3 Ánh xạ tuyến tính
3.2.3 Không gian thương
Định nghĩa 3.2.15. * ChoX, Y là các tập hợp. Ta gọi một tập conS của X×Y là một quan hệ trên X và Y. Đặc biệt, một tập con S của X2 là một quan hệ trên X.
NếuS là một quan hệ thì thay cho cách viết (x, y)∈S ta sẽ viết xSy. * Quan hệS trên tập X được gọi là
+ có tính chất phản xạ nếu mọi x∈X đều có xSx; + có tính chất đối xứng nếu mọi x, y ∈X, xSy thì ySx;
+ có tính chất phản xứng nếu mọi x, y ∈X, xSy vàySx thì x=y; + có tính chất bắc cầu nếu mọi x, y, z ∈X, xSy và ySz thì xSz.
* Một quan hệ S được gọi là quan hệ tương đương nếu S có các tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
* ChoS là một quan hệ tương đương trên X. Với a∈X, đặt
[a] =S[a] :={x∈X | xSa}.
Rõ ràng a ∈ [a]. Ta gọi[a] làlớp tương đương chứa a. Các lớp tương đương hoặc trùng nhau, hoặc rời nhau. Ta gọi tậpX/S có các phần tử là các lớp tương đương củaX theo quan hệ tương đương S làtập thương của X theo quan hệ tương đương S.
Định nghĩa 3.2.16. Cho V là R−không gian vectơ và W là không gian con vectơ của V. Dễ dàng thấy rằng
xSy ⇐⇒x−y∈W
là một quan hệ tương đương trên V .
Ta kí hiệu tập thương củaV theo quan hệ tương đương S làV/W. Với mỗi x∈V, ta có S[x] = {y∈V | ySx}={y∈V |y−x∈W} = {y∈V | y∈x+W}=x+W. Do đó V/W ={x+W | x∈V}. Với x+W, y+W ∈V /W và λ∈R, đặt (a+W) + (y+W) := (x+y) +W λ(x+W) := λx+W.
Dễ thấy cách đặt trên cho ta phép cộng trên V/W và phép nhân số với phần tử củaV/W. Thật vậy,
Nếux+W =x0 +W, y+W =y0+W thì
x−x0 ∈W, y−y0 ∈W.
Do W là không gian con nên
(x−x0) + (y−y0) = (x+y)−(x0 +y0)∈W λ(x−x0) = λx−λx0 ∈W.
Do đó
(x+y) +W = (x0+y0) +W, λx+W =λx0+W.
Tập V/W cùng với hai phép toán trên tạo thành một R−không gian vectơ và được gọi là
không gian vectơ thương của V theo W.
Bổ đề 3.2.17. Ánh xạ chính tắc π :V → V/W, π(x) = x+W là một toàn cấu vàkerπ=W.
Định nghĩa 3.2.18. Cho f :V −→V0 là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, kerf là một không gian con vectơ củaV, do đó ta có không gian thươngV/kerf. Bằng cách đặtf¯(x+ kerf) = f(x)
ta sẽ có một ánh xạ
¯
f : V/kerf −→V0
(cách đặt là hợp lí vì x+ kerf = x0 + kerf thì x−x0 ∈ kerf, do đó f(x−x0) = θ hay
f(x) =f(x0)).
Ánh xạf¯được gọi là ánh xạ cảm sinh bởi f.
Bổ đề 3.2.19. Ánh xạ f¯: V/kerf −→V0 là một đơn cấu.
Từ cách xây dựng trên dễ dàng thấy rằng
f = ¯f ◦π, hay f(x) = ¯f(π(x)).
Định lý 3.2.20 (Định lí đẳng cấu). Với mọi ánh xạ tuyến tính f : V −→ V0 ta đều có