Bo de HSNK Toan 6-7-8 Huyen Thanh Ba

Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba đề thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 8 năm học 2009 2010 (Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2điểm) Cho biểu thức x xx x x xx x A 3 13 1 42 :3 1 2 3 2 2 + + + + + = a) Rút gọn A b)Tìm A với x = 2010 c)Tìm x để A < 0 Bài 2. (2điểm) a) Chứng minh hằng đẳng thức ( ) ( ) acbcabcbacbaabccba ++++=++ 222333 .3 b) Chứng minh rằng a 2 +b 2 +c 2 ab+bc+ac với mọi a;b;c Bài 3. (2điểm) a) Chứng minh (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) +y 4 là số chính phơng với mọi số nguyên x;y b) Cho a,b,c thỏa mãn =++ =++ 2010 2010 1111 cba cba Chứng minh rằng có một số bằng 2010 Bài 4. (3 điểm) Cho tam giác ABC. Lấy một điểm O bất kì trong tam giác. Các đờng thẳng OA;OB;OC cắt BC;CA;AB tại M;N;P. Chứng minh rằng: a) 1 = NA CN MC BM PB AP b) Tổng OM ON OP AM BN CP + + không phụ thuộc vị trí điểm O Bài 5. (1điểm) Giải phơng trình sau: 2009 2011 3 4 1y y + = Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 1 Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba Hớng dẫn chấm thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 8 năm học 2009 2010 Bài 1. (2điểm) Cho x xx x x xx x A 3 13 1 42 :3 1 2 3 2 2 + + + + + = a)Rút gọn A b)Tìm A với x =2010 c)Tìm x để A < 0 ĐKXĐ x 0; -1; 1 2 x xx x x xx x A 3 13 1 42 :3 1 2 3 2 2 + + + + + = = ( )( ) ( ) ( ) x xx x x xx xxxxx 3 13 42 1 . 13 19612 2 + + + ++++ = 2 2 2 2 8 3 1 1 2 3 1 1 3 (2 4 ) 3 3 3 x x x x x x x x x x x + + + = = b) giá trị của A = 2009 3 c) A < 0 1 3 x < 0 x < 1 0,25đ 0,75đ 0,5đ 0,5đ Bài 2.(2điểm) a) Chứng minh hằng đẳng thức ( ) ( ) acbcabcbacbaabccba ++++=++ 222333 .3 biến đổi vế phải nhân phá ngoặc, rút gọn cho kết quả bằng vế trái b) Chứng minh rằng a 2 +b 2 +c 2 ab+bc+ac với mọi a;b;c chuyển vế nhân hai vế với 2 ta đợc 2a 2 +2b 2 +2c 2 -2ab-2bc-2ac 0 (a-b) 2 + (b-c) 2 +(c-a) 2 0 ( luôn đúng) dấu bằng xảy ra khi a=b=c 1đ 0,75đ 0,25đ Bài 3.(2điểm) a) Chứng minh A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y 4 là số chính phơng với mọi số nguyên x;y Nhân phá ngoặc đợc A= (x 2 +5xy+4y 2 )( x 2 +5xy+6y 2 ) +y 4 đặt x 2 +5xy+5y 2 = m => A= (m-y 2 )(m+y 2 )+y 4 = m 2 = (x 2 +5xy+5y 2 ) 2 vậy A luôn chính phơng với mọi số nguyên x;y b) Cho a,b,c thỏa mãn =++ =++ 2010 2010 1111 cba cba Chứng minh rằng có một số bằng 2010 0,5Đ 0,5Đ 2 Biến đổi =++ =++ 2010 2010 1111 cba cba Thành cbacba ++ =++ 1111 => (ab+bc+ac)(a+b+c)=abc a 2 b+ab 2 +b 2 c+bc 2 +a 2 c+ac 2 +2abc =0 (a+b)(b+c)(c+a) =0 xét các trờng hợp nếu a+b =0 => c=2010 tơng tự với các trờng hợp còn lại 0,5đ 0,25đ 0,25đ Bài 4.