MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DAO ĐỘNG CƠ

+ Gia tốc là đạo hàm bậc nhất của vận tốc đạo hàm bậc 2 của li độ theo thời gian: Véc tơ gia tốc của vật dao động điều hòa luôn hướng về vị trí cân bằng, có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của l

TÀI LIỆU LUYỆN THI

II DAO ĐỘNG CƠ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Dao động điều hòa:

* Dao động cơ, dao động tuần hoàn

+ Dao động cơ là chuyển động qua lại của vật quanh vị trí cân bằng

+ Dao động tuần hoàn là dao động mà sau những khoảng thời gian bằng nhau, gọi là chu kì, vật trở lại vị trí

cũ theo hướng cũ

* Dao động điều hòa

+ Dao động điều hòa là dao động trong đó li độ của vật là một hàm côsin (hay sin) của thời gian

+ Phương trình dao động: x = Acos(t + )

+ Điểm P dao động điều hòa trên một đoạn thẳng luôn luôn có thể được coi là hình chiếu của một điểm Mchuyển động tròn đều trên đường tròn có đường kính là đoạn thẳng đó

* Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hoà

Trong phương trình x = Acos(t + ) thì:

+ A là biên độ dao động, đó là giá trị cực đại của li độ x; đơn vị m, cm A luôn luôn dương

+ (t + ) là pha của dao động tại thời điểm t; đơn vị rad

+  là pha ban đầu của dao động; đơn vị rad

+  trong phương trình x = Acos(t + ) là tần số góc của dao động điều hòa; đơn vị rad/s

+ Chu kì T của dao động điều hòa là khoảng thời gian để thực hiện một dao động toàn phần; đơn vị giây (s).+ Tần số f của dao động điều hòa là số dao động toàn phần thực hiện được trong một giây; đơn vị héc (Hz).+ Liên hệ giữa , T và f:  =

T

2 = 2f

Các đại lượng biên độ A và pha ban đầu  phụ thuộc vào cách kích thích ban đầu làm cho hệ dao động, còntằn số góc  (chu kì T, tần số f) chỉ phụ thuộc vào cấu tạo của hệ dao động

* Vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hoà

+ Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian: v = x' = - Asin(t + ) = Acos(t +  +

2

)

Vận tốc của vật dao động điều hòa biến thiên điều hòa cùng tần số nhưng sớm pha hơn

2



so với với li độ

Vị trí biên (x =  A), v = 0 Vị trí cân bằng (x = 0), |v| = vmax = A

+ Gia tốc là đạo hàm bậc nhất của vận tốc (đạo hàm bậc 2 của li độ) theo thời gian:

Véc tơ gia tốc của vật dao động điều hòa luôn hướng về vị trí cân bằng, có độ lớn tỉ lệ với độ lớn của li độ

- Ở vị trí biên (x =  A), gia tốc có độ lớn cực đại: amax = 2A

- Ở vị trí cân bằng (x = 0), gia tốc bằng 0

+ Lực tác dụng lên vật dao động điều hòa F = ma = - kx luôn hướng về vị trí cân bằng, gọi là lực kéo về.+ Đồ thị dao động điều hòa (li độ, vận tốc, gia tốc) là đường hình sin, vì thế người ta còn gọi dao động điềuhòa là dao động hình sin

+ Phương trình dao động điều hòa x = Acos(t + ) là nghiệm của phương trình x’’ + 2x = 0 Đó là phươngtrình động lực học của dao động điều hòa

; (lấy nghiệm (-) nếu v0 > 0; lấy nghiệm (+) nếu v0 < 0)

* Chu kì, tần số của con lắc lò xo: T = 2

k

m

; f = 12 m k

TÀI LIỆU LUYỆN THI

* Năng lượng của con lắc lò xo:

2

1

kx2 = 2

3 Con lắc đơn Con lắc vật lí:

Con lắc đơn gồm một vật nặng treo vào sợi dây không giãn, vật nặng kích thước không đáng kể so vớichiều dài sợi dây, sợi dây khối lượng không đáng kể so với khối lượng của vật nặng

* Phương trình dao động (khi   10 0 ): s = S0cos(t + ) hoặc  = 0 cos(t + ); với  =

* Năng lượng của con lắc đơn:

Cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn nếu bỏ qua ma sát

* Con lắc đơn chịu tác dụng thêm lực khác ngoài trọng lực

Nếu ngoài trọng lực ra, con lắc đơn còn chịu thêm một lực 

F không đổi khác (lực điện trường, lực quán

tính, lực đẩy Acsimet, ), thì trọng lực biểu kiến tác dụng lên vật sẽ là: 

Con lắc vật lí là một vật rắn quay được quanh một trục nằm ngang cố định

+ Phương trình dao động của con lắc vật lí:  = 0cos(t + ); với  = mgd

I ; trong đó m là khối lượng của

vật rắn, d là khoảng cách từ trọng tâm của vật rắn đến trục quay còn I là momen quán tính của vật rắn

