ĐẠI SỐ 11 CHƯƠNG 4b GIỚI HẠN

ĐẠI SỐ 11 CHƯƠNG 4b GIỚI HẠN ĐẠI SỐ 11 CHƯƠNG 4b GIỚI HẠN ĐẠI SỐ 11 CHƯƠNG 4b GIỚI HẠN ĐẠI SỐ 11 CHƯƠNG 4b GIỚI HẠN ĐẠI SỐ 11 CHƯƠNG 4b GIỚI HẠN ĐẠI SỐ 11 CHƯƠNG 4b GIỚI HẠN ĐẠI SỐ 11 CHƯƠNG 4b GIỚI HẠN ĐẠI SỐ 11 CHƯƠNG 4b GIỚI HẠN ĐẠI SỐ 11 CHƯƠNG 4b GIỚI HẠN ĐẠI SỐ 11 CHƯƠNG 4b GIỚI HẠN ĐẠI SỐ 11 CHƯƠNG 4b GIỚI HẠN ĐẠI SỐ 11 CHƯƠNG 4b GIỚI HẠN ĐẠI SỐ 11 CHƯƠNG 4b GIỚI HẠN

i s 11 Trn S Tựng Trang 60 I. Gii hn ca dóy s Gii hn hu hn Gii hn vụ cc 1. Gii hn c bit: 1 lim0 n n đ+Ơ = ; 1 lim0() k n k n + đ+Ơ =ẻ  lim0(1) n n qq đ+Ơ =< ; lim n CC đ+Ơ = 2. nh lớ : a) Nu lim u n = a, lim v n = b thỡ ã lim (u n + v n ) = a + b ã lim (u n v n ) = a b ã lim (u n .v n ) = a.b ã lim n n u a vb = (nu b ạ 0) b) Nu u n 0, " n v lim u n = a thỡ a 0 v lim n ua = c) Nu nn uv Ê , " n v lim v n = 0 thỡ lim u n = 0 d) Nu lim u n = a thỡ lim n ua = 3. Tng ca cp s nhõn lựi vụ hn S = u 1 + u 1 q + u 1 q 2 + = 1 1 u q - ( ) 1 q < 1. Gii hn c bit: lim n =+Ơ lim() k nk + =+Ơẻ  lim(1) n qq =+Ơ> 2. nh lớ: a) Nu lim n u =+Ơ thỡ 1 lim0 n u = b) Nu lim u n = a, lim v n = Ơ thỡ lim n n u v = 0 c) Nu lim u n = a ạ 0, lim v n = 0 thỡ lim n n u v = .0 .0 n n neỏuav neỏuav ỡ +Ơ> ớ -Ơ< ợ d) Nu lim u n = + Ơ , lim v n = a thỡ lim(u n .v n ) = 0 0 neỏua neỏua ỡ +Ơ> ớ -Ơ< ợ * Khi tớnh gii hn cú mt trong cỏc dng vụ nh: 0 0 , Ơ Ơ , Ơ Ơ , 0. Ơ thỡ phi tỡm cỏch kh dng vụ nh. Mt s phng phỏp tỡm gii hn ca dóy s: ã Chia c t v mu cho lu tha cao nht ca n. VD: a) 1 1 11 limlim 3 232 2 n n n n + + == + + b) 2 1 13 3 limlim1 1 12 2 nnn n n n +- +- == - - c) 22 2 41 lim(41)lim1nnn n n ổử -+=-+=+Ơ ỗữ ốứ ã Nhõn lng liờn hp: Dựng cỏc hng ng thc ( ) ( ) ( ) ( ) 33 22333 ; ababababaabbab -+= ++=- VD: ( ) 2 lim3 nnn = ( ) ( ) ( ) 22 2 33 lim 3 nnnnnn nnn + -+ = 2 3 lim 3 n nnn - -+ = 3 2 - CHNG IV GII HN Trn S Tựng i s 11 Trang 61 ã Dựng nh lớ kp: Nu nn uv Ê , " n v lim v n = 0 thỡ lim u n = 0 VD: a) Tớnh sin lim n n . Vỡ 0 Ê sin1 n nn Ê v 1 lim0 n = nờn sin lim0 n n = b) Tớnh 2 3sin4cos lim 21 nn n - + . Vỡ 2222 3sin4cos(34)(sincos)5 nnnn -Ê++= nờn 0 Ê 22 3sin4cos5 2121 nn nn - Ê ++ . M 2 5 lim0 21 n = + nờn 2 3sin4cos lim0 21 nn n - = + Khi tớnh cỏc gii hn dng phõn thc, ta chỳ ý mt s trng hp sau õy: ã Nu bc ca t nh hn bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú bng 0. ã