Gọi M là trung điểm BD a Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông b Tính góc giữa hai mặt phẳng AMC và BCD B – PHẦN RIÊNG Thí sinh được chọn làm một trong hai phần
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂKLĂK THI HỌC KÌ II NĂM HỌC 2011-2012
TRƯỜNG THPT HUỲNH THÚC KHÁNG
MÔN THI : TOÁN 11
THỜI GIAN : 90 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ RA
A – PHẦN CHUNG (6,5 điểm)
Bài 1 (1,5 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
→
−
− +
x
x
3 2
1
27 lim
+ − + + −
x
x x x
lim
+ + −
xlim 9x2 3x 1 3 x
Bài 2 (1,5 điểm)
1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
≠ −
− −
=
f x
2 2
2 3 ( )
2
Bài 3 (1,5 điểm) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = 5
3x
2 - 2x2 + 2x + 1 - 5 x b) y=(5x−3) 9x2+1 c) ( )
=
−
x y
x
sin 3 1 cos 15 2
Bài 4 (2,0 điểm).Cho hình chóp A.BCD có đáy là tam giác BCD vuông tại C , BC = CD = 2a , AB ⊥ (BCD),
AB = a Gọi M là trung điểm BD
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AMC) và (BCD)
B – PHẦN RIÊNG (Thí sinh được chọn làm một trong hai phần sau)
I – PHẦN DÀNH CHO BAN KHTN
Bài 5A (2,0 điểm)
a) Tính
→−∞
+ +
xlim 3 5x x 25x2 1
b) Cho hàm số y = 2 2
3
x
x + ⊥
− (C1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng 2x + y – 12 = 0 và hoành độ của tiếp điểm là một số âm
Bài 6A (1,5 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a) Chứng minh hai mặt chéo của hình lập phương vuông góc với nhau
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BD’
II – PHẦN DÀNH CHO BAN CƠ BẢN
Bài 5B (2,0 điểm)
a) Tính
→
+ − +
−
x
x
2 2 1
3 3 1 lim
b) Cho hàm số = +
−
x y x
2 1
1 (C2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C2) tại điểm có hoành độ x = 2.
Bài 6B (1,5 điểm) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi I là trung điểm của cạnh CD.
a) chứng minh (AIB)⊥(BCD)
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
Trang 2CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
1a (0,5đ)
0,25x2 1b (0,5đ)
=
4
4
1
x
x
x x x
x x x
0,25x2
1c (0,5đ)
=
2 2
2
x
x
0,25
0,25
2a (1,0đ) TXĐ: D = \{3}ℜ
\{-1;3}
x
∀ ∈ℜ ta có hàm số phân thức hữu tỉ y =
2 2
1
2 3
x
−
− − nên liên tục
Xét tại x= -1 ta có: f(-1) = 1
2;
2 2
lim ( ) lim
2 3 2
x
f x
−
− −
Vậy lim ( )x→1 f x = f(-1) nên hàm số liên tục tại x = -1
Kết luận: hàm số liên tục trên \{3}ℜ và gián đoạn tại x = 3
0,25 0,25
0,25 0,25 2b (0,5đ) Đặt f(x) = 4x3 – 9x2 +2x + 2 Ta có f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R
f(-1)= -13; f(0) = 2; f(1) = -1; f(2) = 2
khi đó: f(-1).f(0) = -26; f(0).f(1) = - 2; f(1).f(2) = - 2
vậy hàm số có ít nhất ba nghiệm thuộc (-1; 2)
0,25 0,25 3a (0,5đ)
y’ = 5x2 – 4x + 2 - 5
2 x
0,5 3b (0,5đ) y’ = (5x - 3)’ 9x2+1+ (5x - 3).( 9x2+1)’
= 5 9x2+1+ (5x - 3).( 2 )
2
9 1 '
2 9 1
x x
+ + = 5.
