Phần Khảo sát hàm số

GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số Trang 1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHẦN KHẢO SÁT HÀM SỐ CÙNG MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG  1. BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN Bài toán 1.1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số + Tìm tập xác định. + Tính đạo hàm ' y . Cho ' 0 y  , tìm các nghiệm (nếu có). + Lập bảng biến thiên. + Dựa vào bảng biến thiên kết luận hàm số đồng biến, nghịch biến.  Bài 1. Xét sự đồng biến và nghịch biến của các hàm số: a) 3 2 3 2 y x x    b) 2 3 3 8 y x x   c) 3 2 6 9 y x x x    d) 4 2 1 4 4 x y x    e) 4 2 8 5 y x x    f) 2 3 4 16 16 2 3 y x x x x     g) 3 2 7 x y x    h) 1 2 1 y x   i) 3 2 x y x   j) 2 1 2 x x y x     k) 2 1 1 x x y x      l) 2 2 3 2 x x y x     Bài 2. Xét sự biến thiên của các hàm số: a) 2 4 5 y x x    b) 2 2 5 3 y x x    c) 2 3 y x x   d) 2 18 2 y x   e) 3 y x x    f) 2 1 y x x   g) 10 x y x   h) 3 2 6 x y x   Bài 3. Xét tính đơn điệu của các hàm số: a) sin , [0;2 ] y x x x     b) 5 2cos , ; 6 6 y x x x            c) 2 sin cos , [0; ] y x x x     d) 2 cos y x x   trên  e) 2sin tan 3 y x x x    trên 0; 2        f) 1 sin 2 y x x   trên [0;2 ]  . Bài toán 1.2. Tìm m để hàm số đa thức bậc 3 đồng biến (nghịch biến) trên tập xác định (trên  ) + Tập xác định: D   . + Đạo hàm 2 ' y ax bx c     Nếu a có chứa tham số m: * Xét trường hợp 0 a  để nhận xét ' y và xem giá trị tham số m thỏa đề bài không. * Xét trường hợp 0 a  : + Hàm số đồng biến trên  0 ' 0, 0 a y x             + Hàm số nghịch biến trên  0 ' 0, 0 a y x              Tìm m và kết hợp cả 2 trường hợp để kết luận.  Nếu a không chứa tham số m: + Hàm số đồng biến trên  0 ' 0, 0 a y x             + Hàm số nghịch biến trên  0 ' 0, 0 a y x              Tìm m và kết luận. GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số Trang 2  Bài 4. Tìm m để hàm số sau đồng biến với mọi x : a) 3 2 1 ( 1) 9 3 y x x m x      b) 3 2 3(2 1) (12 5) 2 y x m x m x       c) 3 2 2 (2 1) ( 2 4) 3 y x m x m m x        d) 3 2 3 ( 6) 3 3 2 x m y x m x       e) 3 2 1 ( 1) 4 5 3 y x m x m      f) 3 2 1 ( 3) 2 3 y m x x mx     g) 3 2 1 2(2 ) 2(2 ) 5 3 m y x m x m x        h) 2 3 2 1 ( 1) ( 1) 3 5 3 y m x m x x       i) 2 3 2 ( 2 3) ( 3) 2 y m m x m x x m        j) 3 2 1 ( 3) ( 2) 2( 1) 3 y m x m x m x m         Bài 5. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên tập xác định: a) 3 2 (2 5) 1 y x x m x       b) 3 2 (6 3) (12 5) 2 y x m x m x        c) 3 2 2 1 ( 2) (2 4 5) 5 3 y x m x m m x         d) 3 2 ( 4) (5 3 ) 6 3 2 x x y m m x        e) 3 2 2 1 ( 1) (2 3 5) 11 3 y x m x m m x         f) 3 2 1 ( 3) 2 1 3 y m x x mx      g) 3 2 1 ( 1) (2 4) 2( 2) 7 3 y m x m x m x         h) 2 3 2 1 ( 4) ( 2) 4 1 3 y m x m x x       Bài 6. Chứng minh rằng với m mọi thì hàm số: a) 3 2 2 ( 1) ( 2) y x m x m x m        luôn nghịch biến. b) 3 2 2 1 ( 2) (2 4 5) 2 3 y x m x m m x        đồng biến trên tập xác định của nó. Bài 7. Cho hàm số 4 mx y x m    . Tìm m để hàm số: a) Nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. b) Nghịch biến trên khoảng ( ;1)  . Bài toán 1.3. Tìm m để hàm số đa thức bậc 3 đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng K.  