Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10

Căn thức và biến đổi căn thức 1. CĂN THỨC VÀ BIẾN ĐỔI CĂN THỨC  1.1 ĐIỀU KIỆN CĂN THỨC CÓ NGHĨA 1.1.1 Phương pháp giải A có nghĩa (xác định) khi và chỉ khi 0A ≥ Các trường hợp cụ thể: - Nếu biểu thức có dạng A thì áp dụng điều kiện có nghĩa của A Ví dụ: 1x − có nghĩa khi và chỉ khi 1 0 1x x − ≥ ⇔ ≥ - Nếu biểu thức có dạng A B± thì ta cho cả hai cùng xác định, tức là 0 0 A B ≥   ≥  . Tổng quát hơn nếu biểu thức là tổng (hiệu) của các căn bậc hai thì ta cho tất cả các biếu thức trong căn đều có nghĩa. Ví dụ: 1 2x x − + − xác định khi và chỉ khi 1 0 1 2 2 0 2 x x x x x − ≥ ≥   ⇔ ⇔ ≥   − ≥ ≥   - Nếu biểu thức có dạng A B thì điều kiện xác định của biểu thức là 0B > (vì B ở mẫu nên 0B ≠ ). Ví dụ: 2 1 1 x x + − xác định khi và chỉ khi 1 0 1x x − > ⇔ > - Nếu biểu thức có dạng A B thì điều kiện xác định của biểu thức là 0 0 A B ≥   >  . Ví dụ: 1 2 x x − − có nghĩa khi và chỉ khi Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 1 Căn thức và biến đổi căn thức 1 0 1 2 2 0 2 x x x x x − ≥ ≥   ⇔ ⇔ >   − > >   - Nếu biểu thức có dạng .A B thì điều kiện xác định của biểu thức là cả A và B cùng dấu, tức là 0 0 A B ≥   ≥  hoặc 0 0 A B ≤   ≤  Ví dụ: ( 1).( 2)x x − − xác định khi và chỉ khi 1 0 2 0 x x − ≥   − ≥  hoặc 1 0 2 0 x x − ≤   − ≤  1 2 x x ≥  ⇔  ≥  hoặc 1 2 x x ≤  ⇔  ≤  2x ⇔ ≥ hoặc 1x ⇔ ≤ - Nếu biểu thức có dạng A B thì điều kiện xác định của biểu thức là cả A và B cùng dấu, tức là 0 0 A B ≥   >  hoặc 0 0 A B ≤   <  Ví dụ: 1 2 x x − − xác định khi và chỉ khi 1 0 2 0 x x − ≥   − >  hoặc 1 0 2 0 x x − ≤   − <  1 2 x x ≥  ⇔  >  hoặc 1 2 x x ≤  ⇔  <  2x ⇔ > hoặc 1x ⇔ ≤ - Dạng tổng hợp các phương pháp trên. 1.1.2 Bài tập áp dụng Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 2 Căn thức và biến đổi căn thức Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau: Bài 1. 3 1x − Bài 8. 1 3 3 5 x x x − − − Bài 15. 2 4x − Bài 2. 5 2x − Bài 9. 7 4 2 5x x− − − Bài 16. 6 1 3x x− + + Bài 3. 1 7 14x − Bài 10. 3 7 2 x x − + Bài 17. 2 5 6x x − + Bài 4. 2 1x − Bài 11. 3 7 x x + − Bài 18. 2 2 5 3x x − + Bài 5. 2 2013x + Bài 12. 2 1x + Bài 19. 2 1 3 2x x − + Bài 6. ( ) ( ) 3 4x x− + Bài 13. 2 4 4 3 x x − − Bài 20. 2 7 4 5x x + − − Bài 7. ( ) ( ) 2 1 2x x+ − Bài 14. 2 1 3 1 4 1 x x x − − + + 1.2 BIẾN ĐỔI, ĐƠN GIẢN CĂN THỨC 1.2.1 Các công thức biến đổi công thức 2 , 0 , 0 A khi A A A A khi A ≥  = =  − <  . .A B A B = A A B B = 2 2 A B A B A B= = ( ) 2 .A A A A = = Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 3 Căn thức và biến đổi căn thức Chú ý: Khi thực hiện biến đổi, đơn giản biểu thức cần chú ý đến việc đưa biểu thức trong căn về dạng hằng đẳng thức bậc hai. Chẳng hạn, 4 2 3 3 1 2. 3.1− = + − 2 2 ( 3) 2. 3.1 1= − + ( ) 2 3 1 = − . 1.2.2 Bài tập áp dụng Bài 1. Thực hiện phép tính a) 2 5 3 45 500+ − g) 11 6 2 11 6 2+ − − b) 2 8 50 18 − + h) 6 2 5 6 2 5+ + − c) 28 63 2 7+ − i) ( ) 15 50 50 200 3 450 : 10+ − d) 50 6 8 32− + j) ( ) ( ) 8 3 2 10 2 3 0,4− + − e) 2 16 6 9 36− + k) ( ) 28 2 14 7 . 7 7 8− + + f) 8 2 18 50− + Bài 2. Thực hiện phép tính a) 2 3 6 216 1 . 3 8 2 6   − −  ÷ −   b) 14 7 15 5 1 : 1 2 1 3 7 5   − − +  ÷ − − −   c) 5 2 6 8 2 15 7 2 10 − + − + Bài 3. Thực hiện phép tính a) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 . 