(2điểm) Cho tam giác ABC. Lấy một điểm O bất kì trong tam giác. Các đờng thẳng OA;OB;OC cắt BC;CA;AB tại M;N;P. Chứng minh rằng: a) 1 = NA CN MC BM PB AP b) Tổng OM ON OP AM BN CP + + không phụ thuộc vị trí điểm O O N P A B C I M H a) vẽ qua A đờng thẳng song song với BC cắt BN; CP tại H;I ấp dụng định lí Ta lét AH BC NA CN AI AH MC BM BC AI PB AP === ;; thay vào ta có 1 = NA CN MC BM PB AP b) 0,5đ 1đ 3 O A B C M N P D E Kẻ OD; OE song song với AB; AC Ta có AB OD AM OM = ; do tam giác ODE đồng dạng với tam giác ABC nên BC DE AM OM BC DE AB OD ==>= BC BD CP OP BC EC BN ON == ; Thay vào hệ thức đợc 1 OM ON OP DE EC BD AM BN CP BC BC BC + + = + + = 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 5.(1điểm) Giải phơng trình sau: 2009 2011 3 4 1y y + = Nhận thấy: y=3 hoặc y=4 là nghiệm của phơng trình - Nếu y < 3 thì 4y = 4- y >1 => Phơng trình vô nghiệm - Nếu 3 < y < 4 thì 0 < 3y < 1 và 0 < 4y < 1 Do đó 2009 3y 2009 3y < 3y = y 3 và 2011 4y 2011 4y < 4y = 4- y Suy ra 2009 2011 3 4y y + 2009 2011 3 4y y + < y 3 + 4 y =1 phơng trình vô nghiệm - Nếu y > 4 thì 3y = y 3 > 1 Phơng trình vô nghiệm Vậy phơng trình đã cho có nghiệm y = 3 hoặc y = 4 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Lu ý: - Trên đây chỉ là một phơng án nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa -Trong quá trình chấm giám khảo có thể chia nhỏ thang điểm cho phù hợp với bài làm của học sinh. 4 Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba đề thi học sinh năng khiếu môn giải toán trên máy tính lớp 8 năm học 2009 2010 Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề Thí sinh chỉ đợc sử dụng các loại máy sau: CASIO- FX500MS; CASIO- FX570MS; VINACAL 500MS; VINACAL 570MS: VINACAL 570MS NEW. Bài 1. (5điểm) a) Tính 1,123456789 3 - 5,02123456 7 b) Tính B = ''17'526 ''45'115''55'473 h hh + Bài 2. (5điểm) Tính A = 534 1323 23 245 ++ ++ xxx xxxx khi x=1,8156 Bài 3. ( 5điểm) Tìm d của phép chia 7 18 cho 2010 Bài 4. ( 5điểm) Tìm a để x 3 +2ax 2 +5x-5 chia hết cho x+2 Bài 5. (5điểm) Biểu diễn B ra dạng phân số B = 4 1 3 1 3 1 3 1 7 + + + + Bài 6.(5điểm) Dân số một nớc là 65 triệu ngời mức tăng dân số là 1,2% mỗi năm. Tính dân số nớc ấy sau 20 năm. Bài 7. (5điểm) Giải phơng trình 0 220 2222 9 2011 8 2010 7 2009 4 2006 = + + + + xxxxx Bài 8.(5điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 12cm. M;P là trung điểm của AB;CD. Trên BC; AD lấy N;Q sao cho BC= 4BN; AD = 4DQ. Hãy tính chu vi và diện tích tứ giác MNPQ. Bài 9. (5điểm) Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c;AC = b;BC = a. a) Chứng minh công thức ))()(( cpbpappS = với p là nửa chu vi, S là diện tích tam giác ABC. b) áp dụng tính diện tích tam giác ABC với AB =5cm;AC =8cm;BC=7cm. Bài 10.(5 điểm) cho phơng trình xxx 543 =+ a) Lập một quy trình tìm nghiệm của phơng trình trên b) Giải phơng trình trên. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 5 Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba Hớng dẫn chấm thi học sinh năng khiếu môn giải toán trên máy tính lớp 8 Bài 1 (5điểm) a)Tính 1,123456789 3 - 5,02123456 7 Tính trên máy cho kết quả -80,4759 b)Tính B = ''17'526 ''45'115''55'473 h hh + Nhập công thức tính B trên máy cho kết quả B = 1,308970368 2đ 3đ Bài 2 (5điểm) Tính A = 534 1323 23 245 ++ ++ xxx xxxx khi x=1,8156 Nhập công thức của A trêm CASIO 570 nhấn phím CALC