MỞ RỘNG bđt PERSSON về NĂNG LƯỢNG PHỨC CHO một số lớp CEGRELL

Ban đầu toán tử Monge-Ampère chỉ được định nghĩa cho cáchàm đa điều hòa dưới khả vi liên tục cấp hai, nhưng vào năm 1976 Bedford vàTaylor trong [Be-Ta] đã mở rộng định nghĩa này cho các

Giáo viên hướng dẫn : GS.TSKH Lê Mậu Hải

Sinh viên thực hiện : Nguyễn Quý Hà

lời nói đầu

Lý thuyết đa thế vị xoay quanh các vấn đề về hàm đa điều hòa dưới là một

lý thuyết còn tương đối mới mẻ, được bắt đầu từ sự ra đời của khái niệm hàm

đa điều hòa dưới vào khoảng năm 1942 (do Oka và Lelong độc lập đưa ra) Tuynhiên nó đã và đang thu hút sự quan tâm của một số lượng đông đảo các nhàgiải tích Một khái niệm cơ bản đồng thời là công cụ rất hiệu lực để nghiên cứucác hàm đa điều hòa dưới trong lý thuyết đa thế vị là toán tử Monge-Ampère

như toán tử Laplace trong lý thuyết thế vị cổ điển dùng để nghiên cứu các hàm

điều hòa dưới Ban đầu toán tử Monge-Ampère chỉ được định nghĩa cho cáchàm đa điều hòa dưới khả vi liên tục cấp hai, nhưng vào năm 1976 Bedford vàTaylor trong [Be-Ta] đã mở rộng định nghĩa này cho các hàm đa điều hòa dưới

bị chặn địa phương dựa trên khái niệm dòng trong lý thuyết phân bố, đánhdấu một cột mốc quan trọng trong sự phát triển của lý thuyết đa thế vị Sau đó

đã có rất nhiều nỗ lực của các nhà toán học trong một loạt các công trình đểtìm ra một miền xác định tổng quát hơn cho toán tử Monge-Ampère sao cho

nó vẫn giữ được những tính chất tự nhiên như ban đầu Kiselman, Shiffman

và Taylor đã chỉ ra một ví dụ chứng tỏ không thể mở rộng miền xác định củatoán tử sang toàn bộ lớp các hàm đa điều hòa dưới sao cho ảnh của nó vẫnthỏa mãn là một độ đo dương Cegrell đã thu được sự mở rộng toán tử trong

Cegrell đã đưa ra một loạt các lớp con của lớp hàm đa điều hòa dưới mà saunày ta sẽ gọi là các lớp Cegrell và định nghĩa toán tử Monge-Ampère cho cáclớp hàm đó Cũng trong bài báo nổi tiếng này Cegrell đã sử dụng khái niệm

năng lượng phức (mở rộng của khái niệm năng lượng trong lý thuyết thế vị cổ

điển) như là một công cụ thiết yếu để nghiên cứu các vấn đề liên quan đến cáclớp hàm vừa đưa ra Công trình này của Cegrell giống như một bước ngoặt,

mở ra nhiều hướng nghiên cứu thú vị và được tiếp nối trong các bài báo củachính Cegrell và nhiều người khác như : L.Persson, S.Kolodziej, A.Zeriahi,P.Ahag, R.Czyz, Tại khoa toán của trường ta có GS.TSKH Nguyễn VănKhuê, GS.TSKH Lê Mậu Hải , cử nhân Phạm Hoàng Hiệp cũng đang thamgia nghiên cứu những vấn đề còn nóng hổi này và đã thu được nhiều kết quả

đẹp Bản khóa luận của tôi sẽ đề cập đến một trong những kết quả liên quan

đến các lớp Cegrell và năng lượng phức được trình bày trong [Pe] Đó là một

mà ta sẽ gọi là ước lượng Persson Nó được tổng quát từ một ước lượng yếuhơn trong [Ce-Pe] và được Persson sử dụng để chứng minh nguyên lý Diricletcho toán tử Monge-Ampère (chi tiết xem [Pe])

Ước lượng Persson dạng ban đầu được phát biểu như sau:

các hàm u0, , un thuộc lớp Ep hoặc thuộc lớp Fa (Để nhanh chóng có thể

khóa luận đạt được là định lý III.3.2 và định lý III.3.3 Rất khó để nói xem

2 kết quả đó có thật sự mới hay không và cho dù là chưa ai làm thì nó có ýnghĩa gì hay không Tuy nhiên để đi đến nó với riêng bản thân tác giả củakhóa luận này đã là cả một quá trình học tập, lao động nghiêm túc và vất vảtrên bước đường làm quen với nghiên cứu khoa học

