MỞ RỘNG bđt PERSSON về NĂNG LƯỢNG PHỨC CHO một số lớp CEGRELL

Giáo viên hướng dẫn : GS.TSKH. Lê Mậu Hải Sinh viên thực hiện : Nguyễn Quý Hà Lớp : Chất lượng cao - K51 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: MỞ RỘNG BĐT PERSSON VỀ NĂNG LƯỢNG PHỨC CHO MỘT SỐ LỚP CEGRELL CHUYÊN NGÀNH: Giải tích phức Hà Nội, tháng 5 năm 2005 mục lục Lời nói đầu 2 Chơng I. Kiến thức chuẩn bị 6 I.1. Một số kiến thức về dạng vi phân 6 I.2. Toán tử Monge-Ampère cho hàm đa điều hòa dới bị chặn địa phơng 10 I.3. Các lớp Cegrell 23 Chơng II. Ước lợng Persson về năng lợng phức 28 II.1. Năng lợng phức 28 II.2. Bất đẳng thức kiểu Hăolder 29 II.3. Ước lợng Persson 32 Chơng III. Mở rộng ớc lợng Persson 33 III.1. Một số kết quả bổ trợ 34 III.2. Các bổ đề chìa khóa 35 III.3. Ước lợng Persson mở rộng cho một số lớp Cegrell 39 Tài liệu tham khảo 41 1 lời nói đầu Lý thuyết đa thế vị xoay quanh các vấn đề về hàm đa điều hòa dới là một lý thuyết còn tơng đối mới mẻ, đợc bắt đầu từ sự ra đời của khái niệm hàm đa điều hòa dới vào khoảng năm 1942 (do Oka và Lelong độc lập đa ra). Tuy nhiên nó đã và đang thu hút sự quan tâm của một số lợng đông đảo các nhà giải tích. Một khái niệm cơ bản đồng thời là công cụ rất hiệu lực để nghiên cứu các hàm đa điều hòa dới trong lý thuyết đa thế vị là toán tử Monge-Ampère (dd c .) n (đôi khi đợc gọi là độ đo Monge-Ampère). Nó đóng vai trò tơng tự nh toán tử Laplace trong lý thuyết thế vị cổ điển dùng để nghiên cứu các hàm điều hòa dới. Ban đầu toán tử Monge-Ampère chỉ đợc định nghĩa cho các hàm đa điều hòa dới khả vi liên tục cấp hai, nhng vào năm 1976 Bedford và Taylor trong [Be-Ta] đã mở rộng định nghĩa này cho các hàm đa điều hòa dới bị chặn địa phơng dựa trên khái niệm dòng trong lý thuyết phân bố, đánh dấu một cột mốc quan trọng trong sự phát triển của lý thuyết đa thế vị. Sau đó đã có rất nhiều nỗ lực của các nhà toán học trong một loạt các công trình để tìm ra một miền xác định tổng quát hơn cho toán tử Monge-Ampère sao cho nó vẫn giữ đợc những tính chất tự nhiên nh ban đầu. Kiselman, Shiffman và Taylor đã chỉ ra một ví dụ chứng tỏ không thể mở rộng miền xác định của toán tử sang toàn bộ lớp các hàm đa điều hòa dới sao cho ảnh của nó vẫn thỏa mãn là một độ đo dơng. Cegrell đã thu đợc sự mở rộng toán tử trong miền xác định không đối xứng P SH() ì (PSH C()) n1 với là một tập mở trong C n Đặc biệt quan trọng là vào năm 1998 trong bài báo [Ce1], Cegrell đã đa ra một loạt các lớp con của lớp hàm đa điều hòa dới mà sau này ta sẽ gọi là các lớp Cegrell và định nghĩa toán tử Monge-Ampère cho các lớp hàm đó. Cũng trong bài báo nổi tiếng này Cegrell đã sử dụng khái niệm 2 năng lợng phức (mở rộng của khái niệm năng lợng trong lý thuyết thế vị cổ điển) nh là một công cụ thiết yếu để nghiên cứu các vấn đề liên quan đến các lớp hàm vừa đa ra. Công trình này của Cegrell giống nh một bớc ngoặt, mở ra nhiều hớng nghiên cứu thú vị và đợc tiếp nối trong các bài báo của chính Cegrell và nhiều ngời khác nh : L.Persson, S.Kolodziej, A.Zeriahi, P.Ahag, R.Czyz, Tại khoa toán của trờng ta có GS.TSKH. Nguyễn Văn Khuê, GS.TSKH. Lê Mậu Hải , cử nhân Phạm Hoàng Hiệp cũng đang tham gia nghiên cứu những vấn đề còn nóng hổi này và đã thu đợc nhiều kết quả đẹp. Bản khóa luận của tôi sẽ đề cập đến một trong những kết quả liên quan đến các lớp Cegrell và năng lợng phức đợc trình bày trong [Pe]. Đó là một bất đẳng thức đối với các năng lợng phức của các hàm thuộc lớp Cegrell E 0 mà ta sẽ gọi là ớc lợng Persson. Nó đợc tổng quát từ một ớc lợng yếu hơn trong [Ce-Pe] và đợc Persson sử dụng để chứng minh nguyên lý Diriclet cho toán tử Monge-Ampère (chi tiết xem [Pe]). Ước lợng Persson dạng ban đầu đợc phát biểu nh sau: Nếu u 0 , . . . , u n E 0 , p 1, kí hiệu (u 0 , . . . , u n ) p và I p (u j ) để chỉ p-năng lợng phức tơng hỗ và p-năng lợng phức, khi đó ta có: (*) (u 0 , . . . , u n ) p D n,p I p (u 0 ) p/(p+n) I p (u 1 ) 1/(p+n) . . . I p (u n ) 1/(p+n) trong đó : (**) D n,1 = 1, D n,p = p p(n,p)/(p1) p > 1 và: (n, p) = (p + 2) p+1 p n1 (p + 1) Ước lợng này đợc mở rộng trong một bài báo mới đây [Cz-Hi-Ah] (năm 2005) của R.Czyz, Phạm Hoàng Hiệp và P.Ahag: khi thay p 1 bởi p > 0 và các hàm u 0 , . . . , u n thuộc lớp E 0 thì ta có : ớc lợng (*) vẫn đúng với D n,p = p (n,p) 1p nếu 0 < p < 1 còn D n,p với p 1 xác định nh ở (**) Mục đích khóa luận này là tổng quát tiếp tục kết quả trong [Cz-Hi-Ah] khi 3 các hàm u 0 , . . . , u n thuộc lớp E p hoặc thuộc lớp F a . (Để nhanh chóng có thể quan sát hình vẽ ở trang 25 để thấy các lớp hàm này đều chứa E 0 ). Kết quả khóa luận đạt đợc là định lý III.3.2. và định lý III.3.3. Rất khó để nói xem 2 kết quả đó có thật sự mới hay không và cho dù là cha ai làm thì nó có ý nghĩa gì hay không. Tuy nhiên để đi đến nó với riêng bản thân tác giả của khóa luận này đã là cả một quá trình học tập, lao động nghiêm túc và vất vả trên bớc đờng làm quen với nghiên cứu khoa học. Khóa luận sẽ đợc chia làm 3 chơng: Chơng I dành cho những kiến thức chuẩn bị, bắt đầu từ các khái niệm quen thuộc của lý thuyết đa thế vị mà trọng tâm là định nghĩa toán tử Monge- Ampère tác động lên các hàm đa điều hòa dới bị chặn địa phơng, sau đó chuyển sang những kiến thức tóm lợc về một số lớp Cegrell mà ta sẽ dùng tới. Chơng II sẽ trình bày lại chứng minh ớc lợng Persson ở dạng ban đầu theo [Pe], trong đó bất đẳng thức kiểu H ăolder đóng vai trò chìa khóa và nó sẽ vẫn đợc sử dụng trong chứng minh mở rộng của [Cz-Hi-Ah]. Chơng III tập trung vào chứng minh một số bổ đề quan trọng để có thể suy ra đợc kết quả trong [Cz-Hi-Ah] và 2 định lý mà ta vừa giới thiệu ở trên. Khóa luận này đợc viết dới sự hớng dẫn của GS.TSKH. Lê Mậu Hải. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy-ngời đã luôn nhiệt tình hớng dẫn, gợi ý nhiều ý tuởng và giải đáp mọi thắc mắc dù là nhỏ nhất của tôi. Nếu khóa luận có chỗ còn sơ suất thì hoàn toàn là do khả năng cũng nh hiểu biết còn hạn chế của tác giả. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo phản biện, các thầy trong tổ lý thuyết hàm, cử nhân Phạm Hoàng Hiệp đã có những chỉ dẫn hữu ích và tạo điều kiện cho tôi mợn nhiều tài liệu tham khảo quý trong suốt 4 quá trình làm khóa luận. Và để tỏ lòng biết ơn tới tất cả những ngời đã giúp đỡ tôi, kể từ đây trong khóa luận này, xin phép đợc đổi từ tôi thành chúng tôi. Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2005 Tác giả Nguyễn Quý Hà 5 chơng I: kiến thức chuẩn bị Trong chơng này chúng tôi sẽ đa ra những kiến thức nền để chuẩn bị cho các chơng sau. Phần I.1 và I.2 chúng tôi trình bày chủ chủ yếu dựa theo [Kl], các kiến thức đầy đủ và sâu hơn về dạng vi phân có thể tìm thấy trong [Ca]. Phần I.3 về các lớp Cegrell chúng tôi dựa nhiều vào [Ah] , [Ce1], [Ce2] và [Cz-Hi-Ah]. Các chú dẫn về lịch sử ra đời của các khái niệm chúng tôi lấy từ [Ki]. I.1. Một số kiến thức về dạng vi phân I.1.1. Các kí hiệu vi phân phức. Cho là một tập mở trong C n và một hàm f : C khả vi tại a Ta sử dụng những kí hiệu chuẩn sau: dx j (z 1 , . . . , z n ) = Rez j dy j (z 1 , . . . , z n ) = Imz j dz j = dx j + idy j dz j = dx j idy j z j = 1 2 x j i y j z j = 1 2 x j + i y j a f = n j=1 f z j a dz j a f = n j=1 f z j a dz j Nh vậy ta có: d a f = n j=1 f x j a dx j + f y j a dy j = a f + a f I.1.2. Sơ lợc về dạng vi phân phức. ChoV và W là các không gian véc tơ trên cùng trờng vô hớng. Một ánh xạ: f : V ì V ì ã ã ã ì V k W đợc gọi là k-tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến. Nếu có thêm điều kiện f(v 1 , . . . , v k ) = 0 tại mọi v j = v j+1 với 1 j < k thì f gọi là k-tuyến tính thay phiên. Họ các ánh xạ nh thế đợc kí hiệu là k (V, W ). Khi k=1 6 ta hay dùng kí hiệu L(V, W ) thay vì 1 (V, W ), và để thuận tiện ta quy ớc 0 (V, W ) = W Nếu f 1 , . . . , f k L(V, C) và v 1 , . . . , v k V ta định nghĩa tích ngoài f 1 . . . f k bởi công thức : (1) f 1 . . . f k (v 1 , . . . , v k ) = det[f i (v j )] i,jk Trớc hết giả sử V = R m , W = C và là một tập mở trong R m Một dạng vi phân bậc k 0 trên hay một k-dạng trên là ánh xạ : k (R m , C) Khi đó nó có thể viết dới dạng: = =k dx Trong đó dx = dx 1 . . . dx k (dx j là hàm tọa độ thứ j trong R m còn phép nhân ngoài đợc xác định nh ở (1)), là các hàm phức trên và kí hiệu để chỉ tổng đợc lấy qua các bộ đa chỉ số tăng = ( 1 , . . . , k ) với k m Nếu các hệ số thuộc vào lớp đặc biệt các hàm phức F(, C) (chẳng hạn C(, C), C (, C), ) thì ta viết : F(, k (R m , C)) Phép nhân ngoài của các dạng vi phân : k (R m , C) và : l (R m , C) là một (k+l)-dạng đợc xác định bởi công thức: ( )(x)( 1 , . . . , k+l ) = ((x) (x))( 1 , . . . , k+l ) = sgn()(x)( (1) , . . . , (k) )(x)( (k+1) , . . . , (k+l) ) với x và tổng lấy qua các hoán vị của {1, . . . ,k+l} thỏa mãn : (1) < ã ã ã < (k) , (k + 1) < ã ã ã < (k + l) Nếu f là một hàm khả vi giá trị phức trên ta định nghĩa: df : x d x f Hiển nhiên df là một đạng vi phân bậc1. Bây giờ ta sẽ mở rộng định nghĩa này cho các dạng vi phân bậc dơng ( chú 7 ý rằng f là dạng vi phân bậc 