2 3 3 3 1 − − + + d) 8 60 45 12+ + − Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 4 Căn thức và biến đổi căn thức b) ( ) 3 2 3 2 2 2 3 3 2 1 + + + − + + e) 2 3 2 3+ + − c) 3 2 2 6 4 2− − − f) 3 5 3 5+ − − Bài 4. Thực hiện phép tính a) ( ) ( ) 2 2 5 3 2 5− + − d) ( ) 2 3. 6 2− + b) 3 2 2 6 4 2+ + − e) 3 5 2 3 . 3 5 2 3+ + − + c) 7 2 6 7 2 6+ − − f) 2 2 3 18 8 2+ + − Bài 5. Chứng minh rằng: 4 3 16 5 5 1 5 2 5 3 + + = − − − − Bài 6. Chứng minh rằng 2 3 3 5 1 . 2 6 1 6 2 6 3 9 6 4   + + =  ÷ − − − +   Bài 7. Đơn giản biểu thức: ( ) ( ) 8 2 7 2 8 2 7 . 63 1T = + + − + Bài 8. Tính tổng: 1 1 1 1 2 2 3 3 4 S = + + + + + Bài 9. Chứng minh rằng: ( ) ( ) 7 2 10 7 2 10 74 22 10 6 125 4 50 5 20 8 P − + − = = − + + Bài 10. Cho 3 5 2 3 3 5 2 3a = + + + − + Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 5 Căn thức và biến đổi căn thức Chứng minh rằng: 2 2 2 0a a − − = 1.3 RÚT GỌN BIỂU THỨC 1.3.1 Phương pháp giải Để rút gọn một biểu thức chứa căn thức ta làm như sau: - Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa (nếu đề bài chưa cho). - Tìm các nhân tử để thu gọn, đơn giản được. - Tìm các lượng liên hiệp (nếu có). Ví dụ: Rút gọn biểu thức 1 1 1 1 x x x x P x x    + − = + +  ÷ ÷ + −    , với 0 1x ≤ ≠ . Giải: 1 1 1 1 x x x x P x x    + − = + +  ÷ ÷ + −    ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 x x x x x x     + − −     = + +     + −     ( ) ( ) 1 1 1x x x = + − = − 1.3.2 Bài tập áp dụng Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau: a) 1 : a b b a ab a b + − , với 0a > , 0b > và a b≠ b) 1 1 1 1 a a a a a a    + − + −  ÷ ÷ + −    , với 0a > , 1a ≠ c) 8 2 4 4 a a a a a − + − − , với 0a ≥ , 4a ≠ d) ( ) 4 2 1 . 5 1 4 4 2 1 a a a a − + − , với 0a > , 1 2 a ≠ Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 6 Căn thức và biến đổi căn thức Bài 2. Cho biểu thức 3 1 2 x P x − = − − , với 1x ≥ , 3x ≠ . a) Rút gọn P . b) Tính giá trị của P khi ( ) 4 2 3x = − . Bài 3. Rút gọn biểu thức 6 1 3 . 9 3 x x P x x x −   = +  ÷ − +   , với 0x > , 9x ≠ . Bài 4. Rút gọn biểu thức ( ) 1 1 1 A x x x   = − +  ÷ +   , với 0x ≥ . Bài 5. Rút gọn biểu thức 4 16 : 4 4 2 x x Q x x x   − = +  ÷ + − +   , với 0x ≥ , 16x ≠ . Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 7 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN  2.1 ĐỊNH NGHĨA Hệ phương trình dạng ax by c a x b y c + =   ′ ′ ′ + =  được gọi là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x và y . Trong đó , , , , ,a b c a b c ′ ′ ′ ∈¡ , ,a b không đồng thời bằng 0 và ,a b ′ ′ không đồng thời bằng 0. 2.2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 2.2.1 Phương pháp thế - Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại để được một phương trình mới chỉ còn một ẩn. - Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. Ví dụ: giải hệ phương trình 2 2 3 1 x y x y − =   + = −  Giải: 2 2 3 1 x y x y − =   + = −  ( ) 2 2 2 3 1 x y y y = +   ⇔  + + = −   2 5 5 x y y = +  ⇔  = −  1 1 x y =  ⇔  = −  Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ) 1; 1 − (hoặc 1x = , 1y = − ). 