Cách 1. Biện luận theo dấu của đạo hàm và nghiệm của phương trình y’ = 0. Xét từng trường hợp cụ thể:  Phương trình ' 0 y  vô nghiệm và có nghiệm kép.  Phương trình ' 0 y  có hai nghiệm phân biệt.  Dẫn đến điều kiện của tham số m.  Cách 2. Dùng phương pháp biến thiên hàm số.  Hàm số đồng biến trên khoảng K ' 0, y x K     + Đưa biểu thức về dạng ( ) ( ), g m h x x K    + Tính '( ) h x và lập bảng biến thiên của hàm số ( ) h x trên K. + Suy ra giá trị ( ) g m rồi kết luận m.  Hàm số nghịch biến trên khoảng K ' 0, y x K     + Đưa biểu thức về dạng ( ) ( ), g m h x x K    + Tính '( ) h x và lập bảng biến thiên của hàm số ( ) h x trên K. + Suy ra giá trị ( ) g m rồi kết luận m.  Bài 8. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng đã chỉ ra: a) 3 2 3 2 y x x mx      trên   0;2 . b) 3 2 1 ( 1) ( 3) 4 3 y x m x m x        trên   0;3 . c) 3 2 3(2 1) (12 5) 2 y x m x m x       trên   2;  ; trên ( ; 1)   . GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số Trang 3 d) 3 2 1 1 ( 1) 3( 2) 3 3 y mx m x m x       trên   2;  . e) 3 2 3 ( 1) 4 y x x m x m       trên ( 1;1)  . f) 2 ( ) y x m x m    trên   1;2 . g) 2 2 5 6 3 x x m y x      trên (1; )  . h) 2 2 (2 1) 1 2 x m x k y x       trên   3;  . Bài 9. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trong khoảng cho trước: a) 3 2 3 3 y x x mx m     trong   0;3 . b) 3 2 1 1 7 ( 1) 3 2 3 y x x m x      trong   2;0  c) 3 2 1 ( 1) ( 3) 4 3 y x m x m x        trong   0;1 . d) 2 6 2 2 mx x y x     trong (1; )  e) 2 2 3 2 1 x x m y x      trong 1 ; 2         . e) 3 2 ( 1) ( 6) 3 x y m x m x      trong (1;4). Bài 10. Tìm m để hàm số a) 3 2 3 y x x mx m     nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1. b) 3 2 1 ( 1) ( 3) 4 3 y x m x m x        đồng biến trong đoạn có độ dài bằng 4. Bài toán 1.4. Chứng minh bất đẳng thức ( ) ( ), g x h x x K    dựa vào tính đơn điệu của hàm số. + Xét hàm số ( ) ( ) ( ) f x g x h x   với x K  . + Tính '( ) f x . + Chứng minh hàm số ( ) f x đơn điệu trên K (đồng biến hoặc nghịch biến trên K). + Dựa vào tính đơn điệu của ( ) f x trên K để suy ra điều cần chứng minh.  Bài 11. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) sin x x  với 0 x  . b) khi 0 x  thì sin 2012 2013 x x  . c) 2 cos 1 2 x x   với 0 x  . d) 2 cos 1 , 2 x x x      . e) tan sin x x  ,0 2 x    . f) tan x x  , 0 2 x    . g) 3 tan 3 x x x  , 0; 2 x          . h) sin tan 2 x x x   , 0; 2 x          . i) sin cos 1 x x x   , 0; 2 x          . j) 2 sin x x   với 0 2 x    . Bài toán 1.5. Giải và biện luận phương trình, bất phương trình bằng tính đơn điệu của hàm số. + Đưa phương trình, bất phương trình về dạng ( ) , ( ) f x m f x m   . + Lập bảng biến thiên của hàm số ( ) f x . + Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.  Bài 12. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm duy nhất: a) 2 2 . 