Khóa luận sẽ được chia làm 3 chương:

Chương I dành cho những kiến thức chuẩn bị, bắt đầu từ các khái niệmquen thuộc của lý thuyết đa thế vị mà trọng tâm là định nghĩa toán tử Monge-Ampère tác động lên các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương, sau đóchuyển sang những kiến thức tóm lược về một số lớp Cegrell mà ta sẽ dùngtới

Chương II sẽ trình bày lại chứng minh ước lượng Persson ở dạng ban đầu

vẫn được sử dụng trong chứng minh mở rộng của [Cz-Hi-Ah]

Chương III tập trung vào chứng minh một số bổ đề quan trọng để có thểsuy ra được kết quả trong [Cz-Hi-Ah] và 2 định lý mà ta vừa giới thiệu ở trên.Khóa luận này được viết dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Lê Mậu Hải.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy-người đã luôn nhiệt tình hướng dẫn, gợi

ý nhiều ý tuởng và giải đáp mọi thắc mắc dù là nhỏ nhất của tôi Nếu khóaluận có chỗ còn sơ suất thì hoàn toàn là do khả năng cũng như hiểu biết cònhạn chế của tác giả Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo phản biện, cácthầy trong tổ lý thuyết hàm, cử nhân Phạm Hoàng Hiệp đã có những chỉ dẫnhữu ích và tạo điều kiện cho tôi mượn nhiều tài liệu tham khảo quý trong suốt

quá trình làm khóa luận Và để tỏ lòng biết ơn tới tất cả những người đã giúp

đỡ tôi, kể từ đây trong khóa luận này, xin phép được đổi từ ”tôi” thành ”chúngtôi”

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2005

Tác giả

Nguyễn Quý Hà

chương I: kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi sẽ đưa ra những kiến thức nền để chuẩn bịcho các chương sau Phần I.1 và I.2 chúng tôi trình bày chủ chủ yếu dựatheo [Kl], các kiến thức đầy đủ và sâu hơn về dạng vi phân có thể tìm thấytrong [Ca] Phần I.3 về các lớp Cegrell chúng tôi dựa nhiều vào [Ah] ,[Ce1], [Ce2] và [Cz-Hi-Ah] Các chú dẫn về lịch sử ra đời của các kháiniệm chúng tôi lấy từ [Ki]

I.1 Một số kiến thức về dạng vi phân

I.1.1 Các kí hiệu vi phân phức

Ta sử dụng những kí hiệu chuẩn sau:

được gọi là k-tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến Nếu có thêm điều

ta hay dùng kí hiệu L(V, W ) thay vì Λ1(V, W ), và để thuận tiện ta quy −ớc

dưới dạng:

vi phân phức (hay ngắn gọn là dạng vi phân) loại (p,q) Rõ ràng (p+q) làbậc của ω Mọi dạng vi phân bậc r có thể viết duy nhất dưới dạng tổng củacác dạng vi phân loại (p,q) mà p+q=r

Nếu f là một hàm phức trên Ω và f khả vi,ta xác định:

hợp các dạng vi phân thực, nếu bậc của ω dương, tức là ω không phải làhàm giá trị vô hướng thì toán tử vi phân ngoài d phải được phân biệt với vi

Toán tử Monge-Ampère là một công cụ rất hiệu lực để nghiên cứu cáchàm đa điều hòa dưới, tương tự như vai trò của toán tử Laplace đối với các

hàm điều hòa dưới, và sẽ được đề cập xuyên suốt khóa luận này Định nghĩa

về hàm điều hòa dưới và hàm đa điều hòa dưới sẽ được nêu ra ngay trongphần tiếp theo và sau đó ta sẽ lần lượt xây dựng toán tử Monge-Ampèrecho các lớp hàm đa điều hòa dưới rộng hơn (đến thời điểm này ta mới chỉ

có định nghĩa toán tử Monge-Ampère cho các hàm đa điều hòa dưới khả viliên tục cấp hai như ở công thức (3))