2.2.2 Phương pháp cộng đại số Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 8 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau. - Áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn. - Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. Ví dụ: giải hệ phương trình 2 2 3 1 x y x y − =   + = −  Giải: 2 2 3 1 x y x y − =   + = −  3 3 6 2 3 1 x y x y − =  ⇔  + = −  5 5 2 3 1 x x y =  ⇔  + = −  1 1 x y =  ⇔  = −  Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ) 1; 1− (hoặc 1x = , 1y = − ). 2.2.3 Giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ Đôi khi việc giải hệ phương trình bằng cách trực tiếp gặp khó khăn nên ta phải dùng ẩn phụ để đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình cơ bản với ẩn mới. Thông thường khi gặp hệ có dạng ẩn ở mẫu, có lượng nhân tử giống nhau ta dùng ẩn phụ để giải. Việc giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ ta làm theo các bước sau: - Đặt điều kiện để hệ có nghĩa. - Đặt ẩn phụ và điều kiện của ẩn phụ (nếu có). - Giải hệ theo các ẩn phụ đã đặt. - Trở lại ẩn đã cho để tìm nghiệm của hệ. Ví dụ: Giải hệ phương trình 1 1 2 2 1 2 3 1 2 1 x y x y  + =  − −    − =  − −  Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 9 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Giải: Điều kiện: 2 0 2 1 0 1 x x y y − ≠ ≠   ⇔   − ≠ ≠   Đặt: 1 2 1 1 X x Y y  =  −    = −   Hệ phương trình đã cho trở thành: 2 2 3 1 X Y X Y + =   − =  ( ) 2 2 2 3 1 X Y Y Y = −   ⇔  − − =   2 5 3 X Y Y = −  ⇔  − = −  7 5 3 5 X Y  =   ⇔   =   Khi đó, 1 7 2 5 1 3 1 5 x y  =  −    = −   5 2 7 5 1 3 x y  − =   ⇔   − =   Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 10 [...]... là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AN.MB = AC.MN c) Cho DN = r Gọi E là giao điểm của AN và CD Tính theo r độ dài các đoạn ED, EC Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 27 Một số đề thi ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT Năm học 2013-2014 Môn Toán Thời gian 120 phút ĐỀ THI THỬ Bài I (2,0 điểm) 1 Giải phương trình: 2(x - 2) = 5 - x 2 Giải hệ phương trình: y = x − 2  2 x − 3 y = 9 Bài II (2,0 điểm)... thi tuyển sinh 10 môn Toán 28 Một số đề thi 3) Trên đọan thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C Bài V (1.0 điểm) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện M= của biểu thức: x +y xy 2 x ≥ 2y , tìm giá trị nhỏ nhất 2 Hết Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 29 Một số đề thi ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 THPT Môn: Toán lớp 9 (Thời gian làm... y = −7  10 x + 11y = 31 4 x + 7 y = 16  4 x − 3 y = −24 8 x − 7 y = 5  12 x + 13 y = −8 d) e) f) 10 x − 9 y = 8  15 x + 21 y = 0,5 0,35 x + 4 y = −2,6  0,75 x − 6 y = 9  2x + 2 3 y = 5   9 3 2 x − 3 y =  2 Bài 3 Giải các hệ phương trình sau a) ( x − 3) ( 2 y + 5 ) = ( 2 x + 7 ) ( y − 1)   ( 4 x + 1) ( 3 y − 6 ) = ( 6 x − 1) ( 2 y + 3)  Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán... 9 Cho phương trình 2 2 ( x12 + x2 ) = 5 x1 x2 x1 , x2 nghiệm sao cho Bài 10 Cho phương trình 3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0 x1 , x2 hai nghiệm sao cho x 2 + 2mx − 3m − 2 = 0 Bài 11 Cho phương trình x1 , x2 2 x1 − 3x2 = 1 nghiệm sao cho Bài 12 Cho phương trình x1 , x2 x1 = 3x2 nghiệm sao cho Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán m Xác định m m m để phương trình đã để phương trình đã cho có... mỗi giờ 