Nu bc ca t bng bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú bng t s cỏc h s ca lu tha cao nht ca t v ca mu. ã Nu bc ca t ln hn bc ca mu thỡ kt qu ca gii hn ú l + Ơ nu h s cao nht ca t v mu cựng du v kt qu l Ơ nu h s cao nht ca t v mu trỏi du. Baứi 1: Tớnh cỏc gii hn sau: a) 2 2 23 lim 321 nn nn -+ ++ b) 32 21 lim 43 n nn + ++ c) 32 3 32 lim 4 nnn n ++ + d) 4 2 lim (1)(2)(1) n nnn +++ e) 2 4 1 lim 21 n nn + ++ f) 42 32 23 lim 321 nn nn +- -+ Baứi 2: Tớnh cỏc gii hn sau: a) 13 lim 43 n n + + b) 1 4.37 lim 2.57 nn nn + + + c) 12 46 lim 58 nn nn ++ + + d) 1 25 lim 15 nn n + + + e) 12.37 lim 52.7 nn nn +- + f) 1 12.36 lim 2(35) nn nn+ -+ - Baứi 3: Tớnh cỏc gii hn sau: a) 2 2 4121 lim 41 nn nnn ++- +++ b) 2 2 34 lim 2 nn nn + ++ c) 3 26 42 1 lim 1 nn nn +- ++ d) 2 2 412 lim 41 nn nnn ++ +++ e) (21)(3) lim (1)(2) nnn nn ++ ++ f) 22 2 441 lim 31 nnn nn + ++ Baứi 4: Tớnh cỏc gii hn sau: a) 111 lim 1.33.5(21)(21) nn ổử +++ ỗữ -+ ốứ b) 111 lim 1.32.4(2) nn ổử +++ ỗữ + ốứ c) 222 111 lim11 1 23 n ổửổửổử ỗữỗữỗữ ốứốứốứ d) 111 lim 1.22.3(1) nn ổử +++ ỗữ + ốứ e) 2 12 lim 3 n nn +++ + f) 2 2 122 2 lim 133 3 n n ++++ ++++ Đại số 11 Trần Sĩ Tùng Trang 62 Baøi 5: Tính các giới hạn sau: a) ( ) nnn 2 lim21 + b) ( ) nnn 22 lim2 +-+ c) ( ) nnn 3 3 lim21 -+- d) ( ) nnn 24 lim131 +-++ e) ( ) 2 lim nnn f) 22 1 lim 24 nn +-+ g) 2 2 4121 lim 41 nn nnn + ++- h) 3 26 42 1 lim 1 nn nn +- +- i) 22 2 441 lim 31 nnn nn + +- Baøi 6: Tính các giới hạn sau: a) 2 2 2cos lim 1 n n + b) 2 (1)sin(3) lim 31 n nn n -+ - c) 22cos lim 31 nn n - + d) 62 2 3sin5cos(1) lim 1 nn n ++ + e) 232 2 3sin(2) lim 23 nn n ++ - f) 2 322 lim (3cos2) nn nn -+ + Baøi 7: Cho dãy số (u n ) với u n = 222 111 11 1 23 n æöæöæö ç÷ç÷ç÷ èøèø èø , với " n ³ 2. a) Rút gọn u n . b) Tìm lim u n . Baøi 8: a) Chứng minh: 111 1(1)1 nnnnnn =- ++++ ("n Î N * ). b) Rút gọn: u n = 111 122123321(1) nnnn +++ +++++ . c) Tìm lim u n . Baøi 9: Cho dãy số (u n ) được xác định bởi: 1 1 1 1 (1) 2 nn n u uun + ì = ï í =+³ ï î . a) Đặt v n = u n+1 – u n . Tính v 1 + v 2 + … + v n theo n. b) Tính u n theo n. c) Tìm lim u n . Baøi 10: Cho dãy số (u n ) được xác định bởi: 12 21 0;1 2,(1) nnn uu uuun ++ ì == í =+³ î a) Chứng minh rằng: u n+1 = 1 1 2 n u -+ , "n ³ 1. b) Đặt v n = u n – 2 3 . Tính v n theo n. Từ đó tìm lim u n . Trần Sĩ Tùng Đại số 11 Trang 63 II. Giới hạn của hàm số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực 1. Giới hạn đặc biệt: 0 0 lim xx xx ® = ; 0 lim xx cc ® = (c: hằng số) 2. Định lí: a) Nếu 0 lim() xx fxL ® = và 0 lim() xx gxM ® = thì: [ ] 0 lim()() xx fxgxLM ® +=+ [ ] 0 lim()() xx fxgxLM ® -=- [ ] 0 lim().