I.2 Toán tử Monge-Ampère cho hàm đa điều hòa dưới

bị chặn địa phương

Định nghĩa toán tử Monge-Ampère cho hàm đa điều hòa dưới bị chặn địaphương được đưa ra đầu tiên bởi Bedford và Taylor vào năm 1976 trong bàibáo rất nổi tiếng [Be-Ta], dựa trên khái niệm dòng trong lý thuyết phân bố

và ước lượng Chern-Levine-Nirenberg Bedford và Taylor đf quan sát tính

I.2.4 a) và sử dụng một ước lượng được đưa ra trước đó ở dạng yếu hơnbởi Chern-Levine-Nirenberg để định nghĩa quy nạp toán tử Monge-Ampèrecho bộ n hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương như là một (n,n)-dòngdương hay cũng chính là một độ đo Trong mục này chúng tôi sẽ trình bàymột cách tóm tắt quá trình xây dựng đó, đồng thời nêu ra một vài tính chấtcơ bản của toán tử Monge-Ampère cho hàm đa điều hòa dưới bị chặn địaphương sẽ được dùng ở những phần sau Tất cả đều dựa theo [Kl] mà trong

đó một số mệnh đề được phát biểu mạnh hơn dạng ban đầu

I.2.1 Hàm điều hòa dưới và đa điều hòa dưới

Hàm điều hòa dưới và hàm đa điều hòa dưới (cùng với các hàm đối

của chúng là hàm điều hòa trên và đa điều hòa trên) là đối tượng nghiêncứu chính của lý thuyết thế vị cổ điển và phát triển phức của nó là lý thuyết

đa thế vị đang được nghiên cứu sôi động trong khoảng vài ba thập kỉ trở lại

đây Hai lớp hàm này bắt nguồn sâu xa từ lớp hàm điều hòa và bài toánDirichlet cổ điển yêu cầu thác triển một hàm liên tục trên biên thành mộthàm điều hòa trong miền Khái niệm hàm điều hòa dưới được đưa ra đầutiên bởi F.Hartogs vào năm 1906 dù chưa đặt tên cho chúng Lớp hàm màHartogs đf xét là logarit của mô đun các hàm chỉnh hình, mỗi hàm của lớp

đó thỏa mfn toán tử Laplace ∆
0 và nếu nó nhỏ hơn một hàm điều hòatrên biên của một miền thì cũng nhỏ hơn trên toàn miền, hay nói cách khác

là một nghiệm dưới của bài toán Dirichlet cổ điển F.Riesz vào năm 1924

đf dùng từ ”điều hòa dưới” để chỉ các hàm liên tục và thỏa mfn bất đẳngthức trung bình dưới đồng thời chứng minh điều kiện đó tương đương vớihàm thỏa mfn là một nghiệm dưới của bài toán Dirichlet Sau đó vào năm

1926 Riesz mở rộng định nghĩa hàm điều hòa dưới cho các hàm nửa liêntục trên như định nghĩa quen thuộc mà bây giờ ta thường dùng

Hàm đa điều hòa dưới được giới thiệu độc lập bởi Oka và Lelong vàonăm 1942 Oka trong quá trình giải quyết bài toán Levi đf đưa ra một lớphàm mới và gọi là các hàm giả lồi, giống như tên miền tồn tại tự nhiên củachúng Còn Lelong xét hàm đa điều hòa dưới như là một hàm điều hòa dưới

”theo mọi hướng” hay chính xác hơn là theo mọi đường thẳng phức-địnhnghĩa mà bây giờ ta vẫn dùng

Do không có điều kiện nên chúng tôi chỉ có thể trình bày định nghĩacủa các lớp hàm nói trên và một tính chất sẽ được dùng đến của hàm đa

điều hòa dưới, đó là tính chất xấp xỉ được bởi các hàm đa điều hòa dưới trơn

Ta kí hiệu lớp các hàm điều hòa trên Ω là H(Ω)

∗ Hàm nửa liên tục:

Cho X là một không gian mertric Một hàm u : X ư→ [ư∞, +∞) đượcgọi là hàm nửa liên tục trên nếu với mỗi c ∈ R tập {x ∈ X : u(x) < c}

là mở Một hàm u được gọi là nửa liên tục dưới nếu ưu là nửa liên tụctrên Chú ý rằng u nửa liên tục trên nếu và chỉ nếu với ∀a ∈ X ta có