máy hỏi x Nhập 1,8156 = Cho kết quả 1,496532 3đ 2đ Bài 3 ( 5điểm) Tìm d của phép chia 7 18 cho 2010 Viết quy trình tìm d đúng (với máy VINACAL 570MS NEW) không phải viết nhng phải có quy trình nhập công thức) 7 18 =7 9 .7 9 có 7 9 847 ( mod 2010) do đó 7 18 847 2 1849 (mod2010) 1đ 2đ 2đ Bài 4 ( 5điểm) Tìm a để x 3 +2ax 2 +5x-5 chia hết cho x+2 F(x) chia hết cho x-a khi f(a) =0 Tính f(-2) = (-2) 3 +2(-2) 2 .a+5(-2)-5 =0 => a= 23 8 2đ 3đ Bài 5 (5điểm) biểu diễn B ra dạng phân số B = 4 1 3 1 3 1 3 1 7 + + + + quy trình tính 1ab/c 4+3=x -1 = +3 = x -1 =+3 =x -1 = +7= SHIPT d/c cho kết quả B = 1037 142 4đ 1đ Bài 6(5điểm) Dân số một nớc là 65 triệu mức tăng dân số là 1,2% mỗi năm. Tính dân số nớc ấy sau 20 năm. 6 Sau 1 năm dân số nớc ấy là 65.(1+1,2%) Sau 2 năm dân số nớc ấy là 65.(1+1,2%)+65.(1+1,2%).1,2% =65.(1+1,2%) 2 2đ Tơng tự ta có sau 20 năm dân số là 65.(1+1,2%) 20 khoảng 82 triệu ngời 2đ 1đ Bài 7 (5điểm) Giải phơng trình 0 220 2222 9 2011 8 2010 7 2009 4 2006 = + + + + xxxxx 51 220 2222 1 9 2011 1 8 2010 1 7 2009 1 4 2006 =+ ++ ++ ++ ++ xxxxx 5 220 2002 9 2002 8 2002 7 2002 4 2002 = + + + + xxxxx (x-2002)( 220 1 9 1 8 1 7 1 4 1 ++++ ) =5 x=5: ( 220 1 9 1 8 1 7 1 4 1 ++++ )+2002 tính cho kết quả x=2009,892489 2đ 2đ 1đ Bài 8(5điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 12cm. M;P là trung điểm của AB;CD. Trên BC; AD lấy N;Q sao cho BC= 4BN; AD = 4DQ. Hãy tính chu vi và diện tích tứ giác MNPQ. A D C B M N Q P Tính MN = PQ = 45936 22 =+=+ BNMB Tính MQ=NP = 1178136 =+ Do đó chu vi tứ giác MNPQ 35,0497(cm) S MNPQ =S ABCD -2.(S AMQ +S QDP ) Thay số tính đợc S = 72(cm 2 ) 2đ 1đ 2đ Bài 9 (5điểm) Cho tam giác ABC có các cạnh AB =c;AC=b;BC=a. a) Chứng minh công thức ))()(( cpbpappS = với p là nửa chu vi, S là diện tích tam giác ABC. b ) áp dụng tính diện tích tam giác ABC với AB=5cm;AC=8cm;BC=7cm 7 A C B D Giả sử tam giác ABC có góc B và C nhọn Kẻ đờng cao AD Đặt AD =h; CD = x => BD =a-x Ta có b 2 = h 2 +x 2 ; c 2 =h 2 +(a-x) 2 => b 2 - c 2 =x 2 -(a-x) 2 => x= a acb 2 222 + => h 2 = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 4 a b b c a ab b c a ab b c a a a + + + + = => h= ))()(( 2 1 cpbpapp a => ))()(( cpbpappS = => tính ra kết quả S = 17,32050808 2đ 2đ 1đ Bài 10(5 điểm) cho phơng trình xxx 543 =+ a) lập một quy trình tìm nghiệm của phơng trình trên b) Giải phơng trình trên. a) Nhập công thức trên máy 570 3^ALPHA X +4^ALPHA X-5^ALPHA X SHIPFT SOLVE nhập 3= Nhấn SHIPT SOLVE cho kết quả x = 2 vậy phơng trình có một nghiệm bằng 2 b ) Nhận thấy x= 2 là nghiệm của phơng trình xxx 543 =+ 1 5 4 5 3 = + xx với x > 2 ta có 1 5 4 5 3 5 4 5 3 22 = + < + xx do đó phơng trình không có nghiệm lớn hơn 2 với x < 2 ta có 1 5 4 5 3 5 4 5 3 22 = + > + xx do đó phơng trình không có nghiệm nhỏ hơn 2 Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất bằng 2 3đ 1đ 1đ Lu ý:- Trên đây chỉ là một phơng án nếu học sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa-Trong quá trình chấm giám khảo có thể chia nhỏ thang