 2 2 1 cos 1 2 sin 1 2 tan 1 t a t t a t t a t 6. Công thức biến đổi tích thành tổng     cos .cos 1 cos( ) cos( ) 2 sin .sin 1 cos( ) cos( ) 2 ab a b a b ab a b a b             Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác ThS. Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69 2  cot(- x) = - cotx Cung bù nhau:  sin( - x) = sinx  cos( - x) = - cosx  tan( - x) = - tanx  cot( - x) = - cotx Cung phụ nhau:  sin(/2 - x) = cosx  cos( /2 - x) = sinx  tan( /2 - x) = cotx  cot(/2 - x) = tanx Cung hơn kém   sin(x  ) = - sinx  cos(x  ) = - cosx  tan(x  ) = tanx  cot(x  ) = cotx   sin .cos 1 sin( ) sin( ) 2 ab a b a b       7.Công thức biến đổi tổng thành tích                       cos cos 2 cos cos 22 cos cos 2sin sin 22 sin sin 2sin cos 22 sin sin 2 cos sin 22 sin( ) tan tan cos .cos sin( ) tan tan cos .cos ab a b a b ab a b a b ab a b a b ab a b a b ab ab ab ab ab ab Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác ThS. Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69 3 3. Công thức cộng cos (a ± b) = cosacosb  sinasinb sin (a ± b) = sinacosb ± sinbcosa tan tan tan( ) 1 tan tan ab ab ab    tana tan b cot(a b) 1 tana tan b    4. Công thức nhân đôi, nhân ba 22 2 2 2 2 3 3 3 •cos2a = cos a sin a =2cos a 1 =1 2sin a •sin2a = 2sinacosa 2tana •tan2a = 1 tan a cot a - 1 cot2a = 2cota - - - - cos3a 4cos a 3cosa sin3a 3sina 4sin a sin3a 3tana tan a tan3a cos3a 1 3t          2 an a 8. Một số công thức đặc biệt : sina cosa 2cos(a ) 4 2sin( a) 4 sina cosa 2 (a ) 4 sin             2 2 a 1 cosa 2cos 2 a 1 cosa 2sin 2             4 4 2 6 6 2 1 sin cos 1 sin 2 2 3 sin cos 1 sin 2 4 x x x x x x Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác ThS. Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69 4 II. CÁC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP 1. Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản       sin x a (1) 1;1 (1) 1;1 (1) sin x sin a sin x k2 (k ) x k2                           NÕu : a v«nghiÖm NÕu : a cã nghiÖm       cosx a (2) 1;1 (2) 1;1 (2) cosx cos a cos x k2 (k ) x k2                           NÕu : a v«nghiÖm NÕu : a cã nghiÖm     tanx a a tanx tan a tan x k ( x, k ,k ) 2                        Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác ThS. Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69 5     cotx a a cotx cot a cot x k ( x, k ,k )                      Các phƣơng trình đặc biệt sinx = 0  x = k cosx = 0     k 2 x sinx = -1  x k2 2      cosx = -1   2kx  sinx = 1  x k2 2     cosx = 1  x k2 tanx = 0  x = k cotx =0    k 2 x tanx = -1    kx  4 cotx = -1  xk 4      tanx = 1  xk 4     cotx =1   kx  4            1 3 1 3 sin cos ; cos sin 2 2 2 2 x x x x         sin 0 cos 1; sin 0 cos 1x x x x 2. Phƣơng trình bậc nhất theo một hàm số lƣợng giác Các dạng phƣơng trình:  asinx = b ( hoặc: acosx = b)  atanx = b ( hoặc: acotx = b) - Cách giải: + Đưa chúng về dạng PTLG cơ bản + Chú ý: |sinu|  1, |cosu|  1 Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác ThS. Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69 6 3. Phƣơng trình bậc hai theo một hàm số lƣợng giác  PT dạng: asin 2 x + bsinx + c = 0 ( hay acos 2 x + bcosx + c = 0) với a ≠ 0 Phƣơng pháp: Đặt t = sinx, -1≤ t ≤ 1 ( hay t = cosx) Phương trình trở thành: a.t 2 + b.t + c = 0 Nếu PT này có nghiệm t 0 (-1≤ t 0 ≤ 1), ta được PT cơ bản: sinx = t 0 ( hay cosx = t 0 )  PT dạng: a.tan 2 x + b.tanx + c = 0 ( hay acot 2 x + bcotx + c = 0) với a ≠ 0 Phƣơng pháp: Đặt : t = tanx, t   (hay t = cotx) Phương trình trở thành: a.t 2 + b.t + c = 0 Nếu phương trình có nghiệm t 0 ta được phương trình cơ bản: tanx = t 0 hay (cotx = t 0 ) Nhớ để tanx có nghĩa  x ≠ /2 +k 4. Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx: asinx + bcosx = c (a, b ≠ 0) Phƣơng pháp: * Cách 1: Dùng góc phụ Điều kiện để phƣơng trình có nghiệm: c 2 ≤ a 2 + b 2 Ta có: asinx + bcosx = c  sinx + bc cosx aa   sinx + tanα.cosx = c a (Với tanα = a b , - /2 < α < /2) Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác ThS. Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69 7  sinx + sin cos   cosx = c a  sinxcosα + sinαcosx = c a cosα  sin(x + α) = c a cosα (1) Với điều kiện đầu bài ta được: c a cosα = sinβ ; -/2 ≤ β ≤ /2 Từ (1) ta được phương trình cơ bản: * Cách 2: (Tham khảo) Đặt x t tan 2  (với x ≠  + k2 ) Ta có: a.sinx + b.cosx = c  2 1t 2t a. b. c 22 1 t 1 t     (b + c)t 2 – 2.a.t + c –b = 0 (2) Giải phương trình (2) nếu ta được nghiệm t 0 , ta sẽ có phương trình cơ bản: 0 x tan t 2  Ta thử lại xem x = (2k +1) có là nghiệm phương trình không. * Cách 3: Chia 2 vế phương trình cho 22 ab và đặt: 22 22 a cos ab b sin ab            ta đưa phương trình về dạng: sin(x + ) = c 22 ab sin   sin(x + α) = sinβ Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác ThS. Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69 8 5. Phƣơng trình đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 Phƣơng pháp: Đặt: t = sinx + cosx = 2cos(x ) 4    - 2t2   sinx.cosx = 2 t1 2  : Phương trình trở thành: bt 2 + 2.a.t +2c – b = 0 Nếu phương trình có nghiệm t 0 , ta giải phương trình: 2cos(x ) 4   = t 0 với 0 2 t 2 Ghi chú: Đối với phương trình dạng: a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 Đặt t = sinx – cosx = 2sin(x ) 4   cách giải tương tự. 6. Phƣơng trình đẳng cấp: a.sin 2 x + b.sinx.cosx +c.cos 2 x = 0 (1) Phƣơng pháp giải: * Cách 1: Thay sin 2 x = 1 cos2x 2  ; sinx.cosx = 1 .sin2x 2 ; cos 2 x = 1 cos2x 2  ; Ta có: a. 2 1 (1 – cos2x) + b. 2 1 .sin2x + c. 2 1 .(1+cos2x) = 0  b.sin2x + (c - a) cos2x = -(a + c) Phương trình này có dạng: A.sint + B.cost = C (đã biết cách giải) * Cách 2:  Nếu a = 0: thì phương trình (1) trở thành: bsinx.cosx +c.cos 2 x = 0  cosx(b.sinx + c.cosx) = 0 Phương trình này đã biết cách giải.  Nếu a ≠ 0; x = /2 + k không là nghiệm của phương trình nên: x ≠ /2 + k  cosx ≠ 0, Chia hai vế của (1) cho cos 2 x ta được: Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác ThS. Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69 9 22 2 2 2 sin x sinx.cosx cos x a. b. c. 0 cos x cos x cos x   a.tg 2 x + b.tgx + c = 0 (Đã biết cách giải) Chú ý: Nếu cho ở dạng: a.sin 2 x + b.sinx.cosx +c.cos 2 x = d  0 thì thay d = d.