ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN , THANH HÓA MÔN THI : TOÁN ( thời gian 150 phút ) Năm học 2007 – 2008 Câu 1 : ( 2,5 đ) 1) Cho biểu thức P = 2x 1 x 1 x x x x x 1 x x 1 1 x Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và hãy rút gọn biểu thức P 2) Giải phương trình 2 x 2x 7 3 (x 1)(x 3) Câu 2 : ( 2đ) 1) Cho phương trình x 2 – ( a + b ) x – ab = 0 ( x là ẩn ) có 2 nghiệm x 1 , x 2 . Tìm x 1 , x 2 biết rằng x 1 2 + x 2 2 + 2 = 2 ( x 1 + x 2 – 2 x 1 x 2 ) 2) Giải hệ phương trình 2 2 (x x)(x y) 4 (x 1) y 1 Câu 3 ( 1,5 đ) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình y = mx – m + 1 . Đường thẳng d cắt trục hoành tại A và trục tung tại B ( A, B không trùng với gốc tọa độ O ) . Gọi H là chân đường cao hạ từ O của tam giác OAB . Tìm m biết OH = 3 5 Câu 4 ( 3 đ) Cho đường tròn O ngoại tiếp tam giác đều ABC và điểm M bất kì trên cung nhỏ BC ( M không trùng với B và C ) . Nối MA cắt BC tại N . Chứng minh rằng : 1) MB + MC = MA 2) 1 1 1 MB MC MN 3) 11 MB MC đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MB + MC đạt giá trị lớn nhất Câu 5 : ( 1 đ) Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện x 3 + y 3 = - 2 Chứng minh - 2 x y 0 Sơ lược bài giải Câu 1 : 1) Điều kiện x0 , x ≠ 1 P = x - 1 2) Đặt x 1 x 3 = t ( t 0 ) thì t 2 – 3t – 4 = 0 Từ đó t = 1 hoặc t = - 4 ( loại ) Vậy x = 15 Câu 2 : 1) Điều kiện ( a +b ) 2 +4ab ≥ 0 Áp dụng Viét ta được ( a – 1 ) 2 + ( b – 1 ) 2 = 0 suy ra a = b = 1 Vậy x 1,2 = 1 2 2) Đặt u = x 2 + x , v = x + y ta được hệ phương trình uv 4 u v 2 u v 0 u v 2 Vậy ( x ; y ) = ( 1 ; -3 ); ( - 2 , 0) Câu 3 : Ta có A ( m1 m ;0) , B ( 0 ; 1 – m ) với m ≠ 0 suy ra OA = m1 m ; OB = 1m Trong tam giác vuông OAB ta có 2 2 2 1 1 1 OA OB OH 2m 2 +5m+2 = 0 Vậy m = - 2 hoặc m = - 1 2 Câu 4 : 1) Trên đoạn AM lấy điểm D sao cho MD = MC thì CMD đều Suy ra CD = CM và ACD BCM Xét tam giác ACD và tg BCM có : AC = BC ; ACD BCM và CD = CM Suy ra ACD BCM ( c – g – c ) Vậy AD = BM Nên MB + MC = AD + DM = MA ( điều ta phải chứng minh ) O A B C M D N 2) Vì CD // BM nên 1 CD ND MD MN MD MB NM NM MN Mà CD = MD = MC nên 1 1 1 1 MC MC MB MN MB MC MN 3) Ta có 1 1 4 4 2 MB MC MB MC MA R ( áp dụng tính chất ( x + y ) 2 ≥ 4xy ) Vậy 11 MB MC Đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MB +MC lớn nhất . Khi đó MA = 2R Câu 5 : Vì x 3 + y 3 = - 2 < 0 nên x 3 < - y 3 x + y < 0 Vì ( x – y ) 2 ≥ 0 nên ( x + y ) 2 ≥ 4 xy Suy ra : ( x + y) 3 4xy ( x + y ) . Do đó - 2 = x 3 + y 3 = ( x + y ) 3 – 3xy ( x + y ) 1 4 ( x + y ) 3 ( Thay xy 1 4 ( x + y ) 2 Suy ra x + y ≥ - 2 điều ta phải chứng minh GV : Huỳnh Ngọc Hiệp sưu tầm và lược giải . ĐỀ TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN , THANH HÓA MÔN THI : TOÁN ( thời gian 150 phút ) Năm học 2007 – 2008 Câu 1 : ( 2,5 đ) 1) Cho biểu thức P. = - 2 hoặc m = - 1 2 Câu 4 : 1) Trên đoạn AM lấy điểm D sao cho MD = MC thì CMD đều Suy ra CD = CM và ACD BCM Xét tam giác ACD và tg BCM có : AC = BC ; ACD BCM và CD = CM Suy. thực thỏa mãn điều kiện x 3 + y 3 = - 2 Chứng minh - 2 x y 0 Sơ lược bài giải Câu 1 : 1) Điều kiện x0 , x ≠ 1 P = x - 1 2) Đặt x 1 x 3 = t ( t 0 ) thì