điểm cho phù hợp với bài làm của học sinh. 8 Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba đề thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 7 năm học 2009 2010 ( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề ) Bài 1. (2điểm) a) Cho x = 2009. Tính giá trị của biểu thức: A = 2009 2008 2007 2008 2008 2008 1x x x x + b) Tìm x biết : 2 2,5 10 4,5 3 x + = + Bài 2. (2điểm) Cho 32 ba = và a.b = 2010. Tìm a và b Bài 3. (2điểm) a) Chứng minh rằng nếu a+c=2b và 2bd = c (b+d) thì d c b a = với b,d khác 0 b) Cho ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 0 n n n m m x p y q x p y q x p y q + + + Với m,n * N Chứng minh rằng: 1 2 1 2 m m x x x q y y y p + + + = + + + Bài 4.(2điểm) Cho điểm M nằm trong tam giác ABC . chứng minh rằng BCACABMCMBMA BCACAB ++<++< ++ 2 Bài 5.(2điểm) a) Tìm các số tự nhiên x; y sao cho 5 2 3 1 =+ y x b) Trên mặt phẳng cho 2009 điểm sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Xét tất cả các đoạn thẳng nối 2009 điểm nói trên. Chứng minh rằng nếu kẻ đờng thẳng d bất kì không đi qua bất kì điểm nào trong số các điểm nói trên thì số đoạn thẳng bị đờng thẳng d cắt là một số chẵn. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 9 phòng giáo dục và đào tạo thanh ba hớng dẫn chấm thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 7 năm học 2009 2010 Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề Bài 1 (2điểm) a) Cho x = 2009. Tính giá trị của biểu thức: A = 2009 2008 2007 2008 2008 2008 1x x x x + Thay 2008 = x-1 vào biểu thức A ta có: ( ) ( ) ( ) 2009 2008 2007 2009 2009 2008 2008 2007 2 1 1 1 1 1 1 A x x x x x x x x x x x x x x x = + = + + + + = + b) Tìm x biết : 2 2,5 10 4,5 3 x + = + 2 2 2,5 5,5 3 3 3 x x + = = Vậy x= 11 3 hoặc x = 7 3 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 2 (2điểm) Cho 32 ba = và a.b = 2010 . Tìm a và b Đặt 32 ba = = k => a = 2k; b = 3k Từ a.b=2010 => 2k.3k = 2010 => k 2 = 335 => k = 335 hoặc k = - 335 nếu k = 335 => a= 2. 335 ; b = 3 335 nếu k = - 335 => a= -2. 335 ; b = -3 335 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ Bài 3 (2điểm) a) Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d = c(b+d) Hay ad = bc Suy ra d c b a = ( ĐPCM) 0,5đ 0,5đ b) Cho ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 0 n n n m m x p y q x p y q x p y q + + + Với m,n * N Chứng minh rằng: 1 2 1 2 m m x x x q y y y p + + + = + + + Ta có (x 1 p y 1 q) 2n 0 ; (x 2 p y 2 q) 2n 0 ; ; (x m p y m q) 2n 0 Nên ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 0 n n n m m x p y q x p y q x p y q + + + Mà theo đề bài thì: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 0 n n n m m x p y q x p y q x p y q + + + Suy ra (x 1 p y 1 q) =(x 2 p y 2 q) = = (x m p y m q) = 0 Do đó 1 2 1 2 1 2 1 2 m m m m x x x x x x q y y y y y y p + + + = = = = = + + + 0,25đ 0,25đ 0,5đ 10 [...]