2 144 x x   b) 2 4 1 4 1 1 x x     c) 5 5 x x   , tìm nghiệm duy nhất đó. Bài 13. Cho phương trình 2 3 1 x m x    . Tìm m để phương trình: a) Có nghiệm duy nhất. b) Vô nghiệm. Bài tập tương tự: 13.1. Tìm m để phương trình 2 x x m    có: a) nghiệm duy nhất b) hai nghiệm phân biệt. Bài 14. Tìm m để bất phương trình 3 1 mx x m     có nghiệm. Bài 15. Tìm m để phương trình 4 4 13 1 0 x x m x      có đúng một nghiệm. GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số Trang 4 2. BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ Bài toán 2.1. Tìm cực trị hàm số theo Quy tắc 1. + Tìm tập xác định. + Tính đạo hàm ' y . Cho ' 0 y  , tìm các nghiệm (nếu có). + Lập bảng biến thiên. + Dựa vào bảng biến thiên kết luận cực đại, cực tiểu của hàm số.  Bài 16. Tìm cực trị của các hàm số: a) 3 2 2 9 12 3 y x x x     b) 3 2 3 3 7 y x x x      c) 4 2 1 1 1 4 2 4 y x x    d) 4 3 27 y x x    e) 2 10 9 y x x    f) 2 8 2 y x x   g) 2 4 y x x   h) 3 1 2 x y x     i) 2 1 x y x    j) 2 2 5 1 x x y x     k) 2 5 1 x x y x     l) 2 1 8 x y x    Bài toán 2.2. Tìm cực trị hàm số theo Quy tắc 2. + Tìm tập xác định. + Tính đạo hàm ' y và '' y . Cho ' 0 y  . Tìm các nghiệm 1 2 , , x x thuộc tập xác định. + Tính 1 2 ''( ), ''( ), y x y x Rồi kết luận cực đại và cực tiểu của hàm số.  Bài 17. Tìm cực trị của các hàm số: a) 3 2 2 3 12 1 y x x x     b) 4 3 4 2 y x x    c) 2 3 5 3 y x x    d) 3 2 9 27 y x x x    e) 4 y x x   f) 1 x y x   g) cos , 0 3 y x x x      h) 2sin cos2 y x x   với   0; x   i) 2sin y x x   trên   ;    j) 2 3 cos sin y x x   trên   0;  k) sin cos , ; 2 y x x x             l) sin 2 y x  m) 2 sin y x  n) cos sin y x x   o) sin .cos y x x  p) sin sin y x x    Bài toán 2.3. Tìm m để hàm số bậc 3 có cực đại và cực tiểu (có 2 cực trị) + Tập xác định. + Tính ' y (Giả sử 2 ' y ax bx c    ). + Để hàm số có cực đại và cực tiểu  phương trình ' 0 y  có 2 nghiệm phân biệt. 0 0 ( ' 0) a hay           Tìm m và kết luận.  Bài 18. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu: a) 3 2 1 (3 2) 1 3 y x mx m x      b) 2 2 1 ( 3) 2 4 3 y m x x mx      c) 3 2 ( 2) 3 5 y m x x mx      d) 3 2 2 3( 1) (2 3 2) 2 y x m x m m x m        Bài toán 2.4. Tìm m để hàm số bậc 3 có cực trị. + Tập xác định. + Tính ' y (Giả sử 2 ' y ax bx c    ).  Nếu a không chứa tham số m: Thực hiện tương tự bài toán 2.3.  Nếu a có chứa tham số m: GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số Trang 5 * Xét trường hợp 0 a  để nhận xét ' y có đổi dấu không. * Xét trường hợp 0 a  : Để hàm số có cực đại và cực tiểu  phương trình ' 0 y  có 2 nghiệm phân biệt. 0 ( ' 0) hay       Tìm m. Kết hợp cả 2 trường hợp để kết luận. Bài toán 2.4’. Tìm m để hàm số bậc 3 không có cực trị.  Bài 19. Tìm m để hàm số sau có cực trị: a) 3 2 1 ( 3) 2 ( 4) 3 y m x x mx m m       b) 3 2 2 1 y x x mx     c) 3 2 3 3 3 y x mx m    d) 3 ( 3) 2 3 y m x mx     e) 3 2 2 2 2 2(3 1) 3 3 y x mx m x      Bài 20. Tìm m để hàm số sau không có cực trị: a) 3 2 3 3 2 4 y x x mx m      b) 3 2 3 ( 1) 3 y mx mx m x      Bài toán 2.5. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại 0 x x  + Tìm TXĐ. + Tính ' y .  Cách 1 + Tìm m để hàm số có cực trị (BT 2.4) (*) + Hàm số đạt cực trị tại 0 x x  thì 0 '( ) 0 y x   Tìm m. + So với điều kiện (*) để kết luận m thỏa đề bài.  Cách 2 + Hàm số đạt cực trị tại 0 x x  thì 0 '( ) 0 y x   Tìm m. + Với mỗi giá trị m vừa tìm, thử lại bằng cách lập bảng biến thiên. (Với m nào làm cho ' y đổi dấu khi đi qua 0 x thì nhận) + Kết luận m thỏa đề bài.  