(). xx fxgxLM ® = 0 () lim () xx fxL gxM ® = (nếu M ¹ 0) b) Nếu f(x) ³ 0 và 0 lim() xx fxL ® = thì L ³ 0 và 0 lim() xx fxL ® = c) Nếu 0 lim() xx fxL ® = thì 0 lim() xx fxL ® = 3. Giới hạn một bên: 0 lim() xx fxL ® = Û Û 00 lim()lim() xxxx fxfxL -+ ®® == 1. Giới hạn đặc biệt: lim k x x ®+¥ =+¥ ; lim k x nếukchẵn x nếuklẻ ®-¥ ì +¥ = í -¥ ỵ lim x cc ®±¥ = ; lim0 k x c x ®±¥ = 0 1 lim x x - ® =-¥ ; 0 1 lim x x + ® =+¥ 00 11 limlim xxxx -+ ®® ==+¥ 2. Định lí: Nếu 0 lim() xx fxL ® = ¹ 0 và 0 lim() xx gx ® =±¥ thì: 0 0 0 lim() lim()() lim() xx xx xx nếuLvàgxcùngdấu fxgx nếuLvàgxtráidấu ® ® ® ì +¥ ï = í -¥ ï ỵ 0 00 0 0lim() () limlim()0.()0 () lim()0.()0 xx xxxx xx nếugx fx nếugxvàLgx gx nếugxvàLgx ® ®® ® ì =±¥ ï ï =+¥=> í ï -¥=< ï ỵ * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vơ định: 0 0 , ¥ ¥ , ¥ – ¥ , 0. ¥ thì phải tìm cách khử dạng vơ định. Một số phương pháp khử dạng vơ định: 1. Dạng 0 0 a) L = 0 () lim () xx Px Qx ® với P(x), Q(x) là các đa thức và P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn. VD: 322 2 222 8(2)(24)2412 limlimlim3 (2)(2)24 4 xxx xxxxxx xxx x ®®® ++++ ==== -++ - b) L = 0 () lim () xx Px Qx ® với P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn cùng bậc Sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp ở tử và mẫu. VD: ( ) ( ) ( ) 000 24242411 limlimlim 4 24 24 xxx xxx x x xx ®®® +- === +- +- c) L = 0 () lim () xx Px Qx ® với P(x 0 ) = Q(x 0 ) = 0 và P(x) là biêåu thức chứa căn khơng đồng bậc Giả sử: P(x) = 00 ()()()() mn mn uxvxvớiuxvxa -== . Ta phân tích P(x) = ( ) ( ) ()() mn uxaavx -+- . i s 11 Trn S Tựng Trang 64 VD: 33 00 111111 limlim xx xxxx xxx đđ ổử + + =+ ỗữ ốứ = 02 33 11115 lim 326 11 (1)11 x x xx đ ổử +=+= ỗữ ỗữ +- ++++ ốứ 2. Dng Ơ Ơ : L = () lim () x Px Qx đƠ vi P(x), Q(x) l cỏc a thc hoc cỏc biu thc cha cn. Nu P(x), Q(x) l cỏc a thc thỡ chia c t v mu cho lu tha cao nht ca x. Nu P(x), Q(x) cú cha cn thỡ cú th chia c t v mu cho lu tha cao nht ca x hoc nhõn lng liờn hp. VD: a) 2 2 2 