... của học sinh 12 Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba đề thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 6 năm học 2009 2010 (Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2điểm) Tính tổng sau: A= 32 32 32 + + + 8.11 11.14 1997.2000 Bài 2 (2điểm) a) Cho C = 3 + 32 + 33 + 34 + 3100 Chứng tỏ C chia hết cho 40 b) Cho các số 0,1,3,5,7,9 Hỏi có thể thiết lập đợc bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5,... = 12 năm 1đ Vậy tuổi anh là 12:3/8 = 32 tuổi 3/4 tuổi em = 32-14 = 18 tuổi 0,5đ tuổi em là: 18:3/4 = 24 tuổi Bài 4: (2điểm) a, Vẽ góc AOB =1300; góc AOC =300 Tính góc BOC vẽ hai trờng hợp B C A B A O C lập luận để có góc BOC = 100 hoặc BOC = 160 0 0 b, Cho góc XOY = 900; vẽ OX1 là phân giác của góc XOY; vẽ OX2là phân giác của góc XOX1; vẽ OX3 là phân giác của góc XOX2 vẽ OX2010 là phân giác của góc... đơn vị thì đợc tích 5 28 Tìm hai phân số đó 15 2 b)Tìm các số nguyên dơng a,b,c Biết rằng a 3 b3 c3 = 3abc và a = 2 ( b + c ) Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm 13 Phòng giáo dục và đào tạo thanh ba Hớng dẫn chấm thi học sinh năng khiếu môn toán lớp 6 năm học 2009 2010 (Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2điểm) Tính tổng sau: A= 3 3 3 32 32 32 + + + ) + + + =3(... 6 chữ số đã cho Bài 3 (2điểm) Tính tuổi của anh và em, biết rằng 5/8 tuổi anh hơn 3/4 tuổi em là 2 năm và 1/2 tuổi anh hơn 3/8 tuổi em là 7 năm Bài 4 (2điểm) a)Vẽ góc AOB =1300; góc AOC =300 Tính góc BOC b)Cho góc XOY = 900; vẽ OX1 là phân giác của góc XOY; vẽ OX2là phân giác của góc XOX1; vẽ OX3 là phân giác của góc XOX2 vẽ OX2010 là phân giác của góc XOX2009 Tính số đo góc XOX2010 Bài 5.(2điểm)... nhiên nên x là ớc của 15 nếu x=1 => 6-5y =15 (loại) x= 3 => 6-5y = 5 (loại) x=5=> 6-5y = 3 (loại) x= 15 => 6-5y =1 => y =1 Vậy các số cần tìm là x= 15; y=1 b) Trên mặt phẳng cho 2009 điểm sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng Xét tất cả các đoạn thẳng nối 2009 điểm nói trên Chứng minh rằng: nếu kẻ đờng thẳng d bất kì không đi qua bất kì điểm nào trong số các điểm nói trên thì số đoạn thẳng bị đờng thẳng... =>2MA+2MB+2MC > AB+AC+BC => 1đ AB + AC + BC < MA + MB + MC 2 Gọi giao của BM và AC là D ta có MA + MB < MB+AD +MD = DA + DB < DA + DC + BC = AC + BC => MA +MB < AC+BC Tơng tự ta có MB +MC < AB + AC MA + MC < BA + BC Cộng các bất đẳng thức trên ta có MA + MB + MC < AB + AC + BC Bài 5(2điểm) Tìm các số tự nhiên x; y sao cho Từ 1 y 2 1 2 y 6 5y + = => = = x 3 5 x 5 3 15 1đ 1 y 2 + = x 3 5 => x(6-5y) = 15 => . thỏa mãn =++ =++ 2010 2010 1111 cba cba Chứng minh rằng có một số bằng 2010 0,5Đ 0,5Đ 2 Biến đổi =++ =++ 2010 2010 1111 cba cba Thành cbacba ++ =++ 1111 => (ab+bc+ac)(a+b+c)=abc a 2 b+ab 2 +b 2 c+bc 2 +a 2 c+ac 2 +2abc. có AB OD AM OM = ; do tam giác ODE đồng dạng với tam giác ABC nên BC DE AM OM BC DE AB OD ==>= BC BD CP OP BC EC BN ON == ; Thay vào hệ thức đợc 1 OM ON OP DE EC BD AM BN CP BC BC BC + +. với x = 2010 c)Tìm x để A < 0 Bài 2. (2điểm) a) Chứng minh hằng đẳng thức ( ) ( ) acbcabcbacbaabccba ++++=++ 222333 .3 b) Chứng minh rằng a 2 +b 2 +c 2 ab+bc+ac với mọi a;b;c Bài 3. (2điểm) a)