Cách 3 + Để hàm số đạt cực trị tại 0 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 y x x x y x         Tìm m và kết luận.  Bài 21. Tìm m để hàm số: a) 3 2 (2 1) ( 5) 1 y x m x m x        đạt cực trị tại 1 x  . b) 3 2 2 2 2 1 ( 2) (3 1) 2 3 y x m m x m x m         đạt cực trị tại 2 x   . c) 3 2 2 5 3 y x mx m x            đạt cực trị tại 1 x  , khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu? Bài toán 2.6. Tìm m để hàm số đạt cực đại / cực tiểu tại 0 x x  . + Tìm TXĐ. + Tính ' y và '' y . + Để hàm số đạt cực đại tại 0 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 y x x x y x        + Để hàm số đạt cực tiểu tại 0 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 y x x x y x         Tìm m và kết luận. GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số Trang 6  Bài 22. Tìm m để hàm số: a)   3 2 (2 1) 5 1 y x m x m x        đạt cực tiểu tại 1 x  . b) 3 2 2 2 1 ( 2) (3 1) 4 3 y x m m x m x m       đạt cực đại tại 2 x   . c) 4 2 2( 2) 5 y mx m x m       có một cực đại là 1 2 x  . d) 2 3 2 ( 5 ) 6 6 6 y m m x mx x       đạt cực đại tại 1 x  . e) sin 3 sin y x m x   đạt cực đại tại 3 x   . f) 4 2 2 5 3 y x mx m      đạt cực đại tại 3 3 x  Bài 23. Tìm a và b để hàm số: a) 4 2 1 2 y x ax b    đạt cực tiểu bằng 2  tại 1 x  . b) 4 2 1 4 y x bx a     đạt cực đại tại 2 x   với giá trị cực đại là 5. Bài 24. Cho hàm số 3 2 y x ax bx c     . Tìm , , a b c để hàm số đạt cực trị bằng 0 tại 2 x   và đồ thị của nó đi qua điểm (1;0) M . Bài toán 2.7. Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm bậc 3. + Tìm m để hàm số có 2 cực trị (Bài toán 2.3) Khi đó: + Thực hiện phép chia y cho ' y (đôi khi ta lấy 3 y chia cho ' y ), ta được:  Thương là ( ) g x   Dư là ( ) r x ax b   + Ta có: '( ). ( ) ( ) y y x g x r x   + Gọi 1 2 , x x là hoành độ của 2 cực trị 1 2 '( ) 0, '( ) 0 y x y x    + Do đó, phương trình đường thẳng qua 2 cực trị là y ax b   .  Bài 25. Tìm m để hàm số sau có cực đại và cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua 2 cực trị đó: a) 3 2 2 3 3 3( 1) y x mx m x m      b) 3 2 7 3 y x mx x     c) 3 2 2 3 2 3 3(1 ) y x mx m x m m        d) 3 2 2 3( 1) 6( 2) 1 y x m x m x       Bài toán 2.8. Cực trị của hàm trùng phương 4 2 ( 0) y ax bx c a     + Đạo hàm 3 ' 4 2 y ax bx   + Phương trình 2 0 ' 0 4 2 0 (*) x y ax b          Hàm số luôn đạt cực trị tại 0 x  .  Hàm số có 3 cực trị  phương trình ' 0 y  có 3 nghiệm phân biệt  phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt 0 x   . 0 a b  Lưu ý: Khi đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị A, B, C (với A nằm trên Oy) thì ABC  cân tại A.  Hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu  phương trình ' 0 y  có 3 nghiệm phân biệt và 0 a  0 0 a b        Hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu  phương trình ' 0 y  có 3 nghiệm phân biệt và 0 a  0 0 a b       GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số Trang 7  Hàm số có đúng 1 cực trị  phương trình (*) vô nghiệm hoặc có duy nhất nghiệm 0 x  . 