3 Ánh xạ tuyến tính
3.2.1 Ảnh và nhân
Định nghĩa 3.2.1. Cho ánh xạ tuyến tínhf :V −→V0. Khi đó, ta gọiảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập
Imf =f(V) :={u=f(v) | v ∈V} ⊂V0;
nhân của ánh xạ f là
kerf =f−1(θ) :={v ∈V | f(v) =θ} ⊂V.
Như vậy, f là toàn ánh nếu và chỉ nếu Imf =V0 và theo bổ đề 3.1.4, f là đơn ánh nếu và chỉ nếu kerf ={θ}. Ví dụ 3.2.2. a) Chof :R2 −→R3, f(x, y) = (x, y, x+y). Tìm Imf,kerf. Giải. Ta có kerf = {(x, y) | f(x, y) = θ}={(x, y) |x= 0, y = 0, x+y= 0} = {(0,0)}={θ} Imf = {f(x, y) |(x, y)∈R2}={f(x(1,0) +y(0,1)) |(x, y)∈R2} = {xf(1,0) +yf(0,1)| (x, y)∈R2} = {x(1,0,1) +y(0,1,1)| (x, y)∈R2} = h(1,0,1),(0,1,1)i
là không gian vectơ sinh bởi (1,0,1)và (0,1,1).
b) Cho f :Rn[x]−→Rn[x], f(P) = P0, Rn[x]là không gian vectơ các đa thức bậc ≤n, hệ số trong R.
Giải. Ta có
kerf = {P ∈Rn[x] | P0 = 0}={P | P =const}=R;
Imf = f(Rn[x]) =Rn−1[x] là không gian vectơ các đa thức bậc ≤n−1.
Bổ đề 3.2.3. Cho f :V −→V0 là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, kerf là một không gian con vectơ của V và Imf là một không gian con vectơ của V’.
Bổ đề 3.2.4. Cho f :V −→V0 là ánh xạ tuyến tính và S là một hệ sinh của V. Khi đó, f(S)
là một hệ sinh của Imf.
Từ bổ đề 3.2.4, đặc biệt suy ra nếuBlà một cơ sở của V thì f(B) là một hệ sinh củaImf. Ví dụ 3.2.5. Cho ánh xạ tuyến tínhf :R3 −→R3 xác định như sau
f(x, y, z) = (x−y, x−z,−y+z). Hãy xác định Imf. Giải. Chọn{e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)} là cơ sở củaR3. Ta có f(e1) = (1,1,0), f(e2) = (−1,0,−1), f(e3) = (0,−1,1) Imf = hf(e1), f(e2), f(e3)i=h(1,1,0),(−1,0,−1),(0,−1,1)i = h(1,1,0),(−1,0,−1)i
Định lý 3.2.6 (Liên hệ giữa dim(Imf) vàdim(kerf)). Cho f :V −→V0 là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, nếu dimV <∞, tức là V là không gian vectơ hữu hạn chiều, thì
dim(Imf) + dim(kerf) = dimV.
Ví dụ 3.2.7. Xét ánh xạ f từ ví dụ 3.2.5, dễ thấy dim(Imf) = 2. Do đó, theo định lí 3.2.6, ta có dim(kerf) = dimR3 −dim(Imf) = 3−2 = 1.