2 53 2 253 limlim2 63 63 1 xx xx x x xx x x đ+Ơđ+Ơ +- +- == ++ ++ b) 2 2 3 2 23 limlim1 1 1 11 xx x x xx x đ-Ơđ-Ơ - - ==- +- -+- 3. Dng Ơ Ơ : Gii hn ny thng cú cha cn Ta thng s dng phng phỏp nhõn lng liờn hp ca t v mu. VD: ( ) ( ) ( ) 111 lim1limlim0 11 xxx xxxx xx xxxx đ+Ơđ+Ơđ+Ơ +-++ +-=== ++++ 4. Dng 0. Ơ : Ta cng thng s dng cỏc phng phỏp nh cỏc dng trờn. VD: 2 22 2.0.2 lim(2)lim0 2 2 4 xx xxx x x x ++ đđ - -=== + - Baứi 1: Tỡm cỏc gii hn sau: a) 23 0 1 lim 1 x xxx x đ +++ + b) 2 1 31 lim 1 x xx x đ- +- - c) 2 sin 4 lim x x x đ ổử - ỗữ ốứ p p d) 4 1 1 lim 3 x x xx đ- - +- e) 2 2 1 lim 1 x xx x đ -+ - f) 2 1 23 lim 1 x xx x đ -+ + g) 1 83 lim 2 x x x đ +- - h) 3 2 2 3432 lim 1 x xx x đ + i) 2 0 1 limsin 2 x x đ Baứi 2: Tỡm cỏc gii hn sau: a) 32 2 1 1 lim 32 x xxx xx đ + -+ b) x x xx 4 32 1 1 lim 21 đ - -+ c) 5 3 1 1 lim 1 x x x đ- + + d) 32 42 3 539 lim 89 x xxx xx đ -++ e) 56 2 1 54 lim (1) x xxx x đ -+ - f) 1 1 lim 1 m n x x x đ - - g) 0 (1)(12)(13)1 lim x xxx x đ +++- h) 2 1 lim 1 n x xxxn x đ +++- - i) 4 32 2 16 lim 2 x x xx đ- - + Trn S Tựng i s 11 Trang 65 Baứi 3: Tỡm cỏc gii hn sau: a) 2 2 413 lim 4 x x x đ +- - b) 3 3 1 1 lim. 442 x x x đ - +- c) 2 0 11 lim x x x đ +- d) 2 22 lim 73 x x x đ +- +- e) 1 2231 lim 1 x xx x đ +-+ - f) 2 02 11 lim 164 x x x đ +- +- g) 3 0 11 lim 11 x x x đ +- +- h) 2 3 32 lim 3 x xx xx đ- +- + i) 0 9167 lim x xx x đ +++- Baứi 4: Tỡm cỏc gii hn sau: a) 3 0 11 lim x xx x đ +-+ b) 3 2 2 8117 lim 32 x xx xx đ +-+ -+ c) 3 0 218 lim x xx x đ + d) 3 2 0 1416 lim x xx x đ +-+ e) 3 2 2 8117 lim 252 x xx xx đ +-+ -+ f) 3 32 2 1 57 lim 1 x xx x đ + - g) 0 14.161 lim x xx x đ ++- h) 3 0 12.141 lim x xx x đ ++- i) 3 0 11 lim x xx x đ + Baứi 5: Tỡm cỏc gii hn sau: a) 2 2 1 lim 21 x x xx đ+Ơ + -+ b) 2 21 lim 2 x xx x đƠ -+ - c) 2 32 21 lim 32 x x xx đ+Ơ + -+ d) 2 2 2341 lim 412 x xxx xx đƠ ++++ ++- e) 2 2 4212 lim 932 x xxx xxx đƠ -++- -+ f) 2 1 lim 1 x xx xx đ+Ơ + ++ g) 2 2 (21)3 lim 5 x xx xx đ-Ơ - h) 2 2 23 lim 412 x xxx xx đ+Ơ ++ +-+ i) 2 52 lim 21 x xx x đ-Ơ -+ + Baứi 6: Tỡm cỏc gii hn sau: a) 2 lim x xxx đ+Ơ ổử +- ỗữ ốứ b) 2 lim21443 x xxx đ+Ơ ổử ỗữ ốứ c) 3 23 lim11 x xx đ+Ơ ổử + ỗữ ốứ d) lim x xxxx đ+Ơ ổử ++- ỗữ ốứ e) ( ) 33 lim2121 x xx đ+Ơ + f) ( ) 3 32 lim312 x xx đ-Ơ -++ g) 3 1 13 lim 1 1 x x x đ ổử - ỗữ - - ốứ h) 22 