∗ Hàm điều hòa dưới:

không đồng nhất ư∞ trên bất kì thành phần liên thông nào của Ω Mộthàm u như thế gọi là điều hòa dưới trên Ω nếu với mọi tập mở compact

trên ∂G ⇒ u  h trên G Ta kí hiệu lớp các hàm điều hòa dưới trên Ω làSH(Ω)

∗ Hàm đa điều hòa dưới:

không đồng nhất ư∞ trên bất kì thành phần liên thông nào của Ω Một

λ → u(a + λb) là hàm điều hòa dưới hoặc đồng nhất ư∞ trên mọi thànhphần liên thông của tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω} Ta kí hiệu lớp các hàm đa

điều hòa dưới trên Ω là P SH(Ω)

Có thể tìm hiểu sâu thêm về hàm điều hòa dưới và đa điều hòa dướitrong nhiều cuốn sách chẳng hạn [Ra] , [Kl] hay [Bl] Sau đây chúng tôichỉ nêu ra một tính chất quen thuộc của hàm đa điều hòa dưới mà ta sẽ gọi

là định lý xấp xỉ cơ bản, trong đó khái niệm về tích chập ∗ và nhân trơn

Chi tiết có thể xem trong [Kl]

∗ Định lý xấp xỉ cơ bản

chứng minh: Xem [Kl]-Định lý (2.9.2)

I.2.2 Dạng thay phiên dương

j,k=1ajkdzk∧ d¯zj,

ω = T dV với số không âm T nào đó.

ω = 2iη1 ∧ ¯η1 ∧ ∧ 2iηp∧ ¯ηp

I.2.3 Khái niệm dòng

Dòng là mở rộng của khái niệm dạng vi phân với hệ số là các phân bốtức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm khả vi vô hạngiá compact Trước khi đi vào định nghĩa dòng ta sẽ nhắc lại một chút về

độ đo Radon và phân bố Các kiến thức cơ sở về Tôpô-độ đo, không gianvéctơ tôpô, lý thuyết đối ngẫu, chúng tôi dựa vào [NVK] Có thể tìm hiểusâu hơn về lý thuyết phân bố trong [Ru]

∗ Độ đo và phân bố:

liên tục và có giá compact trên Ω Với mỗi tập con compact K ⊂ Ω định

là dãy các tập mở compact tương đối trong Ω thỏa mãn Ωj ⊂ Ωj+1, ∀j ∈ N

hay nói cách khác không gian các độ đo Radon trên Ω là đối ngẫu tôpô

đo đo Radon à đều có tương ứng một độ đo Borel phức duy nhất trên Ω mà

ta cũng kí hiệu là à sao cho:

là nó là một độ đo Radon

Về sau độ đo Radon sẽ được đồng nhất với đọ đo Borel tương ứng qua (4)

và ta chỉ gọi chung là độ đo Cần nhớ rằng độ đo Radon quan hệ với độ đoBorel tương ứng qua các đẳng thức sau:

• Nếu V là một tập con mở của Ω thì:

không có gì nhầm lẫn về không gian đối ngẫu từ nay ta chỉ gọi là tôpô yếu),

tử của không gian này được gọi là một phân bố Hiển nhiên mỗi độ đo là mộtphân bố còn theo mệnh đề (3.3.2) trong [Kl] mỗi phân bố dương (tức là nónhận giá trị không âm với mọi hàm test không âm) là một độ đo

∗ Dòng:

giới hạn qui nạp chặt của các không gian (5) Tương tự ta trang bị cho mỗikhông gian:

(6) C∞

tôpô của sự hội tụ đều của đạo hàm mọi cấp của các hệ số Với tôpô này các

tôpô của giới hạn qui nạp chặt của các không gian (6)

bậc (p, q) Rõ ràng (n, dòng chính là phân bố trong Ω, trong khi (n, dòng cấp 0 là độ đo Radon trên Ω

n)-Cho ψ là một (p, q)-dạng có các hệ số khả tích địa phương trong Ω dòng

trong đó tổng được lấy qua các bộ đa chỉ số tăng có độ dài tương ứng p và q

với I, J, K, L là các bộ đa chỉ số tăng, K là bổ sung của I, L là bổ sung của

J và:

là một dạng test

Để ý rằng nếu T là một (p, q)-dòng trong Ω, ψ là (k, l)-dạng trong Ω với

tụ điểm Một dãy các (p, q)-dòng (tương ứng (p, q)-dòng cấp 0) hội tụ theo

T (ω) = T (ω) với mọi dạng test ω Mệnh đề (3.3.4) trong [Kl] đã khẳng định

là độ đo

Một dòng T gọi là đóng nếu dT = 0 trong đó dT được hiểu theo nghĩa viphân ngoài của dạng vi phân.