0). Nếu là dạng vi phân bậc k 0 trên và có biểu diễn: = =k dx thì d = =k d dx . Rõ ràng đây là dạng vi phân bậc k+1 và gọi là vi phân ngoài của còn d gọi là toán tử vi phân ngoài. Nếu bậc của là dơng, tức là không phải là hàm giá trị vô hớng thì toán tử vi phân ngoài d phải đợc phân biệt với vi phân d. Đặc biệt ta có: dd = d 2 = 0 Các tính chất của phép nhân ngoài và vi phân ngoài có thể xem thêm trong [Ca]. Bây giờ ta xét V = C n và W = C Nếu = ( 1 , . . . , k ) Z k + , k n ta đặt: dz = dz 1 . . . dz k , dz = dz 1 . . . dz k Nếu p, q Z + thì p,q (C n , C) kí hiệu là không gian con của p+q (C n , C) sinh bởi: {dz ( 1 , , p ) dz ( 1 , , q ) : 1 1 < ã ã ã < p n, 1 1 < ã ã ã < q n} Ta có biểu diễn tổng trực tiếp: r (C n , C) = p+q=r p,q (C n , C) Cho là một dạng vi phân trên một tập mở C n , Nếu có thể viết dới dạng: (2) = =p =q dz dz hay tơng đơng nếu ánh xạ vào p,q (C n , C), thì nó đợc gọi là dạng vi phân phức (hay ngắn gọn là dạng vi phân) loại (p,q). Rõ ràng (p+q) là bậc của . Mọi dạng vi phân bậc r có thể viết duy nhất dới dạng tổng của các dạng vi phân loại (p,q) mà p+q=r. Nếu f là một hàm phức trên và f khả vi,ta xác định: df : a d a f f : a a f 8 f : a a f Ta sẽ mở rộng định nghĩa này cho các dạng vi phân phức. Nếu là dạng loại (p,q) có biểu diễn nh trong (2) ta đặt: d = , d dz dz = , dz dz = , dz dz Các dạng và tơng ứng là loại (p+1,q) và (p,q+1). Nh trong trờng hợp các dạng vi phân thực, nếu bậc của dơng, tức là không phải là hàm giá trị vô hớng thì toán tử vi phân ngoài d phải đợc phân biệt với vi phân d. Đặc biệt, nó thỏa mãn d 2 = dd = 0, hơn nữa d = + và do đó: 0 = d 2 = 2 + ( + ) + 2 Vì ba số hạng là các dạng vi phân khác loại nên ta rút ra kết luận: 2 = = 0 2 = = 0 = Một toán tử khác sẽ đợc sử dụng xuyên suốt khóa luận này là d c xác định bởi: d c = i( ). Chú ý rằng: dd c u = 2i Và nếu u C 2 () thì ta có: dd c u = 2i n j,k=1 2 u z j z k dz j dz k Toán tử Monge-Ampère phức trong C n đợc định nghĩa là lũy thừa ngoài bậc n của dd c tức là : (dd c ) n = dd c . . . dd c n Để ý rằng nếu u C 2 () thì : (3) (dd c u) n = 4 n n!det 2 u z j z k dV trong đó dV = ( i 2 ) n dz 1 dz 1 . . . dz n dz n = dx 1 dy 1 . . . dx n y n là dạng thể tích thông thờng hay độ đo Lebesgue trên R 2n Toán tử Monge-Ampère là một công cụ rất hiệu lực để nghiên cứu các hàm đa điều hòa dới, tơng tự nh vai trò của toán tử Laplace đối với các 9 [...]... Ước lợng Persson về năng lợng phức Khái niệm năng lợng phức đợc bắt nguồn từ khái niệm năng lợng l một miền mở trong Rn , khi đó năng trong lý thuyết thế vị cổ điển: Cho lợng tơng hỗ của 2 h m u, v SH( ) xác định bởi: (u, v) = trong đó (u) v l kí hiệu toán tử Laplace V ta có ớc lợng:(xem [Po-Sto]) (10) 1 1 (u, u) 2 (v, v) 2 (u, v) Một vấn đề đặt ra l mở rộng (10) sang trờng hợp năng lợng phức tơng... Shiffman-Taylor ta không thể mở rộng định nghĩa toán tử Monge-Ampère từ lớp các h m đa điều hòa dới bị chặn địa phơng sang to n bộ lớp các h m đa điều hòa dới sao cho ảnh của toán