(sin 2 x +cos 2 x) rồi đưa về phương trình dạng (1) B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải các phƣơng trình sau: 1) cos(x ) sin( 2x) 0 2) tg( x)tg( 2x) 1 3 2 3 3 8 3) cos( 3x) cos( 3x) 1 4) cotgx tgx 2tg2x 4tg4x 33 3                     Bài 2: Giải các phƣơng trình sau: 6 6 4 4 2 2 2 2 2 1) 4(sin x cos x) 2(sin x cos x) 8 4cos 2x 2) sin x + sin 3x = cos x + cos 3x 3) 16cosx cos2x cos4x = 3sin8x cos2x 3 4) cosx sin x cosx 2        Bài 3: Giải các phƣơng trình sau: 2 2 2 22 66 22 1) sin x + sin x tg x 3 4) sin x tg2x 3(sin x 3tg2x) 3 3 cos x sin x 1 2) 8cotg2x = .sin2x 5) 3sin x cosx cosx cos x sin x 3) 5cos x + sin x = 4        Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác ThS. Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69 10 PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT – BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC Bài 1: Giải các phƣơng trình sau: 1) cos 3 x + sinx – sin 3 x = 0 3) 22 22 sin 3x cos 3x 6cos2x 3 sin x cos x    2) sin3x + cos2x = 1 + 2sinx cos2x 4) 2 tgx tg(x ) tg(x ) 3 3 33       Bài 2: Giải các phƣơng trình sau: 1) 5sin 2 x – 4sinx – 1 = 0 3) 3tg2x – 3tgx - 5 2 = 0 2) cos2x – 3cosx – 4 = 0 4) 4cotg2x = 22 66 cos x sin x cos x sin x   5) 2tgx + cotg2x = 2 sin2x + 1 sin2x 6) cos2x + 9cosx + 5 = 0 Bài 3: Giải các phƣơng trình sau: 1) 2cos7x cosx = 2cos6x cos2x + cos 2 2x + sin 2 x – 1 2) 3(cos 2 x + 2 1 cos x ) + 5(cosx + 1 cosx ) = 2 3) 4sin 5 x cosx – 4cos 5 x sinx = cos 2 4x + 1 4) sin 4 x + cos 4 x – cos2x + 1 4 sin 2 2x = 2 5) 2 2 4x cos cos x 3 0 1 tg x    [...]... (KB – 2011) 35) 36) 3 sin 2 x  cos 2 x  2cos x -1 (KB – 2012) sin 5x  2cos2 x  1 ThS Vũ Văn Quý (KB – 2013) Đt: 09 8 9 10 39 69 19 Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác F BÀI TẬP LÀM THÊM DẠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau: 3  2) cos  2 x    sin   x   0     4   2   1) 2sin  x    3  0   5  3) sin  2 x  500   cos  x+1200... trình: msin2x + (m – 1)(sinx + cosx) +2m -1 = 0 ThS Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69 16 Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác π π 2 2 Tìm m để (1) có nghiệm x  (- ; ) Bài 10: Cho phương trình: 2 + sinx + cosx = m 1  sin 2x 2 (1) a) Tìm m để (1) có nghiệm π 2 b) Tìm m để (1) có đúng 4 nghiệm x  (- ; ) E GIỚI THI U CÁC ĐỀ THI ĐH (2002 – 2013) 1) Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phương trình: cos3x – 4cos2x... (KD – 2013) Đt: 09 8 9 10 39 69 17 Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác 13) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2) của phương trình: 5.(sinx + 14) cotgx – 1 = cos3x  sin 3x ) = cos2x + 3 1  2sin 2x cos 2x 1 + sin2x - sin2x 1  tgx 2 (KA – 2002) (KA – 2003) 15) Cho tam giác ABC không tù, thoả mãn điều kiện: cos 2A  2 2 cos B  2 2 cosC  3 (KA – 2004) Tính ba góc của tam giác ABC 16) cos23x cos2x – cos2x =... MGT của t ThS Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69 14 Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác - Đưa PTLG về dạng: f(t) = g(m) (1) - Từ PT: t = h(x): Ta lý luận quan hệ về số nghiệm giữa t và x - Tìm MGT của hàm f(t): Đi lập bảng biến thi n của f(t) Từ đó suy ra số nghiệm của (1)  giá trị m cần tìm II BÀI TẬP TỰ LUYỆN: PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC Bài 1: Cho phương trình: cos4x + (cosx – 1)4... Đt: 09 8 9 10 39 69 21 Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác DẠNG 3: PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS Bài 1: Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau: 1) 3sin x  cos x  2  0   2) 3sin x  1  4sin 3 x  3cos3x 3) sin 4 x  cos 4  x    1 4  4) 2  cos4 x  sin 4 x   3sin 4 x  2 5) 2sin 2 x  2 sin 4 x  0 6) 3sin 2 x  2cos2 x  3 Bài 2: Giải các phƣơng trình lƣợng giác sau: 1) 2) cosx ... 