0 0 a b b        Bài 26. Tìm giá trị tham số m hoặc k để hàm số: a) 4 2 2 1 1 5 4 2 y x mx m      có ba điểm cực trị. b) 4 2 2 2( 1) 3 y x m x m      có ba cực trị. c) 4 2 ( 1) 1 2 y kx k x k      chỉ có một cực trị. d) 2 4 2 (3 ) ( 1) 6 9 y k k x k x k       có một cực đại và hai cực tiểu. Bài toán 2.9. Tìm m để hàm số bậc 3/bậc 4 có cực đại và cực tiểu thỏa điều kiện K cho trước. + Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. (*) + Hoành độ cực đại và cực tiểu là nghiệm của phương trình ' 0 y  . (Có thể suy ra các hoành độ này hoặc tổng tích của các hoành độ). + Tìm m để cực đại và cực tiểu thỏa điều kiện K. + So với điều kiện (*) để kết luận m thỏa đề bài.  Bài 27. Xác định giá trị tham số m để đồ thị hàm số: a) 3 2 3 2 y x x mx     có điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng 1 y x   . b) 3 2 3 3 4 y x mx m    có các điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng y x  . c) 3 2 3 3 1 y x mx m      có cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng 8 74 0 x y    . d) 3 2 3( 1) 9 2 y x m x x m       có các điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng 1 2 y x  . e) 3 2 3 2 y x x mx     có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua 2 điểm cực trị này song song với đường thẳng 4 3 y x    . f) 3 2 7 3 y x mx x     có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua 2 điểm cực trị này vuông góc với đường thẳng 3 7 y x   . g) 3 2 3 2 y x x mx     có đường thẳng qua 2 cực trị tạo với đường thẳng 4 5 0 x y    một góc 0 45 . h) 3 2 3 2 y x x    có đường thẳng đi qua cực đại và cực tiểu tiếp xúc với đường tròn (C) có phương trình 2 2 ( ) ( 1) 5 x m y m      . i) 3 2 6 9 2 y x mx x m     có 2 điểm cực trị sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng qua hai cực trị bằng 4 5 . j) 3 2 3 2 y x x mx     có 2 cực trị và đường thẳng qua 2 cực trị tạo với 2 trục một tam giác cân. Bài 28. Tìm giá trị tham số m (hoặc tham số a) để hàm số a) 3 2 3( 1) 9 y x m x x m      có 2 cực trị 1 2 , x x thỏa 1 2 | | 2 x x   . b) 3 2 (1 2 ) (2 ) 2 y x m x m x m        đạt cực trị tại 1 2 , x x sao cho 1 2 1 | | 3 x x   . c) 3 2 4 3 y x mx x    có hai điểm cực trị 1 2 , x x thỏa 1 2 4 x x   . d) 3 2 1 1 ( 1) 3( 2) 3 3 y x m x m x       có cực trị 1 2 , x x sao cho 1 2 2 1 x x   . e) 3 2 (1 2 ) (2 ) 2 y x m x m x m        có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. f) 3 2 1 3 4 3 y x mx mx     đạt 2 cực trị 1 2 , x x thỏa điểu kiện 2 2 1 2 2 2 1 2 2 9 2 2 9 x mx a a a x mx a       . g) 3 2 2 1 1 ( 3) 3 2 y x mx m x     có các điểm cực trị có hoành độ dương và 2 2 1 2 5 2 x x   . GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số Trang 8 h) 3 2 3 2 3( 1) 6 y x m x mx m      có hai điểm cực trị A và B sao cho 2 AB  . i) 3 2 2 3 3 3( 1) 4 1 y x mx m x m m        có hai điểm cực trị A, B thỏa điều kiện OAB  vuông tại O. j) 3 2 2 3 1 y x x m m      có hai điểm cực trị A và B sao cho diện tích ABC  bằng 7, biết ( 2;4) C  . k) 3 2 1 1 3 y x mx x m      có 2 điểm cực trị và khoảng các giữa 2 điểm cực trị là nhỏ nhất. l) 3 2 3 1 4 ( 1) ( 1) 3 3 y x m x m      có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía của đường tròn (c) có phương trình 2 2 4 3 0 x y x     . Bài 29. Xác định tham số m để hàm số a) 4 2 2 2( 2) 5 5 y x m x m m       có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông cân. b) 4 2 2 2( 2) 5 5 y x m x m m       có các điểm cực đại và cực tiểu tạo thành một tam giác đều. c) 4 2 4 2 2 y x mx m m     có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4. d) 4 2 2 4 2 y x m x m m     có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32. e) 4 2 2 2 y x mx m m     có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 0 120 . 