2 11 lim 3256 x xxxx đ ổử + ỗữ -+-+ ốứ Baứi 7: Tỡm cỏc gii hn sau: a) 2 15 lim 2 x x x + đ - - b) 2 15 lim 2 x x x - đ - - c) 2 3 132 lim 3 x xx x + đ +- - d) 2 2 4 lim 2 x x x + đ - - e) 2 2 2 lim 252 x x xx + đ - -+ f) 2 2 2 lim 252 x x xx - đ - -+ Baứi 8: Tỡm cỏc gii hn mt bờn ca hm s ti im c ch ra: a) 3 11 0 11 ()0 3 0 2 x khix x fxtaùix khix ỡ +- > ù ù +- == ớ ù Ê ù ợ b) 2 9 3 ()3 3 13 x khix fxtaùix x xkhix ỡ - ù < == ớ - ù - ợ Đại số 11 Trần Sĩ Tùng Trang 66 c) 2 3 4 2 2 8 ()2 16 2 2 xx khix x fxtaïix x khix x ì - > ï ï - == í - ï < ï - î d) 2 2 32 1 1 ()1 1 2 xx khix x fxtaïix x khix ì -+ > ï ï - == í ï -£ ï î Baøi 9: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:: a) 3 1 1 ()1 1 21 x khix fxtaïix x mxkhix ì - ï < == í - ï +³ î b) 3 22 13 1 ()1 1 1 331 khix fxtaïix x x mxmxkhix ì -> ï == - í - ï -+£ î c) 2 0 ()0 1003 0 3 xmkhix fxtaïix xx khix x ì +< ï == í++ ³ ï + î d) 2 31 ()1 31 xmkhix fxtaïix xxmkhix ì +<- ==- í +++³- î Trn S Tựng i s 11 Trang 67 III. Hm s liờn tc 1. Hm s liờn tc ti mt im: y = f(x) liờn tc ti x 0 0 0 lim()() xx fxfx đ = ã xột tớnh liờn tc ca hm s y = f(x) ti im x 0 ta thc hin cỏc bc: B1: Tớnh f(x 0 ). B2: Tớnh 0 lim() xx fx đ (trong nhiu trng hp ta cn tớnh 0 lim() xx fx + đ , 0 lim() xx fx - đ ) B3: So sỏnh 0 lim() xx fx đ vi f(x 0 ) v rỳt ra kt lun. 2. Hm s liờn tc trờn mt khong: y = f(x) liờn tc ti mi im thuc khong ú. 3. Hm s liờn tc trờn mt on [a; b]: y = f(x) liờn tc trờn (a; b) v lim()(),lim()() xaxb fxfafxfb +- đđ == 4. ã Hm s a thc liờn tc trờn R. ã Hm s phõn thc, cỏc hm s lng giỏc liờn tc trờn tng khong xỏc nh ca chỳng. 5. Gi s y = f(x), y = g(x) liờn tc ti im x 0 . Khi ú: ã Cỏc hm s y = f(x) + g(x), y = f(x) g(x), y = f(x).g(x) liờn tc ti x 0 . ã Hm s y = () () fx gx liờn tc ti x 0 nu g(x 0 ) ạ 0. 6. Nu y = f(x) liờn tc trờn [a; b] v f(a). f(b)< 0 thỡ tn ti ớt nht mt s c ẻ (a; b): f(c) = 0. Núi cỏch khỏc: Nu y = f(x) liờn tc trờn [a; b] v f(a). f(b)< 0 thỡ phng trỡnh f(x) = 0 cú ớt nht mt nghim c ẻ (a; b). M rng: Nu y = f(x) liờn tc trờn [a; b]. t m = [ ] ; min() ab fx , M = [ ] ; max() ab fx . Khi ú vi mi T ẻ (m; M) luụn tn ti ớt nht mt s c ẻ (a; b): f(c) = T. Baứi 1: Xột tớnh liờn tc ca hm s ti im c ch ra: a) 3 1 ()1 1 11 x khix fxtaùix x khix ỡ + ù ạ ==- ớ - ù -= ợ b) 32 1 1 ()1 1 1 4 x khix x fxtaùix khix