2 2 8 5) cos6x - sin6x = DẠNG 8: TỔNG HỢP Bài 1: Giải các phƣơng trình sau: 1) cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: x  k 2 ; x  2) tanx.sin2x  2sin2x = 3(cos2x + sinx.cosx) ThS Vũ Văn Quý  2  n2 (ĐH Mỏ Địa Chất) Đt: 09 8 9 10 39 69 24 Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác   4 HD: Chia hai vế cho sin2x 3 ĐS: x    k ; x    n2 1 1 = 2cos3x + (ĐH Thương Mại) cosx sinx ... 0 4) 2cosx3x + 3cosx – 8sin3x = 0 5) 6sinx – 2cos3x = 6) sin3(x +  )= 4 5sin 4x cos x 2cos 2x 2 sinx 7) 3 2 cosx – sinx = cos3x + 3 2 sinx sin2x ThS Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69 11 Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác PHƢƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG Giải các phƣơng trình sau: 1) 4 2 (sinx + cosx) + 3sinx – 11 = 0 2) (sinx + cosx)3 + sinx cosx – 1 = 0 3) (sinx - cosx)4 - 6sinx cosx – 1 = 0 4) 1 + 2sinx cosx... ax4 + bx2 + c = 0 (a  0) Đặt t = x2  0 Dạng 2: Phƣơng trình bậc bốn: (x + a)4 + (x + b)4 = c Đặt t = x + ThS Vũ Văn Quý ab đưa về phương trình trùng phương 2 Đt: 09 8 9 10 39 69 12 Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác Dạng 3: Phƣơng trình bậc bốn: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = K ( Với a + b = c + d) Đặt: t = (x + a)(x + b) Dạng 4: Phƣơng trình bậc bốn đối xứng ax4 + bx3  cx2 + bx + a = 0 Ta chia... 2009)  1 cos x 2 1  sin 2 x  cos 2 x  2 sin x sin 2 x 22) 1  cot 2 x 23) 3 sin 2 x  cos 2 x  2cos x -1 ThS Vũ Văn Quý (KA – 2010) (KA – 2011) (KA – 2012) Đt: 09 8 9 10 39 69 18 Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác   1  tan x  2 2 sin  x   24) 4  (KA – 2013) 25) sin23x – cos24x = sin25x – cos26x (KB – 2002) 26) cotgx – tgx + 4sin2x = 2 sin 2x (KB – 2003) 27) 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tg2x... b) 5cos2x + 1 = sin27x c) sin8x + cos8x = 2(sin10x + cos10x) + d) sin 2008 ThS Vũ Văn Quý x + cos 5 cos2x 4 sin 6 x  cos6 x x= 3cos 4 x  cos 2 x  cos 2x 2004 Đt: 09 8 9 10 39 69 13 Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác V PHƢƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƢƠNG  Phƣơng pháp: - Sử dụng các hằng đẳng thức (a  b)2, (a  b c)2 A  0  để đưa phương trình về dạng: A2 + B2 + C2 = 0   B  0 C  0  A  0 B  . Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác ThS. Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69 1 CHUYÊN ĐỀ LƢỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. CÁC CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC CẦN NẮM 1. Công thức lƣợng giác. Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác ThS. Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69 20 F. BÀI TẬP LÀM THÊM DẠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:. x x x x Ôn thi đại học Chuyên đề lƣợng giác ThS. Vũ Văn Quý Đt: 09 8 9 10 39 69 4 II. CÁC PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP 1. Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản     