Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm chiều dài 4m thì diện tích giảm 2 m2.. Tính diện tích của mảnh vườn.. 3,5 điểm Cho tam giác ABC nhọn AB < AC nội tiếp đường tròn O, hai đường cao BE, CF c
Trang 1SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: TOÁN.
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)
-Câu 1 (2,0 điểm)
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm x để P = 3
2
Câu 2 (1,5 điểm)
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 100 m Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm chiều dài 4m thì diện tích giảm 2 m2 Tính diện tích của mảnh vườn
Câu 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 4 = 0 (m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12 + 2(m+1)x2 ≤ 3m2 + 16
Câu 4 (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H Tia AO cắt đương tròn (O) tại D
a) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh tứ giác BHCD là hình bình hành
c) Gọi M là trung điểm của BC, tia AM cắt HO tại G Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1
Chứng minh rằng:
2 2 2
- Hết
-Đề chính thức
Trang 2ĐÁP ÁN Câu 1:
a) ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ 4
P = ( 2 2)( 2 2) 1 2 2
x
−
a) Với x ≥ 0, x ≠ 4 , P = 3
2 2
x
mãn) Vậy với x = 36 thì P =
Câu 2: Nữa chu vi của mảnh vườn là: 50m.
Gọi chiều rộng của mảnh vườn là: x (m), ĐK: 0 < x < 50
Suy ra chiều dài của mảnh vườn là: 50 - x (m)
Diện tích mảnh vườn là: x( 50 - x) (m2)
Chiều rộng của mảnh vườn sau khi tăng 3m là: x + 3 (m)
Chiều dài của mảnh vườn sau khi giảm 4m là: 50 - x - 4 = 46 - x (m)
Do khi tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì diện tích giảm 2 m2 nên ta có pt: x( 50 - x) = (x + 3 ).(46 - x) + 2
⇔ 50 x - x2 = 43x - x2 + 140 ⇔ 7x = 140 ⇔ x = 20 thỏa mãn
Suy ra diện tích của mảnh vườn là: 20.( 50 - 20) = 600 (m2)
Câu 3: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 4 = 0
a) Với m = 2, Pt trở thành: x2 – 6x + 8 = 0
∆’ = 9 - 8 = 1 => x1 = 2, x2 = 4
Vậy với m = 2 thì pt có hai nghiệm phân biệt: x1 = 2, x2 = 4
b) Xét pt (1) ta có: ∆ ' = (m + 1)2 – (m2 + 4) = 2m – 3
phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 Khi ∆ '≥ 0 ⇔2m – 3 ≥ 0 ⇔ m 3
2
≥
Theo hệ thức Vi-et: 1 2 2
1 2
2( 1) 4
x x m
Theo giả thiết: x12 + 2(m+1)x2 ≤ 3m2 + 16 <=> x12 + (x1 + x2)x2 ≤ 3m2 + 16
<=> x12 + x22 + x1x2 ≤ 3m2 + 16
<=> (x1 + x2)2 - x1x2 ≤ 3m2 + 16
=> 4(m + 1)2 – (m2 + 4) ≤ 3m2 + 16
<=> 8m ≤ 16 <=> m ≤ 2
Trang 3Vậy: 3
2 ≤ m ≤ 2 thì pt có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x12 + 2(m+1)x2 ≤ 3m2 + 16
Câu 4:
a) BEC = 90· 0v× BE⊥ AC;
BFC 90 = v× CF⊥ AB
Tứ giác BCEF có: BEC BFC 90· = · = 0 (gt)
Tứ giác BCEF nội tiếp vì có đỉnh E và F cùng nhìn
Cạnh BC dưới hai góc bằng nhau
b) Ta có ·BAD= 900 (góc nội tiếp chắn nửa đtròn)
=> BD ⊥ AB mà CH ⊥ AB => BD // CH
C/m tương tự: CD // BH
=> BHCD là hình bình hành
c) BHCD là hình bình hành , M là trung điểm của BC
M là trung điểm của HD
Mặt khác O là trung điểm của AD suy ra G là trọng tâm của ∆AHD
⇒ =
Xét ∆ABC có AM là đường trung tuyến, = Suy ra G là trọng tâm của ∆ABC Câu 5: Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số không âm ta có:
a
Tương tự:
;
b + c 4 c + a 4
⇒
2 2 2
a + b b + c c + a + + + ≥ a + b + c
2 2 2
a + b b + c c + a + ≥ 1
⇔
2 2 2
a + b b + c c + a + ≥ 1
2 2 2
a + b b + c c + a ≥ (đpcm)
G M H
E F
D O A