+ Chu kì, tần số của con lắc vật lí: T = 2

d

I

mg , f =

12

+ Dao động có biên độ giảm dần theo thời gian gọi là dao động tắt dần Nguyên nhân làm tắt dần dao động là

do lực ma sát và lực cản của môi trường làm tiêu hao cơ năng của con lắc, chuyển hóa dần cơ năng thànhnhiệt năng Vì thế biên độ của con lắc giảm dần và cuối cùng con lắc dừng lại

+ Ứng dụng: các thiết bị đóng cửa tự động, các bộ phận giảm xóc của ô tô, xe máy, … là những ứng dụng củadao động tắt dần

* Dao động duy trì

Nếu ta cung cấp thêm năng lượng cho vật dao động có ma sát để bù lại sự tiêu hao vì ma sát mà không làmthay đổi chu kì riêng của nó thì dao động sẽ kéo dài mãi và được gọi là dao động duy trì

TÀI LIỆU LUYỆN THI

* Dao động cưởng bức

+ Dao động chịu tác dụng của một ngoại lực cưởng bức tuần hoàn gọi là dao động cưởng bức

+ Dao động cưởng bức có biên độ không đổi và có tần số bằng tần số của lực cưởng bức

+ Biên độ của dao động cưởng bức phụ thuộc vào biên độ của lực cưởng bức, vào lực cản trong hệ và vào sựchênh lệch giữa tần số cưởng bức f và tần số riêng f0 của hệ Biên độ của lực cưởng bức càng lớn, lực cảncàng nhỏ và sự chênh lệch giữa f và f0 càng ít thì biên độ của dao động cưởng bức càng lớn

* Cộng hưởng

+ Hiện tượng biên độ của dao động cưởng bức tăng dần lên đến giá trị cực đại khi tần số f của lực cưởng bứctiến đến bằng tần số riêng f0 của hệ dao động gọi là hiện tượng cộng hưởng

+ Điều kiện f = f0 gọi là điều kiện cộng hưởng

+ Đường cong biểu diễn sự phụ thuộc của biên độ vào tần số cưởng bức gọi là đồ thị cộng hưởng Nó càngnhọn khi lực cản của môi trường càng nhỏ

+ Tầm quan trọng của hiện tượng cộng hưởng:

Tòa nhà, cầu, bệ máy, khung xe, đều là những hệ dao động và có tần số riêng Phải cẩn thận không đểcho chúng chịu tác dụng của các lực cưởng bức mạnh, có tần số bằng tần số riêng để tránh sự cộng hưởng,gây dao động mạnh làm gãy, đổ

Hộp đàn của đàn ghi ta, viôlon, là những hộp cộng hưởng với nhiều tần số khác nhau của dây đàn làmcho tiếng đàn nghe to, rỏ

5 Tổng hợp các dao động điều hòa:

+ Mỗi dao động điều hòa được biểu diễn bằng một véc tơ quay Véc tơ này có góc tại góc tọa độ của trục Ox,

có độ dài bằng biên độ dao động A, hợp với trục Ox một góc ban đầu  và quay đều quanh O theo chiềungược chiều kim đồng hồ với tốc độ góc 

+ Phương pháp giãn đồ Fre-nen dùng để tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương,

cùng tần số: Lần lượt vẽ hai véc tơ quay 

A +



2

A là véc tơ quay biểu diễn phương trình của dao động tổng hợp

+ Nếu một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số với các phương trình:

x1 = A1cos(t + 1) và x2 = A2cos(t + 2), thì dao động tổng hợp sẽ là: x = x1 + x2 = Acos(t + ) với A và được xác định bởi các công thức: A2 = A1 + A2 + 2 A1A2 cos (2 - 1) và tan =

2 2 1 1

2 2 1 1

coscos

sinsin

A A





.Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp phụ thuộc vào biên độ và pha ban đầu của các dao độngthành phần

+ Khi x1 và x2 cùng pha (2 - 1 = 2k) thì dao động tổng hợp có biên độ cực đại: A = A1 + A2

+ Khi x1 và x2 ngược pha (2 - 1 = (2k + 1)) thì dao động tổng hợp có biên độ cực tiểu: A = |A1 - A2| + Trường hợp tổng quát: A1 + A2  A  |A1 - A2|

+ Gia tốc: a = v’ = - 2Acos(t + ) = - 2x; amax = 2A

+ Công thức độc lập: A2 = x2 +

2 2

+ Ở vị trí biên: x =  A thì v = 0 và |a| = amax = 2A =

2 ax

TÀI LIỆU LUYỆN THI

* Phương pháp giải:

+ Để tìm các đại lượng đặc trưng của một dao động điều hòa khi biết phương trình dao động hoặc biết một sốđại lượng khác của dao động ta sử dụng các công thức liên quan đến những đại lượng đã biết và đại lượng cầntìm rồi suy ra và tính đại lượng cần tìm theo yêu cầu của bài toán

+ Để tìm các đại lượng của dao động điều hòa tại một thời điểm t đã cho ta thay giá trị của t vào phương trìnhliên quan để tính đại lượng đó

Lưu ý: Hàm sin và hàm cos là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 nên khi thay t vào nếu được góc của hàm sin hoặc

hàm cos là một số lớn hơn 2 thì ta bỏ đi của góc đó một số chẵn của  để dễ bấm máy

+ Để tìm thời điểm mà x, v, a hay F có một giá trị cụ thể nào đó thì ta thay giá trị này vào phương trình liênquan và giải phương trình lượng giác để tìm t

Lưu ý: Đừng để sót nghiệm: với hàm sin thì lấy thêm góc bù với góc đã tìm được, còn với hàm cos thì lấy

thêm góc đối với nó và nhớ hàm sin và hàm cos là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 để đừng bỏ sót các họnghiệm Cũng đừng để dư nghiệm: Căn cứ vào dấu của các đại lượng liên quan để loại bớt họ nghiệm khôngphù hợp

* Bài tập minh họa:

1 Phương trình dao động của một vật là: x = 6cos(4t +

6

) (cm), với x tính bằng cm, t tính bằng s Xác định

li độ, vận tốc và gia tốc của vật khi t = 0,25 s

2 Một vật nhỏ khối lượng 100 g dao động điều hòa trên quỹ đạo thẳng dài 20 cm với tần số góc 6 rad/s Tính

vận tốc cực đại và gia tốc cực đại của vật

3 Một vật dao động điều hoà trên quỹ đạo dài 40 cm Khi ở vị trí có li độ x = 10 cm vật có vận tốc 20 3

cm/s Tính vận tốc và gia tốc cực đại của vật

4 Một chất điểm dao động điều hoà với chu kì 0,314 s và biên độ 8 cm Tính vận tốc của chất điểm khi nó đi

qua vị trí cân bằng và khi nó đi qua vị trí có li độ 5 cm

5 Một chất điểm dao động theo phương trình: x = 2,5cos10t (cm) Vào thời điểm nào thì pha dao động đạt giá

trị

3



? Lúc ấy li độ, vận tốc, gia tốc của vật bằng bao nhiêu?

6 Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = 5cos(4t + ) (cm) Vật đó đi qua vị trí cân bằng theo

chiều dương vào những thời điểm nào? Khi đó độ lớn của vận tốc bằng bao nhiêu?

7 Một vật nhỏ có khối lượng m = 50 g, dao động điều hòa với phương trình: x = 20cos(10t +

2

) (cm) Xácđịnh độ lớn và chiều của các véc tơ vận tốc, gia tốc và lực kéo về tại thời điểm t = 0,75T

8 Một vật dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ 2 cm và với chu kì 0,2 s Tính độ lớn của gia

tốc của vật khi nó có vận tốc 10 10 cm/s

9 Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = 20cos(10t +

2

) (cm) Xác định thời điểm đầu tiên vật điqua vị trí có li độ x = 5 cm theo chiều ngược chiều với chiều dương kể từ thời điểm t = 0

10 Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = 4cos(10t -

3

) (cm) Xác định thời điểm gần nhất vậntốc của vật bằng 20 3 cm/s và đang tăng kể từ lúc t = 0

* Hướng dẫn giải và đáp số:

1 Khi t = 0,25 s thì x = 6cos(4.0,25 +

6

) = 6cos

40

= 20 (cm);  = 2 2

x A

14,3.22

TÀI LIỆU LUYỆN THI

5 Ta có: 10t =

3

  t =

30

 (s) Khi đó x = Acos

3

 = 1,25 (cm); v = - Asin

3

 = - 21,65 (cm/s);

a = - 2x = - 125 cm/s2

6 Khi đi qua vị trí cân bằng thì x = 0  cos(4t + ) = 0 = cos(±

2

) Vì v > 0 nên 4t +  = -

2

 + 2k

v = - Asin2 = 0; a = - 2x = - 200 m/s2; F = - kx = - m2x = - 10 N; a và F đều có giá trị âm nên gia tốc vàlực kéo về đều hướng ngược với chiều dương của trục tọa độ

8 Ta có:  = 2

T

 = 10 rad/s; A2 = x2 +

2 2

2

) = 0,25 = cos(±0,42)

Vì v < 0 nên 10t +

2

 = 0,42 + 2k  t = - 0,008 + 0,2k; với k  Z Nghiệm dương nhỏ nhất trong họnghiệm này (ứng với k = 1) là 0,192 s

10 Ta có: v = x’ = - 40sin(10t -

3

) = 40cos(10t +

6

) = 20 3

 cos(10t +

6

) = 3

2 = cos(±6

) Vì v đang tăng nên: 10t +

6

 = -6

 + 2k

 t = - 1

30 + 0,2k Với k  Z Nghiệm dương nhỏ nhất trong họ nghiệm này là t = 6

1 s

2 Các bài tập liên quan đến đường đi, vận tốc và gia tốc của vật dao động điều hòa.

* Kiến thức liên quan:

Trong một chu kỳ vật dao động điều hoà đi được quãng đường 4A Trong nữa chu kì vật đi được quãngđường 2A Trong một phần tư chu kì tính từ vị trí biên hay vị trí cân bằng thì vật đi được quãng đường A, còn

từ các vị trí khác thì vật đi được quãng đường khác A

Càng gần vị trí cân bằng thì vận tốc tức thời của vật có độ lớn càng lớn (ở vị trí cân bằng vận tốc của vật có

độ lớn cực đại vmax = A), càng gần vị trí biên thì vận tốc tức thời của vật có độ lớn càng nhỏ (ở vị trí biên

v = 0); do đó trong cùng một khoảng thời gian, càng gần vị trí cân bằng thì quãng đường đi được càng lớn còncàng gần vị trí biên thì quãng đường đi được càng nhỏ

Càng gần vị trí biên thì gia tốc tức thời của vật có độ lớn càng lớn (ở vị trí biên gia tốc của vật có độ lớncực đại amax = 2A), càng gần vị trí cân bằng thì gia tốc tức thời của vật có độ lớn càng nhỏ (ở vị trí cân bằng a

= 0); do đó càng gần vị trí biên thì độ lớn của lực kéo về (còn gọi là lực hồi phục) càng lớn còn càng gần vị trícân bằng thì độ lớn của lực kéo về càng nhỏ

Các công thức thường sử dụng: vtb = S

t

 ; A2 = x2 +

2 2

đầu: S1 = 4nA + 2A

- Xác định vị trí của vật trên đường tròn tại thời điểm t1 và vị trí của vật sau khoảng thời gian nT +

2

T

trênđường tròn, sau đó căn cứ vào góc quay được trong khoảng thời gian t’ trên đường tròn để tính quãng đường

đi được S2 của vật trong khoảng thời gian t’ còn lại

- Tính tổng: S = S1 + S2

TÀI LIỆU LUYỆN THI

+ Tính vận tốc trung bình của vật dao động điều hòa trong một khoảng thời gian t: Xác định góc quay đượctrong thời gian t trên đường tròn từ đó tính quãng đường S đi được và tính vận tốc trung bình theo côngthức: vtb = S

+ Tính tần số góc  (từ đó tính chu kỳ T hoặc tần số f) khi biết trong một chu kỳ có khoảng thời gian t để vậntốc có độ lớn không nhỏ hơn một giá trị v nào đó: trong một phần tư chu kỳ tính từ vị trí cân bằng khoảng thờigian để vận có vận tốc không nhỏ hơn v là: t =

* Bài tập minh họa:

1 Một chất điểm dao động với phương trình: x = 4cos(5t +

2

) (cm) Tính quãng đường mà chất điểm điđược sau thời gian t = 2,15 s kể từ lúc t = 0

2 Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T = 0,2 s, biên độ A = 4 cm Tính vận tốc trung bình của vật trong

khoảng thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí có li độ x = A đến vị trí có li độ x = -

5 Một vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 5cos(2t -

4

) cm Tính vận tốc trung bình trong khoảngthời gian từ t1 = 1 s đến t2 = 4,825 s

TÀI LIỆU LUYỆN THI

6 Vật dao động điều hòa theo phương trình: x = 12cos(10t -

3

) cm Tính quãng đường dài nhất và ngắn

nhất mà vật đi được trong 1

4chu kỳ.

7 Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 10 cm Biết trong một chu kì, khoảng thời gian

để chất điểm có vận tốc không vượt quá 20 3 cm/s là 2

3

T

Xác định chu kì dao động của chất điểm

8 Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 8 cm Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để

chất điểm có vận tốc không nhỏ hơn 40 3 cm/s là T3 Xác định chu kì dao động của chất điểm

9 Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 5 cm Biết trong một chu kì, khoảng thời gian

để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá 100 cm/s2 là

3

T

Lấy π2 = 10 Xác định tần số dao độngcủa vật

10 Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên độ 4 cm Biết trong một chu kì, khoảng thời gian

để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không nhỏ hơn 500 2 cm/s2 là

2

T

Lấy π2 = 10 Xác định tần số daođộng của vật

* Hướng dẫn giải và đáp số:

1 Ta có: T =



2

được quãng đường A và đến vị trí biên, sau

8

1 chu kì kể từ vị trí biên vật đi được quãng đường: A - Acos

2 Khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí biên x = A đến vị trí cân bằng x = 0 là

T

= 12

T

= 3

4



Quãng đường đi được tính từ lúc x = 0 là s = Acos

= 0,2 s; t = 1,1 = 5.0,2 +

2

2 , 0

T

Tại thời điểm t1 = 1 s vật ở vị trí có li độ x1 = 2,5 2

cm; sau 3,5 chu kì vật đi được quãng đường 14 A = 70 cm và đến vị trí có li độ - 2,5 2 cm; trong

8 1 chu kì

TÀI LIỆU LUYỆN THI

tiếp theo kể từ vị trí có li độ - 2,5 2 cm vật đi đến vị trí có li độ x2 = - 5 cm nên đi được quãng đường 5 – 2,5

2 = 1,46 (cm) Vậy quãng đường vật đi được từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 là S = 70 + 1,46 = 71, 46(cm)

= 16,97 cm Vật có độ lớn vận tốc nhỏ nhất khi ở vị trí biên nên quãng đường ngắn nhất

vật đi được trong 1

4 chu kỳ là Smin = 2A(1 - cos 4



) = 7,03 cm

7 Trong quá trình dao động điều hòa, vận tốc có độ lớn càng nhỏ khi càng gần vị trí biên, nên trong 1 chu kì

vật có vận tốc không vượt quá 20 3 cm/s là 2

8 Trong quá trình dao động điều hòa, vận tốc có độ lớn càng lớn khi càng gần vị trí cân bằng, nên trong 1 chu

kì vật có vận tốc không nhỏ hơn 40 3 cm/s là T3 thì trong 1

4 chu kỳ kể từ vị trí cân bằng vật có vận tốckhông nhỏ hơn 40 3 cm/s là

9 Trong quá trình vật dao động điều hòa, gia tốc của vật có độ lớn càng nhỏ khi càng gần vị trí cân bằng.

Trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá 100 cm/s2 là

3

T

thìtrong một phần tư chu kì tính từ vị trí cân bằng, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc khôngvượt quá 100 cm/s2 là

10 Trong quá trình vật dao động điều hòa, gia tốc của vật có độ lớn càng lớn khi càng gần vị trí biên Trong

một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không nhỏ hơn 500 2 cm/s2 là

2

T

thìtrong một phần tư chu kì tính từ vị trí biên, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không nhỏhơn 500 2 cm/s2 là

 ; A =

2 0 2

TÀI LIỆU LUYỆN THI

S ; (lấy nghiệm "-" khi v > 0; lấy nghiệm "+"

khi v < 0); với s = l ( tính ra rad); v là li độ; vận tốc tại thời điểm t = 0.

+ Phương trình dao động của con lắc đơn có thể viết dưới dạng li độ góc:

 = 0cos(t + ); với s = l; S0 = 0l ( và 0 tính ra rad)

* Phương pháp giải: Dựa vào các điều kiện bài toán cho và các công thức liên quan để tìm ra các giá trị cụ

thể của tần số góc, biên độ và pha ban đầu rồi thay vào phương trình dao động

Lưu ý: Sau khi giải một số bài toán cơ bản về dạng này ta rút ra một số kết luận dùng để giải nhanh một số

câu trắc nghiệm dạng viết phương trình dao động:

+ Nếu kéo vật ra cách vị trí cân bằng một khoảng nào đó rồi thả nhẹ thì khoảng cách đó chính là biên độ daođộng Nếu chọn gốc thời gian lúc thả vật thì:  = 0 nếu kéo vật ra theo chiều dương;  =  nếu kéo vật ra theochiều âm

+ Nếu từ vị trí cân bằng truyền cho vật một vận tốc để nó dao động điều hòa thì vận tốc đó chính là vận tốccực đại, khi đó: A = vmax

 , (con lắc đơn S0 = vmax

 ) Chọn gốc thời gian lúc truyền vận tốc cho vật thì:  = -

* Bài tập minh họa:

1 Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm một vật có khối lượng 100 g và lò xo khối lượng không đáng kể, có độ

cứng 40 N/m Kéo vật nặng theo phương thẳng đứng xuống phía dưới cách vị trí cân bằng một đoạn 5 cm vàthả nhẹ cho vật dao động điều hoà Chọn trục tọa độ Ox thẳng đứng, gốc O trùng với vị trí cân bằng; chiềudương là chiều vật bắt đầu chuyển động; gốc thời gian lúc thả vật Lấy g = 10 m/s2 Viết phương trình daođộng của vật

2 Một con lắc lò xo gồm vật nặng khối lượng m = 400 g, lò xo khối lượng không đáng kể, có độ cứng

k = 40 N/m Kéo vật nặng ra cách vị trí cân bằng 4 cm và thả nhẹ Chọn chiều dương cùng chiều với chiềukéo, gốc thời gian lúc thả vật Viết phương trình dao động của vật nặng

3 Một con lắc lò xo có khối lượng m = 50 g, dao động điều hòa trên trục Ox với chu kì T = 0,2 s và chiều dài

quỹ đạo là L = 40 cm Viết phương trình dao động của con lắc Chọn gốc thời gian lúc con lắc qua vị trí cânbằng theo chiều âm

4 Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm một vật nặng khối lượng m gắn vào lò xo khối lượng không đáng

kể, có độ cứng k = 100 N/m Chọn trục toạ độ thẳng đứng, gốc toạ độ tại vị trí cân bằng, chiều dương từ trênxuống Kéo vật nặng xuống phía dưới, cách vị trí cân bằng 5 2 cm và truyền cho nó vận tốc 20 2 cm/stheo chiều từ trên xuống thì vật nặng dao động điều hoà với tần số 2 Hz Chọn gốc thời gian lúc vật bắt đầudao động Cho g = 10 m/s2, 2 = 10 Viết phương trình dao động của vật nặng

5 Một con lắc lò xo gồm một lò xo nhẹ có độ cứng k và một vật nhỏ có khối lượng m = 100 g, được treo

thẳng đứng vào một giá cố định Tại vị trí cân bằng O của vật, lò xo giãn 2,5 cm Kéo vật dọc theo trục của lò

xo xuống dưới cách O một đoạn 2 cm rồi truyền cho nó vận tốc 40 3 cm/s theo phương thẳng đứng hướngxuống dưới Chọn trục toạ độ Ox theo phương thẳng đứng, gốc tại O, chiều dương hướng lên trên; gốc thờigian là lúc vật bắt đầu dao động Lấy g = 10 m/s2 Viết phương trình dao động của vật nặng

6 Một con lắc đơn có chiều dài l = 16 cm Kéo con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc 90 rồi thả nhẹ Bỏqua mọi ma sát, lấy g = 10 m/s2, 2 = 10 Chọn gốc thời gian lúc thả vật, chiều dương cùng chiều với chiềuchuyển động ban đầu của vật Viết phương trình dao động theo li độ góc tính ra rad

7 Một con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T = 2 s Lấy g = 10 m/s2, 2 = 10 Viết phương trình daođộng của con lắc theo li độ dài Biết rằng tại thời điểm ban đầu vật có li độ góc  = 0,05 rad và vận tốc

v = - 15,7 cm/s

8 Một con lắc đơn có chiều dài l = 20 cm Tại thời điểm t = 0, từ vị trí cân bằng con lắc được truyền vận tốc

14 cm/s theo chiều dương của trục tọa độ Lấy g = 9,8 m/s2 Viết phương trình dao động của con lắc theo li độdài

9 Một con lắc đơn đang nằm yên tại vị trí cân bằng, truyền cho nó một vận tốc v0 = 40 cm/s theo phươngngang thì con lắc đơn dao động điều hòa Biết rằng tại vị trí có li độ góc  = 0,1 3 rad thì nó có vận tốc

v = 20 cm/s Lấy g = 10 m/s2 Chọn gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật, chiều dương cùng chiều vớivận tốc ban đầu Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ dài

10 Con lắc đơn dao động điều hòa với chu kì T =

5



s Biết rằng ở thời điểm ban đầu con lắc ở vị trí biên, cóbiên độ góc 0 với cos0 = 0,98 Lấy g = 10 m/s2 Viết phương trình dao động của con lắc theo li độ góc

TÀI LIỆU LUYỆN THI

0)5( 

2



Vậy: x = 20cos(10t +

2

) (cm)

4 Các bài toán liên quan đến thế năng, động năng và cơ năng của con lắc lò xo.

1m2A2sin2( +) =

4

T

TÀI LIỆU LUYỆN THI

+ Cơ năng: W = Wt + Wđ =

2

1

kx2 + 2

1

mv2 = 2

1

kA2 = 2

1m2A2

* Phương pháp giải:

Để tìm các đại lượng liên quan đến năng lượng của con lắc ta viết biểu thức liên quan đến các đại lượng đãbiết và đại lượng cần tìm từ đó suy ra và tính đại lượng cần tìm

* Bài tập minh họa:

1 Một con lắc lò xo có biên độ dao động 5 cm, có vận tốc cực đại 1 m/s và có cơ năng 1 J Tính độ cứng của

lò xo, khối lượng của vật nặng và tần số dao động của con lắc

2 Một con lắc lò xo có độ cứng k = 150 N/m và có năng lượng dao động là W = 0,12 J Khi con lắc có li độ

là 2 cm thì vận tốc của nó là 1 m/s Tính biên độ và chu kỳ dao động của con lắc

3 Một con lắc lò xo có khối lượng m = 50 g, dao động điều hòa trên trục Ox với chu kì T = 0,2 s và chiều dài

quỹ đạo là L = 40 cm Tính độ cứng lò xo và cơ năng của con lắc

4 Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm một vật nặng có khối lượng m gắn vào lò xo có khối lượng không

đáng kể, có độ cứng k = 100 N/m Kéo vật nặng xuống về phía dưới, cách vị trí cân bằng 5 2 cm và truyềncho nó vận tốc 20 2 cm/s thì vật nặng dao động điều hoà với tần số 2 Hz Cho g = 10 m/s2, 2 = 10 Tínhkhối lượng của vật nặng và cơ năng của con lắc

5 Một con lắc lò xo dao động điều hòa Biết lò xo có độ cứng 36 N/m và vật nhỏ có khối lượng 100 g Lấy 2

= 10 Xác định chu kì và tần số biến thiên tuần hoàn của động năng của con lắc

6 Một con lắc lò xo có khối lượng vật nhỏ là 50 g Con lắc dao động điều hòa theo phương trình: x = Acost.

Cứ sau khoảng thời gian 0,05 s thì động năng và thế năng của vật lại bằng nhau Lấy 2 = 10 Tính độ cứngcủa lò xo

7 Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ và vật nhỏ dao động điều hòa theo phương ngang với tần số góc 10 rad/s.

Biết rằng khi động năng và thế năng của vật bằng nhau thì vận tốc của vật có độ lớn bằng 0,6 m/s Xác địnhbiên độ dao động của con lắc

8 Một vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình: x = 10cos(4t -

3

) cm Xác định vị trí và vận tốc củavật khi động năng bằng 3 lần thế năng

9 Một con lắc lò xo dao động điều hòa với tần số góc  = 10 rad/s và biên độ A = 6 cm Xác định vị trí và

tính độ lớn của vận tốc khi thế năng bằng 2 lần động năng

10 Con lắc lò xo gồm vật nhỏ có khối lượng m = 400 g và lò xo có độ cứng k Kích thích cho vật dao động

điều hòa với cơ năng W = 25 mJ Khi vật đi qua li độ - 1 cm thì vật có vận tốc - 25 cm/s Xác định độ cứngcủa lò xo và biên độ của dao động

v

 = 28,87 rad/s; T =



2 = 0,22 s

3 Ta có:  =

T

2

1

s Chu kỳ và tần số biến thiên

tuần hoàn của động năng: T’ =

2

T

= 6

1s; f’ =

'

1

T = 6 Hz

6 Trong một chu kỳ có 4 lần động năng và thế năng bằng nhau do đó khoảng thời gian liên tiếp giữa hai lần

động năng và thế năng bằng nhau là

= 10 rad/s; k = 2m = 50 N/m

7 Khi động năng bằng thế năng: W = 2Wđ hay

2

1m2A2 = 2

TÀI LIỆU LUYỆN THI

2



v

) = 2

1k(x2 +

k

mv2) =2

1(kx2 + mv2)  k = 2



+ Chiều dài cực đại của lò xo: lmax = l0 + l0 + A Chiều dài cực tiểu của lò xo: lmin = l0 + l0 – A

+ Lực đàn hồi cực đại, cực tiểu: Fmax = k(A + l0), Fmin = 0 nếu A  l0; Fmin = k(l0 – A) nếu A < l0

+ Độ lớn của lực đàn hồi tại vị trí có li độ x: Fđh = k|l0 + x| nếu chiều dương hướng xuống; Fđh = k|l0 - x| nếuchiều dương hướng lên



+ Để tìm một số đại lượng trong dao động của con lắc ta viết biểu thức liên quan đến các đại lượng đã biết vàđại lượng cần tìm từ đó suy ra và tính đại lượng cần tìm

* Bài tập minh họa:

1 Một con lắc lò xo gồm một quả nặng khối lượng 100 g, lò xo có độ cứng 100 N/m, khối lượng không đáng

kể treo thẳng đứng Cho con lắc dao động với biên độ 5 cm Lấy g = 10 m/s2; 2 = 10 Xác định tần số và tínhlực đàn hồi cực đại, lực đàn hồi cực tiểu của lò xo trong quá trình quả nặng dao động

2 Một con lắc lò xo treo thẳng đứng, đầu dưới có một vật m dao động với biên độ 10 cm và tần số 1 Hz Tính

tỉ số giữa lực đàn hồi cực tiểu và lực đàn hồi cực đại của lò xo trong quá trình dao động Lấy g = 10 m/s2

3 Một con lắc lò xo treo thẳng đứng có vật nặng có khối lượng 100 g Kích thích cho con lắc dao động theo

phương thẳng đứng thì thấy con lắc dao động điều hòa với tần số 2,5 Hz và trong quá trình vật dao động,

chiều dài của lò xo thay đổi từ l1 = 20 cm đến l2 = 24 cm Xác định chiều dài tự nhiên của lò xo và tính lựcđàn hồi cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động Lấy 2 = 10 và g = 10 m/s2

4 Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa với chu kì 0,4 s; biên độ 6 cm Khi ở vị trí cân bằng,

lò xo dài 44 cm Lấy g = 2 (m/s2) Xác định chiều dài cực đại, cực tiểu của lò xo trong quá trình dao động

5 Một con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo có chiều dài tự nhiên 20 cm, độ cứng 100 N/m, vật nặng khối

lượng 400 g Kéo vật nặng xuống phía dưới cách vị trí cân bằng 6 cm rồi thả nhẹ cho con lắc dao động điềuhòa Lấy g = 2 (m/s2) Xác định độ lớn của lực đàn hồi của lò xo khi vật ở các vị trí cao nhất và thấp nhất củaquỹ đạo