I.2.4 Toán tử Monge-Ampère cho hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương

a) Mệnh đề

đo

(n ư k, n ư k)-dạng trong một lân cận của Ω thỏa mfn ϕ = 0 trên ∂Ω thì:

SP1,1(Cn) (xem hệ quả (3.2.6) trong [Kl]) ta có thể thu được định lý sau

đây mà nó thường được gọi là ước lượng Chern-Levine-Nirenberg Chứngminh đầu tiên của ước lượng này ở dạng yếu hơn một chút là của Chern,Levine và Nirenberg, sau đó được tổng quát bởi Bedford-Taylor và Cegrell

Đây chính là định lý mấu chốt để xây dựng toán tử Monge-Ampère cho hàm

đa điều hòa dưới bị chặn địa phương

c) Định lý (Ước lượng Chern-Levine-Nirenberg)

số C > 0 và tập compact L ⊂ Ω \ K phụ thuộc vào K và Ω sao cho

xác định bởi (9) là một (k, k)-dòng

Tính dương có thể được chỉ ra như sau: Xét một (n ư k, n ư k)-dạng test

χ dương mạnh trên Ω, có giá nằm trong Ω Lấy G là một tập compact tương

đối trong Ω chứa suppχ Theo định lý xấp xỉ cơ bản ta tìm được một dãy

là toán tử Monge-Ampère phức tổng quát ( thông thường ta bỏ qua từ ”phức”

và ”tổng quát” ) Như vậy ảnh của toán tử Monge-Ampère là một (n, n)-dòngcấp 0 hay chính là một độ đo Đôi khi tương ứng :

(u1, , uk) → ddcu1 ∧ ∧ ddcukcũng được coi là toán tử Monge-Ampère

Một trong những tính chất quan trọng nhất của toán tử Monge-Ampère

là tính liên tục của nó trên các dfy giảm Vì mọi hàm đa điều hòa dưới đều

có thể xấp xỉ bởi một dfy giảm các hàm đa điều hòa dưới trơn, các tínhchất đại số của toán tử Monge-Ampère trên các hàm trơn vẫn được duy trìtrong trường hợp tổng quát Tính chất liên tục trên các dfy giảm của toán

tử vẫn được yêu cầu khi mở rộng ra các lớp Cegrell

f) Định lý

Cho Ω là một tập mở trong Cn, k  n và {vj1}j∈N, , {vjk}j∈N là

Ta đf biết rằng toán tử Monge-Ampère là một công cụ rất tiện lợi để

so sánh các hàm đa điều hòa dưới trơn (có thể xem 3.1 trong [Kl]) Trongtrường hợp tổng quát hơn ta có thể chứng minh được định lý sau đây là mởrộng của tính chất so sánh đó cho lớp các hàm đa điều hòa dưới bị chặn

địa phương Kết quả này là của Bedford-Taylor và hay được gọi là nguyên

lý so sánh Nguyên lý này cùng các hệ quả của nó (xem 3.7 trong [Kl])thường xuyên được sử dụng khi nghiên cứu toán tử Monge-Ampère Ta sẽcòn nhắc lại nó ở dạng mở rộng cho các lớp hàm khác

tử vẫn là một độ đo Do vậy câu hỏi đặt ra là phải tìm một miền xác định

tự nhiên cho toán tử Monge-Ampère Trong [Ce1] và [Ce2], Urban Cegrell

đf đưa ra một số lớp con của lớp hàm đa điều hòa dưới (ta gọi là các lớpCegrell) và định nghĩa toán tử Monge-Ampère cho các lớp hàm đó cũngnhư xem xét các vấn đề liên quan Đặc biệt trong [Ce2], Cegrell đf chứngminh được rằng nếu đòi hỏi một số tính chất tự nhiên cho toán tử thì lớp

E là miền xác định tự nhiên (hay rộng nhất) của toán tử Monge-Ampère.Sau đây ta sẽ đưa ra định nghĩa một số lớp Cegrell và các tính chất quan

miền siêu lồi tức là một tập mở, liên thông, bị chặn và thỏa mfn tồn tại