ỡ +- ạ ù ù - == ớ ù = ù ợ c) 23 2 275 2 ()2 32 12 xxx khix fxtaùix xx khix ỡ -+- ù ạ == ớ -+ ù = ợ d) 2 5 5 ()5 213 (5)35 x khix fxtaùix x xkhix ỡ - > ù == ớ ù -+Ê ợ e) 1cos0 ()0 10 xkhix fxtaùix xkhix ỡ -Ê == ớ +> ợ f) 1 1 ()1 21 21 x khix fxtaùix x xkhix ỡ - < ù == ớ ù - ợ Baứi 2: Tỡm m, n hm s liờn tc ti im c ch ra: a) xkhix fxtaùix mxkhix 2 1 ()1 231 ỡ < == ớ - ợ b) xxx khix fxtaùix x xmkhix 32 22 1 ()1 1 31 ỡ -+- ù ạ == ớ - ù += ợ i s 11 Trn S Tựng Trang 68 c) mkhix xx fxkhixxtaùixvaứx xx nkhix 2 0 6 ()0,303 (3) 3 ỡ = ù ù =ạạ== ớ - ù =ù ợ d) xx khix fxtaùix x mkhix 2 2 2 ()2 2 2 ỡ ù ạ == ớ - ù = ợ Baứi 3: Xột tớnh liờn tc ca cỏc hm s sau trờn tp xỏc nh ca chỳng: a) 3 3 2 1 1 () 4 1 3 xx khix x fx khix ỡ ++ ạ- ù ù + = ớ ù =- ù ợ b) 2 342 ()52 212 xxkhix fxkhix xkhix ỡ -+< ù ớ == ù +> ợ c) 2 4 2 () 2 42 x khix fx x khix ỡ - ù ạ- = ớ + ù -=- ợ d) 2 2 2 () 2 222 x khix fx x khix ỡ - ạ ù = ớ - ù = ợ Baứi 4: Tỡm cỏc giỏ tr ca m cỏc hm s sau liờn tc trờn tp xỏc nh ca chỳng: a) 2 2 2 () 2 2 xx khix fx x mkhix ỡ ù ạ = ớ - ù = ợ b) 2 1 ()21 11 xxkhix fxkhix mxkhix ỡ +< ù ớ == ù +> ợ c) 32 22 1 () 1 31 xxx khix fx x xmkhix ỡ -+- ù ạ = ớ - ù += ợ d) 2 1 () 231 xkhix fx mxkhix ỡ < = ớ - ợ Baứi 5: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau cú 3 nghim phõn bit: a) 3 310 xx -+= b) 32 6910 xxx +++= c) 3 2613 xx +-= Baứi 6: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim: a) 5 330 xx -+= b) 5 10 xx +-= c) 432 310 xxxx +-++= Baứi 7: Chng minh rng phng trỡnh: 53 5410 xxx -+-= cú 5 nghim trờn (2; 2). Baứi 8: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim vi mi giỏ tr ca tham s: a) 3 (1)(2)230 mxxx +-= b) 42 220 xmxmx + = c) ()()()()()()0 axbxcbxcxacxaxb + + = d) 232 (1)(1)30 mxxx -++ = e) coscos20 xmx += f) (2cos2)2sin51 mxx -=+ Baứi 9: Chng minh cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim: a) 2 0 axbxc ++= vi 2a + 3b + 6c = 0 b) 2 0 axbxc ++= vi a + 2b + 5c = 0 c) 32 0 xaxbxc +++= Baứi 10: Chng minh rng phng trỡnh: 2 0 axbxc ++= luụn cú nghim x ẻ 1 0; 3 ộự ờỳ ởỷ vi a ạ 0 v 2a + 6b + 19c = 0. Trần Sĩ Tùng Đại số 11 Trang 69 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Bài 1. Tìm các giới hạn sau: a) n n 3 123 lim 3 ++++ b) n nn n 2sin lim 1 2 æö + + ç÷ + èø c) 1 3 2 lim 2 2 + + + n n nn d) nn nn 2 2 2 lim 231 + +- e) n