toán cao cấp a2

Mục lục Lời nói đầu 2 1 Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính 4 1.1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Định nghĩa. Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Ma trận khả nghịch. Phương trình ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Các tính chất của định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3 Một số phương pháp tính định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.4 Ứng dụng định thức tìm ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.5 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Điều kiện tồn tại nghiệm của hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . 16 1.3.3 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Không gian vectơ 23 2.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Định nghĩa không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2 Một số tính chất đơn giản của không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.3 Không gian con vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.4 Không gian con sinh bởi một tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của hệ vectơ . . . . . . . . . . . 26 2.2.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 Hạng của hệ vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Cơ sở và chiều của không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.1 Cơ sở và chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.2 Cơ sở và chiều của không gian con vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.3 Tổng của các không gian con vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3.4 Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . 32 2.4 Tọa độ. Ma trận chuyển cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.1 Tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4.2 Ma trận chuyển cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3 Ánh xạ tuyến tính 37 3.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.2 Điều kiện xác định ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1 3.2 Ảnh, nhân của ánh xạ tuyến tính và đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.1 Ảnh và nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.2 Đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.3 Không gian thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3 Ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.2 Liên hệ giữa phép toán ma trận và phép toán ánh xạ tuyến tính . . . . . 44 3.4 Các dạng chính tắc của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4.1 Đa thức đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4.2 Trị riêng và vectơ riêng của một toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . 45 3.4.3 Không gian con riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4.4 Vấn đề chéo hóa một ma trận vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.5 Dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.5.1 Dạng song tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.5.2 Dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4 Bài tập 57 4.1 Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2 Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3 Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Tài liệu tham khảo 70 2 Lời nói đầu Môn học Toán cao cấp A2 là học phần thứ hai của chương trình Toán dành cho sinh viên nhóm ngành kĩ thuật. Nội dung chính của môn học này là về ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, không gian vectơ và ánh xạ tuyến tính. Nội dung môn học gồm 3 chương: Chương 1. Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính. Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về ma trận như khái niệm về ma trận, các phép toán ma trận, ma trận khả nghịch, cách tìm ma trận nghịch đảo, các tính chất của nó, phương trình ma trận. Ngoài ra còn bao gồm một số kiến thức về định thức, hạng của ma trận và hệ phương trình tuyến tính cùng phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính. Chương 2. Không gian vectơ. Chương này bao gồm một số kiến thức cơ bản về không gian vectơ, không gian con vectơ, không gian sinh, sự độc lập tuyến tính, sự phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ, cơ sở của không gian, chiều của không gian vectơ, tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở, ma trận chuyển cơ sở. Chương 3. Ánh xạ tuyến tính. Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức về ánh xạ tuyến tính, ma trận của ánh xạ tuyến tính, trị riêng, vectơ riêng của ánh xạ tuyến tính, của ma trận, chéo hóa ma trận và dạng toàn phương. Tài liệu này chỉ lưu hành nội bộ. Mọi đóng góp ý kiến về tài liệu này, vui lòng gửi về địa chỉ e-mail: vinh.maiquang83@gmail.com. Xin cảm ơn! Bình Dương, tháng 2 năm 2012 Biên soạn Mai Quang Vinh 3 Chương 1 Ma trận. Định thức. Hệ phương trình tuyến tính 1.1 Ma trận 1.1.1 Định nghĩa. Các phép toán trên ma trận * Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Một bảng số gồm m × n số được xếp thành m dòng và n cột được gọi là ma trận cấp m × n, kí hiệu A = a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n . . . . . . . . . . . . a m1 a m2 . . . a mn hay A = a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n . . . . . . . . . . . . a m1 a m2 . . . a mn hoặc A = (a ij ) m×n , trong đó a ij được gọi là phần tử của ma trận A nằm trên dòng i cột j. Ví dụ 1.1.2. A = 1 −2 3 −1 0 1 là ma trận cấp 2 × 3 với các phần tử lần lượt là a 11 = 1, a 12 = −2, a 13 = 3, a 21 = −1, a 22 = 0, a 23 = 1. Định nghĩa 1.1.3. * Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, kí hiệu θ. Chẳng hạn, 0 0 0 0 0 0 = (0) 2×3 là ma trận không cấp 2 × 3. * Khi số dòng và số cột của ma trận A đều bằng n thì A được gọi là ma trận vuông cấp n. Kí hiệu A = (a ij ) n . Các phần tử a 11 , a 22 , a 33 , , a nn tạo thành đường chéo chính, các phần tử a n1 , a (n−1)2 , , a 1n tạo thành đường chéo phụ của nó. * Ma trận tam giác trên là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm phía dưới của đường chéo chính bằng 0. a 11 a 12 . . . a 1n 0 a 22 . . . a 2n . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . a nn . * Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm phía trên của đường 4 chéo chính bằng 0. a 11 0 . . . 0 a 21 a 22 . . . 0 . . . . . . . . . . . . a n1 a n2 . . . a nn . * Ma trận chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0. diag(a 11 , a 22 , , a nn ) = a 11 0 . . . 0 0 a 22 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . a nn . * Ma trận đơn vị cấp n là ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1. I n = 1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 . * Ma trận dòng là ma trận cấp 1 × n, kí hiệu A = a 1 a 2 . . . a n , ma trận cột là ma trận cấp m × 1, kí hiệu b 1 b 2 . . . b m . * Một ma trận vuông A = (a ij ) n được gọi là đối xứng nếu a ij = a ji với mọi 1 ≤ i, j ≤ n. Định nghĩa 1.1.4. Hai ma trận cùng cấp A = (a ij ) m×n , B = (b ij ) m×n được gọi là bằng nhau, kí hiệu A = B, nếu a ij = b ij với mọi 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Ví dụ 1.1.5. 1 2 0 −1 = a b c d khi và chỉ khi a = 1, b = 2, c = 0, d = −1. * Các phép toán trên ma trận Định nghĩa 1.1.6. Cho hai ma trận cùng cỡ m × n, A = a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n . . . . . . . . . . . . a m1 a m2 . . . a mn , B = b 11 b 12 . . . b 1n b 21 b 22 . . . b 2n . . . . . . . . . . . . b m1 b m2 . . . b mn . 5 Tổng của hai ma trận A, B là một ma trận cấp m × n, kí hiệu A + B, được xác định như sau A + B = (a ij + b ij ) m×n = a 11 + b 11 a 12 + b 12 . . . a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 . . . a 2n + b 2n . . . . . . . . . . . . a m1 + b m1 a m2 + b m2 . . . a mn + b mn . Tức là, muốn cộng hai ma trận thì ta cộng các phần tử tương ứng. Phép cộng chỉ thực hiện được khi hai ma trận cùng cấp. Ví dụ 1.1.7. 