Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013-2014 BÌNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Đề chính thức Môn thi: Toán ( ĐỀ CHUNG ) Ngày thi: 14/6/2013 Thời gian làm bài: 120’ Bài 1: ( 2 đ) Cho biểu thức: a a a 1 A : a 1 a 1 a a + = − − − − ( Với a > 0 ; a ≠ 1) 1. Rút gọn A 2. Tìm các giá trị của A để A < 0 Bài 2: (1 đ) Giải hệ phương trình: 2 1 7 x 2 y 4 20 5 2 2 x 2 y 4 15 + = + − − = + − Bài 3: (2 đ) Một tổ sản xuất theo kế hoạch sản xuất 130 sản phẩm trong thời gian dự kiến. Nhờ tăng năng xuất làm vượt mỗi ngày hai sản phẩm nên đã hoàn thành sớm hơn hai ngày và còn làm thêm được 2 sản phẩm. Tính thời gian dự kiến hoàn thành công việc của tổ sản xuất trên. Bài 4: (4 đ) Cho đường tròn (O). Từ điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại B và C ( AB < AC). Qua A vẽ đường thẳng không đi qua O cắt đường tròn (O) tại D, E ( AD < AE). Đường thẳng vuông góc với AB tại A cắt đường thẳng CE tại F. 1. CM tứ giác ABEF nội tiếp. 2. Gọi M là giao điểm thứ hai của FB với đường tròn (O). CM: DM ⊥ AC. 3. Chứng minh: CE.CF+AD.AE=AC 2 Bài 5: (1 đ) : So sánh giá trị của A và B với: 2014 2012 2015 2013 2013 1 2013 1 A ; B 2013 1 2013 1 + + = = + + * HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: ( 2 đ) Cho biểu thức: a a a 1 A : a 1 a 1 a a + = − − − − ( Với a > 0 ; a ≠ 1) 1.Rút gọn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a 1 a 1 a a a 1 a a a 1 A : . . a 1 a 1 a 1 a 1 a a a 1 a 1 a a 1 a 1 + − + − = − = − = − = − − − − − − − + 2. A < 0 a 1 0 a 1 a 1 ⇔ − < ⇔ < => < kết hợp với điều kiện => 0 < a <1 Bài 2: (1 đ) Giải hệ phương trình: 2 1 7 x 2 y 4 20 5 2 2 x 2 y 4 15 + = + − − = + − ĐK: x ≠ -2; y ≠ 4 .Đặt a = 1 x 2 + ; b= 1 y 4 − ta được hệ pt: ( ) 1 1 7 1 2a b a x 2 15 x 13 x 2 15 30 15 TMDK 1 1 2 1 y 4 10 y 14 5a 2b b y 4 10 15 10 = + = = + = = + ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ ⇔ − = = = − = = − Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định 1 1 1 D M F E C B O A Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất (x;y) = (13;14) Bài 3: Gọi thời gian dự kiến hoàn thành công việc của tổ sản xuất là x ( ngày) . ĐK: x > 2 Thực tế thời gian hoàn thành công việc của tổ là: x -2 ( ngày) Năng xuất dự kiến là: 130 x ( sản phẩm) Sản phẩm thực tế làm được : 130+2 =132 ( sản phẩm) Năng xuất thực tế là: 132 x 2 − ( sản phẩm). Vì năng xuất thực tế tăng 2 sản phẩm/ngày nên ta có pt: 2 2 132 130 2 x 2 x 132x 130(x 2) 2x(x 2) 2x 6x 260 0 x 3x 130 0(1) − = − => − − = − ⇔ − − = ⇔ − − = Giải pt (1) ta được: x 1 = 13 ( TMĐK) ; x 2 = -10 ( Loại) Vậy thời gian dự kiến hoàn thành công việc của tổ sản xuất là 13 ngày. Bài 4: (4 đ) 1. CM tứ giác ABEF nội tiếp. BEC = 90 0 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => BEF = 90 0 Lại có BAF = 90 0 ( gt) Suy ra BEF + BAF =180 0 => Tứ giác ABEF nội tiếp được. 2. Gọi M là giao điểm thứ hai của FB với đường tròn (O). CM: DM ⊥ AC. Vì tứ giác ABEF nội tiếp nên: 1 F = 1 E ( góc nội tiếp cùng chắn cung BA) Mà 1 M = 1 E ( góc nội tiếp cùng chắn cung BD của đường tròn (O)) Suy ra : 1 F = 1 M , mà hai góc này ở vị trí so le trong nên DM // AF Lại có : AF ⊥ AC (gt) , suy ra DM ⊥ AC 3. Chứng minh: CE.CF+AD.AE=AC 2 -Xét ∆ACF và ∆ ECB , có: Góc ACF chung và CEB CAF = ( =90 0 ) => ACF ECB ∆ ∆ (g-g) => AC CE CF CB = => AC.CB=CE.CF ⇔ AC.(AC-AB)=CE.CF ⇔ AC 2 – AC.AB = CE.CF ⇔ AC 2 =AC.AB + CE.CF (1) - Xét ∆ ABE và ∆ADC , có góc CAE chung, DCA AEB = ( góc nội tiếp cùng chắn cung DB) => ABE ADC ∆ ∆ (g-g) => AB AD AE AC = => AB.AC=AD.AE (2) Từ (1) và (2) suy ra CE.CF+AD.AE=AC 2 Bài 5: (1 đ) : So sánh giá trị của A và B với: 2014 2012 2015 2013 2013 1 2013 1 A ; B 2013 1 2013 1 + + = = + + Đặt a = 2013 và x = 2013 2012 ,ta được: 2 3 a x 1 x 1 A ; B a.x 1 a x 1 + + = = + + Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định Giả sử A <B ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 2 3 2 3 3 3 3 2 3 2 3 2 2 3 2012 2 a x 1 x 1 a x 1 x 1 a x a x ax 1 a x a x x 1 A B (1) 0 0 a.x 1 a.x 1 a x 1 a x 1 a x 1 a.x 1 a x ax a x x 0 a x ax a x x 0 a x 1 a x(1 a) 0 x(1 a)(a 1) 0 a x 1 a.x 1 2013 (1 2013) 2013 1 0 (2) + + + + + + + − − − − < ⇔ < ⇔ − < ⇔ < + + + + + + + − − ⇔ < ⇔ + − − < ⇔ − − − < ⇔ − − < + + ⇔ − − < Vì (2) đúng nên (1) đúng . Vậy A < B . (2) + + + + + + + − − − − < ⇔ < ⇔ − < ⇔ < + + + + + + + − − ⇔ < ⇔ + − − < ⇔ − − − < ⇔ − − < + + ⇔ − − < Vì (2) đúng nên (1) đúng . Vậy A < B . = − − − − − − − + 2. A < 0 a 1 0 a 1 a 1 ⇔ − < ⇔ < => < kết hợp với điều kiện => 0 < a <1 Bài 2: (1 đ) Giải hệ phương trình: 2 1 7 x 2 y. 1 A ; B 2013 1 2013 1 + + = = + + Đặt a = 2013 và x = 2013 2012 ,ta được: 2 3 a x 1 x 1 A ; B a.x 1 a x 1 + + = = + + Phan Hòa Đại Đề thi toán vào 10 Lê Quý Đôn -Bình Định Giả sử A <B