n 51 52 23 lim 31 + + + + f) nn nn 1 (1)4.3 lim (1)2.3 + -+ g) ( ) nnn 22 lim31 + g) ( ) nnn 3 32 lim3 +- h) ( ) nnn 24 lim1 +-+ i) n n 2 2 2cos lim 1 + k) n nn 22 lim 311 + l) ( ) nnn 3 23 lim22 + Bài 2. Tìm các giới hạn sau: a) x xx xx 2 2 3 56 lim 815 ® -+ -+ b) x x xx 2 2 1 2 81 lim 651 ® - -+ c) x xxx xx 32 2 3 443 lim 3 ® -+- - d) x xxx xxx 432 432 1 2531 lim 3861 ® -++ -+- e) x xx xx 3 4 1 32 lim 43 ® -+ -+ f) x xxx xx 32 42 2 248 lim 816 ® + -+ g) x xx xx 3 5 1 21 lim 21 ® h) x x xx 2 2 2 lim 252 ®- + ++ i) x x x 2 2 1 (2)1 lim 1 ®- +- - Bài 3. Tìm các giới hạn sau: a) x x x 2 2 lim 37 ® - -+ b) x x x 2 0 11 lim ® +- c) x x xx 2 1 83 lim 23 ® +- +- d) x x x 4 123 lim 2 ® +- - e) x x x 1 273 lim 32 ® +- +- f) x x x 2 02 11 lim 416 ® +- -+ g) 2 3 1 75 lim 1 x xx x ® + - h) x xx x 33 0 11 lim ® + i) x x x 3 2 42 lim 2 ® - - k) x x x 3 0 1 lim 1 ® - - l) x x x 3 2 2 0 11 lim ® +- m) x xx x 2 275 lim 2 ® +++- - Bài 4. Tìm các giới hạn sau: a) x xx x 2 2 232 lim 2 + ®- -+ + b) x x xx 2 1 1 lim 34 - ® - +- c) x xx x 3 1 341 lim 1 + ®- -+ + d) x xx x 2 2 2 252 lim (2) - ® -+ - e) x x x 3 34 lim 3 + ® + - f) x xx xx 0 lim + ® + - g) x x x 2 822 lim 2 + ®- +- + h) x xx x 2 2 3 253 lim (3) - ®- +- - i) ( ) x x x x 2 2 lim2 4 + ® - - Bài 5. Tìm các giới hạn sau: a) x xxx xxxx 32 432 2341 lim 523 ®-¥ -+- -+-+ b) x xx xx 2 2 1 lim 21 ®+¥ +- ++ c) x xx xx 23 32 (23)(47) lim (31)(109) ®+¥ -+ ++ d) x xxx xx 43 42 2 lim 327 ®+¥ -+ +- e) ( ) x xx 2 lim1 ®-¥ ++ f) x xxx 2 lim(1) ®-¥ +-+ [...]...i s 11 g) lim xđ -Ơ k) lim x đ-Ơ Bi 6 Trn S Tựng x2 + 1 - x 5 + 2x x2 + 2 x + 3x 2 h) lim x đ-Ơ l) lim 4x +1 - x + 2 Xột tớnh liờn tc ca hm s: ỡ1 - x ù a) f ( x ) = ớ x 2 - 2 x - 3 ù 2x - 6 ợ x đ-Ơ ( ( x2 . Sĩ Tùng Đại số 11 Trang 63 II. Giới hạn của hàm số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vơ cực, giới hạn ở vơ cực 1. Giới hạn đặc biệt: 0 0 lim xx xx ® = ; 0 lim xx cc ® = (c: hằng số) 2 = ( ) ( ) ()() mn uxaavx -+- . i s 11 Trn S Tựng Trang 64 VD: 33 00 111 111 limlim xx xxxx xxx đđ ổử + + =+ ỗữ ốứ = 02 33 111 15 lim 326 11 (1 )11 x x xx đ ổử +=+= ỗữ ỗữ +- ++++ ốứ . Tớnh cỏc gii hn sau: a) 111 lim 1.33.5(21)(21) nn ổử +++ ỗữ -+ ốứ b) 111 lim 1.32.4(2) nn ổử +++ ỗữ + ốứ c) 222 111 lim11 1 23 n ổửổửổử ỗữỗữỗữ ốứốứốứ d) 111 lim 1.22.3(1) nn ổử +++ ỗữ + ốứ