1 2 −1 0 3 −2 + −1 1 2 2 0 3 = 0 3 1 2 3 1 . Nhận xét 1.1.8. Phép cộng có các tính chất sau: i) Giao hoán: A + B = B + A; ii) Kết hợp: (A + B) + C = A + (B + C); iii) Có phần tử trung hòa là θ, tức là A + θ = θ + A = A. Định nghĩa 1.1.9. Tích của một số k với một ma trận A cấp m×n là một ma trận cấp m ×n, kí hiệu kA, và được xác định như sau kA = (ka ij ) m×n = ka 11 ka 12 . . . ka 1n ka 21 ka 22 . . . ka 2n . . . . . . . . . . . . ka m1 ka m2 . . . ka mn . Ví dụ 1.1.10. (−2). 1 −2 −3 0 = −2 4 6 0 . Nhận xét 1.1.11. Tính chất của phép nhân một số với một ma trận i) 1.A = A; ii) 0.A = θ; iii) k(A + B) = kA + kB; iv) (k + l)A = kA + lA; v) k(lA) = (kl)A, trong đó k, l là các số, còn A, B là các ma trận cùng cấp. Từ đó, suy ra A − B = A + (−1)B . Định nghĩa 1.1.12. Tích của hai ma trận A = (a ij ) m×n và B = (b ij ) n×p là ma trận cấp m ×p, kí hiệu AB = C = (c ik ) m×p , được xác định như sau c ik = n j=1 a ij b jk , với 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ p. 6 Ví dụ 1.1.13. Cho A = 1 2 −1 1 0 −3 , B = 2 1 −1 0 0 1 −1 −2 . Tính AB? Khi đó tích BA có tồn tại không? Ta có AB = c 11 c 12 c 13 c 14 c 21 c 22 c 23 c 24 c 31 c 32 c 33 c 34 , trong đó c 11 = 1.2 + 2.0 = 2, c 12 = 1.1 + 2.1 = 3, c 13 = 1.(−1) + 2.(−1) = −3, c 14 = 1.0 + 2.(−2) = −4 c 21 = (−1).2 + 1.0 = −2, c 22 = (−1).1 + 1.1 = 0, c 23 = (−1).(−1) + 1.(−1) = 0, c 24 = (−1).0 + 1.(−2) = −2 c 31 = 0.2 + (−3).0 = 0, c 32 = 0.1 + (−3).1 = −3, c 33 = 0.(−1) + (−3).(−1) = 3, c 34 = 0.0 + (−3)(−2) = 6. Suy ra AB = 2 3 −3 −4 −2 0 0 −2 0 −3 3 6 . Tích BA không tồn tại vì số cột của B là 4 trong khi đó số dòng của A là 3. Nhận xét 1.1.14. Phép nhân hai ma trận có một số tính chất sau: i) Phép nhân ma trận A với ma trận B thực hiện được khi và chỉ khi số cột của ma trận A bằng số dòng của ma trận B. ii) Ma trận tích AB có số dòng bằng số dòng của ma trận A và số cột bằng số cột của ma trận B. iii) Kết hợp A(BC) = (AB)C, iv) Phân phối với phép cộng A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA, k(AB) = (kA)B = A(kB) với k ∈ R, AI = A, BI = B, I là ma trận đơn vị. v) Nói chung, AB = BA. Định nghĩa 1.1.15. Cho ma trận cấp m × n, A = a 11 a 12 . . . a 1n a 21 a 22 . . . a 2n . . . . . . . . . . . . a m1 a m2 . . . a mn . Nếu ta đổi các dòng của ma trận A thành các cột tương ứng thì sẽ được ma trận cấp n × m và ma trận đó được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A, kí hiệu A T , A T = (a ji ) n×m = a 11 a 21 . . . a m1 a 12 a 22 . . . a m2 . . . . . . . . . . . . a 1n a 2n . . . a mn . 7 Ví dụ 1.1.16. A = 1 0 −1 2 1 −1 thì A T = 1 2 0 1 −1 −1 . Nhận xét 1.1.17. Một số tính chất của phép chuyển vị ma trận. i) (A + B) T = A T + B T . ii) (AB) T = B T .A T . 1.1.2 Ma trận khả nghịch. Phương trình ma trận * Ma trận khả nghịch Định nghĩa 1.1.18. Ma trận vuông cấp n, A = (a ij ) n , được gọi là khả nghịch nếu tồn tại một ma trận vuông cấp n, B = (b ij ) n , sao cho AB = BA = I n , I n là ma trận đơn vị cấp n. Khi đó B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu B = A −1 . Ví dụ 1.1.19. Cho A = 1 −1 0 1 .Ta có 1 −1 0 1 . 1 1 0 1 = 1 1 0 1 . 1 −1 0 1 = 1 0 0 1 Suy ra A −1 = 1 1 0 1 . Định nghĩa 1.1.20. Các phép biến đổi sau đây được gọi là các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận. • Đổi chỗ hai dòng cho nhau: d i ←→ d j , • Nhân một dòng với một số k khác không: d i −→ kd i , • Nhân một dòng với một số k rồi cộng vào một dòng khác: d i −→ kd j + d i . Hoàn toàn tương tự, ta có 3 phép biến đổi sơ cấp trên cột (trong các phát biểu ở trên ta thay chữ dòng bằng chữ cột). Định nghĩa 1.1.21. Hai ma trận A và B được gọi là tương đương dòng nếu từ A có thể chuyển thành B nhờ các phép biến đổi sơ cấp trên dòng. Mệnh đề 1.1.22. Ma trận A khả nghịch khi và chỉ khi A tương đương dòng với ma trận đơn vị I. Trong trường hợp này các phép biến đổi sơ cấp nào chuyển A thành I thì cũng chuyển I thành A −1 . * Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Giả sử ma trận vuông cấp n, A = (a ij ) n , khả nghịch. Để tìm ma trận A −1 , ta làm như sau: thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận ghép (A|I n ) về (I n |B). Khi đó A −1 = B. 8 Ví dụ 1.1.23. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A = 1 −1 2 −1 2 1 0 0 1 . Ta có [A|I 3 ] = 1 −1 1 −1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 d 1 +d 2 →d 2 −−−−−−→ 1 −1 1 0 1 2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 (−2)d 3 +d 2 →d 2 −−−−−−−−→ 1 −1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 −2 0 0 1 d 2 +(−1)d 3 +d 1 →d 1 −−−−−−−−−−−→ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 −3 1 1 −2 0 0 1 . Vậy A −1 = 2 1 −3 1 1 −2 0 0 1 . Nhận xét 1.1.24. Tính chất của ma trận khả nghịch. i) Nếu ma trận A khả nghịch thì (A −1 ) −1 = A, ii) Nếu hai ma trận A, B khả nghịch thì ma trận AB cũng khả nghịch và (AB) −1 = B −1 A −1 , iii) (A −1 ) T = (A T ) −1 . * Phương trình ma trận Cho A là ma trận khả nghịch. Xét các phương trình ma trận AX = B ⇐⇒ X = A −1 B XA = B ⇐⇒ X = BA −1 . Ví dụ 1.1.25. 1) Giải phương trình 1 −1 0 1 X = 1 2 −1 0 . Ta có 1 −1 0 1 −1 = 1 1 0 1 . Suy ra X = 1 −1 0 1 −1 1 2 −1 0 = 1 1 0 1 1 2 −1 0 = 0 2 −1 0 . 2) Giải phương trình X 1 −1 1 −1 2 1 0 0 1 = 1 2 1 −1 0 1 . Ta có 1 −1 1 −1 2 1 0 0 1 −1 = 2 1 −3 1 1 −2 0 0 1 . Do đó X = 1 2 1 −1 0 1 1 −1 1 −1 2 1 0 0 1 −1 = 1 2 1 −1 0 1 2 1 −3 1 1 −2 0 0 1 = 4 3 −6 −2 −1 4 . 9 1.2 Định thức 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1. * Cho ma trận A = (a ij ) m×n . Ma trận con cấp k, 1 ≤ k ≤ min{m, n} của A là ma trận vuông cấp k lập từ các phần tử nằm trên giao của k dòng, k cột của A. * Cho ma trận vuông cấp n, A = (a ij ) n . Ma trận con cấp (n − 1) lập từ A bằng cách bỏ đi dòng i, cột j được gọi là ma trận con của A ứng với phần tử a ij , kí hiệu M ij . Ví dụ 1.2.2. Cho A = 1 2 0 −1 0 1 3 1 2 . Ta có M 11 = 0 1 1 2 , M 12 = −1 1 3 2 , M 13 = −1 0 3 1 , M 22 = 1 0 3 2 , M 31 = 2 0 0 1 , Định nghĩa 1.2.3. Cho ma trận vuông cấp n, A = (a ij ) n . Định thức cấp n của A, kí hiệu det A hoặc |A|, được định nghĩa bằng quy nạp như sau: • Với A cấp 1 (n = 1), A = [a 11 ] : det A = a 11 . • Với A cấp 2 (n = 2), A = a 11 a 12 a 21 a 22 : det A = a 11 det M 11 −a 12 det M 12 = a 11 a 22 −a 12 a 21 . (Chú ý. a 11 , a 12 là các phần tử nằm trên dòng 1 của A.) • Với A cấp n: det A = a 11 det M 11 − a 12 det M 12 + · · · + (−1) 1+n a 1n det M 1n . (Chú ý. a 11 , a 12 , , a 1n là các phần tử nằm trên dòng 1 của A.) Từ định nghĩa, bằng chứng minh quy nạp ta cũng có det A = a 11 det M 11 − a 21 det M 21 + · · · + (−1) 1+n a n1 det M n1 . (Chú ý. a 11 , a 21 , , a n1 là các phần tử nằm trên cột 1 của A.) Ví dụ 1.2.4. Cho A = 1 2 0 −1 0 1 3 1 2 . Ta có M 11 = 0 1 1 2 , M 12 = −1 1 3 2 , M 13 = −1 0 3 1 . Do đó, theo định nghĩa det A = a 11 det M 11 − a 12 det M 12 + (−1) 1+3 a 13 det M 13 = 1.(−1) − 2.(−5) + 0.(−1) = 9. 1.2.2 Các tính chất của định thức Tính chất 1 det A T = det A. Chú ý. Từ tính chất 1 suy ra: Một tính chất của định thức đã đúng khi phát biểu về dòng thì nó vẫn đúng nếu trong phát biểu đó ta thay chữ dòng bằng chữ cột. 10 . . . . . . . . . . . . 64 Tài liệu tham khảo 70 2 Lời nói đầu Môn học Toán cao cấp A2 là học phần thứ hai của chương trình Toán dành cho sinh viên nhóm ngành kĩ thuật. Nội dung chính của môn học. nghĩa 1.2.10. * Cho A = (a ij ) m×n là ma trận cấp m × n. Định thức con cấp k của A là định thức của ma trận con cấp k của A. * Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác 0 của nó,. trận vuông cấp n, A = (a ij ) n . Định thức cấp n của A, kí hiệu det A hoặc |A|, được định nghĩa bằng quy nạp như sau: • Với A cấp 1 (n = 1), A = [a 11 ] : det A = a 11 . • Với A cấp 2 (n = 2),