3. BÀI TOÁN TÌM GTLN – GTNN Bài toán 3.1. Tìm GTLN – GTNN của hàm số ( ) y f x  trên đoạn D = [a;b]. + Xét hàm số trên [ ; ] D a b  + Tính ' y . Cho ' 0 y  , tìm các nghiệm 1 2 , , x x D  . + Tính các giá trị 1 2 ( ), ( ), , ( ), ( ). y x y x y a y b + Kết luận [ ; ] max a b y và [ ; ] min a b y .  Bài 30. Tìm GTLN và GTNN của hàm số: a) 3 2 1 3 y x x   trên đoạn   1;3 . b)   4 2 1 1 2 2 y f x x x      trên đoạn   0;2 . c)   3 2 2 3 12 1 y f x x x x      trên 5 2; 2        . d)   4 2 8 16 y f x x x     trên đoạn   1;3  . e) 2 1 2 x y x    trên đoạn 1 ;1 2        . f) 4 1 2 y x x      trên đoạn   1;2  . g)   2 2 3 2 x x y f x x      trên đoạn   0;3 . h)   2 1 1 x y f x x     trên đoạn   2;4 . i)   5 4 y f x x    trên đoạn   1;1  . j) 2 4 y x x   trên đoạn 1 ;3 2       . k) 2 4 y x x    . l) 2 100 y x   trên [ 8;6]  . m) 2 25 y x   . n) 2 3 4 y x x    . Bài 31. Tìm GTLN và GTNN của hàm số: a) sin 2 y x x   trên đoạn ; 2 2          . b) 2 cos y x x   trên đoạn 0; 2        . c) 2sin sin 2 y x x   trên đoạn 3 0; 2        . d) 2 cos2 4sin y x x   trên đoạn 0; 2        . f) sin 2 y x x   trên ; 6 2          . g) sin 2 cos x y x   trên   0;  h) 3. 2sin y x x   trên   0;  . Bài 32. Tìm GTLN và GTNN của hàm số: a) 2 cos 2 cos 3 y x x     . b) 3 2 2sin cos 4sin 1 y x x x     trên [0; ]  GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số Trang 9 c) 2 2sin cos 1 y x x     trên 0; 2        . d) 3sin 5 sin 2 x y x    trên   0;2  . e) 2 cos cos 3 cos 2 x x y x     trên   0;  . f) 3 sin cos 2 sin 2 y x x x     trên  . Bài 33. Tìm tham số m để hàm số a*) 2 2 2 y x mx m     đạt GTLN bằng 6 trên [1;3] . b) 2 1 x m m y x     đạt GTNN trên [0;1] bằng 2  . c) 3 2 2 1 1 ( 1) (2 2 2) 3 3 y x m x m m x         đạt GTLN bằng 1 trên [-1;2] D  . Bài toán 3.2. Tìm GTLN – GTNN của hàm số ( ) y f x  trên khoảng ( ; ) K a b  . + Xét hàm số trên ( ; ) K a b  + Tính ' y . Cho ' 0 y  , tìm các nghiệm 1 2 , , x x K  . + Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng K. + Dựa vào BBT kết luận ( ; ) max a b y và ( ; ) min a b y .  Bài 34. Tìm GTLN và GTNN của hàm số: a) 1 2 1 y x x     tên khoảng   1;  . b) 2 1 1 x y x x     c) 2 1 1 x x y x     với 1 x  . d) 2 9 1 y x   e) 2 1 1 y x x    trên (0;1) . f) 2 2 y x x   , 0 x   . g) 2 x y x   trên   2;4  . i) 2 3 1 x y x    j) 2 1 x x y x    trên   0;  . Bài toán 3.3. Ứng dụng GTLN – GTNN giải bài toán. Ví dụ: Trong các hình chữ nhật có chu vi 12cm. Tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Giải Gọi x (cm) là chiều dài của hình chữ nhật, với 0 6 x   .  Chiều rộng của hình chữ nhật là 6 x   Diện tích của hình chữ nhật là 2 ( ) (6 ) 6 S x x x x x     Ta cần tìm (0;6) x  để ( ) S x đạt giá trị lớn nhất. Xét trên khoảng (0;6), ta có '( ) 6 2 S x x   '( ) 0 6 2 0 3 S x x x       (0;6) max ( ) (3) 9 S x S    Vậy hình chữ nhật cần tìm là hình vuông có cạnh bằng 3cm.  