6 Một con lắc lò xo gồm quả cầu khối lượng 100 g gắn vào lò xo khối lượng không đáng kể có độ cứng

50 N/m và có độ dài tự nhiên 12 cm Con lắc được đặt trên mặt phẵng nghiêng một góc  so với mặt phẵngngang khi đó lò xo dài 11 cm Bỏ qua ma sát Lấy g = 10 m/s2 Tính góc 

7 Một con lắc lò xo đặt trên mặt phẵng nghiêng góc  = 300 so với mặt phẵng nằm ngang Ở vị trí cân bằng

lò xo giãn một đoạn 5 cm Kích thích cho vật dao động thì nó sẽ dao động điều hòa với vận tốc cực đại

40 cm/s Chọn trục tọa độ trùng với phương dao động của vật, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian khivật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương Viết phương trình dao động của vật Lấy g = 10 m/s2

8 Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m = 500 g, lò xo có độ cứng k = 100 N/m, hệ được đặt trên

mặt phẵng nghiêng một góc  = 450 so với mặt phẵng nằm ngang, giá cố định ở phía trên Nâng vật lên đến vịtrí mà lò xo không bị biến dạng rồi thả nhẹ Bỏ qua ma sát Lấy g = 10 m/s2 Chọn trục tọa độ trùng với

TÀI LIỆU LUYỆN THI

phương dao động của vật, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương hướng xuống dưới, gốc thời gian lúc thảvật Viết phương trình dao động của vật

= 0,2 s; f =

T

1 = 5 Hz; W =

)(

0

0 max

min

A l k

A l k

6 Tìm các đại lượng trong dao động của con lắc đơn.

+ Vận tốc khi đi qua vị trí cân bằng ( = 0): |v| = vmax = 2gl(1 cos0).

+ Nếu 0  100 thì: v = gl( 02 2); vmax = 0 gl ; , 0 tính ra rad.

+ Sức căng của sợi dây khi đi qua li độ góc :

TÀI LIỆU LUYỆN THI

2

 )

* Phương pháp giải: Để tìm một số đại lượng trong dao động của con lắc đơn ta viết biểu thức liên quan đến

các đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm từ đó suy ra và tính đại lượng cần tìm

* Bài tập minh họa:

1 Tại nơi có gia tốc trọng trường 9,8 m/s2, con lắc đơn dao động điều hoà với chu kì

7

2

s Tính chiều dài, tần

số và tần số góc của dao động của con lắc

2 Ở cùng một nơi trên Trái Đất con lắc đơn có chiều dài l1 dao động với chu kỳ T1 = 2 s, chiều dài l2 dao độngvới chu kỳ T2 = 1,5 s Tính chu kỳ dao động của con lắc đơn có chiều dài l1 + l2 và con lắc đơn có chiều dài l1

– l2

3 Khi con lắc đơn có chiều dài l1, l2 (l1 > l2) có chu kỳ dao động tương ứng là T1, T2 tại nơi có gia tốc trọngtrường g = 10 m/s2 Biết tại nơi đó, con lắc đơn có chiều dài l1 + l2 có chu kỳ dao động là 2,7; con lắc đơn có

chiều dài l1 - l2 có chu kỳ dao động là 0,9 s Tính T1, T2 và l1, l2

4 Trong cùng một khoảng thời gian và ở cùng một nơi trên Trái Đất một con lắc đơn thực hiện được 60 dao

động Tăng chiều dài của nó thêm 44 cm thì trong khoảng thời gian đó, con lắc thực hiện được 50 dao động.Tính chiều dài và chu kỳ dao động ban đầu của con lắc

5 Tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8 m/s2, một con lắc đơn và một con lắc lò xo dao động điều hòa vớicùng tần số Biết con lắc đơn có chiều dài 49 cm, lò xo có độ cứng 10 N/m Tính khối lượng vật nhỏ của conlắc lò xo

6 Tại nơi có gia tốc trọng trường g, một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ góc α0 nhỏ (α0 < 100) Lấymốc thế năng ở vị trí cân bằng Xác định vị trí (li độ góc α) mà ở đó thế năng bằng động năng khi:

a) Con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương về vị trí cân bằng

b) Con lắc chuyển động chậm dần theo chiều dương về phía vị trí biên

7 Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m = 100 g, treo vào đầu sợi dây dài l = 50 cm, ở một

nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s2 Bỏ qua mọi ma sát Con lắc dao động điều hòa với biên độ góc

0 = 100 = 0,1745 rad Chọn gốc thế năng tại vị trí cân bằng Tính thế năng, động năng, vận tốc và sức căngcủa sợi dây tại:



 T T

= 2 s; T2 =

2

2 2



  T T

= 1,8 s; l1 = 2

2 1

4

gT

= 1 m; l2 = 2

2 2

a) Con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương từ vị trí biên  = - 0 đến vị trí cân bằng  = 0:  =