2
9x +1+ (5x - 3) 182
2 9 1
x
x +
= 5 9x2+1+ (5x - 3) 92
x
x +
0,25 0,25
3c (0,5đ)
2
sin 3 1 ' os(15 2 ) sin 3 1 os(15 2 ) '
os (15 2 )
−
2
3 1 ' os 3 1 os(15 2 ) (15 2 ) 'sin 3 1 sin(15 2 )
os (15 2 )
−
2
3 os 3 1 os(15 2 ) 2sin 3 1 sin(15 2 )
os (15 2 )
−
0,25 0,25
4a (1,0đ) Hình vẽ để làm đúng câu a)
Vì AB ⊥(BCD) nên AB⊥ BC vậy ∆ABC vuông ở B
Vì AB ⊥(BCD) nên AB⊥ BD vậy ∆ABD vuông ở B
Ta có: BC AB⊥⊥CD CD
⇒CD⊥(ABC)⇒CD⊥AC Vậy∆ACD vuông ở C
0,25 0,25 0,25 0,25 4b (1,0đ) Kẻ BH ⊥ AM khi đó BH⊥(AMC)
Vậy góc giữa (AMC) và (BCD) là góc giữa AB và BH là ABH∧
Ta có AB = a; BM = 2
2
BD a
=
cot ABH∧ = tan BAM∧ =BM
AB = 2 ⇒ ABH∧ ≈35015’52”
0,25 0,25
0,25 0,25
H
C
A
B
D M
Trang 32
2
lim 3 5 25 1 lim
2 2
10 1
5 25
x x
x x
0,5 0,5
5Ab
(1,0đ) Gọi tiếp điểm là M0(x0;y0) Ta có y’ = ( )2
8 3
x
−
−
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 2x + y – 1 = 0 nên phương trình tiếp tuyến
có dạng 2x + y + c = 0 (1)
Khi đó hệ số góc tiếp tuyến k = - 2 nên ( )2
0
8 3
x
−
− = -2
0 0
7( ) 1
x
=
⇔ = −
Với x0 = -1 thì y0 = 0 ta được c = 2 phương trình tiếp tuyến là: 2x + y – 1 = 0
0,25 0,25 0,25 0,25 6Aa
(0,75đ)
Hình vẽ để làm đúng câu a)
Ta có AC⊥ BD;
BB’ ⊥ (ABCD) ⇒ BB’⊥ AC
Vậy AC ⊥ (BB’D’D) ⇒ (AA’C’C) ⊥ (BB’D’D)
0,25 0,25 0,25
6Ab
(0,75đ)
Ta có AA’//BB’⇒ AA’//(BB’D’D)
Mà BD’⊂(BB’D’D) nên khoảng cách từ AA’ đến BD’ bằng khoảng cách từ AA’ đến
(BB’D’D) bằng OA = 2
2
a
0,25
0,25 0,25 5Ba
(1,0đ)
=
( )
→
x
lim
→
x
2 2
lim
=
2
1
4
→
=
x
x
1 8 4 lim
4
0,25
0,25x2
0,25
5Bb
(1,0đ)
Gọi tiếp điểm là M0(2;y0)
Ta có y’ = ( )2
3 1
x
−
− ; f ’(2) = -3; y0 = 5 Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(2;5) là: y = - 3(x - 2) + 5 hay y = - 3x -1
0,25x3 0,25 6Ba
(0,75đ)
Hình vẽ để làm đúng câu a)
∆ACD cân nên AI ⊥ CD
∆BCD cân nên BI ⊥ CD
⇒CD ⊥(AIB) ⇒(BCD) ⊥(AIB)
0,25 0,25 0,25
6Bb
(0,75đ) Trong (AIB) Kẻ IH ⊥AB khi đó IH là đường vuông góc chung của AB và CD
Ta có AI = AB2−IB2 = a 3
2 ; IH = AI2−AH2 =
−
÷ ÷
÷
a 3 2 a 2
2 2 = a 22
0,25 0,25X2
A
I BB
D C
HB
C' B' A'
D
C
D'