tử vẫn l một độ đo Do vậy câu hỏi đặt ra l phải tìm một miền xác định tự nhiên cho toán tử Monge-Ampère Trong [Ce1] v [Ce2], Urban Cegrell đ đa ra một số lớp con của lớp h m đa điều hòa dới (ta gọi l các lớp Cegrell) v định nghĩa... định nghĩa toán tử Monge-Ampère cho các lớp h m đó cũng nh xem xét các vấn đề liên quan Đặc biệt trong [Ce2], Cegrell đ chứng minh đợc rằng nếu đòi hỏi một số tính chất tự nhiên cho toán tử thì lớp E l miền xác định tự nhiên (hay rộng nhất) của toán tử Monge-Ampère Sau đây ta sẽ đa ra định nghĩa một số lớp Cegrell v các tính chất quan trọng Từ bây giờ ta kí hiệu P SH ( ) l lớp các h m đa điều hòa dới... III: Mở rộng ớc lợng Persson Chơng n y chúng tôi sẽ d nh để trình b y một số mở rộng của ớc lợng Persson đồng thời cũng l những kết quả chính đạt đợc của khóa luận Để ý rằng trong phát biểu của ớc lợng Persson phải có đòi hỏi p 1 v các h m u0 , u1 , , un thuộc lớp E0 Nhờ kết quả trong [Cz-Hi-Ah] đòi hỏi p 1 có thể nới rộng ra th nh p > 0 nhng các h m u0, u1 , , un vẫn yêu cầu phải thuộc lớp E0... sự mở rộng n y ta suy ra đợc Ep , Fp l các nón lồi với mọi p 0 (Hệ quả III.3.4.) Chứng minh ớc lợng Persson mở rộng của R.Czyz, Phạm Ho ng Hiệp v P.Ahag sử dụng t tởng tơng tự nh trong chứng minh của Persson tức l cũng sử dụng bất đẳng thức kiểu Hălder với ớc lợng cho hai biến đầu tiên của o h m (u0 , u1, , un )p đợc mở rộng thêm cho trờng hợp 0 < p < 1 (Bổ đề III.2.4.) Chúng tôi sẽ tiếp tục mở rộng. .. định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn b) Mệnh đề Cho l một tập mở bị chặn trong Cn với biên trơn Nếu v 1, , v k l các h m lớp C 2 giá trị thực trong một lân cận của (n k, n k)-dạng trong một lân cận của ddc v 1 ddc v k = v l một thỏa m n = 0 trên thì: v j ddc v 1 ddc v j1 ddc vj+1 ddc v k ddc j = 1, , k Công thức trên cũng đúng cho tập mở bất kì C 2 ( ) v l một dạng test... gọi l ớc lợng Persson Đây chính l dạng tơng tự của (10) trong lý thuyết đa thế vị Mục đích của chơng n y l trình b y lại chứng minh ớc lợng Persson dựa trên [Pe] Các vấn đề về năng lợng phức có thể tham khảo thêm [Ce1] II.1 Năng lợng phức II.1.1 Định nghĩa Với p > 0, ta định nghĩa p -năng lợng phức tơng hỗ của u0 , , un E là: (u0 , , un )p = (u0 )pddc u1 ddc un 28 và p -năng lợng phức tơng hỗ... dạng mở rộng cho các lớp h m khác g) Định lý Cho l tập mở bị chặn trong Cn v giả sử u, v P SH L ( ) thỏa m n: lim inf z (u(z) v(z)) 0 Khi đó ta có: {u . Nguyễn Quý Hà Lớp : Chất lượng cao - K51 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: MỞ RỘNG BĐT PERSSON VỀ NĂNG LƯỢNG PHỨC CHO MỘT SỐ LỚP CEGRELL CHUYÊN. 10 I.3. Các lớp Cegrell 23 Chơng II. Ước lợng Persson về năng lợng phức 28 II.1. Năng lợng phức 28 II.2. Bất đẳng thức kiểu Hăolder 29 II.3. Ước lợng Persson 32 Chơng III. Mở rộng ớc lợng Persson. 32 Chơng III. Mở rộng ớc lợng Persson 33 III.1. Một số kết quả bổ trợ 34 III.2. Các bổ đề chìa khóa 35 III.3. Ước lợng Persson mở rộng cho một số lớp Cegrell 39 Tài liệu tham khảo 41 1 lời nói đầu Lý