Bài 35. Tìm cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất. Biết rằng diện tích không đổi bằng 2 24 cm . Bài 36. Trong tất cả các tam giác vuông mà cạnh huyền có độ dài bằng 10, tam giác có diện tích lớn nhất là tam giác có tính chất gì? Bài 37. Tìm hai số có hiệu bằng 13 sao cho tích của chúng bé nhất. GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số Trang 10 Bài 38. Một tấm bìa hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 30cm và 40cm, người ta cắt bỏ ở bốn gốc bốn hình vuông bằng nhau để tạo thành một khối hộp không nắp. Tìm cạnh của hình vuông bị cắt bỏ để thể tích của khối hộp tạo thành là lớn nhất. Bài 39. Cho hàm số 2 4 y x   có đồ thị (C). Tìm các điểm trên đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ điểm đó đến điểm (0;2) A là ngắn nhất. 4. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài toán 4.1. Khảo sát và vẽ đồ thị  Hàm bậc 3 và hàm trùng phương. + Tập xác định: D   . + Tính đạo hàm ' y . Cho ' 0 y  , tìm nghiệm (nếu có). + Giới hạn: lim x y  và lim x y  . + Bảng biến thiên. Kết luận: đồng biến, nghịch biến, cực đại và cực tiểu. + Bảng giá trị (5 điểm đặc biệt). + Vẽ đồ thị.  Hàm phân thức ax b y cx d    (với ad bc  ). + Tập xác định: \ d D c          . + Tính đạo hàm ' y . Nhận xét ' 0 y  hoặc ' 0 y  , d x c    . + Giới hạn và tiệm cận:  lim x y  = lim x y k    Đường thẳng y k  là tiệm cận ngang.  lim d x c y          và lim d x c y           Đường thẳng d x c   là tiệm cận đứng. + Bảng biến thiên. Kết luận:  Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định.  Hàm số không có cực trị. + Bảng giá trị (4 điểm đặc biệt). + Vẽ đồ thị.  Bài 40. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: a) 3 2 3 4 y x x    b) 3 2 1 1 3 3 3 y x x x      c) 3 2 3 3 2 y x x x      d) 3 2 3 4 1 y x x x     e) 3 2 2 y x x x    f) 3 2 6 6 2 y x x x     g) 3 3 y x x   h) 3 2 3 3 2 y x x x     i) 3 2 2 2 4 3 3 y x x x     Bài 41. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số: a) 4 2 3 6 2 y x x    b) 4 2 2 1 y x x     c) 4 2 1 2 4 y x x   d) 4 2 1 1 2 y x x    e) 4 2 2 3 y x x     f) 4 2 4 3 y x x    g) 4 2 1 3 2 2 y x x     h)   2 2 2 y x  Bài 42. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: a) 2 1 x y x    b) 2 x y x   c) 2 1 1 x y x    d) 2 2 1 x y x    e) 3 3 y x    f) 2 1 x y x    g) 1 1 3 y x    h) 1 4y x   [...]... tốn liên quan đến Khảo sát hàm số MỘT SỐ BÀI TỐN TRÍCH TỪ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Từ 2002 - 2012  4 2 2 A.12 Cho hàm số y  x  2(m  1) x  m (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m  0 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vng B.12 Cho hàm số y  x3  3mx 2  3m3 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m  1... ngoại) Cho hàm số y  ( x  1)( x 2  2mx  m  1) (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1 b) Định m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn hơn 1 2 8 CĐ.07(CĐ Xây dựng) Cho hàm số y  x3  x 2  4 x  3 3 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho Trang 20 GV: Lê Hồng Vĩnh Bài tốn liên quan đến Khảo sát hàm số 8 cắt... hệ số góc nhỏ nhất D.04 Cho hàm số y  x 3  3mx 2  9 x  1 (1) a) Khảo sát hàm số (1) khi m = 2 b) Tìm m để điểm M ( x0 ; y0 ) của đồ thị hàm số (1) nằm trên đường thẳng d : y  x  1 và có y ''( x0 )  0 B.03 Cho hàm số y  x3  3x 2  m (1) a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2 A.02 Cho hàm. .. số (1) khi m = 1 b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị (2m  1) x  m 2 D.02 Cho hàm số y  (1) x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m  1 b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y  x   Trang 21 GV: Lê Hồng Vĩnh Bài tốn liên quan đến Khảo sát hàm số MỘT SỐ CƠNG THỨC CẦN LƯU Ý ĐẠO HÀM Đạo hàm cơ bản Đạo hàm của hàm hợp Quy tắc Trang 22 ... m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt B.07 Cho hàm số y   x3  3x 2  3(m 2  1) x  3m 2  1 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m  1 b) T ìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O 2x D.07 Cho hàm số y  x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho b) Tìm tọa độ điểm M trên (C), biết tiếp... b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho  OAB có diện tích bằng 48 2 2 D.12 Cho hàm số y  x 3  mx 2  2(3m 2  1) x  (1) 3 3 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m  1 b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1 x2  2( x1  x2 )  1 2x  3 CĐ.12 Cho hàm số y  (1) x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b) Viết phương...  x3  4 B.10 Cho hàm số y  2 x 1 x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho b) Tìm m để đường thẳng y   2 x  m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3 D.10 Cho hàm số y   x 4  x 2  6 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho Trang 19 GV: Lê Hồng Vĩnh Bài tốn liên quan đến Khảo sát hàm số b) Viết phương trình... hồnh độ nhỏ hơn 2 CĐ.09 Cho hàm số y  x 3   2m 1 x 2   2  m  x  2 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m  2 b) T ìm các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị có hồnh độ dương B.08 Cho hàm số y  4 x3  6 x 2  1 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến... tuyến đi qua điểm M (1; 9) D.08 Cho hàm số y  x 3  3 x 2  4 (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua I (1;2) với hệ số góc k (k  3) đều cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của AB x CĐ.08 Cho hàm số y  x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho b) Tìm m để đường thẳng d : y... A và B đến trục hồnh bằng nhau 1 CĐ.11 Cho hàm số y   x3  2 x 2  3 x  1 3 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung A.10 Cho hàm số y  x3  2 x 2  1  m  x  m (1) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m  1 b) T ìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt . GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số Trang 1 PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN PHẦN KHẢO SÁT HÀM SỐ CÙNG MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG  1. BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN. tích bằng 3 . D.10. Cho hàm số 4 2 6 y x x     a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. GV: Lê Hoàng Vĩnh Bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số Trang 20 b) Viết. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1 m  . b) T ìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O. D.07. Cho hàm số