10km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ Tính vận tốc hai xe ô tô, biết quãng đường AB dài là 300km Bài IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB Bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C); BM cắt AC tại H Gọi K là hình chiếu của H trên AB 1) Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh · · ACM = ACK Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn... của hai đồ thị hàm số trên y= Bài 9 Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số Bài 10 Xác định a b , để đồ thị hàm số Bài 11 Xác định hàm số N ( 2; −4 ) Bài 12 Xác định hàm số A ( 1;1) qua y = ax + b y = ax + b y = ax + b Bài 13 Xác định hàm số C ( 1;1) y = −5 x + 4 số và đi qua Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán y = ax + b 1 2 x 2 và đi qua hai điểm y = −4 x − 6 A ( 1; −1) và bằng đồ thị... a) b) c) d) x 2 + ( m + 1) x + m = 0 x 2 − ( 2m − 3) x + m 2 − 3m = 0 x 2 + 2 ( m + 2 ) x − 4m − 12 = 0 ( m + 1) x 2 − 2 ( 2m − 1) x − 3 + m = 0 e) 3.4 ĐỊNH LÝ VIET 3.4.1 Định lý thuận Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 17 Phương trình bậc hai một ẩn x1 x2 ax 2 + bx + c = 0 a ≠ 0 Nếu phương trình bậc hai ( ) có hai nghiệm , thì khi đó S = x1 + x2 = − P = x1 x2 = b a c a 3.4.2 Các hệ quả ax 2... phương trình - Cần đưa các hệ thức chứa x1 , x2 về dạng có chứa tổng và tích hai nghiệm đó Chẳng hạn, 2 x12 + x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 2 Các điều kiện về nghiệm của phương trình bậc hai: Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 18 Phương trình bậc hai một ẩn P < 0 ⇔ ac < 0 • Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi • Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ • Phương trình có hai... dương Bài 4 Cho phương trình x 2 − mx + m − 3 = 0 a) Chứng minh rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt b) Khi phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 + x2 = 2 x1 x2 Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán x1 và x2 , tìm giá trị của m sao cho 19 Phương trình bậc hai một ẩn c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Bài 5 Cho phương trình a) Với giá trị nào của b) Tìm m m 2 B = 2 ( x12... phương trình sau có nghiệm ( 2; −1) 2mx − ( n + 1) y = m − n   ( m + 2 ) x + 3ny = 2m − 3  a, b Bài 6 Xác định Bài 7 Cho biểu thức để đồ thị hàm số y = ax + b f ( x ) = ax 2 + bx + 4 Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán đi qua A ( 2; −1) a, b Xác định để và B ( −1;5 ) f ( 2) = 6 và f ( −1) = 0 12 Phương trình bậc hai một ẩn 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN  3.1 ĐỊNH NGHĨA Phương trình bậc . 9. Chứng minh rằng: ( ) ( ) 7 2 10 7 2 10 74 22 10 6 125 4 50 5 20 8 P − + − = = − + + Bài 10. Cho 3 5 2 3 3 5 2 3a = + + + − + Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 5 Căn thức và biến đổi. ÷ − − −   c) 5 2 6 8 2 15 7 2 10 − + − + Bài 3. Thực hiện phép tính a) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 . 2 3 3 3 1 − − + + d) 8 60 45 12+ + − Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 4 Căn thức và biến. 3 1 5 x y  =  −    = −   5 2 7 5 1 3 x y  − =   ⇔   − =   Tài liệu luyện thi tuyển sinh 10 môn Toán 10 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 19 7 8 3 x y  =   ⇔   =   Vậy hệ